向量的直角坐标运算

问题
在直角坐标系中，向量可以用坐标表示，那么，能否 用坐标表示两个向量的平行呢？
（三）用向量的坐标表示向量平行的条件
探则设索a a 新 知 ( a b 1 ， ，可a 2 化) ， 为b ( a 1 ， ( b 1 a ， 2 ) b 2 ) ( b 1 ， b 2 ) (b 1 ， b 2 ) ，
A（-2，-1），点
B（0，4）和向量
a(1 ,y)
并且
AB//a,求
a的纵坐标
y．
解：由已知条件得
AB (0， 4)(2， 1)(2， 5)，
因为
AB//a,
所以
152y0．
解得：y 5 ． 2
例7 已知点 A（-2，-3），B（0，1），C(2，5)， 求证：A，B，C 三点共线． 证明：由已知条件得
1.在平面直角坐标系内,点 A 可以用什么来表示? 2.平面向量是否也有类似的表示呢?
ya
b
A (a, b)
O
a
x
3. 平面向量分解定理的内容是什么?
（一）向量的直角坐标
在直角坐标系内，我们分别
y
(1)取基向量:
与
x
轴,
y
轴方向相同的
两个单位向量 e1，e2 作为基向量．
(2)
得到实数对：任作一个向量
(6， 19)．
例3 已知点 A(x1，y1)，B(x2，y2), 求向量 AB 的坐标．
解：ABOBOA
(x 2 ,y 2 ) (x 1 ,y 1 ) (x2x1,y2y1)．
结论：一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的 相应坐标．
1.已知 a,b的坐标 , 求 a b ,a b ．
⑴ a ( 4 , 3 )b , ( 3 , 8 )
结论1：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应 坐标的和与差. 结论2：数乘向量积的坐标等于数乘上向量相应坐标的积.
（二）向量的直角坐标运算
设 a (a 1 ,a 2 ) ，b(b 1,b 2)，则
a b ( a 1 , a 2 ) ( b 1 , b 2 )
(a1b 1,a2b2)．
求 a b ， a b ， 3 a 4 b ．
解： a b ( 2 ， 1 ) ( 3 ， 4 )(23 ， 14) a b ( (2 ， 11 ， ) 5 )； ( 3 ， 4 )(23 ， 14)
3 a 4 b (3 5， ( 2 ， 1 3) ) ；4 ( 3 ， 4 ) (6 ， 3 )( 1， 1 2)6
ye2
e2
0
e1
xe1
x
结论：
一一对应
向量 OA 的坐标
点A(x, y)
例1
如图，用基向量 e1 ，e2
分别表示向量
a,b,c,d
并求出它们的坐标．
y
a
b
e2
0
e1
c
d
解：b a 2 e 2 1 e 1 3 e 3 2 e 2 ( 2 ( , 3 2 ) ； , 3 ) ； x d c 2 2 e 1 e 1 3 e 3 2 e 2 ( 2 ( , 2 3 , ) ． 3 ) ；
⑵
a ( 3 ,0 )b , ( 0 ,4 )
2.已知 A，B 两点的坐标 , 求 AB , BA 坐标 ．
⑴ A(3， 4),B(6， 3) ⑵ A(3， 6),B(8， 7)
例4 已知点 A(2， 1)，B (1，3) , 求线段 AB 中点 M 的坐标．
解：因为 ABOBOA(1， 3)(2， 1) (3，2)．
所以 OMOAAM
OA 1 AB 2
(2， 1)1(3， 2) 2
( 1 ，2 )． 2
因此 M ( 1 ，2)． 2
y B
M
A
1
O1 x
（三）用向量的坐标表示向量平行的条件
温故知新
1、平行向量基本定理
若
b 0,则
a //b存在唯一实数
，使
a b .
2、数乘向量
已知bb1,b2 ，则b(b 1,b2)．
谢谢大家! 请各位批评指正
即
a1 b1 ① a2 b2 ②
a1b2 b1b2 ③
① ②两式的两边分别乘以b2，b1，得 a2b1b2b1 ④
所③以- ④得若则：向aa 1b 量/ 2b a / a 2b ( a 1 a 1 1 ， b 2 0a ． 2 a ) ， 2 b 1 b 0 ( ． b 1 ， b 2 ) ，
证明：由向量坐标的定义有 a b ( a 1 e 1 a 2 e 2 ) ( b 1 e 1 b 2 e 2 )
( a 1 b 1 ) e 1 ( a 2 b 2 ) e 2 (a1b 1,a2b2)．
其他两式同理可以得到．
例2 已知 a (2， 1)，b (3， 4),
AB (0， 1)(2， 3)(2， 4)， AC (2， 5)(2， 3)(4， 8)， 因为 28440，
所以 AB// AC． 又因为线段 AB 和线段 AC 有公共点 A， 所以 A，B，C 三点共线．
1.已知 a ( 3 , 4 ) b , ( 2 ,y ) , 并且 a//b,求 y．
例5
判⑵⑴断a e 下 列( ( 2 两， 1 0 ， 个3 ) ， ) 向， f 量b 是 (否0 ( ， 5 3 平， ) ． 行1 ：) ； 5
解： ⑴ 因为(－1)×(－15)－3×5＝0，
所以 a与 b平行．
⑵ 因为2×3－0×0＝6≠0，
所以
e 与
f不平行．
例6
已知点
（ 二）向量的直角坐标运算
设 a (a 1 ,a 2 ) ，b(b 1,b 2)，则 a b ( a 1 , a 2 ) ( b 1 , b 2 ) (a1b 1,a2b2)； a b ( a 1 , a 2 ) ( b 1 , b 2 )
(a1b 1,a2b2)； a ( a 1 , a 2 ) ( a 1 ,a 2 ) ．
（1）式叫做向量的坐标表示.
1 ．如图： e1，e2是直角坐标平面上的基向量，你能写出 0 ，e1，e2 的坐标吗？
0 (0,0)，e 1(1,0)， e 2(0 ,1 ).
y
A(x, y)
2 ．向量的坐标与点的坐标之间有何关系？
设点 A 的坐标为 A(x, y)
则
O x A e 1 y e 2 ( x ,y )
2.已知点 A（-1，-3），B（0，-1），C(1，1)， 求证：A，B，C 三点共线．
1．向量的直角坐标
a a 1 e 1 a 2 e 2 ( a 1 , a 2 )
2．向量的直角坐标运算
⑴两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应 坐标的和与差.
⑵数乘向量积的坐标等于数乘上向量相应坐标的积. ⑶一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的 相应坐标．
3．用向量的坐标表示向量平行的条件
若则向a 量/a b / ( a a 1 ， 1 b 2 a 2 ) a ， 2 b b 1 0 ( ． b 1 ， b 2 ) ，
教材 P49，练习 A 组第 1 题 ⑴⑶； 第 2 题 ⑴⑶；
教材 P51，练习 A 组第 ຫໍສະໝຸດ Baidu 题．
汇报结束
a,
由平面向量基本定理，有且只有一对实数
a
e2 O e1
x
a 1、a 2，使得 a a 1 e 1 a 2 e 2
我们把(a 1 ,a 2 )叫做向量 a的坐标，记作
a ( a 1 ,a 2 )（1）
其中a
1
叫做
a 在x轴上的坐标，a
2
叫做
a 在
y 轴上的坐标．
e1 ，e2叫做直角坐标平面上的基向量．