均值不等式知识点讲解及模拟题

第三节：基本不等式

1、 基本不等式：

（1）如果a 、b 是正数，那么

（当且仅当a=b 时取“=”）

（2）对基本不等式的理解：a ＞0，b ＞0，a,b 的算术平均数是a+b/2，

几何平均数是_________.

叙述为：两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数 2、 基本不等式的推广：

注意：用基本不等式求最值的要点是：一正 、二定 、三相等 三个正数的均值不等式： n 个正数的均值不等式： 3、四种均值的关系

两个正数a 、b 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是： 4. 最值定理 设x ＞0,y ＞0,由x+y ≥ （1）若积xy=P(定值），则和x+y 有最小值 ；

（2）若和x+y=S(定值），则积xy 有最大值 即:积定和最小，和定积最大. （不等式的证明）

例1、证明基本不等式

（跟踪训练） 2

a b

+≥ab

).(22,R ,)4().(2,R ,)3().(2R,,)2()

"",00(,0R,)1(2

2

22

2

2等号时取

当且仅当则若时取等号当且仅当则若时取等号当且仅当则若取时当且仅当则若b a b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a b a a a a a =⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+∈=≥+∈=≥+∈==≥≥∈++.2

21122

2b a b a ab b

a +≤

+≤≤+

xy

2P 22

2⎪

⎭

⎫ ⎝⎛S .3

3

abc c b a ≥++.

....n

....2121n n n a a a a a a ≥+++2

a b +≥,,: 2.

b

a a

b a

b

+≥已知都是正数求证

例2、

（跟踪训练）

例3、若x ＞0,y ＞0,x+y=1. 求证:

（跟踪训练）若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证： （利用基本不等式求最值） 例3、

（跟踪训练1）

（跟踪训练2）若x 、y ∈,则x+4y=1,求x .y 的最大值 例4、若正数a,b 满足求a+b 的最小值

（跟踪训练1）若正实数x,y 满足xy=2x+y+6,求xy 的最小值。 （跟踪训练2）设x 、y 均为正数，且

求xy 的最小值。

例5、若x,y,z ∈ ，

x －2y+3z=0, 则的最小值为_________. （跟踪训练）若直线2ax －by+2=0(a ＞b ＞0）始终平分圆

的周长，则的最小值为_________.

例6、已知a 、b 都是正实数，且满足 求

4a+b 的最小值

+

R

+R xz

y 2

b

a

11+9)11)(1

1(≥++y

x

.

lg lg lg 2

lg 2

lg 2

lg c b a c a b c b a ++>+++++

（跟踪训练）设x,y 满足约束条件若目标函数z=ax+by

（a>0,b>0）的最大值为12，求

的最小值

（利用均值不等式判断不等式的成立）

例7、设a ＞0，b ＞0，则下列不等式中不成立的是 （ ）

A. B.

C.

D. （跟踪训练）下列不等式不一定成立的是 ( )

221

≥++ab b a 4

)1

1)((≥++b a b a b

a ab

b a +≥+2

2ab b

a ab

≥+2