概率论与数理统计：大数定理

因而
P( X
k)
1 6
,
k
1,
2,
,6 .
E(X
)
7 2
,
D( X
)
35 12
,
则
P{|
X
E(X ) |
2}
P{X
1} P{X
6}
1 3
D(X )
2
35 48
.
从而切比雪夫不等式成立.
大数定理
定义 5.1 设 X1, X2, , Xn , 为随机变量序
列, a 是一常数,对于任意 0,有
lim
n
P{
X
n
a
}
0
或
lim
n
P{
X
n
a
} 1,
则称随机变量序列{ X n }依概率收敛于 a ,记为
Xn Pa (n ).
定 理 5.2 （ 切 比 雪 夫 大 数 定 律 ） 设 随 机 变 量
X1, X2, , Xn, 相互独立,且具有相同的数学期望和方差
E(Xi ) , D(Xi ) 2 , i 1, 2,
由定理 5.2 即得
1
n
n i 1
Xi
nA n
,
lim P n
nA n
p
1
.
定理 5.4（辛钦大数定律）设 X1, X2, , Xn , 是独
立同分布的随机变量序列，且 E(Xi ) , i 1, 2, ,令
Xn
1 n
n i 1
Xi
,则随机变量序列
Xn
依概率收敛于 ,即
对于任意正数 ,有
x 2
P{ X } x f (x)dx x 2 f (x)dx
1
2
(x
)2
f
(x)dx
2 2
.
f (x)
o
x
例 4.24 设随机变量 X 是掷一颗均匀骰子所出现 的点数,若给定 2 ,试计算 P{| X E(X ) | } ,并验证切 比雪夫不等式成立.
解 由题意知,随机变量 X 的分布律为
i 1
1 n2
n 2
2
, n
代入切比雪夫不等式即得
P
Xn
1 2 , n 2
令 n ,并注意到概率不能大于 1,即得
lim P
n
Xn
1.
定理 5.3（伯努利大数定律）设 nA 是 n 次独立试
验中事件 A 发生的次数, p 是事件 A 在每次试验中发
生的概率,则对于任意正数 ,有
lim
P
nA
p
1,
n n
即
nA P p (n ). n
证明 因为 nA ~ b(n, p), 所以 nA X1 X2 Xn ,
其中 X1, X2, , Xn 相互独立且都服从以 p 为参数的 （ 0 1）分布,因而
E(Xi ) p, D(Xi ) p(1 p), i 1, 2, , n . 而
【引言】
个随机变量的平均值具有稳定性，这就 是我们今天要讨论的大数定理。
切比雪夫不等式
定理 5.1（切比雪夫不等式）设随机变量 X 具有数
学期望 E(X ) ,方差 D(X ) 2 ,则对任意 0 ,有下 列切比雪夫不等式
P{|
X
| }
2 2
.
证明 这里仅对连续型随机变量加以证明. 设 X 的概率密度为 f (x) （如图所示）,则
,令
Xn
1 n
n i 1
Xi
,则随机变量
序列 Xn 依概率收敛于 ,即对于任意正数 ,有
lim P
n
Xn
1,
即
X n P (n ).
证明
由
E(Xn )
E(1 n
n i 1
Xi
)
1 n
n i 1
E(Xi )
1 n
n
,
D(
X
n
)
D(
1 n
n i 1
Xi)
1 n2
n
D(Xi )
lim P
n
Xn
1,
即
Xn P (n ).
例 4.25 设 随 机 变 量 X1, X2, , Xn 独 立 同 分 布 , 且
E( X k ) k (i 1, 2,
, n; k 1, 2,
wk.baidu.com
)
存在,令
Ak
1 n
n i 1
X
k i
(k 1) ,
则有 Ak P k (n ) .
证明
因 X1, X2,
,
Xn
独立同分布,所以
X1k
,
X
k 2
,
,
X
k n
独立同分布.又
E(
X
k i
)
k
(i
1,
2,
, n) 存在,由辛钦大数定
律知
Ak
1 n
n i 1
X
k i
P k (n ) .
思考题:
大数定理是如何描述当试验次数无限 增大时，事件发生的频率与事件发生的概率
有何关系的呢？
谢谢聆听！