高中数学简单逻辑用语综合测试题及答案

新人教版高二数学常用逻辑用语综合测试题
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1.若集合M＝{x∈R|－3＜x＜1}，N＝{x∈Z|－1≤x≤2}，则M∩N＝()
A.{0}
B.{－1,0}
C.{－1,0,1}
D.{－2，－1,0,1,2}
2.已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，M＝{1,3,5,7}，N＝{5,6,7}，则?U(M∪N)＝()
A.{5,7}
B.{2,4}
C.{2,4,8}
D.{1,3,5,6,7}
3.命题“若a＞b，则a－1＞b－1”的否命题是()
A.若a＞b，则a－1≤b－1
B.若a≥b，则a－1＜b－1
C.若a≤b，则a－1≤b－1
D.若a＜b，则a－1＜b－1
4.已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的()
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
5.设全集U是实数集R，M＝{x|x2＞4}，N＝{x|1＜x＜3}，则图中阴影部分表示的集合是()
A.{x|－2≤x＜1}
B.{x|1＜x≤2}
C.{x|－2≤x≤2}
D.{x|x＜2}
6.下列说法错误的是()
A.命题：“已知f(x)是R上的增函数，若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”的逆否命题为真命题
B.“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件
C.若p且q为假命题，则p、q均为假命题
D.命题p：“?x∈R，使得x2＋x＋1＜0”，则p：“?x∈R，均有x2＋x＋1≥0”
7.同时满足①M?{1,2,3,4,5}；②若a∈M，则6－a∈M的非空集合M有()
A.16个
B.15个
C.7个
D.6个
8.(2010·温州模拟)下列命题中，真命题是()
A.?x∈R，使得sinx＋cos x＝2
B.?x∈(0，π)，有sinx＞cosx
C.?x∈R，使得x2＋x＝－2
D.?x∈(0，＋∞)，有e x＞1＋x
9.设A，B是非空集合，定义A×B＝{x|x∈A∪B且x?A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x ≥0}，则A×B等于()
A.(2，＋∞)
B.[0,1]∪[2，＋∞)
C.[0,1)∪(2，＋∞)
D.[0,1]∪(2，＋∞)
10.“a＝1”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞)上为增函数”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
11.下列说法正确的是()
A.函数y＝2sin(2x－π
6
)的图象的一条对称轴是直线x＝
π
12
B.若命题p：“存在x∈R，x2－x－1＞0”，则命题p的否定为：“对任意x∈R，x2－x－1≤0”
C.若x≠0，则x＋1
x
≥2
D.“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件
12.已知P＝{x|x2－4x＋3≤0}，Q＝{x|y＝x＋1＋3－x}，则“x∈P”是“x∈Q”的
()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.将答案填写在题中的横线上.)
13.令p(x)：ax2＋2x＋1＞0，若对?x∈R，p(x)是真命题，则实数a的取值范围是.
14.已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面：命题p：若α∥β，m∈α，n∈β，则m∥n；命题q：若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；下面的命题中，①p或q；②p 且q；③p或q；④p且q.
真命题的序号是(写出所有真命题的序号).
15.已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|1－a≤x≤2a－1}，若B?A，那么a的取值范围是.
16.下列结论：
①若命题p：?x∈R，tanx＝1；命题q：?x∈R，x2－x＋1＞0.则命题“p∧q”是假命题；
②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是a
b
＝－3；
③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”.其中正确结论的序号为(把你认为正确结论的序号都填上√).
三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)设集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{9，a－5，1－a}，且A∩B＝{9}，求实数a的值.
18.(本小题满分12分)判断下列命题的真假.
(1)?x∈R，都有x2－x＋1＞1 2 .
(2)?α，β使cos(α－β)＝cosα－cosβ.
(3)?x，y∈N，都有x－y∈N.
(4)?x0，y0∈Z，使得2x0＋y0＝3.
19.(本小题满分12分)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}.
(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；
(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围.
20.(本小题满分12分)(2010·盐城模拟)命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＜0，命题q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0，且p是q的必要不充分条件，求a的取值范围.
21.(本小题满分12分)设全集是实数集R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，
B＝{x|x2＋a<0}.
(1)当a＝－4时，求A∩B和A∪B；
(2)若(?R A)∩B＝B，求实数a的取值范围.
22.(本小题满分14分)已知m∈R，对p：x1和x2是方程x2－ax－2＝0的两个根，不等式|m
－5|≤|x1－x2|对任意实数a∈[1,2]恒成立；q：函数f(x)＝3x2＋2mx＋m＋4
3
有两个不同的零点.
求使“p且q”为真命题的实数m的取值范围.
《简易逻辑》综合测试题答案
1、解析：因为集合
N ＝{－1,0,1,2}，所以M ∩N ＝{－1,0}.
答案：B 2、解析：M ∪N ＝{1,3,5,6,7}，∴?U (M ∪N)＝{2,4,8}.
答案：C 3、解析：即命题“若p ，则q ”的否命题是“若p ，则q ”.答案：C
4、答案：C
5、解析：阴影部分表示的集合为N ∩?U M ＝{x|1＜x ≤2}. 答案：B
6、解析：A 中∵a ＋b ≥0，∴a ≥－b.
又函数f(x)是R 上的增函数，∴f(a)≥f(－b)，①同理可得，f(b)≥f(－a)，②由①＋②，得
f(a)＋f (b)≥f(－a)＋f(－b)，即原命题为真命题
.
又原命题与其逆否命题是等价命题，∴逆否命题为真. 若p 且q 为假命题，则p 、q 中至少有一个是假命题，所以
C 错误.
答案：C
7、解析：∵1＋5＝2＋4＝3＋3＝6，∴集合M 可能为单元素集：{3}；二元素集：{1,5}，{2,4}；三元素集：
{1,3,5}
，{2,3
，4}；四元素集：{1,2,4,5}
；五元素集：{1,2,3,4,5}.
共
7
个.
答案：C
8、解析：∵sinx ＋cosx ＝2sin(x ＋π
4)≤2，故A 错；当0＜x ＜π
4时，cos x ＞sinx ，故B 错；
∵方程x 2
＋x ＋2＝0无解，故C 错误；令f(x)＝e x
－x －1，则f ′(x)＝e x
－1
又∵x ∈(0，＋∞)，∴f ′(x)＝e x
－x －1在(0，＋∞)上为增函数，∴f(x)＞f (0)＝0，即e x
＞1＋x ，故D 正确.
9、解析：由题意知，A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝[0,2]，所以A ×B ＝(2，＋∞). 答案：A
10、解析：当a ＝1时，函数f(x)＝|x －1|在区间[1，＋∞)上为增函数，而当函数f(x)＝|x －a|在区间[1，＋∞)
上为增函数时，只要a ≤1即可.
答案：A
11、解析：对于
A ，令2x －π6＝k π＋π2，k ∈Z ，则x ＝
k π2＋π
3，k ∈Z ，即函数y ＝2sin(2x －π6
)的对称轴集合为{x|x ＝k π2＋π
3，k ∈Z}，x ＝π12
不适合，故A 错；对于B ，特称命题的否定为全称命题，故
B 正确；
对于C ，当x ＜0时，有x ＋1
x ≤－2；对于D ，a ＝－1时，直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0也互相垂直，故
a ＝1是两直线互相垂直的充分而非必要条件
.
12、解析：解集合P 中的不等式x 2
－4x ＋3≤0可得1≤x ≤3，集合Q 中的x 满足，
13x x ≥0≥0
,解之得－
1≤x ≤3，所以满足集合
P 的x 均满足集合Q ，反之，则不成立
. 答案：A
二、填空题
13、解析：对?x ∈R ，p(x)是真命题，就是不等式
ax 2
＋2x ＋1＞0对一切x ∈R 恒成立.
(1)若a ＝0，不等式化为2x ＋1＞0，不能恒成立；
(2)若
44a a <△=-解得a ＞1；
(3)若a ＜0，不等式显然不能恒成立
.
综上所述，实数a 的取值范围是a ＞1.
答案：a ＞1
14、答案：①④
15、解析：由数轴知，2111121a a a ≥≤≥1
即2
3
2
1
a a a ≥
≥≥故a ≥2
答案：a ≥2
16、答案：①④三、解答题
17、解：因为A ∩B ＝{9}，所以9∈A.
若2a －1＝9，则a ＝5，
此时A ＝{－4,9,25}，B ＝{9,0，－4}，A ∩B ＝{－4,9}，与已知矛盾(舍去). 若a 2
＝9，则a ＝±3.
当a ＝3时，A ＝{－4,5,9}，B ＝{－2，－2,9}，与集合中元素的互异性矛盾(舍去)；
当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{－8,4,9}，符合题意. 综上所述，a ＝－3.
18、解：(1)真命题，∵x 2
－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34＞1
2.
(2)真命题，如α＝π4，β＝π
2，符合题意.
(3)假命题，例如x ＝1，y ＝5，但x －y ＝－4?N. (4)真命题，例如x 0＝0，y 0＝3符合题意.
19、解：由x 2
－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，
故集合A ＝{1,2}.
(1)∵A ∩B ＝{2}，∴2∈B ，代入B 中的方程，得a 2
＋4a ＋3＝0?a ＝－1或a ＝－3；
当a ＝－1时，B ＝{x|x 2
－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；当a ＝－3时，B ＝{x|x 2－4x ＋4＝0}＝{2}，满足条件；综上，a 的值为－1或－3；(2)对于集合B ，
Δ＝4(a ＋1)2
－4(a 2
－5)＝8(a ＋3). ∵A ∪B ＝A ，∴B?A ，
①当Δ<0，即a<－3时，B ＝?满足条件；②当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}，满足条件；③当Δ>0，即a>－3时，B ＝A ＝{1,2}才能满足条件，则由根与系数的关系得
2
2
51221
2
1
2 5.
7.
a a a
a
??
矛盾；
综上，a 的取值范围是
a ≤－3.
20、解：设A ＝{x|x 2
－4ax ＋3a 2
＜0(a ＜0)}＝{x|3a ＜x ＜a}，
B ＝{x|x 2－x －6≤0或x 2
＋2x －8＜0} ＝{x|x 2
－x －6＜0}∪{x|x 2
＋2x －8＞0}
＝{x|－2≤x ≤3}∪{x|x ＜－4或x ＞2}＝{x|x ＜－4或x ≥－2}. 因为p 是q 的必要不充分条件，所以
q?
p ，且
p 推不出
q 而
?R B ＝{x|－4≤x ＜－2}，?R A ＝{x|x ≤3a ，或x ≥a} 所以{x|－4≤x ＜－2}
{x|x ≤3a 或x ≥a}，
320
a a ≥<或
40
a a ≤<即－2
3≤a ＜0或a ≤－4.
21、解：(1)∵A ＝{x|1
2≤x ≤3}，当a ＝－4时，B ＝{x|－2<x<2}，
∴A ∩B ＝{x|1
2≤x<2}，A ∪B ＝{x|－2<x ≤3}.
(2)?R A ＝{x|x<1
2或x>3}，
当(?R A)∩B ＝B 时，B??
R A ，
①当B ＝?，即a ≥0时，满足B??R A ；
②当B ≠?，即a<0时，B ＝{x|－－a<x<－a}，要使B??
R A ，需
－a ≤1
2，解得－
1
4
≤a<0. 综上可得，实数
a 的取值范围是
a ≥－14.
22、解：由题设知x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝－2，
∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2＝
a 2
＋8.
a ∈[1,2]时，a 2
＋8的最小值为3，要使|m －5|≤|x 1－x 2|对任意实数a ∈[1,2]恒成立，只需|m －5|≤3，即2≤
m ≤8.
由已知，得f(x)＝3x 2
＋2mx ＋m ＋4
3
＝0的判别式
Δ＝4m 2
－12(m ＋43
)＝4m 2
－12m －16＞0，
得m ＜－1或m ＞4.
，综上，要使“p 且q ”为真命题，只需p 真q 真，
即
解得实数m 的取值范围是(4,8].
ü
2814
m m m 或≤≤<>。