高中数学苏教版必修一函数与方程(一)
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§3.4 函数的应用
3．4.1 函数与方程(一)
一、基础过关
1．函数y ＝x 2－2x －3的零点是________．
2．函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是下面的哪一个________．(填序号) ①(－2，－1)；②(－1,0)；③(0,1)；④(1,2)．
3．若函数f (x )＝x 2－ax ＋a －7的零点一个大于2，一个小于2，则实数a 的取值范围是________．
4．函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是________．
5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
4x －4， x ≤1x 2－4x ＋3， x >1，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是________．
6．已知x 0是函数f (x )＝11－x
＋ln x 的一个零点，若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则下列说法正确的是________．
①f (x 1)<0，f (x 2)<0；②f (x 1)>0，f (x 2)>0；
③f (x 1)>0，f (x 2)<0；④f (x 1)<0，f (x 2)>0.
7．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围．
8．已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x .
(1)写出函数y ＝f (x )的解析式；
(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求a 的取值范围．
二、能力提升
9．已知函数f (x )＝log 2x －⎝⎛⎭⎫13x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0 的值的正确说法是________． ①恒为负；②等于零；③恒为正；④不小于零． 10．已知函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为________． 11．函数f (x )＝mx 2－2x ＋1有且仅有一个正实数的零点，则实数m 的取值范围是________． 12．若函数f (x )＝4x ＋a ·2x ＋a ＋1在(－∞，＋∞)上存在零点，求实数a 的取值范围． 三、探究与拓展 13．是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴有且只有一个交点．若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由． 答案 1．－1和3 2．③ 3．(－3，＋∞) 4．1 5．3 6．④ 7．解 令f (x )＝mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14. 依题意得⎩⎨⎧ m >0f (4)<0或⎩⎨⎧ m <0f (4)>0 ， 即⎩⎪⎨⎪⎧ m >026m ＋38<0或⎩⎪⎨⎪⎧ m <026m ＋38>0， 解得－1913 －x ∈(0，＋∞)， ∵y ＝f (x )是奇函数， ∴f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x ， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ， x ≥0－x 2－2x ， x <0. (2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，最小值为－1； ∴当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x 2－2x ＝1－(x ＋1)2，最大值为1. ∴据此可作出函数y ＝f (x )的图象，如图所示， 根据图象，得若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，则a 的取值范围是(－1,1)． 9．① 10．a 11．(－∞，0]∪{1} 12．解 设2x ＝t ，则函数f (x )＝4x ＋a ·2x ＋a ＋1化为g (t )＝t 2＋at ＋a ＋1 (t ∈(0，＋∞))． 函数f (x )＝4x ＋a ·2x ＋a ＋1在(－∞，＋∞)上存在零点，等价于方程t 2＋at ＋a ＋1＝0，①有正实数根． (1)当方程①有两个正实数根时， a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝a 2－4(a ＋1)≥0t 1＋t 2＝－a >0 t 1·t 2＝a ＋1>0，