中考数学圆与相似综合经典题及答案解析.docx

中考数学圆与相似综合经典题及答案解析一、相似1．已知：如图一，抛物线C，直线经过A、 C 两点，且与 x．轴正半轴交于A、B 两点，与y 轴交于点（1）求抛物线的解析式；（2）若直线 DE 平行于 x 轴并从 C 点开始以每秒 1 个单位的速度沿 y 轴正方向平移，且分别交 y 轴、线段BC 于点 E， D，同时动点P 从点运动，如图；当点P 运动到原点O 时，直线B 出发，沿BO 方向以每秒 2 个单位速度DE 与点 P 都停止运动，连DP，若点P运动时间为 t秒；设，当 t 为何值时， s 有最小值，并求出最小值．（3）在的条件下，是否存在t 的值，使以P、B、 D 为顶点的三角形与相似；若存在，求 t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：由直线：知：、；∵，∴，即．设抛物线的解析式为：，代入，得：，解得∴抛物线的解析式：（2）解：在中，，，则；∵，∴；而；∴，∴当时， s 有最小值，且最小值为1（3）解：在中，在中，，∴以 P、 B、 D 为顶点的三角形与；，，则，则相似，已知；；，则有两种情况：，解得；，解得；综上，当或时，以P、B、D为顶点的三角形与相似【解析】【分析】（ 1）由直线与坐标轴相交易求得点A、 C 的坐标，用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）由题意可将ED、 OP 用含 t 的代数式表示出来，并代入题目中的s 与 OP、 DE 的关系式整理可得s=（0<t<2），因为分子是定值1，所以分母越大，则分式的值越小，则当分母最大时，分式的值越小，即t=1 时， s 有最小值，且最小值为1；（ 3）解直角三角形可得BC 和 CD、 BD 的值，根据题意以P、 B、 D 为顶点的三角形与△ABC相似所得的比例式有两种情况：，，将这些线段代入比例式即可求解。

2．（1）问题发现：如图 1，在等边三角形ABC中，点 M 为 BC 边上异于B、 C 的一点，以AM 为边作等边三角形 AMN ，连接 CN， NC 与 AB 的位置关系为 ________；（2）深入探究：如图 2，在等腰三角形 ABC中， BA=BC，点 M 为 BC边上异于 B、C 的一点，以 AM 为边作等腰三角形 AMN ，使∠ ABC=∠ AMN， AM=MN ，连接 CN，试探究∠ ABC 与∠ACN 的数量关系，并说明理由；（3）拓展延伸：如图 3，在正方形ADBC 中， AD=AC，点 M 为 BC 边上异于B、C 的一点，以AM 为边作正方形 AMEF，点 N 为正方形AMEF 的中点，连接CN，若【答案】（1） NC∥ ABBC=10， CN=，试求EF的长．（2）解：∠ ABC=∠ ACN，理由如下：∵=1 且∠ ABC=∠ AMN ，∴△ ABC～△ AMN∴，∵A B=BC，∴∠ BAC=（180°﹣∠ABC），∵AM=MN∴∠ MAN=（180﹣°∠ AMN），∵∠ ABC=∠ AMN ，∴∠ BAC=∠ MAN ，∴∠ BAM=∠ CAN，∴△ ABM～△ ACN，∴∠ ABC=∠ ACN（3）解：如图3，连接 AB， AN，∵四边形 ADBC， AMEF 为正方形，∴∠ ABC=∠ BAC=45 ，°∠ MAN=45 °，∴∠ BAC﹣∠MAC=∠ MAN ﹣∠ MAC 即∠ BAM=∠ CAN，∵，∴，∴△ ABM～△ ACN∴，∴=cos45 = °，∴，∴B M=2，∴CM=BC﹣ BM=8，在 Rt△ AMC，AM=，∴EF=AM=2．【解析】【解答】解：（1） NC∥ AB，理由如下：∵△ ABC与△ MN 是等边三角形，∴A B=AC， AM=AN，∠BAC=∠MAN=60 °，∴∠ BAM=∠ CAN，在△ ABM 与△ ACN 中，，∴△ ABM≌ △ ACN（ SAS），∴∠ B=∠ACN=60 ，°∵∠ ANC+∠ ACN+∠ CAN=∠ ANC+60 +°∠CAN=180 ，°∴∠ ANC+∠ MAN+∠ BAM=∠ANC+60 +°∠ CAN=∠ BAN+∠ANC=180 ，°∴CN∥ AB；【分析】（1）由题意用边角边易得△ABM≌△ACN，则可得∠B=∠ACN=60°，所以∠BCN+∠B=∠BCA+∠ ACN+∠ B=180 ，°根据平行线的判定即可求解；（2）由题意易得△ABC～△AMN，可得比例式，由三角形内角和定理易得∠BAM=∠ CAN，根据相似三角形的判定可得△ ABM～△ACN，由相似三角形的性质即可求解；（3）要求EF 的值，只须求得CM 的值，然后解直角三角形AMC 即可求解。

连接AB，AN，由正方形的性质和相似三角形的判定易得△ABM～△ACN，可得比例式，可求得 BM 的值，而 CM=BC﹣ BM，解直角三角形 AMC 即可求得AM 的值，即为 EF的值。

3．如图 1，在矩形ABCD 中， AB=6cm， BC=8cm， E、 F 分别是AB、 BD 的中点，连接EF，点 P 从点 E 出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s ，同时，点Q 从点 D 出发，沿DB 方向匀速运动，速度为 2cm/s ，当点 P 停止运动时，点 Q 也停止运动．连接 PQ，设运动时间为 t（0＜ t＜ 4） s，解答下列问题：（1）求证：△ BEF∽△ DCB；（2）当点 Q 在线段 DF 上运动时，若△ PQF的面积为 0.6cm2，求 t 的值；（3）当 t 为何值时，△ PQF为等腰三角形？试说明理由．【答案】（1）解：∵四边形 ABCD是矩形，∴AD∥ BC，在中，∵别是的中点，∴EF∥ AD，∴EF∥ BC，∴∴（2）解：如图1，过点Q 作于，∴QM∥ BE，∴∴∴（舍）或秒（3）解：当点 Q 在 DF 上时，如图2，∴∴.当点 Q 在 BF 上时，，如图3，∴∴时，如图 4，∴∴时，如图 5，∴∴综上所述， t=1 或 3 或或秒时，△ PQF是等腰三角形【解析】【分析】（ 1）根据题中的已知条件可得△BEF和△ DCB中的两角对应相等，从而可证△ BEF∽ △ DCB；（ 2）过点 Q 作 QM ⊥ EF 于 M ，先根据相似三角形的预备定理可证△QMF ∽ △BEF；再由△ QM F ∽ △ BEF可用含 t 的代数式表示出QM 的长；最后代入三角形的面积公式即可求出 t 的值。

（ 3）由题意应分两种情况：（ 1）当点 Q 在 DF 上时，因为∠PFQ为钝角，所以只有 PF = QF 。

（ 2）当点 Q 在 BF 上时，因为没有指明腰和底，所以有PF=QF； PQ = FQ； PQ = PF三种情况，因此所求的 t 值有四种结果。

4．如图 1，在△ ABC 中，∠ BAC=90°， AB=AC=4， D 是 BC 上一个动点，连接 AD，以 AD 为边向右侧作等腰直角△ ADE，其中∠ ADE=90°．（1）如图2，G，H 分别是边AB，BC 的中点，连接DG，AH，EH．求证：△AGD∽ △AHE；（2）如图 3，连接 BE，直接写出当 BD 为何值时，△ABE 是等腰三角形；（3）在点 D 从点 B 向点 C 运动过程中，求△ABE 周长的最小值．【答案】（1）证明：如图2，由题意知△ABC和△ ADE都是等腰直角三角形，∴∠ B=∠DAE=45 ．°∵H 为 BC中点，∴AH⊥ BC．∴∠ BAH=45 =°∠ DAE．∴∠ GAD=∠HAE．在等腰直角△ BAH 和等腰直角△ DAE 中，AH＝AB＝AG， AE＝AD．∴，∴△ AGD∽△ AHE；（2）解：分三种情况：① 当B与D重合时，即BD=0，如图 3，此时 AB=BE；②当 AB=AE 时，如图4，此时 E 与 C 重合，∴D 是 BC的中点，∴B D= BC=2 ；③当 AB=BE时，如图 5，过 E 作 EH⊥ AB 于 H，交 BC 于 M，连接 AM，过 E 作 EG⊥BC 于G，连接 DH，∵A E=BE，EH⊥AB，∴AH=BH，∴AM=BM ，∵∠ABC=45 ，°∴AM ⊥ BC，△ BMH 是等腰直角三角形，∵AD=DE，∠ ADE=90 ，°易得△ ADM≌ △ DEG，∴DM=EG，∵∠ EMG=∠ BMH=45 °，∴△ EMG 是等腰直角三角形，∴ME=MG，由（ 1）得：△ AHD∽△ AME，且，∴∠ AHD=∠AME=135 ，°ME=DH，∴∠ BHD=45 ，°MG=DH，∴△ BDH 是等腰直角三角形，∴BD=DH=EG=DM=；综上所述，当BD=0 或或2时，△ ABE是等腰三角形；（3）解：当点 D 与点 B 重合时，点 E 的位置记为点M，连接 CM，如图 6，此时，∠ ABM=∠BAC=90°，∠ AMB=∠ BAM=45°，BM=AB=AC．∴四边形 ABMC 是正方形．∴∠ BMC=90 °，∴∠ AMC=∠ BMC-∠ AMB=45 °，∵∠ BAM=∠ DAE=45 ，°∴∠ BAD=∠ MAE，在等腰直角△ BAM 和等腰直角△ DAE中，AM＝AB，AE＝AD．∴．∴△ ABD∽△ AME．∴∠ AME=∠ ABD=45 °∴点 E 在射线 MC 上，作点 B 关于直线MC 的对称点 N，连接 AN 交 MC 于点 E′，∵B E+AE=NE+AE ≥ AN=NE ′ +AE ′， =BE ′ +AE ′∴△ ABE就′是所求周长最小的△ ABE．在 Rt△ ABN 中，∵A B=4， BN=2BM=2AB=8，∴AN＝．∴△ ABE 周长最小值为AB+AN＝ 4+4．【解析】【分析】（ 1 ）由等腰直角三角形的性质可得∠B=∠DAE=∠ BAH=45°，所以∠GAD=∠ HAE，计算可得比例式：，根据有两对边对应相等，且它们的夹角也相等的两个三角形相似可得△ AGD∽△ AHE；（2）根据等腰三角形的定义可知分 3 种情况讨论：①当 B 与 D 重合时，即BD=0，此时AB=BE；C 重合，用勾股定理可求得BD 的值；②当 AB=AE 时，此时E与③ 当AB=BE时，过E 作EH⊥ AB 于H，交BC于M，连接AM，过 E 作EG⊥ BC 于G，连接DH，由已知条件和（1）的结论可求解；（3）当点 D 与点 B 重合时，点 E 的位置记为点M，连接 CM，作点 B 关于直线MC 的对称点 N，连接 AN 交 MC 于点 E′，由已知条件易证四边形ABMC 是正方形，由已知条件通过计算易得比例式：,根据有两对边对应相等，且它们的夹角也相等的两个三角形相似可得△ ABD∽ △ AME,则∠AME=∠ABD=45°，于是可得点 E 在射线MC 上，根据轴对称的性质可得△ ABE′就是所求周长最小的△ABE，在Rt△ ABN中，用勾股定理即可求得AN 的值，则△ ABE 周长最小值 =AB+AN 即可求解。