各种构造解导数压轴题

活用构造策略 进入解题佳境

——例说各种构造法解决导数压轴题

古县二中 林立飞

摘 要：函数与导数是高考的重要考点，不等式的恒成立问题、函数的零点问题、函数的极值点问题，随着课改的深入与高等数学背景有关的这些问题也在考试中频繁出现，这就需要一线教师对这些题型的解题规律进行探究与归纳。

关键词：函数；导数；命题；构造；参数；罗比达法则

自从导数进入中学数学教材之后，给传统的中学数学带来了生机和活力，为中学数学研究提供了新的视角、新的方法和新的途径，拓宽了高考的命题空间。应用导数知识，研究函数的单调性、零点，以及参数的取值范围和证明不等式是近年高考数学考察重点和热点。

特别值得关注的是，近几年的高考导数压轴题，题型新颖别致、不落俗套，综合了函数、不等式、数列、逻辑等知识。往往以含参问题为载体，同时也蕴含了数形结合、分类讨论、构造等等数学思想方法，综合考察学生的分析问题和解决问题的能力，而且试题难度、深度和广度试题还在不断变化。如何进行突破，是值得研究的课题。通过对大量高考题和模拟题的分析研究，笔者给出了各种构造方法，能够化复杂为简单，化抽象为具体，达到以不变应万变的功效。本文所有例题，均只给出与本文相关的题目条件和方法。

一、构造函数，柳岸花明又一村

构造函数是解决抽象不等式的基本方法，根据题设的条件，并借助初等函数的导数公式和导数的基本运算法则，相应地构造出辅助函数. 通过进一步研究辅助函数的有关性质，给予巧妙的解答.在导数题中体会构造函数的数学价值。

题型1：已知函数)1(ln )(--=x a x x f ，a ∈R．

(I)讨论函数)(x f 的单调性；

(Ⅱ)当1≥x 时，)(x f ≤

1ln +x x 恒成立，求a 的取值范围。 (I)解（省略不谈）。 (Ⅱ))-(ln -ln ln )(,:11

11x a x x x x x x f x ≤++≤≥恒成立等价于时当解 )1-()( ,1

ln 1ln -ln )(x a x g x x x x x x x h =+=+=令

[)是增函数。，在即∞+>'∴≥+++='1)(,0)( ,1 ,)1(ln 1)(2

x h x h x x x x x h 0)1((1==g h ）又 (1)g )1()1)(()('≤'≥≤∴h x x g x h 恒成立，只需

a 2

1≤即 二、构造子区间，端点分析显奇效

某些含参导数问题，如果追求一味的分离参数，往往很难奏效，但是假如从端点分析入手，发现端点是临界情况，那么可以对端点进行分析，找到解题突破口。

题型2.：设函数x a ax x f ln )(2

--=，其中R a ∈

（1）讨论单调性 （2）确定a 的所有确定的值，使得x e x

x f -->

11)(在区间),1(+∞内恒成立。 解：对于第二问：x e x x f -->11)(等价于x a ax ln 2--011>+--x e x

令=)(x F x a ax ln 2--x e x -+-11。由于0)1(=F ，欲使得),1(+∞∈x ，0)(>x F 成立，则在1=x 的端点右侧，必存在子区间)1,1(δ+（范围很小，下同），)(x F 必须单调递增，即0≥)('x F 在)1,1(δ+必须成立，由极限思想01≥)('F ，所以21≥

a ，显然2

1≥a 是命题成立的必要条件。 另一方面。可以证明，当2

1≥

a ，可得 0≥)('x F 恒成立。 证明过程如下：令21112x e x ax x g x F x +--==-)()(' 则312212x

e x a x g x -++=-)('=x e x x ax -+-+1332202133>+-+≥-x e x x x 故)(x g 在),1(+∞∈x 递增，又012)1(≥-=a g ，所以0)1()(≥>g x g ，即0)(≥x F 综上，2

1≥a 三、构造直线，突破重围建奇功

图像是函数最直观的模型，有些代数式经变形后具备特定的几何意义，这时候可以考虑分解出一次函数，利用直线与函数图象相切，充分运用数形结合求解,深刻揭示数学问题

[)是增函数。

，在时，当∞+>='1g(x )0a ,)( a x g

的本质．

题型3：（2010全国卷理科压轴题）设函数)(x f =21ax x e x ---

( 1 ) 若当a =2

1时，求)(x f 的单调递增区间； （2）若当0≥x 时，0)(≥x f ，求a 的取值范围。

分析：（1）解略。

( 2 ) 考虑第二问，因为当0=x 时，R a ∈，0)(≥x f 恒成立

当时，由题意变形为11+≥-ax x e x ，令x

e x g x 1)(-=，1)(+=ax x h ，21)1()('x

e x x g x +-=，设11+-=x e x x h )()(（0>x ），则0>=x xe x h )('，所以)(x h 在0>x 时单调递增，从而00=>)()(h x h ，易知0)('>x g ，由罗比达法则

110=-=→x

e x g x x )(lim ，作出函数)(x g 和)(x h 图象可知，只要a x g x ≥→)('lim 0，由罗比达法则21)('lim 0=→x g x ，所以2

1≤a 。 解题思路总结：

这里，选择1)(+=ax x h ，没有选择1+=x y ，目的是使得参数a 出现在直线方程中。以导数为工具，研究曲线的单调性,分析变化趋势,然后在同一坐标系中，作出曲线和直线，从直线与曲线的位置关系出发，一般观察或者比较在端点处曲线的切线斜率的大小关系建立不等式，有时需要求极限值，甚至使用罗比达法则。

四、构造不等式，拨开云雾见蓝天：

已知条件中涉及导数的含参不等式问题频繁出现在各类考题中，格外引人关注，由于这类问题对思维的灵活性较高，常让学生忘而生畏，这种题型结构复杂，常规方法很难奏效，那么需要我们对不等式的结构进行分析，找到解决的突破口。

（2018厦门市质检题）：已知函数)()()(2R a e

a x ax x f x ∈++=- （1） 若0≥a ，函数)(x f 极大值为e

3，求实数a 的值；