第二章数学模型

合集下载

数学模型-传递函数

1 1 ， j ，Ti zj pi ( pi )
( z j )
m
(3) 二项式表示法：
如 p1 . p2为一对共轭复数，则有
1 1 2 ( s p1 )( s p2 ) s 2 n s n 2
1 1 2 2 或 (T1 s 1)(T2 s 1) T s 2Ts 1
当初始条件为零时有：
3
第二章数学模型
传递函数(续)
C ( s ) b0 s m b1 s m 1 bm 1 s bm 则G ( s ) R( s ) a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n
s j 为复数， G (s ) 是复变量s 的函数，故称为复放大系数。
i 1
m
(s z )
当s
z j时，G(s) = 0. z j 为传函的零点。
10
当 s pi 时，G(s) = , pi 为传函的极点。
第二章数学模型
而 K g b0 ——传递系数。(根轨迹中叫根轨迹增益)
a0
(2）时间常数表示法：
bm d m s m d m 1 s m 1 d 1 s 1 G( s ) a n c n s n c n 1 s n 1 c 1 s 1
其传递函数为
6. 齿轮系
m
Z1
Z2
c
第二章数学模型
§2-2 传递函数
用拉氏变换求解微分方程，虽思路清晰,简单实用,但如果系统参数改变，特征方程及其解都会随之改变。要了解参数变化对系统动态响应的影响，就必须多次计算，方程阶次愈高，计算工作量越大，故引入另一种数模—传递函数。它是控制理论中的重要概念和工具，也是经典理论中两大分支—根轨迹和频率响应的基础。利用传递函数不必求解微方就可研究初始条件为零的系统在输入信号作用下的动态过程。

第二章控制系统的数学模型例题全

L ddt
Ac ost
L
Asint
A 2 S2
2
另一种解法：
设xt Acost, xs A s
s2 2
x0 Acost A t0
Lddt xt sx(s) x0
Lddt Acost
s s2
s
2
A
A 2
S2 2
7已知f t cost- cos2t,求Fs。 8已知f t 2e-tsin2t,求Fs。 9已知f t te-2t ,求Fs。 10已知f t t n ,求Fs。
dt
2已知Fs
ss
4
2
, 求f
t
。
3已知Fs 1 ,求f 0、f 。
sa
3已知Fs 1 ,求f 0、f 。
sa
f 0
lims Fs s
lims s
s
1 a
1
f
lims s0
s
1 a
0
• Using the laplace transform methodes solve the differential equations
第二章控制系统的数学模型例题
1已知f t d Acost,求Fs。
dt
2已知f t 3t 4e2t ,求Fs。
3已知f t e3tsin4t,求Fs。
t
4已知f t Acostdt,求Fs。
0
5已知f t sint ,求Fs。
6已知f t 8e-100t - 5e-200t ,求Fs。
G1
-1
- G2
N1
C
G2
C 1 G 2 G 3
N1 1 G 2 G1G 2G3

第二章电力系统各元件的数学模型

试验时小绕组不过负荷，存在归算问题，归算到SN
2) 对于（100/50/100）
2
Pk (12)
P' k (12)
IN 0.5IN
P 4 ' k (12)
2
Pk ( 23)
P' k (23)
IN 0.5IN
P 4 ' k ( 23 )
3) 对于（100/100/50）
2
Pk (13)
P' k (13)
§2.3 电力线路的参数和数学模型
§2.3 电力线路的参数和数学模型
§2.3 电力线路的参数和数学模型
§2.3 电力线路的参数和数学模型
§2.3 电力线路的参数和数学模型
§2.3 电力线路的参数和数学模型
一次整循环换位：
A B
C
换位的目的：为了减少三相参数的不平衡
§2.3 电力线路的参数和数学模型
Xd
§2.1 发电机的数学模型
受限条件
定子绕组： IN为限—S园弧
转子绕组： Eqn ife 励磁电流为限—F园弧 Xd
原动机出力：额定有功功率—BC直线
其它约束：静稳、进相导致漏磁引起温升—T弧
进相运行时受定子端部发热限制受原动机出力限制
定子绕组不超过额定电流
励磁绕组不超过额定电流留稳定储备
2、由短路电压百分比求XT（制造商已归算，直接用）
U U U U 1 k1(%) 2
k(12) (%) k(13) (%) (%) k(23)
XT1
Uk
1(%
)U2 N
100SN
U U U U 1 k2 (%) 2
k(12) (%) k(23) (%) (%) k(13)

自动控制原理课件第二章线性系统的数学模型

c(t ) e
dt Leabharlann t

c( s )
g ( ) r ( ) d e s ( ) d 0 0 g ( )e s r ( )e s d d 0 0

0
g ( )e
5) 闭环系统传递函数G(s)的分母并令其为0，就是系统的特征方程。
• 涉及的是线性系统非线性系统必须进行线性化处理
§2-6 信号流程图
系统很复杂，为方便研究，也为了与实际对应，通常将复杂系统分解为若干典型环节的连接
数学模型的定义数学模型：描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程建立数学模型的方法：
解析法: 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。自动控制系统的组成可以是电气的，机械的，液压的，气动的等等，然而描述这些系统的数学模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研究自动控制系统，就摆脱了各种类型系统的外部关系而抓住这些系统的共同运动规律，控制系统的数学模型是通过物理学，化学，生物学等定律来描述的，如机械系统的牛顿定律，电气系统的克希霍夫定律等都是用来描述系统模型的基本定律。实验法: 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。数学模型的形式时间域：复数域：频率域：微分方程差分方程传递函数结构图频率特性状态方程
1 例1 : F ( s) ( s 1)(s 2)(s 3) c c c 1 2 3 s 1 s 2 s 3
1 1 c1 [ ( s 1)]s 1 ( s 1)(s 2)(s 3) 6 1 1 c2 [ ( s 2)]s 2 ( s 1)(s 2)(s 3) 15 1 1 c3 [ ( s 3)]s 3 ( s 1)(s 2)(s 3) 10 1 1 1 1 1 1 F ( s) 6 s 1 15 s 2 10 s 3 1 1 1 f (t ) e t e 2t e 3t 6 15 10

自动控制原理：第二章--控制系统数学模型全

TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
（1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式
（（23））式消LuLCcdd中去(titd)i中2d是utRc间2(中Cti1)变间C1量iR变dCti量idd后udt，ct，(t它)u输r与u(入tc输)(输t)出出uu微rc((tt)分)有方如程下式关系
或
T1T2
d 2uc (t) dt 2
T2
duc (t) dt
扰动输入为负载转矩ML。（1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
线性(或线性化)定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比称为传递函数。
令线C性(s定)=常L[c系(t统)]，由R下(s)述=Ln阶[r(微t)]分，方在程初描始述条：件为零
时[[aab，nnmbssdmdn进mt+ndn+dt行acmmbn(tm拉-r1)-(s1t氏ns)-am1变n+-1b1+…m换dd…1t+，nndd+1a1t得mm1bcs1(11到+ts)r+a关(t0b)]于0C]的RD(sM的s的a(()分s1s(分))=代sdbd为母)t1子为数cd传d多(tt多传方)r递项(项t程递函)式a式0函数c。b(0数tr) (t)

第二章_控制系统的数学模型

+
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统的传递函数。即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s

第二章——流体流动的数学模型

u u p 2u (u v ) Fx 2 x y x y
如果定解条件选择不合理，将产生违背物理真实的伪解
第二章流体流动的数学模型
流动现象分类：
（1）按流态不同：层流和湍流
（2）流动速度级别：蠕动流、低速流、高速流、超声速流。高超声速（3）流体受阻现象：自由流和剪切流
p RK
第二章流体流动的数学模型
湍流雷诺方程（u向）

Du p u u u Fx ( ) ( ) ( ) D x x x y y z z
u u u
'
Du p u u u u 'u ' u 'v ' u ' w' Fx ( ) ( ) ( ) D x x x y y z z x y z
（4）流线形态：直线流、旋转流、分离流
（5）参考物尺度：大尺度、中尺度、小尺度及微纳米尺度
第二章流体流动的数学模型
• 接触较多的是中尺度的低速流 • 尺度是相对的 • 小尺度中的边界效应非常明显诺数小于10，认为是蠕动流动
第二章流体流动的数学模型
第二章流体流动的数学模型1连续方程2运动方程3能量方程4状态方程0????????zwyvxu222222ztytxtcddtp??????rkp???zuzyuyxuxxpfddux???????????????第二章流体流动的数学模型湍流雷诺方程u向uuuzwuyvuxuuzuzyuyxuxxpfdudx??????????????????????????????zuzyuyxuxxpfddux???????????????第二章流体流动的数学模型fluent中指定各种方程的位置和方法第二章流体流动的数学模型方程是否可以简化如何判断方程解的情况

第二章控制系统数学模型

s s 后，再求 F (s) 的极限值来求得。条件是当 t 和s 0时，等式两边各
有极限存在。
终值定理在分析研究系统的稳态性能时(例如分析系统的稳态误差，求取系统
输出量的稳态值等)有着很多的应用。因此终值定理也是一个经常用到的运算
定理。
7.初值定理： lim f (t) lim sF (s)
18
2
例2-1：写出RLC串联电路的微分方程。
ui
L
R
i
C
uo
ui 输入
uo 输出
[解]：据基尔霍夫电路定理：
L di dt
Ri
1 C
idt
ui
①
uo
1 C
idt
②
由②： i C d，uo代入①得： dt
LC
d 2uo dt 2
RC
duo dt
uo
ui
这是一个线性定常二阶微分方程。
3
例2-2 设一弹簧、质量块、阻尼器组成的系统如图所示，当外力 F(t)作用于系统时，系统将产生运动。试写出外力F(t)与质量块的位移y(t)之间的微分方程。
uR uc Us
把 uR i R
和
ic
C
duc dt
代入电路，可得到电路的
微分方程：
RC
duc dt
uc
Us
23
现在对于上面的微分方程，我们用Laplace变换求解。
首先，利用Laplace变换中的微分定理，将微分方程变换成如下形式：
RC
duc dt
uc
Us
RCsU c (s) Uc (s) Us R(s)
利用待定系数法可求得：
A 1 ARC B 0
F (s) L[ f (t)] f (t)e st dt 0

第二章线性系统的数学模型ppt课件

传递函数的定义：零初始条件下系统输出与输入函数的拉氏变换之比为系统的传递函数。
传递函数有如下性质： (1) Xo(S)= G(S)Xi(S)，信号传递的性质。
用方框图表示：
Xi(S)
G(S)
Xo(S)
病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程
ia(t)CJm ddn(tt)iL(t)
（2-3）
病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程
ua(t)R aia(t)Ladd a(it)tea(t)
ea(t)Cen(t)
（2-1）（2-2）
J dn(t) ia(t)Cm dt iL(t)
令：
Tm
(t)
JRa CeCm
（机电时间常数）
Ti (t)
La Ra
（电磁时间常数）
T m T id d 2 n ( 2 t)t T m d d ( t)n tn ( t) C 1 eu a ( t) T m J C m iL ( t) d d L ( t) i t
输出输入
负载扰动
（2-3）
将式(2-2)、 (2-3)一起代入式(2-1)中，消去中间
变量得：
L C a m Jd d 2 n 2 ( t)t R C a m Jd d ( t)n tC e n ( t) u a ( t) L ad d L ( t) i tR a iL ( t)
令：
Tm
(t)
JRa CeCm
（机电时间常数）
整理得：

《数学模型》(第五版)-姜启源-第2章

第二章
初等模型
• 研究对象的机理比较简单
• 用静态、线性、确定性模型即可达到建模目的
可以利用初等数学方法来构造和求解模型
如果用初等和高等的方法建立的模型，其应用效果
差不多，那么初等模型更高明，也更受欢迎.
尽量采用简单的数学工具来建模
第
二
章
初
等
模
型
双层玻璃窗的功效
划艇比赛的成绩
实物交换
汽车刹车距离与道路通行能力
外
T2
墙
T1 Ta
Ta Tb k Tb T2
Q1 k1
k2
1
d
d
l
T1 T2
k1
l
Q1 k1
, sh , h
d ( s 2)
k2
d
建模记单层玻璃窗传导的热量Q2
T1 T2
T1 T2
Q1 k1
Q2 k1
d ( s 2)
2d
室
内
T1
2d
Q2
Q1
1
l

, h
Q2 8h 1
d
取 h=l/d=4, 则 Q1/Q2
即双层玻璃窗与同样多材
料的单层玻璃窗相比，可
减少97%的热量损失.
结果分析
Q1/Q2
0.06
0.03
0.02
O
2
4
Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气的热传导系
数k2极低, 而这要求空气非常干燥、不流通.
房间通过天花板、墙壁、…损失的热量更多.
vm
vm=vf/2 ~最大流量时的速度
0
km
kj
密度k
0

第二章控制系统的数学模型

⇒
QQQr00(((sss)))−−=QQH0c1(((sss)))R=−=1Hcc122s(sHsH)12(s()s)
qc (t)
=
h2 (t) R2
Qc
(s)
=
H2 (s) R2
G(s)
=
Qc (s) Qr (s)
=
R1R 2C1C 2s 2
1 + (R1C1 + R2C2
机理分析法：
依据描述系统运动规律的定律并通过理论推导来得到数学模型的方法。
实验辨识法：
通过整理基于系统输入－输出的实验数据来得到系统的数学模型。本章着重讨论机理分析法。
建模特点：相似性、简化性、准确性。
数学模型类型：经典控制理论: 微分方程（连续系统）、
差分方程（离散系统）、传递函数、系统方框图和信号流图；现代控制理论：状态方程
注：如果在第(3)步结束时已经得到符合第(4)步要求的微分方程，则无须第(4)步。
线性定常系统微分方程的一般形式
an
d nc(t) dt n
+
an−1
d n−1c(t ) dt n−1
+
...
+
a1
dc(t ) dt
+
a0c(t )
=
bm
d mr(t) dt m
+
bm −1
d m−1r(t ) dt m−1
d x(t ) + dt
Kx(t ) = f (t )
当f(t)=f1(t)时，上述方程的解为x1(t)；当f(t)=f2(t)时，上述方程的解为x2(t)；如果f(t)=f1(t)+ f2(t) ,方程的解为x(t)= x1(t)+x2(t),这就是叠加性

第2章数学模型

35
3. R ( s ) 作用下的误差传递函数
E ( s) 1 e (s) R( s) 1 G1 ( s)G2 ( s ) H ( s )
4. N ( s) 作用下的误差传递函数
G2 ( s) H ( s) E ( s) en ( s) N (s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
n
例2-7 原理图
例2-7 结构图
26
2.3.2 结构图的等效变换及化简
结构图等效变换的两条基本原则是： 1）变换前后前向通道中传递函数的乘积应保持不变；
2）变换前后各回路中传递函数的乘积应保持不变。
1. 基本连接的等效变换
结构图的基本连接方式有三种：串联、并联和反馈。（1）串联
27
（2）并联
就可以近似地认为ｅ是沿着Ａ点上的切线
（直线）变化，这就是将非线性特性线性化的方法，也称为小偏差法。
5
将非线性函数ｙ＝ｆ（ｘ）在工作点（ｘ０，ｙ０）处展开成泰勒级数:
当忽略二次及二次以上的高次项时，就得到了一个线性方程式：
线性化增量方程： y Kx
6

2.1.3 线性微分方程的求解
线性微分方程的求解，拉氏变换法：拉氏变换法求解微分方程步骤：（1）方程两边求拉氏变换。（2）给定的初始条件代入方程。（3）求出系统输出量的拉式变换式。（4）拉式反变换求出系统输出的时间解。
对于电路网络，可利用复阻抗的概念，直接写出拉氏变换关系的代数方程求解传递函数。
电路网络中的复阻抗：
电阻 —— R 电感 —— Ls
1 电容 —— Cs
20
例2-5 试求图2-11 所示有源电路网络的传递函数。

第二章系统的数学模型

2.2 控制系统的复数域数学模型(传递函数)
一．传递函数
１．线性定常系统的传递函数定义为：
零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
R(s) G(s) C(s)
传递函数
输出的拉氏变换输入的拉氏变换
|零初始条件
C(s) R(s)
G(s)
零初始条件
➢ 零初始条件指的是输入、输出初始条件均为零，即
在给定工作点 ( x0，y0 )附近，将上式展开泰勒级数：
y
f (x)
df f ( x0 ) dx
1 d2 f x x0 ( x x0 ) 2! dx2
(x x0 )2
x x0
若在工作点 ( x0，y0 ) 附近增量 x x0 的变化很小，则可略去式中 ( x x0 )2 项及其后面所有的高阶项，这样，上式近似表示为：
l
s
1)
G(s)
i 1 d
l 1 e
sv (Tjs 1) (Tk2s2 2 kTk s 1)
j 1
k 1
纯微分环节
s
es
积分环节
惯性环节
振荡环节
延迟环节
典型环节
➢ 比例环节的传递函数为：
Proportional element (link)
C(s) G(s) K R(s)
齿轮传动
方框图为：
➢ 频域数学模型：
频率特性
2.1 线性系统的时域数学模型
本节主要研究描述线性、定常、集总参量控制系统的微分方程的
建立和求解方法
线性元件的微分方程
一．微分方程：
给定量和扰动量作为系统输入量，被控制量作为系统输出的一种系统描述方法

第第二章控制系统的数学模型

1
sa
1
(s a)n
18
拉普拉斯变换简表
f (t)
9
sin t
10
cost
11
1 (1 eat )
a
12
1 a
(a0
(a0
a)eat
)
13
1 a2
(at
1
e at
)
14
a0t a2
(
a0 a2
t)(eat
1)
F (s)
s2 2
s
s2 2
s s(s a)
s a0 s(s a)
1 s2 (s a)
(1)独立性（可加性）：线性系统内各个激励产生的响应互不影响
xi1(t) xi2(t)
xo1(t) xo2(t)
xi1(t)+xi2(t) xo1(t)+xo2(t)
(2)均匀性（齐次性）
8
线形系统的一般形式
an
dn dtn
y(t) an1
d n1 d t n 1
y(t) ... a1
d dt
dt
s
则
证：
f (0) lim sF (s)
s
由微分定理有：
L( df (t)) sF (s) f (0) dt
两边取极限
lim[ df (t) est dt] lim[sF (s) f (0)]
s 0 dt
s
27
lim[ df (t) est dt] lim[sF (s) f (0)]
0 dt s0
s0
lim est 1
s0
[ df (t) dt] lim[sF (s) f (0)]

《控制工程基础》课件-第二章

4/21/2023
27
第二章数学模型
非线性数学模型的线性化
➢ 泰勒级数展开法
函数y=f(x)在其平衡点（x0, y0）附近的泰勒级数展开式为：
y
f
(x)
f
(x0 )
df (x) dx
x
(x x0 ) x0
4/21/2023
1 2!
d
2 f (x) dx2
x
x0
(
x
x0
)2
1 3!
d
3 f (x) dx3
4/21/2023
20
第二章数学模型
➢ 线性系统与非线性系统
线性系统可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的
系数是时间t的函数，则为线性时变系统；
线性是指系统满足叠加原理，即：
✓ 可加性： f ( x1 x2 ) f ( x1) f ( x2 )
K
J TC(t)
柔性轴齿轮
粘性液体 C
J —旋转体转动惯量；K —扭转刚度系数；C —粘性阻尼系数
4/21/2023
12
第二章数学模型
TK (t) Ki (t) o (t)
TC
(t)
C
d dt
o
(t
)
J
d2 dt 2
o (t)
TK
(t) TC (t)
J
d2 dt 2
o (t)
C
d dt
y
f (x10,
x20
)
f x1
f
x1 x10 x2 x20
( x1
x10 )
x2
( x2

第二章数学模型的来源

★ 混合建模法
综合上述两种方法的优点，参数估计方法
8
第二节机理法建立过程数学模型
一、一般步骤
★ 根据实际工艺要求，确定被控对象的输入、输出参数； ★ 根据对象所遵循的物理或化学规律，列出描述变化过程的平衡方程（如物料平衡、能量平衡、动量平衡、相平衡等方程及化学反应定律等）；
输入-输出 = 积累
进行系统分析和设计比较困难按数学模型所描述的运动状态分静态模型描述对象在静态时的输入量与输出量之间的关系不随时间而变化动态模型描述对象在输入量改变后输出量的变化情况输入量输出量随时间而变化机理分析法通过对过程内部运动机理的分析根据其物理或化学变化规律在忽略一些次要因素或做出一些近似处理后得到过程特性方程用微分方程或代数方程
二、时间常数 T
T 表示对象受扰动作用后，被控变量变化到新稳定值的速度的快慢。当t=T时， h(T ) KA 1 e1 0.632KA 0.632h()

时间常数T就是当被控变量变化达到新的稳态值的 0.632倍所需的时间。时间常数的另一种求法：
h(∞)
0.632h (∞)
32
解：①由斜率 kAC=1/3和A(4,0)知直线AC的方程为 y =1/3(x-4)。设B(t,0)，由kCB=-1知直线BC方程为： y=-1(x-t) 又∵G点和H点的纵坐标相同，得： 1/3(10-4)=-1(18-t) ∴t =20（此时沉淀完全消失） ②联立方程组y =1/3(x-4)、y=20-x 解得20-x=1/3(x-4); x=16（此时沉淀最多）。
23
传递滞后（纯滞后）
24
有、无纯滞后的一阶对象数学模型及阶跃响应曲线
dy t T y t Kx t dt

6.第二章被控对象的数学模型

第二章被控对象的数学模型主要研究内容：⏹化工过程的特点及其描述方法⏹对象数学模型的建立（建模）•建模目的•机理建模•实验建模⏹描述对象特性的参数•放大系数Κ•时间常数Τ•滞后时间τ第二章被控对象的数学模型⏹控制效果取决于控制对象（内因）和控制系统（外因）两个方面。

۝外因只有通过内因起作用，内因是最终效果的决定因素。

⏹设计控制系统的前提是：正确掌握工艺系统、控制作用（输入）与控制结果（输出）之间的关系——对象的特性。

自动控制系统是由被控对象、测量变送装置、控制器和执行器组成。

研究对象的特性，就是用数学的方法来描述出对象输入量与输出量之间的关系。

建立对象特性的数学描述就称为建立对象的数学模型（建模）。

第二章被控对象的数学模型对象的数学模型分为静态数学模型和动态数学模型。

静态数学模型动态数学模型基础特例对象在稳定时(静态)输入与输出关系；在输入量改变以后输出量跟随变化的规律；•比较与区别：动态数学模型是更精确的模型，静态数学模型是动态数学模型在对象达到平衡时的特例。

一、化工对象的特点⏹被控对象常见种类：换热器、锅炉、精馏塔、化学反应器、贮液槽罐、加热炉等⏹1. 对控制质量影响程度相差大（内因决定外因）；⏹2. 类型繁多，特性相差悬殊；⏹3. 非线性、分布参数较多；第二章被控对象的数学模型§2.1 化工对象的特点及其描述方法二、对象特性定义⏹对象特性，即过程特性：指被控过程输入量发生变化时，过程输出量的变化规律。

⏹输入量：干扰作用、控制作用。

⏹输出量：被控参数。

⏹数学建模——就是用数学的方法来描述出对象输入量与输出量之间的关系。

⏹通道：被控过程的输入量与输出量间的信号联系。

⏹控制通道-----操纵变量至被控变量的信号联系.⏹扰动通道-----扰动变量至被控变量的信号联系.被控变量(输出量)扰动变量（输入量）操纵变量（输入量）数学模型的描述方法：1. 非参量模型：用曲线、数据图表表示的系统输入与输出量之间的关系；非参量模型可以通过记录实验结果来得到，有时也可以通过计算来得到，它的特点是形象、清晰，比较容易看出其定性的特征。

自动控制原理第二第二章数学模型线性化

自动控制原理第二章数学模型线性化
目录
• 线性化基础 • 线性化方法 • 线性化应用 • 线性化案例分析
01
线性化基础
线性化的定义
线性化是指将非线性系统在平衡点附近近似表示为线性系统的过程。
在自动控制原理中，线性化主要用于分析系统的动态特性和稳定性。
线性化的过程
确定系统的平衡点
找到非线性系统的平衡点，这是线性化的起点。
高阶项的影响
在泰勒级数展开中，高阶项被忽略，因此线性化可能引入误差。
02
线性化方法
泰勒级数展开法
总结词
泰勒级数展开法是一种通过将非线性函数在某一点处展开成幂级数来线性化非线性系统的有效方法。
详细描述
泰勒级数展开法基于数学中的泰勒级数，通过将非线性函数在某一参考点处展开成无穷级数的形式，可以近似地表示该非线性函数。在自动控制系统中，选取适当的参考点，将非线性函数进行泰勒级数展开，然后保留前几项，可以得到近似的线性化模型。
案例二：复杂控制系统线性化
总结词
对复杂控制系统进行线性化处理，以简化分析过程。
详细描述
复杂控制系统通常由多个相互耦合的动态元件组成，其数学模型通常为高阶非线性微分方程。通过适当的线性化处理，可以将非线性模型简化为线性模型，从而简化分析过程。
案例三：多变量控制系统线性化
总结词
对多变量控制系统进行线性化处理，以实现多变量控制。
幂级数展开法
总结词
幂级数展开法是一种将非线性函数表示为幂次函数的级数展开式的线性化方法。
详细描述
幂级数展开法的基本思想是将非线性函数表示为一系列幂次函数的和，通过选取适当的幂次函数，可以近似地表示非线性函数。在自动控制系统中，利用幂级数展开法可以将非线性函数进行近似线性化，从而方便建立系统的数学模型。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

列写数学模型的一般步骤
➢ 分析系统工作原理和信号传递变换的过程，确定系统和各元件的输入、输出量；
➢ 从输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各变量遵循的物理学定律，依次列写出各元件、部件的动态微分方程，做适当简化、线性化；
➢ 消去中间变量，得到描述元件或系统输入、输出变量之间关系的微分方程；
说明 ➢ 建立数学模型的一般步骤系统（实物）
简化的动力学模型或电学模型
列写数学模型
LOGO
根据工程经验和数学方法的抽象、简化。（现阶段暂不需掌握！）
需要掌握！
机械系统和电路系统的抽象与简化例：进给传动装置示意图及等效力学模型
LOGO
机械系统和电路系统的抽象与简化
LOGO
机电控制系统的受控对象是机械系统。在机械系统中，有些构件具有较大的惯性和刚度，有些构件则惯性较小、柔度较大。在集中参数法中，我们将前一类构件的弹性忽略将其视为质量块，而把后一类构件的惯性忽略而视为无质量的弹簧。这样受控对象的机械系统可抽象为质量-弹簧-阻尼系统。
举例
➢ 实验法
no K ni
LOGO
➢ 解析法
no z2 z4 z6 ni z1 z3 z5
质量-弹簧-阻尼系统
LOGO
机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可简化为质量、弹簧和阻尼三个要素：
✓ 质量
fm(t)
x (t) v (t)
m 参考点
fm (t)
m
d dt
v(t)
m
d2 dt 2
LOGO
弹簧－阻尼系统
fi(t)
0
xo(t) fi (t) fD (t) fk (t)
k
D
D
d dt
xo (t) kxo (t)
fi (t)
弹簧-阻尼系统
系统运动方程为一阶常系数微分方程。
LOGO
电路系统电路系统三个基本元件：电阻、电容和电感。
✓ 电阻
i(t)
R
u(t)
u(t) R i(t)
L
d dt
i(t)
1 C
i(t)dt
uo
(t)
1 C
i(t)dt
LOGO
LC
d2 dt 2
uo
(t)
RC
d dt
uo
(t)
uo (t)
ui
(t)
一般R、L、C均为常数，上式为二阶常系数微分方程。
若L=0，则系统简化为：
RC
d dt
uo
(t
)
uo
(t
)
ui
(t
)
由机械动力学模型或电学模型
LOGO
x(t)
LOGO
✓ 弹簧
x1(t) v1(t)
x2(t) v2(t)
fk(t)
k
fk(t)
fk (t) k x1(t) x2 (t) kx(t)
k
t
v1
(t
)
v2
(t
)
dt
t
k v(t)dt
LOGO
✓ 阻尼
v1(t) x1(t)
v2(t) x2(t)
fD(t) D
fD(t)
fD (t) Dv1(t) v2 (t) Dv(t)
LOGO
建立数学模型的方法 ➢ 解析法依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。
➢ 实验法人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。
数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。
控制工程基础（第二章）
主讲：XZIT 2017
第二章控制系统的数学模型
一、系统的微分方程二、非线性微分方程的线性化三、拉氏变换四、传递函数五、系统传统函数方框图及简化六、控制系统的传递函数推导举例七、数学模型的MATLAB实现
LOGO
第二章控制系统的动态数学模型
LOGO
本章要掌握下列内容： ➢ 建立基本环节（质量-弹簧-阻尼系统、R-L-C电路网络）的数学模型及模型的线性化 ➢ 重要的分析工具：拉氏变换及反变换 ➢ 经典控制理论的数学基础：传递函数 ➢ 控制系统的图形表示：方框图
fk (t)
m
d2 dt 2
xo (t)
fD
(t)
D
d dt
xo
(t)
LOGO
m
d2 dt 2
xo
(t
)
D
d dt
xo (t) kxo (t)
fi (t)
式中，m、D、k通常均为常数，故机械平移系统可以由二阶常系数微分方程描述。
显然，微分方程的系数取决于系统的结构参数，而阶次等于系统中独立储能元件（惯性质量、弹簧）的数量。
➢ 标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排列
说明
LOGO
上述由机械动力学模型或电学模型直接列写微分方程（数学模型），只要掌握元件和系统所遵循的物理规律，列写出系统微分方程的难度并不大。
然而，对于实际的工程系统而言，动力学模型或电学模型必须要经过对实际系统的抽象和简化获得，这种抽象和简化直接决定了所列写微分方程的工程适用程度，需要较为扎实的理论基础和一定的工程经验才能进行，对研究者的要求较高。
✓ 电容
i(t)
C
u(t) ✓ 电感
i(t) L
uห้องสมุดไป่ตู้t)
LOGO
u(t)
1 C
i(t)dt
i(t) C d u(t) dt
u(t) L di(t) dt
i(t)
1 L
u(t)dt
R-L-C无源电路网络
L
R
LOGO
ui(t)
i( C t)
uo(t)
R-L-C无源电路网络
ui
(t)
Ri (t )
➢ 建立实际机电系统的传递函数及方框图
➢ 系统数学模型的MATLAB实现
一、基本环节的数学模型
LOGO
数学模型数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。
经典控制理论：以传递函数为基础。现代控制理论：以状态空间方程为基础。而以物理定律及实验规律为依据的微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。
D
dx1 (t ) dt
dx2 (t) dt
D dx(t) dt
LOGO
机械平移系统
fi( t) m
fi(t)
m
fm(t)
静止（平衡）工作点作为
0
0
零点，以消除重力的影响
xo(t)
xo(t)
k
D
fk(t)fD(t)
机械平移系统及其力学模型
fi (t) fD (t) fk (t) kxo (t)
同理，电路系统也要根据元件特性进行抽象简化。
电动机
LOGO
直流电动机
input : ei (t)
output :o t
直流电动机工作原理
直流电动机电路与动力学
电动机
LOGO
牛顿第二定律
T t
D
do t
dt
J
d
2 o t
dt 2
LOGO
磁场对载流线圈作用的定律