概率论-第七讲 谓词演算的推理规则

(4) ∀ xP( x, D) (5) ∃ y∀ xP( x, y ) T ,3, UG T ,4, EG
此处D为自由出现，故 (4)不可用UG
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二、谓词演算中的推理规则
5.推理举例 例1： ∀x ( H ( x ) → M ( x )), ∃xH ( x ) ⇒ ∃xM ( x ) 证一：1) ∃ xH ( x ) ( ( 2) H (c)
考察以下谓词公式: ∀ yP( y ) ∨ Q ( x) ∨ R ( z ) ∃ yP( x, y ) ∨ Q( x, y ) ∀ yP( y ) ∧ Q( x, y ) 为了强调这些谓词公式对自由变元x的依赖关系, 可以分别记为B(x) , C(x) , D(x)。 记法中省略了 其它自由变元。
定义：如果公式 A ( x )中， x 不出现在量词 ∀ y 或 ∃ y 的辖域之内，则称 A ( x ) 对 y 是自由的。
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二、谓词演算中的推理规则
例2： ∀x ( P ( x ) ∨ Q( x )) ⇒ ∀xP ( x ) ∨ ∃xQ ( x ) 证： 用 CP 规以则证明，原题等价 于
(1) ¬∀xP( x ) P,附加前提
∀ x ( P ( x ) ∨ Q ( x )) ⇒ ¬∀ xP ( x ) → ∃ xQ ( x )
(9) ∃x(F(x) ∧ G(x) ∧ H(x)) T, (8), EG
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作业：P51 3.(a)(e)
4.
9.(b)
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(2) ∃x¬P( x )
T，), Q 4 (1
(3) ¬P(a ) T, (2), ES (4) ∀x(P(x) ∨ Q(x)) P
(5) P ( a ) ∨ Q ( a ) T , ( 4 ), US (6) Q(a ) T, (3), (5), I5
(7) ∃xQ( x ) T, (6), EG
例如在(2)式中, C(x)对y是不自由的, 在(1)、 (3)式中, B(x)和D(x)对y是自由的。
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一、术语“A(x)对y是自由的”的意义
如果需要将A(x)中的x代以y, 则代入后所得的式子记 以A(y), 但代入之前须观察A(x)对y是否自由, 如果不自由, 不能代入。 例如, 将x代以y。 (1)∀ yP( y ) ∨ Q( x) ∨ R( z )可代入，得B( y) : ∀ yP( y ) ∨ Q( y) ∨ R( z ) (3)∀ yP( y ) ∧ Q( x, y )可代入，得D( y) : ∀ yP( y ) ∧ Q( y, y ) (2)∃ yP ( x, y ) ∨ Q ( x, y ) 不可以，代入后得C(y): ∃ yP ( y, y ) ∨ Q ( y, y ) ,P(x,y)中的x原来是自由的, 现在 成了约束的, 所以不能代入。 如要代入y, 则先将约束变元y改名, 例如, 把(2) 式改名为:∃ zP( x , z) ∨ Q( x , y ) 然后代入得 ∃ zP ( y, z) ∨ Q ( y, y )
∃yB( z, y)
√
∀x∃yB( x , y)为真，而 ∃yB( y, y)为假
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二、谓词演算中的推理规则
2.存在指定规则(Existential Specification)简记为ES。 ∃ xA( x) 条件是: ① y不是任何给定的前提和居 ∴ A( y ) 先的推导步骤中的自由变元, 也不是居先的推导步骤中由 表面自由变元，实指 某个使A(y)为真的个体 于使用本规则而引入的表面 自由变元。（为满足这一条 件,通常使用规则ES时, 就 选用前边未曾用过的字母作 为公式中的y。） ② A(x)对于y必须是自由的。 ∃ x∃yP( x , y) 写成 ∃yP( y, y) × 如P(x,y)：x≠y; x∈R; y∈R则
(2) F(c) ∧ H(c) T，), ES (1
(8) F(c) ∧ G(c) ∧ H(c) T, (3), (6), (7), 合取式
(3) F(c) T, (2), I 2 (4) ∀x (F( x ) → G ( x )) P
(5) F(c) → G (c) T, (4), US (6) G (c) T, (3), (5), I3
(8) ¬∀xP( x ) → ∃xQ( x )
CP规则
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二、谓词演算中的推理规则
例3：推理“每个学术会的成员都是专家。有些成员是青年 人，所以有的成员是青年专家。” 证： 设 F(x)：x是学术会成员； G(x)：x是专家； H(x)：x是青年。 前提：∀x(F( x ) → G ( x ))，∃x ( F( x ) ∧ H ( x )) 结论：∃x ( F( x ) ∧ G ( x ) ∧ H ( x )) (1) ∃x(F(x) ∧ H( x ) ) P ( 7 ) H ( c) T, (2), I 2
P T , (1), ES (3) ∀x (H( x ) → M( x ))
(5) M(c) T, (2), (4), I3
P
(4) H(c) → M(c)
T, (3), US
(6) ∃xM( x )
T, (5), EG
注意：不能将(1)(2)放在(3)(4)后，因为若先用US得到 H(c)→M(c),则再用ES时，不一定得到H(c),一般 应为H(b),则无法推证下去。
∃x∃yP( x, y)为真，而∃yP( y, y)为假
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二、谓词演算中的推理规则
3.存在推广规则(Existential Generalization)简记为EG。
A( y ) ∴ ∃ xA( x)
例
条件: A(y)对x是自由的。
写成 ∃xP ( y, x ) ∃x∃xP ( x , x ) × 如 P(y,x)：y>x且y=2; x∈R; y∈R
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∀x ( H ( x ) → M ( x )), ∃xH ( x ) ⇒ ∃xM ( x )
证二：（反证法）
(1) ¬∃xM( x )
(2) ∃xH( x ) (3) H(c)
P, 假设前提
P T, (2), ES
(4) (5) (6) (7 ) (8) (9)
∀x (H( x ) → M( x )) P H ( c) → M ( c) T, (4), US M ( c) T, (3), (5), I3 ∀x¬M( x ) T, (1), Q3 ¬M(c) T, (7), US M(c) ∧ ¬M(c) T, (6), (8), 合取式
∃xP( y, x )为真，而∃x∃xP( x, x )为假
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二、谓词演算中的推理规则
4.全称推广规则(Universal Generalization)简记为UG。 Γ ⇒ A( x ) 条件是: ① 在推出A(x)的前提中, x都 必须不是自由的; 且A(x)中 ∴ Γ ⇒ ∀xA( x ) 的x不是由使用ES而引入的。 ② 在居先的步骤中, 如果使用 这里Γ是公理和前提的合取, Γ中没有x的自由出现。 US而求得之x是自由的, 那 P, 前提 (1) ∀ x∃ yP( x, y ) 么在后继步骤中, 使用ES而 引入的任何新变元都没有在 T ,1, US (2) ∃ yP(c, y ) A(x)中自由出现。 T ,2, ES (3) P(c, D)
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二、谓词演算中的推理规则
推理规则：E1~E24恒等式、I1~I9永真蕴含式、Q1~Q19谓词永 真式、P规则、T规则、CP规则及下面四个规则： US,UG,ES,EG。 1.全称指定规则 (Universal Specification)简记为US ∀ xA( x ) 条件：A(x)对于y必须是自由的。 ∴ A( y ) 意义：全称量词可以删除。 例： ∀x∃yB( x , y) 写成 ∃yB( y, y) × 如 B(x,y)：x<y ; x∈R; y∈R
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谓词演算的永真公式
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讲授内容：
谓词演算的推理规则
1.术语“A(x)对y是自由的”的意义 2.谓词演算推理规则: 24恒等式E1-E24 9个永真蕴含式I1-I9 19个谓词演算的永真公式Q1-Q19 P,T规则，替换规则，CP规则 量词的引入与消去(ES,US,EG,UG)
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一、术语“A(x)对y是自由的”的意义