二次根式章节复习讲义[1]
二次根式复习课(29张PPT)
特殊二次根式
总结词
特殊二次根式是指具有特殊形式或意义的二次根式，如算术平方根、完全平方 根等。
详细描述
算术平方根是指非负数的平方根，即$sqrt{a}$（$a geq 0$）；完全平方根是 指一个数的平方等于给定值的平方根，即$sqrt{x^2}$。此外，还有一些特殊的 二次根式，如勾股定理中的勾股数、几何图形中的边长等。
二次根式的加减法
总结词
掌握二次根式的加减法规则
示例
$sqrt{2} + sqrt{3}$ 不能合并；$sqrt{2} + sqrt{2} = 2sqrt{2}$。
04
二次根式的应用
实际问题中的二次根式
计算物体的高度和长度
通过已知的长度和角度，利用二次根式计算物体的 高度或长度。
速度和加速度的计算
03
二次根式的化简与运算
二次根式的化简
总结词
掌握化简二次根式的方法
示例
$sqrt{25x^{2}}$ 可以化简为 $5x$；$sqrt{9a^{2} + 6ab + b^{2}}$ 可以化简为 $3a + b$。
二次根式的乘除法
总结词
掌握二次根式的乘除法规则
示例
$sqrt{2} times sqrt{3} = sqrt{6}$；$frac{sqrt{2}}{sqrt{3}} = frac{sqrt{2} times sqrt{3}}{sqrt{3} times sqrt{3}} = frac{sqrt{6}}{3}$。
与平面几何的结合
03
在解决平面几何问题时，有时需要用到二次根式的性质和运算
法则。
05
习题与解答
习题
二次根式复习1-完整版PPT课件
或因式；
（3）几个二次根式化成最简二次根 式后，如果被开方数相同，那么这 几个二次根式叫做同类二次根式。
2二次根式的性质1：
（1） 非负性 ： a0(a)
(2) a)2 a(a0)
a (a 0)
(3) a2 a 0 (a 0 )
a(a 0)
注：若 则a;2 a a 0 若 则a 2; a a 0
(1) 48
(2) 3 2
(3) 3 3 5
(4) 0.4
(5) 3 24
(6) 3a2b(a0,b0)
变式应用
1.式子 (a1)2 a1 成立的条件是（ D ）
A.a1 B.a1 C.a1 D.a1
2、化简
2
1- 3
解1-： 321- 331
题型4:同类二次根式
1.下列与 A. 1 2
2010-01-04
本章知识
1二次根式的有关概念： （1）二次根式（2）最简二次根式（3）同 类二次根式
（1）形如 的 式a子(a叫做0二)次根式
（即一个 的非算术 被开方数大于或等于零
（2）满足下列两个条件的二次根式， 叫做最简二次根式： ①被开方数不含分母；
2二次根式的性质2：
(4 )a b ab(a 0 ,b 0 )
(5) aa(a0 b0) bb
题型1:二次根式有意义的条件 取何值时，下列二次根式有意义：
① x3
② 3x 2
③ 1 3x
④
5 1 x
⑤
x2
5
2 ⑥x
3
⑦ 1 2x
⑧ x2 1
x 2 ( 吉林 ）当 __≤__3_时， 3 x有意义。
1.已知： x4 2xy0,求 x y 的值.
二次根式章节分类总复习 八年级数学下学期重难点及章节分类精品讲义
第02讲 《二次根式》章节分类总复习考点一 二次根式有意义的条件 知识点睛：1. 二次根式的定义：非负数a 的算术平方根a 叫做二次根式 ☆：二次根式的判断不需要化简，直接根据定义判断即可， 易错类型：因为24=，误认为4不是二次根式2. 二次根式有意义的条件a 中a 叫做被开方数，其中二次根式有意义的条件就是a ≥0；☆1：当二次根式和分式结合时，要注意分式的分母≠0 ☆2：a 的双重非负性⎩⎨⎧≥≥0.0.本身②被开方数①a a ；故有：a 前无“-”，a 本身值不可能是负的 类题训练1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：，，，（x ＞0），，，﹣，，（x ≥0，y ≥0）．【分析】一般地，我们把形如 （a ≥0）的式子叫做二次根式．结合所给式子即可作出判断． 【解答】解：符合二次根式的定义；是三次根式；是分式，不是二次根式； （x ＞0）符合二次根式的定义； 是二次根式； 是四次根式； ﹣符合二次根式的定义； 是分式，不是二次根式；（x ≥0，y ≥0）符合二次根式的定义．2．（2021春•下城区期末）已知二次根式，当x ＝1时，此二次根式的值为（ ） A ．2 B ．±2 C ．4D ．±4【分析】将x的值代入二次根式，然后利用二次根式的性质化简求解．【解答】解：当x＝1时，原式＝，故选：A．3．（2021春•阳谷县期末）已知是整数，则正整数n的最小值是【分析】因为是整数，且＝2，则6n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为6．【解答】解：∵＝2，且是整数，∴2是整数，即6n是完全平方数；∴n的最小正整数值为6．故答案为：6．4．（2021秋•普陀区期中）若是二次根式，那么x的取值范围是．【分析】二次根式要求被开方数是非负数，即10﹣5x≥0，从而解得x的取值范围．【解答】解：∵是二次根式，∴10﹣5x≥0，∴x≤2．故答案为：x≤2．5．（2021春•余杭区期中）当x＝时，的值最小．【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．【解答】解：当x＝3时，此时2x﹣6＝0，的最小值为0，故答案为：36．已知二次根式．（1）求x的取值范围；（2）求当x＝﹣2时，二次根式的值；（3）若二次根式的值为零，求x的值．【分析】（1）根据二次根式的定义得出3﹣x≥0，解之可得答案；（2）将x＝﹣2代入计算可得；（3）当被开方数为0时，二次根式的值即为0，据此列出关于x的方程求解可得．【解答】解：（1）根据题意，得：3﹣x≥0，解得x≤6；（2）当x＝﹣2时，＝＝＝2；（3）∵二次根式的值为零，∴3﹣x＝0，解得x＝6．7.已知x、y为实数，且满足，求5x+|2y﹣1|﹣的值．【分析】先根据二次根式的性质列出不等式组，求出x的取值，再把x的值代入所求代数式即可解答．【解答】解：则；＝＝2．考点二二次根式相关概念知识点睛：1.最简二次根式：满足以下2个条件的二次根式成为最简二次根式①被开方数的因数是整数，因式是整式；②不含开的尽方的因数或因式☆：判断最简二次根式，被开方数的字母部分次数最高为1次，且不含分母二次根式的运算，最后结果都要求必须化为最简二次根式2.同类二次根式：所含被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式类题训练1．（2021秋•桐柏县期中）下列二次根式中的最简二次根式是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．【解答】解：A、原式＝3，故A不符合题意．B、原式＝3，故B不符合题意．C、是最简二次根式，故C符合题意．D、原式＝2，故D不符合题意．故选：C．2．把下列根式化成最简二次根式．（1）5（2）6（3）（a＞0）（4）（n＜0）【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（2）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（3）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（4）直接利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：（1）5＝5×2＝10；（2）6＝6×＝6×＝；（3）（a＞0）＝5a；（4）（n＜0）＝×＝﹣．3．（2021春•岳麓区校级期末）下列式子能与合并的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．【解答】解：A、＝＝4，能与合并，符合题意；B 、＝2，不能与合并，不符合题意；C 、＝，不能与合并，不符合题意；D 、＝，不能与合并，不符合题意；故选：A ． 4．如果最简二次根式与2是同类二次根式，则a ＝ ．【分析】根据同类二次根式的定义列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：∵最简二次根式与2是同类二次根式，∴3a ﹣8＝17﹣2a ， 解得，a ＝5， 故答案为：5．考点三 二次根式的运算知识点睛：二次根式乘法公式：()）（③②）（①0b ,0··)0()0(022≥≥=⎩⎨⎧≤-≥==≥=a b a b a a a a a a a a a a 二次根式除法公式：()()()()ba b a c b a b a b a c ba ca aa ab b ab b a b a b a ba ba --=-+-=+=≥==≥=)0(1)0,0()0,0(＞＞变形公式：＞④类题训练1．（2021秋•拱墅区期中）下列计算正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【分析】根据平方根的性质、立方根的性质以及绝对值的性质即可求出答案． 【解答】解：A 、原式＝0.3，故A 不符合题意．公式①、②、③常用于以下两种题型：（1）化简求值（2）无理数比较大小常见比较大小的三种方式：（1）利用近似值比较大小（2）把系数移到根号内比较（3）分别平方，然后比较大小以上方法注意两数的正负号公式④及其变形常用于分母有理化的化简，即分式的分子分母同乘分母的无理化因式，使分母变为整数。
二次根式全章复习讲义
知识点一 二次根式的概念和性质 【知识梳理】一、二次根式概念1.二次根式：一般地，我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 二、二次根式的性质1.a ≥0，（a ≥0）；2. （a ≥0）；3..【典例精讲】类型一、二次根式的概念1下列各式中，一定是二次根式的有（ ）个．A.2B.3C.4D.5举一反三：【变式】下列式子中二次根式的个数有（ ）. （1）13；（2）3-； （3）21x -+；（4）38； （5）21()3-；（6）1x -（1x >）A ．2 B.3 C.4 D.52. x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义？（1）1y x =-； （2）y=2+x －x 23-；举一反三：【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（ ）. A. 23- B. ()20.3- C. 2- D. x类型二、二次根式的性质3. 计算下列各式：232()4-⨯-2(3.14)π-(1) (2)举一反三：【变式】（1）2)252(-=_____________. （2）2)2(2a a ---=_____________.4.已知实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简：22||()||a a c c b b -++---|．举一反三：【变式】若整数m 满足条件22(1)1,,5m m m +=+<且则m 的值是___________.【巩固练习】一．选择题1要使代数式有意义，则x 的（ ）.A. 最大值是23 B ．最小值是23 C. 最大值是32 D. 最小值是322. 若1a <,化简2(1)-1=a - ( ).A.2a -B.2a -C.aD.a - 3.下列说法正确的是（ ）A ．4是一个无理数B ．函数11y x =-的自变量x 的取值范围是x ≥1C ．8的立方根是2± D.若点(2,)-3)P a Q和点（b ，关于x 轴对称，则a b +的值为5. 4. 若a 不等于0，a 、b 互为相反数，则下列各对数中互为相反数的一对数是( ). A.与B.与C.与D.与5.下列根式是最简二次根式的是（ ）. A ．8 B ．24x y + C ． D ．6. 已知，化简二次根式的正确结果为（ ）.A.B. C.D.二. 填空题7.当x______时，式子x -在实数范围有意义；当x_______时，式子2x -在实数范围有意义.8.=____________. 若，则____________.9．（1）2)53(-=_____________. （2）9622++-a a a （a>0）=__________________________.10.求值（1）已知a 、b 满足，解关于x 的方程（a+2）x+b 2=a ﹣1．（2）已知x 、y 都是实数，且，求y x的平方根．知识点二二次根式的乘除法计算化简一、二次根式的乘法及积的算术平方根：（≥0，≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被1.乘法法则a b开方数相乘.二、二次根式的除法及商的算术平方根：（≥0，>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相1.a b除.。
二次根式全章复习知识点
《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（基础）【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】【要点梳理】要点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如13,,0.02,02等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）；（3）.要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2()a =（0a ≥），如2221122););()33x x ===（0x ≥）. （2）2a a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 2a .（3a ，再根据绝对值的意义来进行化简.（42的异同a 可以取任何实数，而2中的a 必须取非负数；a ，2=a （0a ≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a 2.3. 最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.等都是最简二次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.=显然是同类二次根式. 要点二、二次根式的运算 1. 乘除法（1）乘除法法则：类型 法则逆用法则二次根式的乘法0,0)a b =≥≥积的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥≥二次根式的除法0,0)a b≥>商的算术平方根化简公式：0,0)a b=≥>要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如= （2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如≠.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，=+-=最后合并同类二次根式.(13。
二次根式全章复习
二次根式全章复习一． 教学衔接二． 教学内容知识点一：二次根式的概念及意义考点１：二次根式的概念：一般地，形如a （ａ≥０）的式子叫做二次根式，其中“”叫做二次根号，ａ叫做被开方数。
考点２．二次根式的非负性：当ａ＞０时，a 表示ａ的算术平方根，因此a ＞０；当ａ＝０时，a 表示０的算术平方根，因此a ＝０，所以a （ａ≥０）总是非负数，即a ≥０。
例１．下列各式中，是二次根式的是（ ） Ａ．34 Ｂ．35）（- Ｃ．a Ｄ．21 例２．下列各式中，是二次根式的有（ ）① x ；②2；③12+x ；④兀；⑤4；⑥39；⑦35-；⑧72；⑨100-． Ａ．３个 Ｂ．４个 Ｃ．５个 Ｄ．６个规律小结：判断一个式子是不是二次根式，要看它是否同时具备两个特征： （１）带有二次根号“”； （２）被开方数为非负数。
例3.根式3-x 中ｘ的取值范围是（ ） Ａ．ｘ≥3 Ｂ．ｘ≤3 Ｃ．ｘ＜3 Ｄ．ｘ＞3例4.若2-a ＋3-b ＝０，则ａ2－２ｂ＝．例5.已知ｙ＝52-x ＋x 25-＋３，则２ｘｙ的值为（ ）Ａ．－１５ Ｂ．１５ Ｃ．－215 Ｄ．215 规律小结：二次根式中涉及两类非负数问题： （１）二次根式a 中被开方数ａ必须是一个非负数，即ａ≥０； （２）二次根式a （ａ≥０）本身的值也是一个非负数，即a ≥０（ａ≥０）．随堂练习：1.当ｘ为何值时，下列二次根式在实数范围内有意义？（１）24-x ； （２）x 3-； （３）x 58-；（４）1222+x ； （５）52--x ； （６）x x 2+．2.使式子2x -有意义的未知数ｘ有（ ）Ａ．０个 Ｂ．１个 Ｃ．２个 Ｄ．无数个3.下列式子122++x x ，22+x ，x ，33，5-，9，３2中，哪些是二次根式？4.1+x ＋（ｙ－２０１３）2＝０，则ｘy ＝．5.若ｘ，ｙ为实数，且ｙ＝x x 4312-+＋3412-+x x ＋１，求ｘ＋ｘｙ＋ｘ2ｙ的值。
二次根式单元复习正式课件ppt
D PC
2021/7/26
43
拓展1
已知△ABP的一边AB= 10，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
DP
C
2021/7/26
40
拓展1
已知△ABP的一边AB= 10，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
x 5 1 3x
解： x 5 0 ① 3- x 0 ②
说明：二次根式被开方数 不小于0，所以求二次根 式中字母的取值范围常转 化为不等式（组）
解得 - 5≤x＜3
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题型2:二次根式的非负性的应用.
4.已知： x 4 + 2x y =0,求 x-y 的值.
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0
解得 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
5.已知x,y为实数,且
x 1 + 3(y-2)2 =0,则x-y的值为( D )
A.3
B.-3
C.1
D.-1
6.若 （a 2）2 2 a，则a的取值范围是 a 2
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26
本章知识
(二）、二次根式的性质：
1.( a)2 a (a 0)
初中数学精品课件：第一章《二次根式》复习课件共18张ppt
bb • a b a b(a 0,b 0) • a a (a 0,b 0)
bb
练习： 1.计算 （ 3）2 的结果是… … … … … …( C )
(A) -3 (B) ±9 (C) 3 (D) 9
二次根式复习课
课前2分钟朗读内容：
• 42
• 8 2 2 • 45 3 6
• 93 • 16 4 • 25 5
• 12 2 3 • 18 3 2 • 20 2 5
• 48 4 3 • 80 4 5 • 1 2
22
• 36 6 • 49 7 • 64 8 • 81 9
• 24 2 6 • 27 3 3 • 32 4 2
ABFG的面积为a,b,则它们的 G F
边长分别可用 a, b 表示.
在Rt△ACD和 Rt△CAG中, A B
C
AD2 ( a b)2 ( a )2
CG 2 ( a b)2 ( b)2 ∴AD2-CG2=a-b 由已知得 a+b=7 解得 a=5
a-b=3
b=2
∴ AC与EF的乘积=（ 5 2）•（ 5 2） 5 2 3
E
D
<分析>
本例先设两个正方形的面 G F
积为a,b,则它们的边长分别
可用 a, b 表示.
AB
C
这样利用图形的性质就得到以a,b为未知数的
简单方程,从而使问题得到解决.
16.如图,正方形ABFG与正方形BCDE的面积
和为7,AD2-CG2=3,求AC与EF的乘积.
E
D
解:设正方形BCDE和正方形
A
垂足为D.
二次根式复习专题讲义(补课用)汇总
二次根式复习专题讲义(补课用)汇总二次根式复专题讲义一、二次根式的概念：1.二次根式：形如 $\sqrt{a}$ （$a\geq 0$）的式子叫做二次根式，也称为二次根号。
①.式子中，被开方数(式)必须大于等于零。
②.$a$（$a\geq 0$）是一个非负数。
即$\sqrt{a^2}=a$（$a\geq 0$）；③。
$\sqrt{a^2}=|a|$（$a$为任意实数）2.二次根式的乘：①.一般的，有$\frac{a}{b}\cdot\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{b}$（$a\geq 0$，$b>0$）②.反过来，有$\frac{a\sqrt{b}}{b}=\sqrt{ab}$（$a\geq 0$，$b>0$）3.二次根式的除：①.一般地，对二次根式的除法规定：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\cdot\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{ab}}{b}$（$a\geq 0$，$b>0$），即 $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a\geq 0$，$b>0$）②.反过来，$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a\geq 0$，$b>0$）4.二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
典型例题分析：例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、$\frac{1}{x}$、$\sqrt{x}$（$x>0$）、$\sqrt{42}$、-2、$\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$（$x\geq 0$，$y\geq 0$）．例2.当$x$是多少时，$\frac{2x+3}{x+1}$在实数范围内有意义？frac{3x-1}{x+2}$在实数范围内有意义？变式题2：①.当$x$是多少时，$\frac{\sqrt{x-2}}{x-1}$有意义？例3.①.已知$y=\frac{2x+3}{x^2}$在实数范围内有意义，求$x$的取值范围和$y$的值．②.若$a+1+\frac{1}{b-1}=0$，求$a^{2004}+b^{2004}$的值．③.已知$\frac{x-y+1}{x-3}=0$，求$xy$的值．例4.计算：1.$\left(\frac{3}{2}\right)^2$2.$\left(\frac{3\sqrt{5}}{2}\right)^2$3.$\left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^2$4.$\left(\frac{5}{\sqrt{3}}\right)^2$5.$\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2$6.$\left(\frac{7}{\sqrt{2}}\right)^2$7.$\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2$例5.计算：1.$\frac{(x+1)^2}{x^2}$（$x\geq 0$）2.$\frac{a^2}{a^2+2a+1}$3.$\frac{a^2}{a^2-2a+1}$4.$\frac{9}{25}+\frac{4}{9}$变式题：计算1.$\left(-\frac{3}{2}\right)^2$2.$(23^2-32^2)$例6.在实数范围内分解下列因式:1）$x^2-3$（2）$x^4-4$（3）$2x^2-3$例7.化简：1）$\frac{9}{\sqrt{25}}$2）$(-4)^2$3）$\frac{a^2}{25}$（$a\neq 0$）4）$(-3)^2$例8.填空：当$a\geq 0$时，$\sqrt{a^2}=$ $a$；当$a<0$时，$\sqrt{a^2}=$ $-a$，并根据这一性质回答下列问题．1）若$a^2=a$，则$a$可以是什么数？2）若$a^2=-a$，则$a$可以是什么数？3）若$a^2>a$，则$a$可以是什么数？例9.当$x>2$，化简$(x-2)^2-(1-2x)^2$．例10．先化简再求值：当$a=9$时，求$a^2+1-2a$的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+(1-a)^2=a+1-2a+a^2=1+a-a^2乙的解答为：原式=a+(1-a)^2/(1-a)^2=a+1-a=1；a+(a-1)/(1-a)=2a-1=17．两种解答中，甲的解答是错误的，错误的原因是少写了一步展开式子的步骤．变式题1．根据题目条件，得到|1995-a|+a-2=a，即|1995-a|=a-2，因为a-200≥-199，所以当a≥197时，1995-a为正数，此时a-1995=|1995-a|=a-2-1995=-1993-a；当a<197时，1995-a为负数，此时a-1995=|1995-a|=1995-a-2=1993+a，综上所述，a-1995的值为-1993-a（a≥197）或1993+a（a<197）。
《16.1.1二次根式》章节总复习ppt
一个正数 a 的算术平方根表示为
④ 取值范围不同： 正数的平方根是一正一负，而且两数互为相反数； 正数的算术平方根一定是正数.
(2) 联系： 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的一个.
2. 立方根的性质
(1) 正数有一个立方根，是正数；
(2) 负数有一个立方根，是负数；
(C) x6 x3 (Dx)2
1
2
16
4
(x3)2 x5
21 1 2
4. 下列各式中，二次根式 a 的b有理化因式是 ( ) C
(A) a b (B)
a(C) b (D) a b
a b
5. 把下列各式分母有理化，然后总结出规律：
(1) 1 a
(2) a a
解：原式 1 a a a
a≥ 0
非负双重性
(4) 公式1： ( a )2 a
公式2： a2 a
[备注] 当 a ≥0 时，有: ( a )2 a2
3. 二次根式的乘除法
(1) 二次根式的乘法：
a b ab ( a ≥ 0, b ≥ 0 )
反之， ab a b ( a ≥ 0, b ≥ 0 )
(2) 二次根式的除法： a a ( a ≥ 0, b ＞0 ) bb
故 选择 (B)
错误原因： ab 4b 不是最简二次根式，
必须先化成最简二次根式
ab 4b 2ab b
正解：∵ ab 4b 2 ab b
a+b= 2 由题意知：
b = 3a + b
解得：
a=0 b= 2
故 选择 (A)
解：由题意知： m -2 ≥0 ∴ m≥2
即：满足条件的最小整数 m 是 2 .
第一章《二次根式》复习课件
D
B
C
例 如图，在长方形ABCD中，CE⊥BD， E为垂足，连接AE，已知AB＝8，BC＝6， 试求△CED的面积. C D E
A
B
/ 冲牙器
咯壹下/王爷那里发话别让她前去探望/但是他可没什么发话说别许去探望其它の姐妹们/考虑到那各问题の严重性/排字琦丝毫别敢怠慢/赶快让红莲传她の吩咐/去太医院将顾太医请进府来为女眷们诊治/否则真若是诸人们齐唰唰地生 咯啥啊病/或是被啥啊人暗地算计/误咯爷の子嗣/那可是天大の事情/到时候她那各嫡福晋可是难逃罪责/红莲领命下去传她の吩咐/望着红莲の背景/排字琦转念壹想/趁着请太医の功夫还是应该先去看看侍寝记忆/壹来待顾太医进府诊 治の时候也好向他陈述病情/二来她也想做到心中有底/晓得哪壹各姐妹所受のCHONG幸多壹些/陆全盛壹见福晋大驾光临/别用问也晓得/她那是要调阅侍寝记忆/对此他の心中很是诧异/别过也别敢多说啥啊/回此待排字琦吩咐之后/就 赶快进屋去取/在递交给福晋之前/他特意悄悄地拍咯拍上面の灰尘/又用袖子仔细扫咯壹遍/免得壹会儿被排字琦抓到他办差别精心の把柄/新政刚开始实施の前几各月/排字琦心中格外担忧の却是另外壹件事情/虽说狐狸精天仙妹妹别 在侍寝之列/但是另外那几各人也别全都是省油の灯/没什么实行新政の时候/就连最老实巴交の韵音都能诞育咯天申小格/现在王爷天天被诸人们包围/那些姐姐妹妹又都是三十如狼四十如虎の年纪/难道说他那些日子生病完全是因为 被诸人拖累の？第1341/章/追溯枉排字琦替王爷操碎咯心/当她在陆全盛那里看到空空如也の侍寝记忆/原本是担心他被诸人毁咯身子/结果实际情况却是大大出乎她の意料：那/那到底是怎么壹回事儿？别是说好咯雨露均沾の吗？怎 么竟然是壹各都没什么沾？既然壹各都别沾/那为啥啊要实施那各新政？越想排字琦越是觉得蹊跷/那各天仙妹妹/当初两各人打得有多火热？怎么说翻脸就翻脸咯？那壹次居然还在大庭广众之下那么让她没脸面/她别但别生气/反而还 兴高采烈/难道说？搞别明白の排字琦于是又往前翻/当翻到最后壹条侍寝记忆时/赫然呈现在她眼前の竟然是天仙妹妹/时间是康熙五十九年腊月二十八日/腊月二十八日/排字琦对于那壹天の记忆实在是太深刻咯/那壹天她正为准备新 年の大事小事忙得团团转/忽见红莲神神秘秘地进咯屋来/偷偷跟她说道：/主子/奴婢刚刚听到壹各消息/怡然居の主子被爷家法处治咯///啥啊？那是真の？为啥啊事情？那别是消停咯有壹年多咯吗？怎么又闹起来咯？/乍壹听到那各 消息排字琦惊讶无比/那天仙妹妹到底是打算干啥啊？爷将她CHONG成那样还别晓得见好就收/又闹咯那么壹出/怎么就别晓得好日子好好过呢/排字琦是越想越气/而红莲却别晓得自家主子为啥啊生气/只当是嫌年侧福晋没什么将王爷服 侍好/于是赶快补充道：/奴婢也别晓得是因为啥啊/反正月影怕人晓得/连太医都没敢去请/偷偷去府里取の药/还想掩人耳目呢///那月影连太医都别敢去请/把得那么严密の口风怎么会透露出来の？//主子/那世上可是没什么别透风の 墙/要想人别知/除非已莫为/反正年侧福晋被爷责罚の事情/千真万确//当时排字琦壹听那各消息/犹豫再三/仍是决定去书院好好规劝他壹番/虽然她对天仙妹妹将王爷惹恼の行为很是别满/但此时正是拉扰年二那奴才の关键时刻/希望 王爷别因为诸人の壹点儿小事坏咯大业/现在排字琦想来/真是觉得自己当初の想法实在是可笑至极/那年妹妹前脚才被家法处治后脚就被CHONG幸？怎么可能呢/就算是天仙妹妹转咯性子/变得逆来顺受/爷也别是那种人呢/或是先被 CHNONG幸/再受の家法处治？可是那天她从红莲那里得到消息の时候可是傍晚时分……天啊/难道说那两人是大白天地亲热？年妹妹果然就是壹各狐狸精投胎转世/气愤、妒忌、失落、酸楚/壹大堆复杂の心情充斥着排字琦の心头/于是 她又急急地往前翻/仍然是天仙妹妹の壹枝独秀/从九月到腊月/壹共十次/而她也清楚地记得/王爷是九月份回の府里/顾别得许多の排字琦急急地再往前翻/壹直翻到前壹年の十月/全是壹片空白/她清楚地记得/正是前年の十月传出来 天仙妹妹怀咯身孕の消息；而再往前翻/就是她永远难忘の那各/十七天三次//当然咯后面还有两次/然后就传来咯水清怀胎の消息/第1342章//外室面对那简单明咯の侍寝记忆/排字琦彻底地糊涂咯/爷那葫芦里卖の是啥啊药？他自己 提出来の雨露均沾/却是哪壹各姐妹也没什么沾到任何雨露/特别是年妹妹两次怀胎期间/竟然也全都是空白/爷那是要为她守身如玉吗？怎么可能/先别说对天仙妹妹施予の那各专CHONG是为咯宏图伟业/就看他们现在已经彻底决裂の情 形/爷怎么可能是为咯壹各恨得咬牙切齿の诸人守身如玉？难道说/爷在外面养咯诸人？当那各念头乍壹出现在脑海中/排字琦惊得差点儿咬咯舌头/可是从目前の情况来看/除咯他外面又养咯别の诸人以外/实在是无法解释眼前の那壹 切/那可是排字琦与王爷成婚近三十年来第壹次面临那种情况/别管那府里娶进来好些诸人/排字琦都将她们当成自己の姐姐妹妹来对待/真心实意地帮着王爷操持那各家/让他毫无后顾之忧/壹身轻松地为皇上办差/事实上也是如此/她 从来都是实大体、顾大局/贤淑、大度、忍让、宽容、无怨无悔/从来别让他因为诸人间の争风吃醋而心生烦忧/她都做到咯那种程度/他怎么那么别能理解她？既别对她交心/还将她瞒得好苦/居然偷偷摸摸地在外面养诸人/那样做の结 果别仅是他自己要偷偷摸摸/而且还要让她背负上妒妇の恶名/那又是何苦呢？既然看上咯/喜欢上咯/别管是哪各诸人/娶进府里就是/她又别是容别得人の恶妇/再说咯/偷偷摸摸也别是他の性子呀/更让排字琦摸别清头脑の就是/究竟 是哪各诸人能让王爷起咯养外室の心？他啥啊样の诸人没什么见过？假设说是逢场作戏也就罢咯/男人在外那种场合总归是避免别咯/她从来别会因为那些事情跟他过意别去/甚至非常善解人意地连问都别会问壹声/难道说他与那各诸 人假戏真做动咯真情/既碍于身份娶别进府里来/又割舍别下断别掉/才想出那么壹各权宜之计？越想越是那么回事/越想越是别能理解/越想越是委屈/排字琦竟然呆立在小陆子面前半响没什么吭声/待她回过神儿来之后才突然想起壹件 大事来/急得她赶快将侍寝记忆交还给小陆子/就匆匆忙忙地赶回咯霞光苑/她那是突然想起来/临来小陆子那里之前可是刚刚差红莲去请顾太医/看咯侍寝记忆她才晓得/根本就没什么壹各诸人侍寝/还有啥啊必要请啥啊太医啊/那要是 哪各诸人能够怀咯胎/那可真是天大の笑话/那各诸人还别如直接投井自尽算咯/省得先遭家法处治/再/暴病而亡//何苦受那份罪呢/可是排字琦在小陆子那里耽搁の时间实在是太长咯/红莲领咯排字琦の吩咐片刻没敢耽误/立即就去苏 培盛那里报请咯太医/苏培盛壹见是福晋の吩咐/自然是第壹时间打发小太监直奔太医院/而巧得别能再巧の是那顾太医现在正好没什么出院去别府应诊/又见是雍亲王府来请/自是别敢怠慢/当即就随着小太监壹并走在来王府の路上咯/ 第1343章/尽职排字琦壹听说苏培盛早已经派小太监前往太医院/当即后悔别已：自己现在办事怎么那么莽撞？怎么别先看咯侍寝记忆/再决定是否请太医の问题？正懊恼别已の时候/就听红莲来报/顾太医已经进府咯/排字琦无奈/只得 硬着头皮让大太监何全去传她の吩咐：/您壹会儿见到顾太医/就说今天请他过来也别是啥啊大事/就是想给府里の女眷们请各平安脉/壹会儿您带顾太医先去那几各院子给主子们好好看看/然后您再领顾太医去年侧福晋和烟雨园の钟主 子那里仔细诊治/那两人快生咯/又是前后脚の时间/万别可掉以轻心/到时候再出咯啥啊岔子那可就谁也别想有好日子过咯//顾太医壹听霞光苑大太监何全传福晋の吩咐只是请平安脉/当即糊涂咯/他最擅长の是妇科/谁人别知谁人别 晓？仅仅是壹各平安脉/怎么还会劳动他の大驾？当再听说要给年侧福晋和钟主子诊治之后/总算是明白咯：原来那两位才是重点/其它の女眷全是搭咯壹各顺风车而已/请平安脉の结果是女眷们の身子都非常好/没壹各人有任何病症/ 当然/那也是意料之中の结局/刚刚在小陆子那里时候排字琦壹直被那各/外室/の问题困扰/再联想到王爷那半各多月以来别是那里痛就是那里痛/原来竟是以抱病为由躲避众人/那就更加验证咯她の猜测/对此/排字琦の心中忧虑别已/ 为壹各别能娶进门来の诸人耽误咯子嗣实在是得别偿失の壹件事情/但是那种话她又别可能当着王爷の面直接规劝/毕竟在他没什么向她摊牌の情况下/贸然地谈论那各话题/会令王爷怀疑排字琦在暗地里算计他/但是排字琦是壹各性格 直爽の人/有事情闷在心里别说出来实在是憋得难受/排字琦别但是各爽利人/更是壹各责任心极强之人/既然皇上赐婚使她成为王爷の嫡福晋/她从赐婚の那壹天开始就深知自己身上の重担/她别仅仅是要为自己活着/为王爷活着/更是 为整各王府活着/那是她与生俱来の责任/现在那府里才只有三各小格/瞧瞧别の府里都是人丁兴旺、儿孙绕膝、子孙满堂/就他们那雍亲王府/冷冷清清/虽然八贝勒府还别如他们/可是人家府里才几各诸人？而自己那府里可是人家の两 倍/竟然是那般凄惨模样/那各诸人既然是外室/即使将来生下各壹男半女/在庶出の子嗣都低人壹等の情况下/更别要说没什么名分の诸人诞下の子嗣/在袭爵/子承父业等等方面更别可能有啥啊作为/子嗣可是天大の事情/王爷现在是被 那各诸人鬼迷咯心窍/壹时糊涂/冷落咯府里の诸人们/将来待他清醒过来之后/怕别是要责怪她那各嫡福晋没什么尽到责任/此外/晓得の人明白那是王爷CHONG咯外室の结果/别晓得の人还别要说是她排字琦心生妒忌、横加阻挠？壹想 到那里/排字琦の心中就是格外地懊恼/那天仙妹妹果然就是狐狸精投胎转世/以前专CHONGの时候就整天没黑天没白日地霸占着爷/现在失CHONG咯/竟然还是阴魂别散/害得爷那身子都被那小狐狸精给掏空咯/第1344章/讨方既担心将来 被王爷责怪/又因为他没什么摊牌而无法找上门去与王爷当面锣、对面鼓地说各清楚/而且就算是她鼓起勇气真の寻咯过去/也别晓得从哪里开口与他挑开窗户说亮话/从此排字琦备受难题の困扰/整天心神别宁/魂别守舍/又过咯几天/ 整日思前想后/还真就让排字琦终于想出来壹各迂回婉转の法子来/壹想到那各法子/她壹刻也等别下去/立即差人去太医院请来张太医/张太医是王府の常客/又是壹各安分守已之人/从他那里讨方子自然是稳妥保险/待排字琦拐弯抹角 地说明来意之后/张太医果然
演示文稿二次根式单元复习课件
（2）如图所示，AD⊥DC于D，BC⊥CD A
于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=____1
D
PC
第二十七页，共28页。
拓展3
已知△ABP的一边AB= 10，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D， BC⊥CD于C，
Ａ．a 0 Ｃ．a 0
Ｂ． a 0
Ｄ． a为任意数
第九页，共28页。
5．若 a2 ( a，)2则a的取值范围是（）
Ａ．a 0 Ｃ．a 0
Ｂ． a 0
Ｄ．a 为任意数
第十页，共28页。
6．计算 （１） ( 5)2 (5)2
（２） ( 10)2 (3 3)2
第十一页，共28页。
7.计算或化简：
（优选）二次根式单元复习 课件
第一页，共28页。
知识结构
最简二次根式
三个概念 同类二次根式
有理化因式 --不要求，只需了解
1、 a 2 aa 0
二
两个性质
aa 0
次
2、 a2 a aa 0
根
1、 ab a ba 0,b 0
式
两个公式
2、
a b
a b
(a 0, b0)
第二页，共28页。
1 9 3 7 12 5 48
2
12 4
1 8
3
1 4 3
0.5
3 3 2 2 33 2 2 3
4
第十四页，共28页。
a b
•
b a
1 b
10、计算：
1. 5 4 9
二次根式全章复习讲义
二次根式复习提纲知识点一：二次根式的概念【知识要点】 二次根式的定义： 形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．【典型例题】【例11xx>0）、1x y +（x ≥0，y ≥0）．其中是二次根式的是_________（填序号）．举一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） ABCD【例2有意义，则x 的取值范围是举一反三：1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ）A 、x>3B 、x ≥3C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠43、如果代数式mn m 1+-有意义，那么，mn 的取值范围【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=解题思路：式子a ≥0），50,50x x -≥⎧⎨-≥⎩ 5x =，y=2009，则x+y=2014举一反三：1、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值2、当a 1取值最小，并求出这个最小值。
知识点二：二次根式的性质【知识要点】1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2.()()a a a 20=≥． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥()()23.a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．4. 公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a a a 20=≥的区别与联系（1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数． （2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数． （3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的．【典型例题】【例4】若()2240a c --=，则=+-c b a ．举一反三：1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 。
二次根式及其运算知识讲义(解析版)
专题01 二次根式及其运算知识讲义【相关概念】二次根式：a≥0）的式子叫做二次根式.a为被开方数，a可以是数字或代数式.代数式：含有字母的数学表达式称为代数式.整式、分式均为代数式.最简二次根式：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.【二次根式运算】乘法=a≥0，b≥0）除法=（a≥0，b ＞0）加（减）法先把各根式化成最简根式，再合并同类根式分母有理化====【二次根式性质】，a≥0非负数：|a|，a 2n()()00a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩2a =【二次根式应用】因式的内移和外移：（1）负号不能移到根号下；（2）根号下的负号不能移到根号外.【题型一】二次根式有意义条件例1. （2020·m 能取的最小整数值是（）A ．m = 0B ．m = 1C ．m = 2D ．m = 3【答案】B.3m －1≥0，解得：m≥13， 所以，m 能取的最小整数值是1．故答案为：B ．例2. （2020·=-，那么x 的取值范围是_______． 【答案】－3≤x≤0.【解析】解：∵233x x +-∴x≤0，且x+3≥0，解得：－3≤x≤0，故答案为：－3≤x≤0.例3．（2019·=x 的取值范围是______. 【答案】x≥2.=∴x≥0，x−2≥0，∴x≥2.故答案为：x≥2.【题型二】同类二次根式例4. （2020·是同类二次根式，那么满足条件的m 中最小正整数是________．【答案】4.【解析】解：当5m+8=7时，m=-15，不合题意，，即5m+8=28时，m=4，是同类二次根式，那么m 的最小正整数是4，故答案为：4．例5. mn =_________．【答案】10.∴n=2，2m-5=5，∴m=5，n=2∴mn=10故答案为：10．例6. mn＝________．【答案】21.∴1221343nm m-=⎧⎨-=-⎩，解得，73mn=⎧⎨=⎩，∴mn=21故答案为：21.【题型三】变式考查例7. （2020·浙江宁波市期中）我们把形如b（a，b为最简二次根式）32是（）A型无理数B C型无理数D型无理数【答案】B.【解析】解：2故答案为：B．例8. （1n所有可能的值；（2是整数，求正整数n的最小值．【答案】（1）自然数n 的值为2、9、14、17、18；（2）正整数n 的最小值为6．【解析】解：（1是整数，∴18-n=0或1或4或9或16，解得：n=18或17或14或9或2，则自然数n 的值为2，9，14，17，18；（2=是整数，n 为正整数，∴正整数n 的最小值为6．例9．（2020·21x =-，则x=__________． 【答案】12或1.21x =-，∴2x-1=0或2x-1=1，解得：x=12或x=1． 故答案为12或1． 【题型四】二次根式运算例10．（2020·周长为( )A ．B ．C ．D ．无法确定【答案】A.若，，则周长为若，∴，此三角形不存在，∴个三角形的周长为故答案为：A ．例11)2211-．)2211--1313=--+-=例12．（2020·福建省泉州月考）已知1x =，x 的整数部分为a ，小数部分为b ，求a b的值．.【解析】解：∵3，∴+1<4，故a=3，－2，∴)3232274a b ====-. 例13．（2020·广东佛山市月考）先阅读，再解答:由222=-= 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：==，请完成下列问题：1的有理化因式是；(2)= ．（直接写结果）>或<）(4)利用你发现的规律计算下列式子的值：)1+【答案】（1+1；（2）；（3）<；（4）2017.【解析】解：（1+1；（2333==+；（3=>（4）原式=)120181+=)11=2018-1=2017．例14. 若a，b都是正整数，且a＜b是可以合并的二次根式，是否存在a，b，＝a，b的值；若不存在，请说明理由．【答案】当a＝3，b＝48；当a＝12，b＝27.，m、n为正整数，m＜n，∴m=1，n=4或m=2，n=3故a=3，b=48或a=12，b=27．例15．（2019·辽宁大连市期中）[观察]请你观察下列式子的特点，并直接写出结果：11112=+-=；11123=+-=；11134=+-=；……[发现]根据你的阅读回答下列问题：（1）请根据上面式子的规律填空：=（n为正整数）；（2）请证明(1) 中你所发现的规律．[应用]请直接写出下面式子的结果：11n++=．【答案】[观察]32，76，1312；[发现]（1）1111n n+-+或221n nn n+++；（2）证明见解析；[应用]221n nn++．【解析】[观察]32，76，1312，[发现]（1）1111n n+-+或221n nn n+++（2）左边=====∵n 为正整数，∴()11111011n n n n +-=+>++ ∴左边=右边[应用11n +++111111111111223341n n =+-++-++-+++-+…… 1111n n =⨯+-+ 1n n n =++ 22=1n n n ++. 【题型五】化简求值例16. （2021·江苏南通市期末）化简2+的结果是（ ） A ．152x -B ．1-C ．27x -D ．1 【答案】A.【解析】解：∵二次根式被开方数为非负数，∴7-x≥0，则x≤7∴x-8＜0，原式=7-x+8-x=15-2x故答案为：A ．例17．（2020·浙江杭州期中）实数a ，b 在数轴上的位置如图，||a b -的结果为（ ）A ．2aB ．2a -C ．2bD ．2b -【答案】B.【解析】解：由题意得：a ＞b ，|a |＜|b |，a ＞0，b ＜0，∴a -b ＞0，a +b ＜0，∴原式＝-a -b -a +b ＝-2a ，故答案为：B ．例18．若数轴上表示数x 的点在原点的左边，则化简3x + ） A ．4x - B ．4x C ．2x - D ．2x【答案】C.【解析】解：∵数x 的点在原点的左边，∴x ＜0，∴原式＝|3x +|x ||＝|3x -x |＝|2x |＝-2x ．故答案为：C ．例19．（2020·温州月考）下列四个式子中，与(a -的值相等的是（） AB ．CD ．【答案】D.【解析】解：由题意得：2021-a>0，得：a<2021，∴a-2021<0，∴原式=(2021a --== 故答案为：D ． 例20．下列给出的四个命题：①若a b = ，则a a b b =；②若a 2﹣5a+5=01a =- ；③(1a -=其中是真命题是【答案】②.【解析】解：①当a=-1，b=1时，命题不成立，是假命题，②a 2=5a-5，∴5a-5≥0，即a≥1，，是真命题；③(a -==，是假命题， 故答案为：②．【题型六】阅读材料例21．（2021·北京延庆区期末）我们规定用（a ，b ）表示一对数对．给出如下定义：记m=，n = a ＞ 0，b ＞ 0），将（m ，n ）与（n ，m ）称为数对（a ，b ）的一对“对称数对”．例如：（4，1）的一对“对称数对”为（12，1）和（1，12）； （1）数对（9，3）的一对“对称数对”是 ；（2）若数对（3，y ）的一对“对称数对”相同，则y 的值为 ；（3）若数对（x ，2）的一个“对称数对”，1），则x 的值为 ；（4）若数对（a ，b ）的一个“对称数对”，，求ab 的值．【答案】（1）1(3与1)3， ；（2）13；（3）1 ；（4）16或6.【解析】解：（1）由题意得13=，∴数对(9，3)的一对“对称数对”是1(3与1)3，；（2）由题意得，∴数对(3，y ）的一对“对称数对”为⎝与⎭， ∵数对(3，y ）的一对“对称数对”相同，= ∴y=13；（3）∵数对(x ，2)的一对“对称数对”是与而数对(x ，2)的一个“对称数对”，1）， 1=， ∴x=1；（4）∵数对(a ，b)的一对“对称数对”是与，而数对(a ，b)的一个“对称数对”是，==1,183a b == ∴11863ab =⨯=；==1,318a b ==， ∴113186ab =⨯=，综上所述，16ab =或6ab =． 例22. 阅读理解：二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．．11==． 类比应用：（1= ； （29++=+ ． 拓展延伸：的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD 的宽AB =1． （1）黄金矩形ABCD 的长BC = ；（2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB 为边的正方形ABEF ，得到新的矩形DCEF ，猜想矩形DCEF 是否为黄金矩形，并证明你的结论；（3）在图②中，连结AE ，则点D 到线段AE 的距离为 ．【答案】类比应用：（1）；（2）2；拓展延伸：（1）12；（2）矩形DCEF为黄金矩形，理由见解析；（3【解析】解：类比应用：（1）根据题意可得：== （2）根据题意可得：9++(9+++19-+-1=2；拓展延伸：（1的矩形叫黄金矩形， 若黄金矩形ABCD 的宽AB =1，则黄金矩形ABCD 的长BC； （2）矩形DCEF 为黄金矩形，理由是：由裁剪可知：AB=AF=BE=EF=CD=1，根据黄金矩形的性质可得：AD=BC=1=∴FD=EC=AD-AF=112-=12，∴DF EF =11122÷=，故矩形DCEF 为黄金矩形；（3）连接AE ，DE ，过D 作DG ⊥AE 于点G ，∵AB=EF=1，，∴=在△AED 中，S △AED =1122AD EF AE DG ⨯⨯=⨯⨯，即AD EF AE DG ⨯=⨯1DG =，解得∴点D 到线段AE 的距离为4+. 例23. （2019·四川月考）阅读下列材料，然后回答问题．一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：====1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 a +b =2，ab = -3 ，求 a 2 + b 2 ．我们可以把a +b 和ab 看成是一个整体，令 x =a +b ， y = ab ，则 a 2 + b 2 = (a + b)2 - 2ab = x 2- 2y = 4+ 6=10．这样，我们不用求出a ，b ，就可以得到最后的结果．（1...+（2）已知 m 是正整数， ab且 2a 2+ 1823ab + 2b 2 = 2019 ．求 m ． （31=【答案】（1）12；（2）2；（3）9. 【解析】解：（1）原式12019+2222=+++2019++== （2）∵ab∴=2（2m+1），=1∵2a 2+ 1823ab + 2b 2 = 2019∴2（a 2+b 2）+1823=2019∴a 2+b 2=98∴4（2m+1）2=100∴m=2或m=-3∵m是正整数∴m=2．（31=，得：21=20=2281=-+=0≥≥．例24.（2020·湖南怀化市期末）同学们，我们以前学过完全平方公式222)2(a ab b a b ±+=±，你一定熟练掌握了吧！现在，我们又学习了二次根式，那么所有的非负数（以及0）都可以看作是一个数的平方，如23=，25=，下面我们观察：)2221211213=-⨯=-=-23211)-=-=，∴231)-=1= 求：（1；（2（3=，则m 、n 与a 、b 的关系是什么？并说明理由．【答案】（11；（21；（3）m+n=a ，mn=b ，理由见解析.【解析】解：（11；（21==；（3）m+n ＝a ，mn ＝b.=∴2a =+，∴，∴m+n ＝a ，mn ＝b.例25．（2020·安徽安庆市）阅读理解题，下面我们观察：2221)211213=-⨯=-=-反之23211)-=-=，所以231)-=1= 完成下列各题：（1）在实数范围内因式分解：（2（3．【答案】（1）2(1+；（21；（3【解析】解：（1）22231(1+=+=+（21==（3==。
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教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]
任教学科：_____________
任教年级：_____________
任教老师：_____________
xx市实验学校
二次根式章节复习讲义
二次根式的概念：（a ≥0）的式子叫做二次根式
例1．下列式子，哪些是二次根式，1
x
x>0）、
、1
x y
+x ≥0，y•≥0）
例2．当x 在实数范围内有意义？
a ≥0）是一个非负数； 2=a （a ≥0）； （a ≥0）
．
例1 计算 1．2 2．（2 3．2 4．）2
例2
； =_______； ； =________
例3计算1．2（x ≥0） 2．2 3．2
二次根式的乘法: 0,0)a b =≥≥0,0)a b =≥≥
例1．计算
（1 （2 （3 （4
例2 化简
（1 （2 （3 （4 （5
二次根式的除法:
0,0)a b =≥≥.0,0)a b =≥≥;
例1．计算：（1
（2 （3 （4
例2．化简：
（1 （2 （3 （4
例3．计算（1
（2， （3
最简二次根式具备两个特点:
①被开方数不含有分母 ②被开方数中不含能开方开得尽的因数或者因式.
例1． 下列根式中,不是最简二次根式的是：
(A) (B) (C)
4 (D)
二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进
行合并． 例1．计算
（1（2）（3））+）
例2．计算:
（1）（2）（
例3．计算
（1））（ （2）））
单元测试：
一、选择题(每题3分，共15分)
1.下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
（A （B （C ）
（D
2.a 的取值范围是（ ） （A ）0a ≥ （B ）0a ≤ （C ）3a
≥ （D ）3a ≤
3.被开方数相同的是（ ）
（A ） （B
（C （D
4.已知1a >a 的结果正确的是（ ） （ A ）12a - （B ）21a - （C ）1- （D ）1
5.下列计算正确的是（ ）
（A 4+== （B 11
2
==
（C ）
5+
= （D =
二、填空题：（每题4分，共20分） 1、当 时，
x
x
－11-在实数范围内有意义。
2、在
a ，2a ，
4，2+x ，12-x 中，是二次根式的
有： 。
3、请列举三个与20是同类二次根式的式子： 。
4、比较大小：)"","",""--=f p 填。
5、若024=-++b a ，则=ab 。
三、计算题：（每题5分，共25分） 1、x x x 26416++ 2、521312311⨯÷ 3、)278
1(2112---
4、)63)(23()132(2
+-+- 5、12＋
3
21-－（2＋3）0
四、计算与化简：（每题10分，共20分）
1
、若最简二次根式
a 、
b 的值
2
、已知1,1a b =
=-，求22a ab b -+的值
五、解答题：（10分）已知等边ABC ∆的边长为a 2，求ABC ∆的周长。
思考：（10分）观察下列各式：第一式
：
1= ；第二式
：
1=
1++= ；第
四式
：
1+= ……根据此规律可知道
：
...+++=
.。