第二章数学模型

L
d dt
i(t)
1 C
i(t)dt
uo
(t)
பைடு நூலகம்
1 C
i(t)dt
LOGO
LC
d2 dt 2
uo
(t)
RC
d dt
uo
(t)
uo (t)
ui
(t)
一般R、L、C均为常数，上式为二阶常系数微分方程。
若L=0，则系统简化为：
RC
d dt
uo
(t
)
uo
(t
)
ui
(t
)
由机械动力学模型或电学模型
LOGO
✓ 电容
i(t)
C
u(t) ✓ 电感
i(t) L
u(t)
LOGO
u(t)
1 C
i(t)dt
i(t) C d u(t) dt
u(t) L di(t) dt
i(t)
1 L
u(t)dt
R-L-C无源电路网络
L
R
LOGO
ui(t)
i( C t)
uo(t)
R-L-C无源电路网络
ui
(t)
Ri (t )
举例
➢ 实验法
no K ni
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➢ 解析法
no z2 z4 z6 ni z1 z3 z5
质量-弹簧-阻尼系统
LOGO
机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可简 化为质量、弹簧和阻尼三个要素：
✓ 质量
fm(t)
x (t) v (t)
m 参考点
fm (t)
m
d dt
v(t)
m
d2 dt 2
LOGO
建立数学模型的方法 ➢ 解析法 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列 写出相应的数学关系式，建立模型。
➢ 实验法 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并 用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。
数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时应对模型 的简洁性和精确性进行折衷考虑。
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弹簧－阻尼系统
fi(t)
0
xo(t) fi (t) fD (t) fk (t)
k
D
D
d dt
xo (t) kxo (t)
fi (t)
弹簧-阻尼系统
系统运动方程为一阶常系数微分方 程。
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电路系统 电路系统三个基本元件：电阻、电容和电感。
✓ 电阻
i(t)
R
u(t)
u(t) R i(t)
➢ 标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排列
说明
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上述由机械动力学模型或电学模型直接列写 微分方程（数学模型），只要掌握元件和系统所遵循 的物理规律，列写出系统微分方程的难度并不大。
然而，对于实际的工程系统而言，动力学模 型或电学模型必须要经过对实际系统的抽象和简化获 得，这种抽象和简化直接决定了所列写微分方程的工 程适用程度，需要较为扎实的理论基础和一定的工程 经验才能进行，对研究者的要求较高。
x(t)
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✓ 弹簧
x1(t) v1(t)
x2(t) v2(t)
fk(t)
k
fk(t)
fk (t) k x1(t) x2 (t) kx(t)
k
t
v1
(t
)
v2
(t
)
dt
t
k v(t)dt
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✓ 阻尼
v1(t) x1(t)
v2(t) x2(t)
fD(t) D
fD(t)
fD (t) Dv1(t) v2 (t) Dv(t)
fk (t)
m
d2 dt 2
xo (t)
fD
(t)
D
d dt
xo
(t)
LOGO
m
d2 dt 2
xo
(t
)
D
d dt
xo (t) kxo (t)
fi (t)
式中，m、D、k通常均为常数，故机械平移系统可以由二 阶常系数微分方程描述。
显然，微分方程的系数取决于系统的结构参数，而阶次等 于系统中独立储能元件（惯性质量、弹簧）的数量。
列写数学模型的一般步骤
➢ 分析系统工作原理和信号传递变换的过程，确定系统和 各元件的输入、输出量；
➢ 从输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各变量遵循 的物理学定律，依次列写出各元件、部件的动态微分方程， 做适当简化、线性化；
➢ 消去中间变量，得到描述元件或系统输入、输出变量之间 关系的微分方程；
说明 ➢ 建立数学模型的一般步骤 系统（实物）
简化的动力学模型或电学模型
列写数学模型
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根据工程经验和数学 方法的抽象、简化。 （现阶段暂不需掌 握！）
需要掌握！
机械系统和电路系统的抽象与简化 例：进给传动装置示意图及等效力学模型
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机械系统和电路系统的抽象与简化
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机电控制系统的受控对象是机械系统。在机械系 统中，有些构件具有较大的惯性和刚度，有些构件则 惯性较小、柔度较大。在集中参数法中，我们将前一 类构件的弹性忽略将其视为质量块，而把后一类构件 的惯性忽略而视为无质量的弹簧。这样受控对象的机 械系统可抽象为质量-弹簧-阻尼系统。
➢ 建立实际机电系统的传递函数及方框图
➢ 系统数学模型的MATLAB实现
一、基本环节的数学模型
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数学模型 数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之 间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与 其性能之间的内在关系。
经典控制理论：以传递函数为基础。 现代控制理论：以状态空间方程为基础。 而以物理定律及实验规律为依据的微分方程又是最基本 的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。
D
dx1 (t ) dt
dx2 (t) dt
D dx(t) dt
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机械平移系统
fi( t) m
fi(t)
m
fm(t)
静止（平衡）工作点作为
0
0
零点，以消除重力的影响
xo(t)
xo(t)
k
D
fk(t)fD(t)
机械平移系统及其力学模型
fi (t) fD (t) fk (t) kxo (t)
控制工程基础 （第二章）
主讲：XZIT 2017
第二章 控制系统的数学模型
一、系统的微分方程 二、非线性微分方程的线性化 三、拉氏变换 四、传递函数 五、系统传统函数方框图及简化 六、控制系统的传递函数推导举例 七、数学模型的MATLAB实现
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第二章 控制系统的动态数学模型
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本章要掌握下列内容： ➢ 建立基本环节（质量-弹簧-阻尼系统、R-L-C电路网络）的 数学模型及模型的线性化 ➢ 重要的分析工具：拉氏变换及反变换 ➢ 经典控制理论的数学基础：传递函数 ➢ 控制系统的图形表示：方框图
同理，电路系统也要根据元件特性进行抽象简化。
电动机
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直流电动机
input : ei (t)
output :o t
直流电动机工作原 理
直流电动机电路与动力学
电动机
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牛顿第二定律
T t
D
do t
dt
J
d
2 o t
dt 2
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磁场对载流线圈 作用的定律