第五届挑战杯数学建模网络挑战赛获奖论文

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第五届数学中国数学建模网络挑战赛
参赛队号#2165
3.2 问题二的分析 3.2.1 概述 问题二是一个优化问题， 要求我们在达到预期的情况下求专业推广者的最低雇佣数， 并建立合理优化模型，在考虑成本的情况下制订出一套合理的用人方案。其中问题二需 要使用问题一中所得到的结论。 3.2.2 简单方程求解 在计算最低雇佣人数时，我们使用问题一的计算结果，即在有 n 个推广者的情况下 100 天可以增加的粉丝数为已知，这样通过不等式 ������ ������ ≥ 2 × 108 × 40% 便可以得到最低雇佣人数������������������������ ，其中������ ������ 为 n 的函数，表示 n 个专业推广者在 100 天内 可以将该广告新闻传播给的人数。 3.2.3 优化模型 在计算用人方案时，使得雇佣 n 个专业推广者与 m 个兼职宣传者所用成本最小为目 标函数，达到预期的宣传效果（即看到该广告新闻的人数达到一定数量）为约束条件。
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参赛队号#2165 一、问题重述
随着 2012 年伦敦奥运会的临近，越来越多的企业不甘心错过奥运会这个吸引大众 眼球的宣传机会，他们在寻找新的新闻传播渠道。当今社会的数字化普及让时间、传播 渠道、受众的注意力、品牌营销方式都变得碎片化了。他们利用社交网络可以获得更加 丰富的比赛信息和网友的评论。这也为更多的企业提供了在奥运期间宣传自己的机会。 现在设想一家企业想利用社交网络在奥运会期间进行企业宣传，假设现在距离奥运 会开幕还有 100 天，一个社交网络的专业推广者平均每天可以新增 500 个粉丝，这些粉 丝会把推广者发布的和奥运会相关的所有信息都分享给自己的粉丝们，普通网络用户平 均每天可以新增 20 个粉丝。现在，我们考虑以下两个问题： 问题一：请建立数学模型，预测奥运会开始后，一条含有企业广告的奥运会新闻可 以被多少人观看到？ 问题二：假设企业产品的潜在用户大约有 2 亿人，他们都在使用社交网络，企业希 望广告宣传覆盖其中 40%的人群，至少需要雇佣几名专业社交网络推广者才能实现？假 设专业推广者每天的工资是 500 元。 还可以从网络上雇佣兼职宣传者， 每天仅需要付 50 元的工资，但是他们平均每天新增的粉丝数仅为 35 人，考虑到成本，请给企业制定一 份合理的用人方案。
二、定义与符号说明
2.1 定义 有效粉丝：关注后会知道该含有企业广告的新闻，并且不会删粉的粉丝； 广告新闻：该条含有企业广告的奥运会新闻； 2.2 符号说明 ������ :从宣传之日起进行的天数，题中t = 0 … 100，t = 100表示开幕式当天； λ1 :每天每个专业推广者粉丝都会新增粉丝数，λ1 = 500； λ2 : 每天每个普通用户都会新增粉丝数，λ2 = 20； λ3 : 每天每个兼职宣传者都会新增粉丝数，λ3 = 35； ������: 新增粉丝中看到并且会转发该广告新闻的人数占新增粉丝总人数的比例； ������ t : 宣传开始 t 天时看到该条广告新闻的人数，������(0)表示开始宣传时看到该广 告新闻的人数； γ : 平均一个用户的粉丝数； ������ :专业社交网络推广者的人数；
三、问题分析
3.1 问题一的分析 3.1.1 数据初探及简单处理. 问题一是一个方程问题，要求建立模型预测奥运会开幕式时看到该条广告新闻的人 数。对于此类问题，我们可以建立微分方程模型并逐步优化、改进。对于附件中的数据 “socialgraph.data” ， 我们用 Microsoftexcel2010 打开后得到一个 835541×2 的矩阵， 其中每一行中的两个数据之间存在 follow 关系，即后者为前者的粉丝。 我们在 “socialgraph.dada” 数据前两列后分别插入一列 835541 个数值全为 1 的单 元格，再插入数据透视表，再添加到报表，分别如图 1.1a、1.1b、1.1c，可以很直观的 得到： ⅰ:第一列数据表示一共有 2503 个用户; ⅱ:第二列数据表示一共有 465002 个新粉丝; ⅲ:原始数据中一共有 835541 行;
参赛队号 2165 所选题目 C
参赛密码 （由组委会填写）
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参赛队号#2165 Abstract
The thesis mainly researches the problem that the companies advertise themselves with SNS. With development of the era of digitization, the effect of SNS becomes stronger. So it is necessary for us to set up mathematical model to analyze. The thesis firstly predicts the number of people that one advertisement spreads through the question one. Then we can get the professional spreader in question two directly with the network resource of users in SNS. Finally we set up optimization model of minimum cost to get the optimal employ scheme. For question one, we deal with the initial data and set up an ideal model firstly. And we can know one professional spreader in 100 days can spread 3.5115 × 10131 people. Then through adding up supposition and considering the proportion ω and v of repeating funs and retransmission, we set up differential model to solve that one professional spreader in 100 days can spread 2.0873 × 107 people. For question two, we use the result of question one to solve out requiring 2 professional spreaders at least through simple non-equality. Then we set up optimization model of minimum cost and use the condition of covering rate to restrain. Finally we solve out the optimal employ scheme. It contains 2 professional spreaders and 12 part-time propagandists.
四、模型的假设
4.1 问题一的假设 （1）假设题目中所给数据真实可靠，Twitter 用户与其他社交用户的信息传播方式 是相同的； （2）假设每位推广者新增的粉丝都没有相同的； （3）设时刻 t 看到该条广告新闻人数������(t)是连续、可微函数； （4）每天新增粉丝服从均匀分布，不会出现某天没粉丝某天粉丝增加很多的情况； （5）根据实际情况，不妨假设不会有专业推广者成为普通网络用户的粉丝； （6）用户之间的粉丝没有个人主观意愿在里面； （7）新增粉丝均为有效粉丝； （8）不会出现社交网络禁止转发的情况（例如:在 2012 年 3 月 31 日-4 月 3 日，我 国就出现过各大微博停用评论功能 的情况） （9）所有社交网络信息传播的效果都是一样的。
图 1.1.a 图 1.1.b
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参赛队号#2165
图 1.1.c 其中原始数据中，每一列中均含有空白用户名的用户除去这些用户之后，继续上面 的做法，如图 1.2.a、1.2.b，可以得到: ⅰ:第一列数据表示一共有 2502 个用户; ⅱ:第二列数据表示一共有 464995 个新粉丝; ⅲ:新数据中一共有 835423 行; 于是我们得到结论：除去这一部分数据后队员数据影响可以忽略不计;
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参赛队号#2165
������: 网络兼职宣传者人数； ������0 :从宣传开始到奥运会开幕式当天，社交网络用户总数； s t :第 t 天已经知道该条广告新闻的人数占社交网络用户总人数的比例； ������ : 企业通过社交网络宣传的费用； q ：为平均每天每个用户发布信息数量； Q ：为整个社交网络发布信息数量；
图 1.2.a
图 1.2.b
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参赛队号#2பைடு நூலகம்65
3.1.2 频数分布条形图 接下来， 使用条形图直观的描述这些数据的频数分布情况， 分别见图 1.3.a、 图 1.3.b。
图 1.3.a
图 1.3.b 3.1.3 分析小结 基于以上分析，我们可以首先建立一个理想状态下的数学模型Ⅰ。然后，我们再对 该模型进行合理优化改进。
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参赛队号#2165
2012 年第五届“认证杯”数学中国 数学建模网络挑战赛
题 目碎片化趋势下的奥运会商业模式
关 键 词优化微分方程 统计 Matlab lingo
摘要：
本论文主要研究企业利用社交网络进行企业宣传的相关问题。随着数字化时代的发 展，社交网络的宣传影响力越来越大。因此，有必要建立数学模型进行研究分析。本文 首先通过问题一预测出一条宣传信息的传播人数，然后利用网络资源得到社交网络用户 的相关数据，进而直接得出问题二中雇佣的专业推广者人数。最后建立优化模型，对最 小成本目标进行约束，得出最优的雇佣方案。 对于问题一，首先对题目所给数据进行处理，建立理想条件模型，得出一个专业推 广者条件下 100 天的传播人数为3.5115 × 10131 。然后通过增加假设，考虑用户之间粉 丝重复比例 ω 以及看到并转发的比例 v，建立微分方程模型，求解出一个专业推广者在 100 天的传播人数2.0873 × 107 人。 对于问题二，首先我们根据问题一的结果，可以由简单方程求解出至少需要 2 名专 业推广者。然后，建立最小成本的优化模型，并对 40%的覆盖率进行约束，最后可以求 解得最优的雇佣方案是 2 个专业推广者和 12 个兼职宣传者。
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参赛队号#2165
第五届“认证杯”数学中国 数学建模网络挑战赛 承诺书
我们仔细阅读了第五届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛的竞赛规则。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规 则的行为，我们将受到严肃处理。 我们允许数学中国网站(www.madio.net)公布论文，以供网友之间学习交流，数学中 国网站以非商业目的的论文交流不需要提前取得我们的同意。 我们的参赛队号为：2165 参赛队员 (签名) ： 队员 1：崔学伟
队员 2：胡晓楠
队员 3：李文胜
参赛队教练员 (签名)： 参赛队伍组别：本科生组
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参赛队号#2165
第五届“认证杯”数学中国 数学建模网络挑战赛 编号专用页
参赛队伍的参赛队号：（请各个参赛队提前填写好）：
2165
竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：
竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：