著名机构二年级数学秋季讲义第2讲.一笔画游戏.提高班.教师版

第二讲
【例题分析】⑴ 图中有四个点是奇点，所以不能一笔画成，要想使这个图形一笔画成，就要添加一笔， 使这个图形的奇点变成两个．如下图：（答案不唯一）
⑵ 图⑵和图⑴相似，因为有四个点是奇点，所以不能一笔画成，要想使这个图形一笔画 成，就要添加一笔，使这个图形的奇点变成两个．如下图：
⑶ 图中有四个点是奇点，所以不能一笔画成，要想使这个图形一笔画成，就要添加一笔， 使这个图形的奇点变成两个．如下图：
【拓展选讲】
我国著名数学家陈景润所著《数学趣谈》一书中，有这样一道题：在法国的首 都巴黎有一条河，河中有两个小岛，那里的人们建了 15 座桥把两个小岛和河 岸连接起来， 如 下图所示． 那么 ，从任一岸出发， 不重复地通过所有的桥到 达另一岸，能做到吗 ？
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第二讲
【例题分析】 由于通过两岛之中任何一个岛的桥的数目都是偶数 ，而通过两岸的任一 个岸的桥的数目 都是奇数，这就表示由任一个岸出发，都存在一条路，使人们将所有的桥都只走一次而 到达另外一个岸．画出图来就能一目了然了 ．见上后两图． 注意帮助孩子转化， 画出图 形．
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第二讲
（2008 年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛决赛）
下面的图形，要求画过的线段不能重复画，那么这个图形最少 出．
笔才能画
【答案】共有 10 个奇点，所以最少10 2 5 （笔）画出来．
附加题
（老师可根据自己的课堂进度灵活处理讲义内容，附加题仅供老师参考使用．）
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第二讲
第二讲
一笔画游戏
第三级下 一笔画游戏
第五级下 多笔画游戏 （三年级秋季第七讲）
第三级下 一笔画游戏 在本节课主要学习一笔画问题，通过一笔画游戏来发现一笔画的规
律．并能根据奇点的个数来判断哪些图形能一笔画，哪些不能一笔画，掌 握这种规律快速找到一笔画的方法，培养探索精神．
第五级下 多笔画游戏 本讲主要研究多笔画问题，以及一笔画及多笔画问题的应用．
【教学说明】在例 1 的教学中，首先老师要明确本题的意图，本题的教学目的在于让学生尝试一笔画， 然后来认识奇点和偶点 ，进而总结出一笔画的特点， 一个图如果能够一笔画出， 则画的
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第二讲
方法不止一种，但各种方法大同小异．因此，讲义中，一笔画的问题，一般我们只给出 一种画法 ．
【拓展选讲】在下列的各个图中去一条线后，一笔画出每个图形．
⑴
⑵
⑶
【例题分析】⑴ 图中有四个点是奇点，所以不能一笔画成，要想使这个图形一笔画成，就要使这个图形的 奇点变成两个．如下图：（答案不唯一）
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第二讲
⑵ 图⑵和图⑴相似，因为有四个点是奇点，所以不能一Βιβλιοθήκη Baidu画成，要想使这个图形一笔画 成，就要使这个图形的奇点变成两个．如下图：
C
D
B
I
E
A
F
G
H
【例题分析】一次连续剪下图中的三个正方形和两个三角形 ，必须要求剪刀连续剪过图中所有的线 ．即 上述问题实际上是这个图能否一笔画出的问题．显然，图中有两个奇点，因此可以一笔画 出，剪刀所走的路线可以是：A→B→C→D→E→F→G→E→I→G→H→A→I→C．这样， 就能用剪刀一次连续剪下三个正方形和两个三角形．（答案不唯一）
【教学说明】在教学这道题的时候，关键还是要引导学生理解，要把这个图形用剪刀一次连续剪下图 中的三个正方形和两个三角形，就是看这个图形能不能一笔画，然后沿着一笔画的线路 剪就可以剪成三个正方形和两个三角形．对于类似的一笔画应用问题，并不是学生不会 判断一个图形能不能一笔画 ，而是学生不知道什么问题需要用一笔画方法来思考 ， 因此 这是第二节课突破的重点．
例5
下图是村庄的平面图，艾迪和薇儿想不重复地走遍村庄的每条通道，节省时间，他们应该怎么 走呢？请你帮她们设计一条行走路线（可以从 A、B、C、D、E、F、H、I 任意口进出村庄）．
E A
G H
D
从哪个门进最合适？
I
B
C
F
【例题分析】能．这其实是一个“一笔画”问题，图中只有 D、G 两个是奇点，所以可以一笔画出．如 下图：我们可以从 D 点进入，到 G 点时所有地方全部走到，而且没有重复．（答案不唯 一） D→G→I→D→E→I→C→F→B→H→F→G→H→A→E→G
第二天，老大一大早就出门了，他气喘吁吁地弄回来一大堆干柴，塞满了一间屋子． 老二也不甘示弱，他费了好大力气弄来了许多稻草，也把一间屋子塞得满满的． 三兄弟中唯有老三没有行动，到了傍晚他才出发，天黑时带回来一根蜡烛． 父亲看后哈哈大笑，最终带着老三出门了． 你知道为什么老三会获胜吗？ 老三在晚上点燃蜡烛，满屋子都亮堂堂的．虽然 2 个哥哥也都做到了， 但是都没有老三完成得省劲．父亲当然喜欢带聪明的孩子出门了．
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第二讲
拓展与提高
下图是某地区所有街道的平面图．甲、乙二人同时分别从 A、B 出发，以相同的 速度走遍所有的街道，最后到达 C．如果允许两人在遵守规则的条件下可以选择最 短路径的话，问两人谁能最先到达 C？
F
C
B
A
E
D
【例题分析】题中要求两人必须走遍所有的街道，最后到达 C，而且两人的速度相同，因此，谁走的 路程少，谁便可以先到达 C．仔细观察，可以发现图中有两个奇数点 A 和 C，这就是说： 甲可以从 A 点出发，不重复地走遍所有的街道，最后到达 C；而 B 点是偶数点，从 B 点 出发的乙则不行．因此 ，甲所走的路程正好等于所有街道路程的总和，而乙所走的路程 一定比这个总和多，这样甲先到达 C．
【教学说明】本题对学生来说有一些难度，主要是不理解题意，在此老师要引导学生读题，分析题意， 找到解答问题的关键，艾迪和薇儿想不重复地走遍商村庄的每条通道，节省时间，其实 就是研究这个图形能不能一笔画 ，并且还要弄清楚 从哪里开始又从哪里结束．
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例6 一张纸上画有如下图所示的图形，你能否用剪刀一次连续剪下图中的三个正方形和两个三角 形？
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第二讲
例4 现在你能说说为什么奥运五环可以一笔画出，哥尼斯堡城七桥为什么就不能找到一条不重复地 一次走遍七座桥的路线了吗？
⑴
⑵
【例题分析】⑴ 五环图案中的点都是偶数点，因此可以一笔画出．所画路线如图所示：
⑵ 欧拉解决这个问题的方法非常巧妙．他认为：人们关心的只是一次不重复地走遍这七 座桥，而并不关心桥的长短和岛的大小，因此，岛和岸都可以看作一个点，而桥则可 以看成是连接这些点的一条线．这样，一个实际问题就转化为一个几何图形（如下图） 能否一笔画出的问题了．因为图 b 有 4 个奇点，所以不能一笔画成，也就没有这样一 条路存在了．
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(a)
(b)
【教学说明】在第一节课已经研究了一笔画问题的特点，第二节课主要研究的就是一笔画问题在生活 中的应用 ．首先回到开课的两个问题上来，用我们所学的一笔画知识解释为什么五环可 以一笔画 ，为什么七桥问题中不能一次不重复地走遍每一座桥．尤其在解决第二个问题 的时候，要引导学生用一笔画问题来思考，把平面图形抽象成几何图形来分析．
图形我们叫它连通图．此题与例 1 进行对比，是为了让学生明确一笔画的前提必须是连 通图形．
例2 下列图形能一笔画成吗？为什么？并试着画一画．
⑴
⑵
⑶
⑷
【例题分析】⑷不可以，⑴、⑵、⑶可以．注意：学生在分析时容易漏掉某些点，所以分析之前，先 把各点都标注字母．画的过程着重让学生体会“①有 0 个奇点(即全部是偶点)的连通图 能够一笔画成．(画时可以任意一点为起点，最后又将回到该点)．②只有两个奇点的连 通图也能一笔画成(画时必须以一个奇点为起点，而另一个奇点为终点)．”这两点．让学 生很快就能找到画的方法．
瑞士著名数学家欧拉通过研究七桥问题就发现了一笔画的规律： ① 不连通的图形必定不能一笔画；能够一笔画成的图形必定是连通图形． ② 有 0 个奇点（即全部是偶点）的连通图能够一笔画成．（画时可以以任意一点为起点，
最后又将回到该点）． ③ 只有两个奇点的连通图也能一笔画成（画时必须以一个奇点为起点，而另一个奇点
⑴ 从一点出发的线的条数是偶数（双数），这点称为 偶点 （双数点 ）．
⑵ 从一点出发的线的条数是奇数（单数），这点称为 奇点 （单数点 ）．
奇点和偶点跟一笔画有什么关系呢？我们下面继续研究．
【例题分析】首先老师给学生时间让学生充分动脑动手，看看哪个图形能一笔画出．然后再来研究这 些能一笔画成的图形有什么特点． 在这些图形中可以一笔画出的是：⑴、⑵、⑶、⑹、⑺；不可以一笔画出的是：⑷、⑸．
我会一笔画成
例1
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第二讲
你能试着用一笔把下列图形画出来吗？如果可以，说说你是怎样画的？
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
⑺
为什么有的图形可以一笔画成，有的图形不能一笔 画，一个图形是否能一笔画出取决于什么呢？
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第二讲
下面让我们一起来观察一下图形 ．我们不难发现，这些图形都是由点 和线构成的 ．（这里所说的“线” ，可以是直线段，也可以是一段曲线 ．）每 个图中的每一个点都有线与它相连；有的点与一条线相连，有的点与两条 线相连，有的点与三条线相连等等．一个图形是否能一笔画成跟这些点有 什么 关系？
为终点）， ④ 奇点个数超过两个的连通图形不能一笔画成．
试试看下图能一笔画出吗？
⑴
⑵
【例题分析】⑴、⑵都不能一笔画出，这组图形和例 1 的图形有些不一样．⑴是“品”字图形，它由 三个正方形构成，它们之间没有线相连．⑵是古代的钱币图形，它是由一个圆形和中间
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第二讲
的正方形方孔组成．圆和正方形之间没有线相连． 【教学说明】像这样的图形是不连通图，显然不能一笔把这样的不连通图画出来．当然，像例 1 中的
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第二讲
下列图形能一笔画成吗？为什么？并试着画一画．
⑴
⑵
⑶
【例题分析】⑴、⑶可以，⑵不可以；其实我们不必把所有奇点都找出来，只要发现图中的奇点多于 2 个就不能一笔画成了．
例3 下面的图形都不能一笔画成，你能否在图中添上一条线段，使它能一笔画成．
⑴
⑵
⑶
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⑶ 图中有四个点是奇点，所以不能一笔画成，要想使这个图形一笔画成，就要使这个图 形的奇点变成两个．如下图：
填充房间
从前，在山脚下住着一对夫妇，他们有 3 个儿子．一天，父亲要远去京城，需要一个儿子 陪同．3 个儿子从小在山里长大，从没去过京城，都想跟父亲出去长长见识．带谁去好呢？为 了公平，父亲就给他们出了一道题，让他们每人拿 2 两银子去买东西，用买来的东西分别把院 子里的 3 间空屋子装满．
⑵ 开课的时候老师通过讲故事来引导学生研究七桥问题，可以让学生动手尝试．很显然 不管怎样尝试，也不可能找到这样一条路，至于这是为什么呢？我们可以通过这个疑 问，激发学生探究的兴趣，进而来学习一笔画问题．
同学们，为什么奥运五环可以一笔画成呢？为什么七桥问题中就不能找到一条不重 复地一次走遍七座桥的路线呢？什么样的图形可以一笔画成？什么样的图形不能一笔画成？大家是不 是很想知道其中的原因，这些问题将在今天的学习中一一得到解答．
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第二讲
课前活动 ——动手画一画
一笔画游戏
下面是一个奥运五环标志，你能不能一笔画出下 面的奥运五环图呢？大家试一试．（要求：笔中途不 能离开纸 ，每条线只能画一次不能重复画．）
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第二讲
【教学说明】⑴ 奥运五环可以一笔画成，在这里通过让学生自己动手来画，让学生理解什么是“一笔 画” ，激发学生对一笔画问题研究的兴趣．在这里只引导学生找到画的方法，不要求理 解为什么可以一笔画．
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第二讲
下图是一个大型花池中小路的平面图，你能否不重复地一次走完所有的小路？进、出口应设在 什么地方？
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
⑺
⑴ 有 2 个奇点，所以能一笔画成．
⑵ 都是偶点，所以能一笔画成． ⑶都是偶点，所以能一笔画成．
⑷有 4 个奇点，所以不能一笔画成． ⑸有 4 个奇点，所以不能一笔画成．
⑹有 2 个奇点，所以能一笔画成． ⑺有 2 个奇点，所以能一笔画成．
最后，综合成一条判定法则：
有 0 个或 2 个奇点的连通图能够一笔画成，否则不能一笔画成．