超越函数图像非对称性问题的常用结论及其应用
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（ ２ ） １ ＋ ＜ ２ ‰｛ ＝ ２ ‰一 ｔ ） ） １ ） （ ２ 一 ２ ） ・ ： ） ． 注意 ， 定理 １ 、 定理 ２中的条 件都 分别 出现 两个 半开半
说明 本 题满 分 ｌ ２分 ， 根据 ２ ０ １ ６年广 东 高考 年报 显 示， 广东考生本 题 得分 的平 均分 仅 为 ０ ． ６分 ， 难 度 系 数 为 ０ ． ０ ５ ， 可见此题 的难 度之大 ， 下 面给出详解第 （Ｉ Ｉ ） 小题． 解 （ １ ） ａ的取 值范围为 （ ０ ， ＋ｏ ｏ） ． （１ Ｉ ） 求 导数 得厂（ ）＝ ｅ ＋（ 一２ ） ｅ ＋ ２ ａ （ 一１ ）
二、 应 用 举 例
上述两个定 理可应 用 于符合 条 件 的任何 函数 ， 而应 用 于超越 函数 却具 有很强 的针对性． 例１ （ ２ ０ １ ０年 天津 高考 数学理科 第 ２ １题 ） 已知 函数
＿ 厂 （ ）＝ ・ ｅ 一 （ ∈Ｒ） ． （Ｉ） 求函数． 厂 （ ） 的 单 调 区 间和 极 值 ；
， ｅ ～２ ＜ ０也 是 可 行 的 ．
、
我们熟知一 个 平 常结 论 ： 如 果 二次 函数 ｌ 厂 （ ）＝ａ ｘ ＋
例２ （ ２ ０ １ ６年全 国新 课标卷 Ｉ理科 第 ２ １题）已知 函 数， （ ） ＝（ 一 ２ ） ｅ ＋ｏ （ 一１ ） 有两个零点．
（Ⅱ） 已知 函数 Ｙ＝ｇ （ ） 的 图像 与函数 Ｙ－ － ｆ （ ） 的 图像 关于直线 ＝１对称 ， 证明 当 ＞１时 ）＞ ｇ （ ） ； （ Ⅲ） 如果 ｌ ≠ ２ ， 且， （ １ ） － ｆ （ ２ ） ， 证明 １ ＋ ２ ＞ ２ ． 说 明 第 （Ｉ） 、 （ Ⅱ） 小题 比较 简单 ， 略解． 第（ １ １ Ｉ ） 问即
贝 ０ 导数 ｈ （ ）＝（ 一１ ） （ ｅ 一 一ｅ 一 ）＝（ 一１ ） ｅ 一 （ １ 一
度很大 ， 令 很多考 生无从 下手 ． 针 对 这种 题型 ， 我们 可 以借 鉴二次 函数 的对 称性 ， 把这些 图像 不对 称 的函数 问 题转 化
到极点 同侧 的等价 问题来 解 决． 这 种数 学思 想方 法 可 以让 考生找到 明确方 向 ， 并体验 到成 功的喜悦． 两 个 结 论
一
ｅ ）＜ ０ （ ＜１ ） ， 则ｈ （ ｘ ） 在 （一＊ ， １ ］ 上递减． 又因为 。 ＜１ ， 则 ｈ （ ）＞ｈ （ １ ）＝ ０ ，
即（ ２一 ） ｅ 一 ｅ － ＞ ０， 故原结论正确． 证毕．
评注 ： 此外 ， 用 分析法转化 为论证不等式 （ ２一 ） ｅ ～ 一
●
解 题 技 巧 与 方 法
謦 ●
●
越 瑾 交 肇
◎胡 意 荣
闻题鳓就翩绕
５ ２ ７ ４ ０ ０ ）
（ 广 东省 新 兴 一 中 ， 广东 云浮
近年来在高 考和各地模拟考 中对于超 越 函数 的图像非 对称性 问题 的考查 比较深入 ， 经常 以压 轴题 的形 式 出现 ， 难
＝ｅ （ 一１ ）＋ ２ ａ （ 一１ ） （ 一１ ） （ ｅ ＋ ２ ０ ） （ 已求 ａ＞ ０ ） ，
＝
则－ 厂 （ ） 在 （一。 。， １ ］ 上递减 ， 在［ １ ， ＋＊ ） 上递增． 又因为， （ 。 ） ＝０： ， （ ） ， 则不妨取 ＜１＜ ２ ． 根据 定理 ２ ， 欲证 明目标式 ＋ ： ＜ ２ ，
又因为 ０＝ ， （ ２ ）＝（ ２ — ２ ） ｅ ＋ ａ （ ｘ ２ —１ ） ， 则只要证 一
２ 一 ｊ，
（ １ ＿ ： ） ＞ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ，
贝 ０ 只要证 ２ ｅ 一 ＋（ ２ —２ ） ｅ ＞ ０ ． 由此令 ｇ （ ）＝ ｅ 一 ＋（ ～ ２ ） ｅ （ ≥１ ） ， 则当 ＞１时导数 ｇ （ ）＝（ 一１ ） （ ｅ 一 ｅ ） ＞０ ，
（Ｉ） 求 ａ的 取 值 范 围 ； （Ｉ Ｉ ） 设 ， ２ 是 ） 的两个零点 ， 证明 ｌ ＋ ２ ＜ ２ ．
＋ ｃ的图像 以直线 ： ‰ 为对称轴 ， 且， （ 。 ） ＝ ， （ ） ， 那 么
ｌ＋ ２ ２ ｘ０ ．
注意 ＝ ‰ 是该 二次 函数 ｆ （ ） 的最 值点 ， 而对 于超越 函数有何相应结论 呢？ 定理 １ 如果 函数 ， （ ） 在（ ｍ， 。 ］ 上 递增 在［ 。 ， ｎ ） 上 递减 ， 且， （ １ ） ＝ ， （ ） ， （ 其 中 １ ＜ ‰＜ ） ， 那么 （ １ ） ｌ ＋ ９ Ｃ ２ ＞ ２ Ｘ ｏ Ｃ ￣（ ２ Ｘ ｏ 一 ） ｆ （ ｘ １ ） ２ ‰－ ｘ ２ ）ｆ （ ｘ ２ ） ； （ ２ ） ｘ ｌ ＋ ２ ＜ ２ Ｘ ｏ ￣ ： ： ｆ ， （ ２ Ｘ ｏ — １ ）ｆ （ ｘ １ ） ￣ ， ｆ （ ２ Ｘ ｏ － ｘ ２ ）ｆ （ ｘ ２ ） ． 定理 ２ 如果 函数 ） 在（ ｍ， ‰］ 上递减 ， 在［ ‰， ｎ ） 上 递增 ， 且 ）＝ ２ ） ， （ 其 中 。 ＜ 。 ＜ ２ ） ， 那么 （ １ ） ｔ ＋ ２ ＞ ２ Ｘ ｏ ｅ ： ￣ ｆ （ ２ ｘ ｏ 一 １ ）ｆ （ ｘ １ ） 々 ２ ‰一 ２ ）ｆ （ ｘ ２ ） ；
即只要证， （ ２一 ）＜ ： ） ， 即只要证（ ２一 ２— ２ ） ｅ 一 ＋ａ （ ２一 ２ —１ ） ＜ ０ ， 即只要证 ９ ｆ ２ ｅ …。 一ａ （ １一 ２ ） ＞ ０ ．
闭 区间 （ ｍ， 。 ］ ， ［ ‰， ｎ ） ， 其 实依 次替 换 成 ［ ｍ， ‰］ ， ［ 。 ， ／ ／ ， ］ ， 或者 （ ｍ， ‰］ ， ［ ‰， ｒ ／ ， ］ ， 或者 ［ ｍ， ‰］ ， ［ ‰， ｎ ） ， 也 都是可以的．
说明 本 题满 分 ｌ ２分 ， 根据 ２ ０ １ ６年广 东 高考 年报 显 示， 广东考生本 题 得分 的平 均分 仅 为 ０ ． ６分 ， 难 度 系 数 为 ０ ． ０ ５ ， 可见此题 的难 度之大 ， 下 面给出详解第 （Ｉ Ｉ ） 小题． 解 （ １ ） ａ的取 值范围为 （ ０ ， ＋ｏ ｏ） ． （１ Ｉ ） 求 导数 得厂（ ）＝ ｅ ＋（ 一２ ） ｅ ＋ ２ ａ （ 一１ ）
二、 应 用 举 例
上述两个定 理可应 用 于符合 条 件 的任何 函数 ， 而应 用 于超越 函数 却具 有很强 的针对性． 例１ （ ２ ０ １ ０年 天津 高考 数学理科 第 ２ １题 ） 已知 函数
＿ 厂 （ ）＝ ・ ｅ 一 （ ∈Ｒ） ． （Ｉ） 求函数． 厂 （ ） 的 单 调 区 间和 极 值 ；
， ｅ ～２ ＜ ０也 是 可 行 的 ．
、
我们熟知一 个 平 常结 论 ： 如 果 二次 函数 ｌ 厂 （ ）＝ａ ｘ ＋
例２ （ ２ ０ １ ６年全 国新 课标卷 Ｉ理科 第 ２ １题）已知 函 数， （ ） ＝（ 一 ２ ） ｅ ＋ｏ （ 一１ ） 有两个零点．
（Ⅱ） 已知 函数 Ｙ＝ｇ （ ） 的 图像 与函数 Ｙ－ － ｆ （ ） 的 图像 关于直线 ＝１对称 ， 证明 当 ＞１时 ）＞ ｇ （ ） ； （ Ⅲ） 如果 ｌ ≠ ２ ， 且， （ １ ） － ｆ （ ２ ） ， 证明 １ ＋ ２ ＞ ２ ． 说 明 第 （Ｉ） 、 （ Ⅱ） 小题 比较 简单 ， 略解． 第（ １ １ Ｉ ） 问即
贝 ０ 导数 ｈ （ ）＝（ 一１ ） （ ｅ 一 一ｅ 一 ）＝（ 一１ ） ｅ 一 （ １ 一
度很大 ， 令 很多考 生无从 下手 ． 针 对 这种 题型 ， 我们 可 以借 鉴二次 函数 的对 称性 ， 把这些 图像 不对 称 的函数 问 题转 化
到极点 同侧 的等价 问题来 解 决． 这 种数 学思 想方 法 可 以让 考生找到 明确方 向 ， 并体验 到成 功的喜悦． 两 个 结 论
一
ｅ ）＜ ０ （ ＜１ ） ， 则ｈ （ ｘ ） 在 （一＊ ， １ ］ 上递减． 又因为 。 ＜１ ， 则 ｈ （ ）＞ｈ （ １ ）＝ ０ ，
即（ ２一 ） ｅ 一 ｅ － ＞ ０， 故原结论正确． 证毕．
评注 ： 此外 ， 用 分析法转化 为论证不等式 （ ２一 ） ｅ ～ 一
●
解 题 技 巧 与 方 法
謦 ●
●
越 瑾 交 肇
◎胡 意 荣
闻题鳓就翩绕
５ ２ ７ ４ ０ ０ ）
（ 广 东省 新 兴 一 中 ， 广东 云浮
近年来在高 考和各地模拟考 中对于超 越 函数 的图像非 对称性 问题 的考查 比较深入 ， 经常 以压 轴题 的形 式 出现 ， 难
＝ｅ （ 一１ ）＋ ２ ａ （ 一１ ） （ 一１ ） （ ｅ ＋ ２ ０ ） （ 已求 ａ＞ ０ ） ，
＝
则－ 厂 （ ） 在 （一。 。， １ ］ 上递减 ， 在［ １ ， ＋＊ ） 上递增． 又因为， （ 。 ） ＝０： ， （ ） ， 则不妨取 ＜１＜ ２ ． 根据 定理 ２ ， 欲证 明目标式 ＋ ： ＜ ２ ，
又因为 ０＝ ， （ ２ ）＝（ ２ — ２ ） ｅ ＋ ａ （ ｘ ２ —１ ） ， 则只要证 一
２ 一 ｊ，
（ １ ＿ ： ） ＞ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ，
贝 ０ 只要证 ２ ｅ 一 ＋（ ２ —２ ） ｅ ＞ ０ ． 由此令 ｇ （ ）＝ ｅ 一 ＋（ ～ ２ ） ｅ （ ≥１ ） ， 则当 ＞１时导数 ｇ （ ）＝（ 一１ ） （ ｅ 一 ｅ ） ＞０ ，
（Ｉ） 求 ａ的 取 值 范 围 ； （Ｉ Ｉ ） 设 ， ２ 是 ） 的两个零点 ， 证明 ｌ ＋ ２ ＜ ２ ．
＋ ｃ的图像 以直线 ： ‰ 为对称轴 ， 且， （ 。 ） ＝ ， （ ） ， 那 么
ｌ＋ ２ ２ ｘ０ ．
注意 ＝ ‰ 是该 二次 函数 ｆ （ ） 的最 值点 ， 而对 于超越 函数有何相应结论 呢？ 定理 １ 如果 函数 ， （ ） 在（ ｍ， 。 ］ 上 递增 在［ 。 ， ｎ ） 上 递减 ， 且， （ １ ） ＝ ， （ ） ， （ 其 中 １ ＜ ‰＜ ） ， 那么 （ １ ） ｌ ＋ ９ Ｃ ２ ＞ ２ Ｘ ｏ Ｃ ￣（ ２ Ｘ ｏ 一 ） ｆ （ ｘ １ ） ２ ‰－ ｘ ２ ）ｆ （ ｘ ２ ） ； （ ２ ） ｘ ｌ ＋ ２ ＜ ２ Ｘ ｏ ￣ ： ： ｆ ， （ ２ Ｘ ｏ — １ ）ｆ （ ｘ １ ） ￣ ， ｆ （ ２ Ｘ ｏ － ｘ ２ ）ｆ （ ｘ ２ ） ． 定理 ２ 如果 函数 ） 在（ ｍ， ‰］ 上递减 ， 在［ ‰， ｎ ） 上 递增 ， 且 ）＝ ２ ） ， （ 其 中 。 ＜ 。 ＜ ２ ） ， 那么 （ １ ） ｔ ＋ ２ ＞ ２ Ｘ ｏ ｅ ： ￣ ｆ （ ２ ｘ ｏ 一 １ ）ｆ （ ｘ １ ） 々 ２ ‰一 ２ ）ｆ （ ｘ ２ ） ；
即只要证， （ ２一 ）＜ ： ） ， 即只要证（ ２一 ２— ２ ） ｅ 一 ＋ａ （ ２一 ２ —１ ） ＜ ０ ， 即只要证 ９ ｆ ２ ｅ …。 一ａ （ １一 ２ ） ＞ ０ ．
闭 区间 （ ｍ， 。 ］ ， ［ ‰， ｎ ） ， 其 实依 次替 换 成 ［ ｍ， ‰］ ， ［ 。 ， ／ ／ ， ］ ， 或者 （ ｍ， ‰］ ， ［ ‰， ｒ ／ ， ］ ， 或者 ［ ｍ， ‰］ ， ［ ‰， ｎ ） ， 也 都是可以的．