高二数学期末复习专题---应用题 答案

高二数学期末复习专题---应用题答案

1．（2017•湘西州模拟）如图，经过村庄A有两条夹角60°为的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄A），要求PM=PN=MN=2（单位：千米）．记∠AMN=θ．

（1）将AN，AM用含θ的关系式表示出来；

（2）如何设计（即AN，AM为多长时），使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离AP最大）？

【分析】（1）根据正弦定理，即可θ表示出AN，AM；

（2）设AP2=f（θ），根据三角函数的公式，以及辅助角公式即可化简f（θ）；根据三角函数的图象和性质，即可求出函数的最值．

【解答】解：：（1）∠AMN=θ，在△AMN中，由正弦定理得：==

所以AN=，AM=

（2）AP2=AM2+MP2﹣2AM•MP•cos∠AMP

=sin2（θ+60°）+4﹣sin（θ+60°）cos（θ+60°）

=[1﹣cos（2θ+120°）]﹣sin（2θ+120°）+4

=[sin（2θ+120°）+cos（2θ+120°）]+

=﹣sin（2θ+150°），θ∈（0°，120°）（其中利用诱导公式可知sin（120°﹣θ）=sin（θ+60°））

当且仅当2θ+150°=270°，即θ=60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小，此时AN=AM=2．

故答案为：（1）AN=，AM=

（2）AN=AM=2时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．

【点评】本题主要考查与三角函数有关的应用问题，利用正弦定理以及三角函数的三角公式是解决本题的关键．

2．（2017•江苏模拟）如图，直线l是湖岸线，O是l上一点，弧是以O为圆心的半圆形栈桥，C为湖岸线l上一观景亭，现规划在湖中建一小岛D，同时沿线段CD和DP（点P在半圆形栈桥上且不与点A，B重合）建栈桥，考虑到美观需要，设计方案为DP=DC，∠CDP=60°且圆弧栈桥BP在∠CDP的内部，已知BC=2OB=2（km），设湖岸BC与直线栈桥CD，DP是圆弧栈桥BP围成的区域（图中阴影部分）的面积为S（km2），∠BOP=θ

（1）求S关于θ的函数关系式；

（2）试判断S是否存在最大值，若存在，求出对应的cosθ的值，若不存在，说明理由．

【分析】（1）根据余弦定理和和三角形的面积公式，即可表示函数关系式，（2）存在，存在，S′=（3cosθ+3sinθ﹣1），根据两角和差的余弦公式即可求出．

【解答】解：（1）在△COP中，

CP2=CO2+OP2﹣2OC•OPcosθ=10﹣6cosθ，

从而△CDP得面积S

△CDP

=CP2=（5﹣3cosθ），

又因为△COP得面积S

△COP

=OC•OP=sinθ，

所以S=S

△CDP +S

△COP

﹣S

扇形OBP

=（3sinθ﹣3cosθ﹣θ）+，0＜θ＜θ0＜π，

cosθ0=，

当DP所在的直线与半圆相切时，设θ取的最大值为θ0，此时在△COP中，OP=1，

OC=3，∠CPO=30°，CP==6sinθ0，cosθ0=，

（2）存在，S′=（3cosθ+3sinθ﹣1），

令S′=0，得sin（θ+）=，

当0＜θ＜θ0＜π，S′＞0，所以当θ=θ0时，S取得最大值，

此时cos（θ0+）=﹣，

∴cosθ0=cos[（θ0+）﹣]=cos（θ0+）cos+sin（θ0+）sin=

【点评】本题考查了利用三角形有关知识解决实际问题，考查了转化思想，解决问题的能力，属于中档题．

3．（2017•滨海县校级二模）设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．已知C=，acosA=bcosB．

（1）求角A的大小；

（2）如图，在△ABC的外角∠ACD内取一点P，使得PC=2．过点P分别作直线CA、CD的垂线PM、PN，垂足分别是M、N．设∠PCA=α，求PM+PN的最大值及此时α的取值．

【分析】（1）由acosA=bcosB及正弦定理可得sin2A=sin2B，即A=B或A+B=，结合C=，可求角A的大小；

（2）求出PM，PN．可得PM+PN=2sinα+2sin （α+）=3sinα+cosα=2sin （α+），即可求PM+PN的最大值及此时α的取值．

【解答】解：（1）由acosA=bcosB及正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB，

即sin2A=sin2B，又A∈（0，π），B∈（0，π），

所以有A=B或A+B=．…3分

又因为C=，得A+B=，与A+B=矛盾，

所以A=B，因此A=．…6分

（2）由题设，得

在Rt△PMC中，PM=PC•sin∠PCM=2sinα；

在Rt△PNC中，PN=PC•sin∠PCN=PC•sin（π﹣∠PCB）

=2sin[π﹣（α+）]=2sin （α+），α∈（0，）．…8分

所以，PM+PN=2sinα+2sin （α+）=3sinα+cosα=2sin（α+）．…12分

因为α∈（0，），所以α+∈（，），从而有sin（α+）∈（，1]，

即2sin（α+）∈（，2]．

于是，当α+=，即α=时，PM+PN取得最大值2．…16分．

【点评】本题考查三角形中的几何计算，考查正弦定理，考查三角函数知识的运用，确定PM+PN是关键．

4．（2016•南通模拟）如图，我市市区有过市中心O南北走向的解放路，为了解决南徐新城的交通问题，市政府决定修建两条公路，延伸从市中心O出发北偏西60°方向的健康路至B点；在市中心正南方解放路上选取A点，在A、B间修建徐新路．

（1）如果在A点看市中心O和点B视角的正弦值为，求在点B处看市中心O 和点A视角的余弦值；

（2）如果△AOB区域作为保护区，已知保护区的面积为，A点距市中