角的相关计算和证明习题及答案)

角的相关计算和证明（习题）

➢ 例题示范

例1：已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于点

D ，A

E ⊥BC 于点E ．若∠ADE =80°，∠EAC =20°，则

∠B =_______． 思路分析 ①读题标注：

②梳理思路：

从条件出发，看到AE ⊥BC 想到直角三角形两锐角互余，再结合已知的角度可求出∠DAE =10°，∠C =70°； 由AD 平分∠BAC 可知∠BAC =60°； 把∠B

看作△ABC

的一个内角，则∠

B =180°-60°-70°=50°．

（思路不唯一，也可将∠B 看作△ABD 的一个内角，则∠ADE 是△ABD 的一个外角，利用三角形的外角定理进行求解．）

➢ 巩固练习

1. 已知：如图，AB ⊥BD 于点B ，ED ⊥BD 于点D ，C 是线段

BD 上一点．若AC ⊥CE ，∠A =30°，则∠E =______．

80°

20°

A

C

E D B B D E C

A

A

B

C D

E

2

1

C

B A

第1题图 第2题图

2. 已知：如图，△ABC 为直角三角形，∠C =90°，若沿图中虚

线剪去∠C ，则∠1+∠2=____________．

3. 已知：如图，∠A =32°，∠B =45°，∠C =38°，则∠DFE =

（ ） A ．120°

B ．115°

C ．110°

D ．105°

D C

B

A

E

F E

B

C F

D A

第3题图 第4题图

4. 已知：如图，在△ABC 中，∠A :∠B =1:2，DE ⊥AB 于E ，

且∠FCD =60°，则∠D =（ ） A ．50° B ．60° C ．70°

D ．80°

5. 已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠ACB ，CD ⊥AB ，垂足为D ．

求证：∠A =2∠BCD ．

D C B

A

证明：如图， 设∠BCD =α ∵CD ⊥AB

（已知）

∴∠BDC =90° （垂直的定义）

∴∠BCD +_____=90° （_________________________） ∴2α+2∠B=180° （等量代换）

∵_____________________（_________________________） ∵∠B =∠ACB （已知） ∴∠A+2∠B =180° （等量代换）

∴∠A=2α （同角的补角相等）

即∠A =2∠BCD

6. 已知：如图，AB ∥DE ，∠1=∠ACB ，AC 平分∠BAD ．

求证：AD ∥BC ．

A B

C

D

E

F

1

7. 如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 为AD 上一

点，且EF ⊥BC 于F ．若∠B =30°，∠C =70°，求 ∠DEF 的度数．

8. 已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，EF ⊥AD 于点P ，

交BC 延长线于点M ．已知∠ACB =70°，∠B =40°，求∠M 的度数．

A F M

C

D

P

E

B

F E

D C

B A

➢ 思考小结

1. 我们在做几何证明题的时候，可以从已知出发，看条件如何

用，比如看到平行线，考虑___________________________，看到垂直考虑______________________，_________________ _________；也可以从目标出发，根据目标倒推，比如把角看作什么角，看作三角形的一个内角考虑__________________，看作外角考虑_______________________________________． 2. 阅读材料

我们是怎么做几何题的？

例1：已知：如图，DE ∥BC ，EF ∥AB ，∠DEF =50°，∠C =70°，求∠A 的度数．

A

B C

D

E

F

第一步：读题标注，把题目信息转移到图形上；（请把条件标注图上）

第二步：走通思路，要求∠A的度数，怎么想？

要求∠A，可以把∠A看作△ABC的一个内角，∠C度数已知，只需求出∠B的度数即可；

结合题中的条件，由DE∥BC，∠DEF=50°得∠EFC=∠DEF=50°，再由EF∥AB得∠B=∠EFC=50°；

最后，利用三角形的内角和等于180°，

得∠A=180°-∠B-∠C=180°-50°-70°=60°．

第三步：规划过程

过程分成三块：

①由DE∥BC，∠DEF=50°得∠EFC=∠DEF=50°；

②由EF∥AB得∠B=∠EFC=50°；

③利用三角形内角和定理求∠A．

第四步：书写过程

【参考答案】 ➢ 巩固练习

1. 60°

2. 270°

3. B

4. A

5. 证明：如图，

设∠BCD =α ∵CD ⊥AB

（已知）

∴∠BDC =90° （垂直的定义）

∴∠BCD+∠B=90° （直角三角形两锐角互余） ∴2α+2∠B=180° （等量代换）

∵∠A+∠B+∠ACB =180° （三角形的内角和等于180°） ∵∠B =∠ACB （已知） ∴∠A+2∠B =180° （等量代换）

∴∠A=2α （同角的补角相等）

即∠A =2∠BCD 6. 证明：如图，

A B C

D

E F

1

∵AB ∥DE （已知）

∴∠1=∠BAC （两直线平行，同位角相等） ∵AC 平分∠BAD （已知）

∴∠DAC =∠BAC （角平分线的定义） ∴∠1=∠DAC （等量代换）