高考数学数学思想的应用情形归纳第19讲分类讨论思想情形之21-25

第19讲：分类讨论思想情形之21-25

【知识要点】

一、数学思想是人对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识过程中被反复运用，带有普遍的指导意义.是建立数学和用数学解决问题的指导思想，而且数学思想是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一.学生只有领会了数学思想，才能有效地应用知识，形成能力.在我们解决数学问题进行数学思维时，也总是自觉或不自觉地运用数学思想方法.

高中数学解题常用的数学思想有数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想、函数方程思想等.

二、分类讨论的思想是中学数学的基本思想方法，同时也是一种化整为零、各个击破、整合结论的解题策略.在分析和解决数学问题中，运用分类讨论思想可以将问题的条件与结论的因果关系、局部与整体的逻辑关系揭示得一清二楚、十分准确.在解决对象为可变的数量关系和空间图形形式的数学问题中有着广泛和重要的作用.有关分类讨论思想的数学问题贯穿于高中数学的各个部分，形式多样，综合性强，对于培养学生思维的缜密形、条理性、深刻性有着十分重要的作用.因此，分类讨论一直是高考命题的热点之一，也是每年必考的重要数学思想方法之一. 分类讨论思想就是由于某些元素具备不确定性，所以要分类讨论.分类讨论的情形很多，常见的情形见后面的方法讲评.

三、分类讨论一般有四个要素：分类的起因、分类的标准、分类的过程、分类的结果.

四、本讲讲了分类讨论思想情形之21-25, 情形21：把矩形纸片围成圆柱侧面时由于没有说明是哪一个边做底面圆周长所以要分类讨论；情形22：空间几何元素的相对位置关系不确定时分类讨论；情形23：利用直线方程的点斜式斜截式求直线方程时要就斜率是否存在分类讨论；情形24：利用直线方程的截距式求直线方程时要就截距是否为零分类讨论；情形25：圆和圆相切要分圆与圆内切和外切两种情况分类讨论. 【方法讲评】

【例1】用一张长12cm，宽8cm的矩形纸片围成圆柱形的侧面，则这个圆柱的体积是．

【解析】∵侧面展开图是长12cm，宽8cm的矩形，

若圆柱的底面周长为12cm，则底面半径

6

R cm

π

=，8

h cm

=，此时圆柱的体积23

288

V R h cm

π

π

==

若圆柱的底面周长为8cm，则底面半径

4

R cm

π

=，12

h cm

=，此时圆柱的体积23

192

V R h cm

π

π

==

故填192

π

或

288

π

．

【点评】（1）本题由于没有说明是以哪一个边作为底面圆的周长，所以要分类讨论.（2）本题应该求出分别以12cm，8cm为圆柱的底面圆周的底面圆的周长，然后求出圆柱的体积即可．数学问题的研究，要严

谨，不能漏解.

【反馈检测1】一个长方形纸片,长为6π,宽为4π,若将该纸片围成一个圆柱体的侧面,求围成的圆柱的表面积.

分类讨论情形22

空间几何元素的相对位置关系不确定时分类讨论.

【例2】已知,A B 是直线l 外的两点，过,A B 且与l 平行的平面的个数有 个.

【点评】（1）本题涉及到AB 和直线l ,所以要对它们的相对位置关系进行分类讨论，分AB 和l 平行、异面和相交三种情况讨论. （2）解答立体几何中有关的个数问题时，注意逻辑分类，考虑周全，不要遗漏. 【反馈检测2】若不在同一直线上的三个点,,A B C 到平面α距离相等，且,,A B C ∉α，则平面ABC 与

α .

A. 平行

B. 相交

C. 重合

D. 平行或相交

【反馈检测3】已知平面α∥平面β，P 是,αβ外一点，过点P 的直线m 与,αβ分别交于,A C ，过点P 的直线n 与,αβ分别交于,B D ,且6PA =，9AC =，8PD =，则BD 的长为______．

分类讨论情形23

利用直线方程的点斜式斜截式求直线方程时要就斜率是否存在分类讨论.

【例3】直线l 过点(4,0)且与圆2

2

(1)(2)25x y -+-=交于,A B 两点，如果||8AB =，那么直线l 的方程为 ．

线l 的距离d 21

k +=3，解得：k =

5

12

，此时直线l 的方程为：512200x y --=. 综上，所有满足题意的直线l 方程为4x =或512200x y --=．故答案为4x =或512200x y --= 【点评】（1）利用点斜式斜截式方程写直线方程时，要就斜率存在与不存在分类讨论.并且一般先讨论斜率不存在的情况，再讨论斜率存在的情况.（2）解析几何中，只要是用到直线的斜率，就要分斜率存在和不存在两种情况讨论（除非已知已经说明直线斜率存在）.

【反馈检测4】已知椭圆C ：122

22=+b

y a x （0a b >>）过点(2,0)，且椭圆C 的离心率为21．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）若动点P 在直线1x =-上，过P 作直线交椭圆C 于,M N 两点，且P 为线段MN 中点，再过P 作直线l MN ⊥．求直线l 是否恒过定点，若果是则求出该定点的坐标，不是请说明理由.

分类讨论情形24

利用直线方程的截距式求直线方程时要就截距是否为零分类讨论.

【例4】过点(1,1)，且横、纵截距相等的直线方程为__________________.

【点评】（1）直线的斜截式、两点式、截距式和点斜式方程，都是有局限性的，并不能表示所有直线，所以大家在利用这些直线的方程解答时，一定要先考虑直线的方程不能表示的直线是否满足题意，如果满足就要加上，不满足就舍去. （2）本题很容易漏掉过原点的直线，直线过原点时，它的两个截距都是0，是相等的，是满足题意的.但是直线方程的截距式就是不能表示此直线.

【反馈检测5】已知直线l 经过点(5,2)A -，且直线l 在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍，求直线l 的方程.

分类讨论情形25

圆和圆相切要分圆与圆内切和外切两种情况分类讨论.

【例5】圆1C ：1)2()2(2

2=-++y x 与圆2C ：

2

2

2

5)-y 2)-x r =+（（相切，则r 为（ ） A ．4 B ．6 C ．4或6 D ．不确定 【解析】分两种情况讨论，当两圆外切时可得()()()41252252

2=⇒+=-+--=r r ；

当两圆内切时可得：()()()61252252

2=⇒-=-+--=

r r ；所以应选C ．

【点评】（1）两圆相切包含内切和外切两种情况.两圆内切等价于圆心距12||||O O R r =-，两圆外切等价于圆心距12||O O R r =+ . 【反馈检测6】已知圆和圆

相切，两圆的圆心距为8cm ，圆

的半径为3cm ，则圆

的半径是（ ）

A ．5cm

B ．11cm

C ．3cm

D ．5cm 或11cm

分类讨论思想在高中数学中的应用情形归纳 第05讲：分类讨论思想情形之21-25参考答案