14级--GZ《概率与统计》_第3讲_Ch1基本概念_条件概率(2)_独立性

将已知条件列表
§5 条件概率
甲 合格品 次品 共计 乙 丙 共计
2 4
2 6 8
12 2
16 12 28
三者都包含“甲车床加 工”和“合格品”这样 的词，三者区别何在？
6
14
解： (1) 零件是丙车床加工的概率: p1=14/28=0.5 (2) 是甲车床加工且合格的概率: p2=2/28=1/14 (3) 已知是合格品，则为甲车床加工的概率: p3=2/16=1/8 (4) 已知是甲车床加工的，是合格品的概率: p4=2/6=1/3
n
P( A) P( A | Bi ) P( Bi ).
i 1
n
显然：事件A的可 能性包含在B1 , B2, B3, … Bn 中
证： P( A) P( A S ) P( A ( Bi ))
i 1
B1
P( ABi ) P( ABi )
i 1 i 1
n
n
A
已知结果，推测原因
P( A | Bi ) P( Bi )
P( A | B ) P( B )
j 1 j j
n
, i 1, 2, 3, ... n.
2 按考虑先后次序求解。 | S | A 2 90 ， | AB | A 10 3 6，
6 1 P( AB) 。 90 15
§5 条件概率
10个产品，其中3个为次品，从中不放回地一 例2： 个个取出，第一次取到的是次品，问：第二次 取到的又是次品的概率是多少？
解：
(ii) 求P(B)：
1 1 1 2% 2% 4%=2.5%. 2 4 4
全概公式
雨伞掉了。落在图书馆中的概率为50%，这种情况下 例6：
找回的概率为0.80；落在教室里的概率为30%，这种情 况下找回的概率为0.60；落在商场的概率为20%，这种 情况下找回的概率为0.05。求找回雨伞的概率。
与“概率的公理化定义”对比
条件概率的逆概公式：P(Ac|C) = 1− P(A|C) 条件概率的加法公式：P(A∪B|C) = P(A|C) + P(B|C) − P(AB|C) 条件概率的减法公式：P(A − B|C) = P(A|C) − P(AB|C)
§5 条件概率
与条件概率有关的三个重要公式 乘法公式 全概公式 贝叶斯公式（逆概公式）
j 1
乘法公式
证： P( Bi | A) P( Bi A) n P( A | Bi ) P( Bi ) .
P( A)
P( A | B ) P( B )
j 1 j j
全概公式
贝叶斯公式（逆概公式）
Bayes公式
Bi为“原因” A为“结果” 已知原因，判断结果
P( Bi | A)
全概公式
例： 师大毕业生小王参加微软公司的招聘考试，有10个签，
随机抽一个作答。10个签中，6个是编程题，4个是英 语题，小王对编程题有80%的把握，对英语题有90% 的把握。问：小王回答正确的概率是多少？
用“全概公Biblioteka Baidu”求解
全概公式
定理（全概率公式）：
A为任一事件， 设{B1，B2，… ，Bn}为样本空间S 的一个分割， 则
A1 第1次未拨通，P( A1 ) 9 10.
A2 A1 已知第1次未拨通，第2次又未拨通，P( A2 A1 ) 8 9. A3 A1 A2 已知头两次均未拨通，第3次也未拨通，P( A3 A1 A2 ) 7 8. 9 8 7 P( A) 1 P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 A1 A2 )=1 =0.3 10 9 8
样本空间S={从10个产品中取1个} ，B={第一次取出次 品}，约定：取物考虑先后次序。
1 1 | S | A10 10， | B | A3 3，
3 P( B) 。 10
§5 条件概率
10个产品，其中3个为次品，从中不放回地一 例2： 个个取出，第一次取到的是次品，问：第二次 取到的又是次品的概率是多少？
令Ai = {第i次拨通了电话，i = 1, 2, 3}，则 “至少1次发生”的对立事件为： “至多0次发生” =“均未发生”
即： A A1 A2 A3 A1 A2 A3
乘法公式此时就派上了用场！
故： P( A) 1 P( A) 1 P( A1 A2 A3 ) 1 P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 A1 A2 )
“两次取到的均是次品”为事件AB； “第一次已取到次品，第二次又取到 次品”则为事件A|B。
§5 条件概率
10个产品，其中3个为次品，从中不放回地一 例2： 个个取出，第一次取到的是次品，问：第二次 取到的又是次品的概率是多少？
解：
(i) 求P(AB)：
样本空间S={从10个产品中取两个} ，AB= {两次均取到 次品}，注意：事先要约定好，是否考虑取物的先后次序，此处
乘法公式
盒中有6只红球，4只白球。现从中任取两次，每次取 例4：
一球，不放回，问： (1) 取出的两个都是红球的概率p1； (2) 取出的两个是同色球的概率p2。
解：此题可按古典概型中的无条件概率来计算。此处我们用条件概率求解。
令Ai = {第i次取到红球，i = 1, 2}，则 6 5 1 （1）p1 P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 A1 ) . 10 9 3
解： 求P(B)的第二种方法
(ii) 求P(B)：
S={从10个产品中取两个} ，B={第一次取出次品}，取物
分先后次序。
2 1 1 | S | A10 90， | B | A3 A9 27，
27 3 P( B) 。 90 10
§5 条件概率
10个产品，其中3个为次品，从中不放回地一 例2： 个个取出，第一次取到的是次品，问：第二次 取到的又是次品的概率是多少？
§5 条件概率
上次课内容回顾：
如果B发生了，那么为了A发生，其结果必然是 既属于A也属于B，即这个结果必然属于AB。 既然已知B已经发生，B就成了新的样本空间，因 此A发生的概率必然等于AB发生的概率与B发生的 概率之比值。
§5 条件概率
上次课内容回顾：
P ( AB) 条件概率计算公式： P ( A | B ) P( B)
§5 条件概率
与条件概率有关的三个重要公式
乘法公式 全概公式 贝叶斯公式（逆概公式）
乘法公式
乘法定理
P( AB) 条件概率计算公式： P( B | A) P( A)
设P(A)>0，则： P(AB) = P(A)P(B|A) 推广： 设P(A1A2 … An1)>0，则
P(A1A2 … An) =
B2
…
Bn
B3
P( A | Bi )P( Bi ).
i 1
n
各个A Bi不相容
全概公式
意义：
全概率公式 Bn B3
B1
A
B2
P( A) P( A | Bi ) P( Bi ).
i 1
n
P(A|Bi)即为“ABi在Bi中所占百分比” P(Bi)即为“质量权重”
“一种结果，多个原因”
令D={找回雨伞}， 雨伞只可能落在三个地方之一： A={落在图书馆}，B={落在教室}，C={落在商场}. 三个事件构成一个完备事件组。 用全概公式：
分析：
P( D) P( A) P( D | A) P( B) P( D | B) P(C ) P( D | C ).
全概公式
一保险公司相信人群可分为两类，一类是容易出事故 例7：
全概公式 贝叶斯公式（逆概公式）
全概公式
划分（“分割”，“完备事件组”）
设B1，B2，… ，Bn为样本空间S中的n个事件，满足：
(i) Bi ∩ Bj = Φ, i ≠ j.
(ii)
（不重复） （不遗漏）
B1 B2
…
Bn B3
B B
i i 1 i 1
n
n
i
S.
就称{B1，B2，… ，Bn}为样本空间S 的一个分割。
的，另一类是不易出事故的。前者在一年内出事故的 概率为0.4，后者在一年内出事故的概率是0.2。前者约 占人群的30%。今有一人来投保，问：他在一年内出 事故的概率有多大？
解：
令A={在一年之内出事故}，
B {容易出事故}， B {不易出事故}，
则B与 B 构成完备事件组，
用全概公式：
P( A) P(B)P( A | B) P(B)P( A | B)
（2）p2 P( A1 A2 A1 A2 ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 )
p1 P( A1 A2 ) p1 P( A1 ) P( A2 A1 ) 1 4 3 7 . 3 10 9 15
§5 条件概率
与条件概率有关的三个重要公式 乘法公式
§5 条件概率
10个产品，其中3个为次品，从中不放回地一 例2： 个个取出，第一次取到的是次品，问：第二次 取到的又是次品的概率是多少？
解：
A={第二次取出次品}，
B={第一次取出次品}， 本题所求即为P(A|B). 注意：
是求“两次取到的均是 次品的概率”吗？
P ( AB) P( A | B) P( B)
P(A1)P(A2|A1) P(A3|A1A2) … P(An|A1A2 … An1).
乘法公式
浙师大的老同学聚会，想电话预订世贸饭店的座位， 例3：
因忘记了订座电话的最后一位号码，所以就试着拨号， 问：三次之内拨通的概率是多少？
A A1 A2 A3.
解： A = {三次之内拨通电话} = {三次之内至少有一次拨通了电话}
解：
(iii) 求P(A|B)：
P( AB) 1 15 2 P( A | B) P( B) 3 10 9
也可心算：已经取到了1个次品，故 还剩2个次品，因此第二次又取到次 品的概率为9中取2，可以体会到，样 本空间缩减了.
§5 条件概率
性质： 给定A发生，P(A)>0. 附加了“条件”，无非是告 1. 0P(B|A)1 诉你样本空间改变了而已 2. P(S|A)=1 3. 若B1∩B2=Φ，则P (B1∪B2|A)= P(B1|A)+P(B2|A)
概率论与数理统计
主讲 高昭
2016-3-10
浙江师范大学工学院 职业技术教育学院
§5 条件概率
上次课内容回顾：
条件概率定义 在一次试验中，在某事件B发生的条件下，事件A发生 的概率，称为条件概率，记为P(A|B)。
知道某些信息后，对A发生的概率做一个判断比什么都 不知的情况下对A发生的 概率所做的判断是不一样的。
A
B S
§5 条件概率
现有28件产品，它们是由甲、乙、丙三台车床加工的， 例1：
其中8件由乙车床加工的；甲车床加工的产品中有4件 次品；丙车床加工的产品中有12件合格品。又已知乙 车床加工的产品的次品数占全部产品次品数的1/2，而 占全部产品数的3/14，任取一件产品，求：
(1)这件产品是丙车床加工的概率p1; (2)这件产品是甲车床加工的且是合格品的概率p2; (3)已知这件产品是合格品，则它是甲车床加工的概率p3； (4)已知这件产品是甲车床加工的，则它是合格品的概率p4；
0.3 0.4 0.7 0.2 0.26.
§5 条件概率
与条件概率有关的三个重要公式 乘法公式 全概公式
贝叶斯公式（逆概公式）
贝叶斯公式（逆概公式）
Bayes公式
设{B1，B2，… ，Bn}为样本空间S 的一个分割，A为任一事件， 则 P( A | Bi ) P( Bi ) P( Bi | A) n , i 1, 2, 3, ... n. P( A | B j ) P( B j )
全概公式
某工厂所需零部件由A, B, C三个厂提供，A厂供应的占 例5：
1/2，B厂供应占1/4，C厂供应占1/4。三厂零件均有次 品，设A厂零件次品率为2%， B厂零件次品率2%， C 厂零件次品率4%。从三厂所供零件中随机取一个出来， 问：该零件为次品的概率是多少？
解：
令D={任取一个零件为次品}， 零件只能来自三个厂之一： 令 A={零件来自A厂}，B={零件来自B厂}，C={零件来自C厂}. 三个事件构成一个完备事件组。 用全概公式： P( D) P( A) P( D | A) P( B) P( D | B) P(C ) P( D | C )