例说离散型函数的最值问题

例说离散型函数的最值问题

河南省人大附中郑州分校 刘凡 邮编（452370）

（本文发表在2008.5，6 《中学生理科应试》哈师大 P22.）

离散型函数在中学数学中通常是指自变量为正整数的函数，如数列、二项式、概率及随机变量的期望和方差等。本文仅就此类函数中的最值问题予以分类说明。

一 数列的最值问题 例：若数列{}n a 的通项式为221225()4(),().{}

55

n n n

n a n N a --*

=-∈的最大项为第x 向，最小项

为第y 项，则____________.x y +

=

解析：因为221225()4(),55n n n

a

--=-令12(),(),5n u n N -*=∈则2

241,,, (54)

525n u a u u ==-则由

u 的取值情况可知1

u

=时，n a 取得最大值，即为数列的第一项。故1

x

=；当25

u

=

（由二次

函数的性质）时，n a 取得最小值，即为第二项，故 2. 3.y

x y =∴+=

点评：本题在求解数列项的最大、最小值问题时，是通过换元法把原函数化成二次函数

的形式，利用二次函数的图像及性质求解。切记必须注意“自变量”u 的取值范围。

例：已知数列{}n a 中，2

,(),

156

n

n a n N n *

=

∈+则数列{}n a 的最大项为____________.

解析：由2

1,156156

n

n a

n n n

=

=++

而当n N

*

∈

时，156n n

+≥=当且仅当n =

156,n n

=

即2

156,n =∴当n N

*

∈时，12n =或13，数列{}n a 的项取到最大值。

点评：利用关系式的结构特征巧妙变形、转化为均值不等式的结构形式求最大值或项（或最小值或项）是一种常见的方法。但须注意均值不等式的应用条件及n 取正整数的性质。

例：已知数列{}n a

中，()

n

a n N *

=

∈，则在数列{}n a 的前50项中最小项和最大

项分别为______________.

解析：因为118n

a

n =

=+

∴≤≤

0.<数列{}n a 是递减数

列，此时8a 最小；当950

n ≤

≤

0,>数列{}n a 仍是递减数列，此时，9

a 最大。

点评：适当化简、转化把原函数的关系式变形为可以利用函数的单调性来求解也是一种很重要的方法。应用单调性求解数列项的最大值时，应注意有时必须分类讨论，依据自然数n 的取值范围，确定其单调区间，再依据其在对应区间的单调性求出最大、最小值。

例：等差数列{}n a 的首项10,a >前n 项和为n S ，当l m ≠时，,l m S S ≠问n 为何值时n S 有最大值。

解析：由题意知2

11(1)

()().2

2

2

n

n n d d S f n na d n a n -==+

=+-

此函数是以n 为自变量

的二次函数，因为10,a >当l m

≠时，,l m S S =故0

d

<即此二次函数开口向下，故由()()

f l f m =得2

l m x +=

时，()f x 取得最大值，但由于n N *

∈，故若l m +为偶数，当2

l m n +=

时，n S 最大；

当l m +为奇数时，1

2

l m n

+±=

时，n S 最大。

点评：如果数列的前n 项和的关系式为二次函数（或可以转化为二次函数）就可以直接应用二次函数的图像及性质求解。但不要忘记此类二次函数的定义域为正整数这个隐含的限制条件。

例：若数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()

n

n S

n N *

∈都在曲线C ：2

3y

x x

=--上，数列

{}n b 是正项数列，且点（2,log )()

n

b n n N *

∈都在直线L 上。

○1求数列{}n

a 的通项式。○2若直线L 恰好是曲线C 在点1x =-处的切线，求数列{}n

b 的

通项公式。○3在○2条件下，令,2

n n n

a b C =-

若{}n C 的前n 项和为,n n V V 是否有最大值？若有最

大值，求出其最大值；若无最大值，说明理由。

解析：○

1由条件有2

3.n

S n n =--于是易求出数列{}n a 的通项式为22,().n a n n N *

=--∈

○

2利用导数切线的概念易求的直线L 的方程为： 1.y x =-+结合已知条件可求得n b =

1

1(),2

n -且其前n 项和为12[1()].2

n

n

T =-

○

3由上述知121111

(1)(),2134()......(1)()1

2

2222

n n n n n a b C n V n n -=-

=+∴=⨯+⨯+⨯+++-。于是

有2111

11123()......()(1)().2

2222

n n

n V n n -=⨯

+⨯++⨯++⨯两式相减并整理得1

16(3)().2

n n

V n -=-+现

设

1

1()(3)(),

2

x g x x -=+则

/

111111()()(3)()ln 2()[1(3)ln 2].

222

x x x g x x x ---=-+=-+显然当1

x ≥时，

/

()

0.g x <∴()g x 在[1,)

+∞上是减函数，故1

16(3)()2

n n

V n -=-+当1n ≥时是增函数，所以数列

{}n C 的前n 项和n V 不存在最大值。

点评：构造函数，利用导数来研究函数的单调性，进而讨论求得数列前n 项和的最大（最小）值，也是一种很重要的探求数列最值的方法。

注：求数列最值问题时，除了以上方法之外，如果数列是等差数列求前n 项和时，只需

用邻项变号来讨论：○1当10,0a d ><时，满足0m a ≥且1

0m a +≤的项数m 使前m 项和m S 有最大值；○2当10,0a d <>时，满足0m a ≤且1

0m a +≥的项数m 使得m S 取得最小值。 二 概率统计中的最值问题

例：现有12道选择题，每题有4个答案，其中只有一个答案是正确的。如果任意勾选，问选对几题的概率最大？

解析：很显然，每道题勾对的概率都为1,4

勾错的概率都是3

.4

于是原问题可以归结成12

次独立重复试验，那么勾对(112)k k ≤≤题的概率为1212

1

3()(),44

k k

k C -先不妨把其记为k T ，要使k

T 最大，则应满足11

k k k k T T T T -+≥⎧⎨

≤⎩即121113121212111112

121313()()()()4444

,1313()()()()4444

k k k k k k

k k k k k k C C C C -----++-⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩整理得112121

12124133,493k k k k k C C k C C -+≤≥⎧⎧∴⎨⎨≥≤⎩⎩即 913,4

4

k ≤≤

又, 3.k N k *∈∴=即勾对

3道题的概率最大。

点评：一般地，解决此类问题时常可以采用假设第k 项（次）为最大（最小），那么就