初一数学竞赛讲座

初一数学竞赛讲座（1）

自然数的有关性质

一、一、知识要点

1、最大公约数

定义1 如果a1,a2,…,a n和d都是正整数，且d∣a1,d∣a2,…, d∣a n，那么d叫做a1,a2,…,a n的公约数。公约数中最大的叫做a1,a2,…,a n 的最大公约数，记作(a1,a2,…,a n).

如对于4、8、12这一组数，显然1、2、4都是它们的公约数，但4是这些公约数中最大的，所以4是它们的最大公约数，记作(4,8,12)=4.

2、最小公倍数

定义2 如果a1,a2,…,a n和m都是正整数，且a1∣m, a2∣m,…, a n∣m，那么m叫做a1,a2,…,a n的公倍数。公倍数中最小的数叫做a1,a2,…,a n的最小公倍数，记作[a1,a2,…,a n].

如对于4、8、12这一组数，显然24、48、96都是它们的公倍数，但24是这些公倍数中最小的，所以24是它们的最小公倍数，记作[4,8,12]=24.

3、最大公约数和最小公倍数的性质

性质1 若a∣b,则(a,b)=a.

性质2 若(a,b)=d,且n为正整数，则(na,nb)=nd.

性质3 若n∣a, n∣b,则

()

n

b

a

n

b

n

a,

,=

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

.

性质4 若a=bq+r (0≤r

性质4 实质上是求最大公约数的一种方法，这种方法叫做辗转相除法。

性质5若b∣a,则[a,b]=a.

性质6若[a,b]=m,且n为正整数，则[na,nb]=nm.

性质7若n∣a, n∣b,则

[]

n

b

a

n

b

n

a,

,=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

.

4、数的整除性

定义3 对于整数a和不为零的整数b，如果存在整数q，使得a=bq 成立，则就称b整除a或a被b整除，记作b∣a，若b∣a，我们也称a是b倍数；若b不能整除a，记作ba

5、数的整除性的性质

性质1 若a∣b，b∣c，则a∣c

性质2 若c∣a，c∣b，则c∣(a±b)

性质3 若b∣a, n为整数，则b∣na

6、同余

定义4 设m是大于1的整数，如果整数a，b的差被m整除，我们就说a，b关于模m同余，记作a≡b(mod m)

7、同余的性质

性质1 如果a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么a±c≡b±d(mod m)，ac≡bd(mod m)

性质2 如果a ≡b(mod m)，那么对任意整数k 有ka ≡kb(mod m) 性质3 如果a ≡b(mod m)，那么对任意正整数k 有a k ≡b k (mod m)

性质4如果a ≡b(mod m)，d 是a ，b 的公约数，那么()⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛≡d m,m mod d b d a 二、 二、例题精讲

例1 设m 和n 为大于0的整数，且3m+2n=225.

如果m 和n 的最大公约数为15，求m+n 的值

(第11届“希望杯”初一试题)

解：(1) 因为 (m,n)=15,故可设m=15a ，n=15b ，且(a,b)=1 因为 3m+2n=225，所以3a+2b=15

因为 a,b 是正整数，所以可得a=1,b=6或a=b=3，但(a,b)=1，所以a=1,b=6

从而m+n=15(a+b)=15⨯7=105

评注：1、遇到这类问题常设m=15a ，n=15b ，且(a,b)=1，这样可把问题转化为两个互质数的求值问题。这是一种常用方法。

2、思考一下，如果将m 和n 的最大公约数为15，改成m 和n 的最小公倍数为45，问题如何解决？

例2 有若干苹果，两个一堆多一个，3个一堆多一个，4个一堆多一个，5个一堆多一个，6个一堆多一个，问这堆苹果最少有多少个？ 分析：将问题转化为最小公倍数来解决。

解 设这堆苹果最少有x 个，依题意得

⎪

⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-=-=-+=+=+=+=+=543215432161514131211615141312q x q x q x q x q x q x q x q x q x q x 即 由此可见，x-1是2，3，4，5，6的最小公倍数

因为 [2,3,4,5,6]=60，所以x-1=60，即x=61

答：这堆苹果最少有61个。

例3 自然数a 1，a 2，a 3，…，a 9，a 10的和1001等于，设d 为a 1，a 2，a 3，…，a 9，a 10的最大公约数，试求d 的最大值。

解 由于d 为a 1，a 2，a 3，…，a 9，a 10的最大公约数，所以和a 1+a 2+a 3+…+a 9+a 10＝1001能被d 整除，即d 是1001＝7⨯11⨯13的约数。

因为d ∣a k ，所以a k ≥d ，k ＝1，2，3，…，10 从而1001＝a 1+a 2+a 3+…+a 9+a 10≥10d

所以 101101001<≤d 由d 能整除1001得，d 仅可能取值1，7，11，13，77，91。

因为1001能写成10个数的和：91+91+91+91+91+91+91+91+91+182

其中每一个数都能被91整除，所以d 能达到最大值91

例4 某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有四位数