有关连续奇偶数之和的问题

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小学奥数数论专题--奇数与偶数（六年级）竞赛测试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）【题文】的和是奇数还是偶数？【答案】奇数【解析】在1至1993中，共有1993个连续自然数，其中997个奇数，996个偶数，即共有奇数个奇数，那么原式的计算结果为奇数.【题文】得数是奇数还是偶数？【答案】偶数【解析】偶数。

原式中共有60个连续自然数，奇数开头偶数结尾说明有30个奇数，为偶数个。

【题文】得数是奇数还是偶数？【答案】偶数【解析】200至288共89个数，其中偶数比奇数多1，44个奇数的和是偶数；151至233共83个数，奇数比偶数多1，42个奇数，为偶数；偶数减去偶数仍为偶数。

【题文】的计算结果是奇数还是偶数，为什么？【答案】奇数【解析】特殊数字：“”．在这个算式中，所有做乘法运算的都是奇数偶数，所以它们的乘积都是偶数，这些偶数相加的结果还是偶数，只有是奇数，又因为奇数偶数奇数，所以这个题的计算结果是奇数．【题文】的和是奇数还是偶数？为什么？【答案】偶数【解析】在算式中，都出现了次，所以是偶数，而也是偶数，所以的和是偶数．【题文】东东在做算术题时，写出了如下一个等式：，他做得对吗？【答案】不对【解析】等式左边是偶数，是奇数，是偶数，根据奇数偶数奇数，等式右边是奇数，偶数不等于奇数，因此东东写出的等式是不对的．【题文】能否在下式的“□”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请说明理由（1）1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝10（2）1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝27【答案】（1）不能（2）可以【解析】不能。

很多学生拿到这个题就开始试数，试了半天也试不出来因为，这时给他讲解，原式有5个奇数，无论经加、减运算后结果一定是奇数。

四年级上册数学第五单元倍数和因数-爬坡题冀教版(含解析答案)

第五单元倍数和因数例1：三个连续奇数的和是231，这三个奇数分别是多少？解析：此题考查了有关奇数的知识。

根据相邻奇数前后相差2，假设中间的奇数为a,则前一个奇数为a-2,后一个是a+2。

那么三个连续奇数的和就是(a-2) +a+ (a+2) =3a=231，则中间一个奇数为231 - 3==77前一个奇数为77-2=75,后一个奇数为77+2=79,这三个连续奇数为75、77、79。

答案：231 - 3=77,77-2=75,77+2=79答：这三个连续奇数为75、77、79。

例2：计算下面各组题,你会发现什么？1 ) 35+27=323+121=67-35=233-143=2 ) 32+24=128+242=68-24=352-168=3)23+48=97-64=262+137=78-43=解析：此题考查了奇数、偶数相加减的特点。

根据观察题目和已知条件会发现第一组是奇数与奇数的加减法；第二组是偶数与偶数的加减法；第三组是奇数与偶数的加减法。

通过计算可知第一组结果都是偶数；第二组结果都是偶数；第三组结果都是奇数。

结合已知条件和结果得出,奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数奇数±偶数=奇数或偶数±奇数=奇数。

答案：( 1) 35+27=62 323+121=144 67-35=32 233-143=90 ( 2) 32+24=56 128+242=370 68-24=44 352-168=184( 3) 23+48=71 97-64=33 262+137=399 78-43=35发现：奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数奇数±偶数=奇数或偶数±奇数=奇数。

例3：五个连续偶数的和是270,这五个偶数分别是多少？解析：此题考察了有关偶数的知识。

根据相邻偶数前后相差2，假设中间的偶数为a,那么a前边两个偶数分别为a-2、a-2-2、a后边两个偶数分别为a+2、a+2+2。

奥数等差数列

1、求1+2+3+4+……+24+25的和2、甲数＝1+3+5+……+97+99，乙数＝2+4+6+……+98+100，问：甲数和乙数谁大？大多少？3、从4到81所有自然数的和是多少？4、五个连续自然数的和是100，求这五个数各是多少？5、四个连续自然数的和是162，求这四个数。

6、比101小的所有双数的和是多少？7、7个连续自然数的和是105，其中最小的数是多少？最大的数是多少？8、39个连续奇数的和是1989，其中最大的一个奇数是多少？9、全部三位数的和是多少？10、三年级52名学生站成4排照相，每一排都要比前一排多2人，每排各站多少人？11、十五个连续自然数中，最大数是最小数的3倍。

这十五个数的和是多少？12、11至18八个连续自然数的和加上1992，所得结果恰巧等于另外八个连续自然数的和，这另外八个连续自然数中，最小的是多少？13、四个连续奇数，第一个是第四个数的19/21，那么这四个数的和是多少？14、从1到n的连续自然数n个，这些自然数中偶数和是90，奇数和是100，n 是多少？15、在从1992开始的100个连续自然数中，前50个数的和比后50个数的和小多少？16、3＝1+2，1、2是连续自然数，10以内能用连续自然数的和表示出来的数有哪几个，请你写出来。

35能不能用几个连续自然数的和表示出来？如能，你能写出几种表示形式？请写出来。

17、有些数既能表示成3个连续自然数的和，又能表示成4个连续自然数的和，还能表示成5个连续自然数的和。

例如：30就满足上述要求。

因为30＝9+10+11，30＝6+7+8+9，30＝4+5+6+7+8。

请你在700至1000之间找出所有满足上述要求的数，并简述理由。

18、有三个连续偶数，如果最大的一个偶数增加6之后，正好是原来三个偶数和的一半，最大的一个偶数是多少？19、1～1991这1991个自然数中，所有奇数之和与所有偶数之和的差是多少？20、1+2+3+4+…+1990+1991所得的和是奇数还是偶数？21、从100到200之间，所有奇数相加的和是多少？22、有100个连续自然数的和是8450，第一个自然数是多少？23、三个连续自然数，后两个数的积与前两个数的积之差是114，最小数是多少？24、五个连续奇数和的倒数是1/45，这五个奇数中最大的数是多少？25、在两位数10、11、……、98、99中，将每个被7除余2的数的个位与十位之间添加一个小数点，其余的数不变，问：经过这样改变之后，所有数的和是多少？1、1＋2＋3＋…＋19992、2＋5＋8＋…＋2993、求数列6，9，12，…前100个数的和。

小五奥数1

第一讲奇数和偶数（一）精讲1 ：25个连续偶数的和是2000，其中最大的偶数是多少？练习：23个连续奇数的和是2323，其中最小的一个奇数是多少？精讲215个连续奇数，最大的一个是9999，这15个奇数的平均数是多少？练习：53个连续偶数，最大的一个是6666，这53个偶数的平均数是多少？精讲3一个小于200的奇数，它的各位数字之和也是奇数，且它可以表示两位数之积，求这个数是多少？练习：两个相邻的奇数的和乘它们的差得176，则这两个奇数分别是多少？精讲4三个相邻偶数的积是四位数 ***8，这三个相邻偶数是多少？练习：相邻的三个奇数的乘积是四位数 ***7，求这三个奇数。

课后作业：1.5个连续偶数的和是300，其中最小的一个数是多少？2. 23个连续奇数，最小的一个是3333，这23个奇数的平均数是多少？3. 有7个连续偶数，其中最大数是最小数的3倍，求这7个数分别是多少？4. 已知1999×△+4×□=9991，其中△，□是自然数，求它们分别是多少？5. 三个相邻偶数的乘积是一个五位数8***8，求这三个偶数。

6. 三个相邻奇数的乘积是一个六位数3****3，求这三个奇数。

第二讲奇数和偶数（二）精讲1算式1+2+3+4+…+2007+2008的结果是奇数还是偶数？练习：算式1+2+3+4+…+49+50的结果是奇数还是偶数？精讲2算式22+23+24+25+…+91+92的结果是奇数还是偶数？练习：算式33+34+35+36+…+154+155的结果是奇数还是偶数？精讲3有25位同学参加数学竞赛，竞赛一共有20道题，评分方法是答对一道题给5分，不答给1分，答错倒扣1分，这25位同学得分的总和是奇数还是偶数？练习：有15位同学参加智力竞赛，竞赛一共有25道题，评分方法是答对一道题给5分，不答给1分，答错倒扣1分。

这15位同学得分的总和是奇数还是偶数？精讲4有一列数：2，3，5，8，13，21，…，从第3个数开始，每个数都是前两个数的和，在这列数前1000个数中，有多少个偶数？练习：70个数排成一行，除了两头的前两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边的两个数的和，这一行数的最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，…，求最后一个数是奇数还是偶数？课后作业：1.算式3+4+5+6+…+1002+1003的结果是奇数还是偶数？2. 算式（300+301+302+…+397）—（151+152+153+…+191）的结果是奇数还是偶数？3. 算式1×2+3×4+5×6+…+99×100的结果是奇数还是偶数？4. 有一群同学进行投篮比赛，投进一球得5分，投不进的得1分，每人都投10次，这些同学得分总和是奇数还是偶数？5. 有一列数，从第2个数起，每个数与它前面一个数的差等于它的序号，例如，第6个数与第5个数的差等于6。

小学数学奥数解题技巧(36)连续数求和的速算

36、连续数求和的速算苦干个连续整数求和的问题，可以分为“连续自然数求和”、“连续奇数求和”与“连续偶数求和”三类。

【连续自然数求和】几个连续的自然数相加，可以把它们的首项和末项相加，把所得的结果除以2以后，再乘以项数，得到的便是这几个连续自然数的和。

例如，13＋14＋15＋16+17+18＋19＋20＋21＋22=（13+22）÷2×10=17.5×10=175如果加数的个数（项数）是奇数（单数），也可以直接用排列在正中间的数（中间项）乘以项数，去求它们的和。

例如=15×9 （中间项）=135【连续奇数求和】连续奇数的求和，也可以用上面介绍的“连续自然数求和的速算”方法去速算。

例如3+5＋7+ 9＋11＋13+ 15＋17＋19＝（3＋19）÷2×9=11×9=99=11（中间项）×9（项数）=99如果是从1开始的几个连续奇数求和，则可以用这些奇数的个数自乘，便得到这几个连续奇数的和。

例如1＋3＋5+ 7＋9＋11=6×6=36（奇数个数是6）1+3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21=11×11=121。

（奇数个数是11）【连续偶数求和】连续偶数的求和，同样可以用“连续自然数求和的速算”方法速算。

例如8＋10＋12＋14＋16＋18+20+22＋24＝（8＋24）÷2×9=144如果连续偶数是从2开始的，即求从2开始的连续偶数之和，则可以用这些偶数的个数乘以个数加1之和，就得到这几个连续偶数的和。

例如2＋4＋6＋8＋10=5×（5+1）（偶数个数是5）=302＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16＋18＋20＋22＋24＋26=13×（13＋1）（偶数个数是13）=182。

小学数学-有答案-人教版小升初数学专题复习：奇数与偶数

人教版小升初数学专题复习：奇数与偶数一、解答题（共14小题，满分0分）1. 判一判下面的数是奇数还是偶数。

说说你是怎样判一判的。

123961452328654321690．2. 计算下面各题。

10432+200812187+31268+104443721+56．3. 从1到100这100个数中，共有________个偶数，________个奇数。

4. 1到10的自然数之和为________数。

5. 偶数+偶数=________，奇数+奇数=________，偶数-偶数=________，奇数-奇数=________．6. 晚上要开电灯，淘气一连按了7下开关。

请你说说这时灯是开的还是关的？如果按16下呢？51下呢？100下呢？7. 在17、18、15、20、30这五个数中，是2的倍数的数有________；是3的倍数的数有________；是5的倍数的数有________．8. 动手翻一翻。

（1）拿一枚硬币正面朝上放在桌上，翻动1次，正面朝________；翻动2次，正面朝________．（2）翻动6次，正面朝________；翻动19次，正面朝________．（3）翻动奇数次，正面朝________；翻动偶数次，正面朝________．9. 小华和小俊打乒乓球，小俊开始发球，另一人接球没有间断。

（1）第8次接球的是小华还是小俊？为什么？（2）第19次接球的是小俊，对吗？为什么？10. 红红按一定的规律画图形（如图○○□○○△○○□○○△…）第4个是________形；第6个是________形；第15个是________形；第24个是________形。

11. 判一判下列算式的结果是奇数还是偶数。

1208+2008143+1213978−29222004+4．12. 三个连续自然数的和都是3的倍数吗？三个连续奇数或偶数的和呢？13. 不计算，判一判下面算式的结果的奇偶性。

（填奇数或偶数。

）1+2+3+4+ (40)1+5+9+13+ (81)1+2+3+4+ (999)14. 有一个质数，是由两个数字组成的两位数，两个数字之和是8，两个数字之差是2，那么这个质数是多少？参考答案与试题解析人教版小升初数学专题复习：奇数与偶数一、解答题（共14小题，满分0分）1.【答案】解：在123961452328654321690中，123、961、321是奇数；452、328、654、690是偶数。

奇数与偶数

§1奇数与偶数寄数和偶数1.已知七个连续偶数，其中最大数是最小数的3倍，求这七个数。

2.有七个连续奇数，第二个数与第六个数的和为38，求各数。

3.有十个连续奇数，第五个数与第八个数的和为56，求第一个数。

4.小敏给9个点分别涂上红色或兰色，涂完后又全部擦干净，然后再涂一遍，两次总共涂上红色和兰色的点各9个。

证明：至少有一个点两次涂的颜色不相同。

5.任意交换某个三位数的数字顺序得到一个新的三位数，小乐将原三位数与新三位数相加求得和为999。

请你指出他的错误。

6.沿江有1、2、3、4、5、6号六个码头，相邻两码头间的距离都相等。

早晨有甲、乙两船从1号码头出发，各自在这些码头间多次往返运送货物。

傍晚，甲船停泊在6号码头，乙船停泊在1号码头。

求证：甲、乙两船的航程不相等。

7.对图2-1的两个分图进行染色，要求相邻的区域染不同的颜色。

问：至少需要几种颜色？8.平面上有7个点，每三个点都不在一条直线上，现在从每一个点都引出五条线段和其余的任意五个点相连。

你能连成吗？请说明道理。

9.有一个由19条线段组成的封闭折线，你能找到一条与这个封闭折线的每条线段都相交的直线吗？（要求交点不在线段的端点上）10.有一根团成一团的毛线，拿剪刀任意剪一刀，假设剪出偶数个断口。

问：这根毛线被分成的段数是偶数还是奇数？11.某年级150名同学准备选一名同学在庆祝教师节大会上给老师献花。

选举的方法是：让150名同学排成一排，由第一名开始报数，报奇数的同学落选退出队列，报偶数的同学站在原位置不动，然后再从头报数，如此继续下去，最后剩下的一名当选。

小胖非常想去，他在第一次排队时应该站在队列的什么位置上才能被选中？12.哥哥和弟弟玩扑克，哥哥整好牌后让弟弟从上往下取出所有第奇数张牌，这样，第一次弟弟拿走了27张牌，还剩下27张牌；哥哥又让弟弟从上往下取出剩下牌的第奇数张牌，这样，弟弟又拿走了14张牌，剩下13张牌；……；这样一直进行到剩下最后1张牌。

《奇数偶数相加规律》教学设计三篇

《奇数偶数相加规律》教学设计三篇一个好的教学设计是一节课成败的关键，要根据不同的课题进行灵活的教学设计，首先对每一个课题的教学内容要有一个整体的把握。

《奇数偶数相加规律》教学设计1教学内容：义务教育课程标准实验教科书北师大版数学五年级上册第14-15页。

教学目标：1、使学生尝试运用列表、画示意图等方法发现规律，运用数的奇偶性解决生活中的一些简单问题。

2、让学生经历探索加法运算中数的奇偶性变化的过程，发现数的奇偶性的变化规律。

3、在活动中培养等毛生的观察、推理和归纳能力。

4、学生通过自主探索发现规律，感受数学内在的魅力，培养学生学习数学的兴趣。

教学重点：探索数的奇偶性变化规律。

教具学具准备：数字卡片，盒子，奖品。

教学过程：复习引入新课。

(通过引导学生回忆、提问或列举等形式，复习奇、偶数的意义。

)活动1：数的奇偶性在生活中的应用。

(一)激趣导入。

清早，笑笑第一个走进了教室，像往常一样把门打开后就去开灯，结果灯未亮，于是，他自言自语地说了声停电了就走到座位上坐下。

不一会儿，同学们陆陆续续来到了教室，看到教室里光线有些暗，都下意识地伸手去按电灯开关，却都像笑笑一样无奈地走回自己的座位。

你知道第11个同学按过开关后，开关是打开的还是关闭了?(二)自主探究，发现规律。

1、学生独立思考后进行汇报交流。

方法：用文字列举出开、关的情况开、关;开、关;开、关;开、关;开、关;开、关让学生数数，直观地发现第11个人按过开关后，开关是打开的。

2、增加人次，深入探究。

如果是第47个同学或第60个同学进去，用列举的方法判断开关的开、关情况还方便吗?你还能想出什么好方法?3、第二次汇报交流。

投影下表：用列表的方法启发学生总结规律并作答：当人数是1、3、5、7的时候，开关处于开启状态，而当人数是2、4、6、8的时候，开关处于关闭状态。

即，进来的是奇数个同学时，开关被打开;进来的是偶数个同学时，开关被关闭。

因为47是奇数，开关被打开;108是偶数，开关被关闭。

连续几个偶数相加的和的规律

连续几个偶数相加的和的规律哎呀，今天咱们来聊聊那些连续几个偶数相加的事儿，真的是有趣又好玩！你们有没有想过，偶数就像是那种很踏实的人，总是成双成对，绝不会孤单。

就拿2、4、6这些来说，哦，那简直就是偶数界的明星啊！想象一下，如果你把它们放在一起，嘿，结果就是个大大的偶数和，简直让人惊叹。

你看啊，2加4，得出6，接着6加8，又得出14，这样下去就像是连锁反应，越加越多，越加越好，心里那个美啊！说到这里，可能有人会问，嘿，为什么是偶数啊？其实啊，偶数就像一对好兄弟，走到哪儿都是成双的。

就拿1、2、3来说吧，没错，1是个奇数，2是偶数，3又是个奇数，感觉它们像是在玩捉迷藏。

偶数们聚在一起，像是在开派对，而奇数就像是偶尔来串门的小客人，热闹归热闹，还是觉得偶数的聚会更有意思。

你想想，一个人站在那儿，多孤单啊，但一群偶数在一起，那可真是热闹得很，简直是数数的盛宴。

再说了，这些偶数相加还有个神奇的规律呢。

每次你把几个偶数加起来，嘿，最后的结果总是个偶数。

就像你把两个苹果放在一起，结果总是两个苹果，绝不会变成三个！所以说，这规律就像是数学里的小秘密，只有懂得的人才能体会到其中的乐趣。

好比说，你加上2、4、6、8这些偶数，最后的结果是20，真是个大偶数！再加个10，嘿，结果又变成30，真是太妙了。

有时候我就想，这规律是不是跟生活一样呢？就像我们交朋友，朋友多了，自然热闹，不多则冷清。

偶数们就像是那种愿意分享的人，互相加成一团，热乎乎的。

想象一下，如果你把这些偶数的朋友们一块儿请来，大家围坐在一起，数着数着，那个热闹劲儿，真是无与伦比。

生活中也是这样，多一份热闹，就多一份快乐。

而且啊，偶数的和可以带给我们无限的想象空间。

比如说，2加4加6，加到一百，那可是一场长途旅行啊！沿途的风景，数到嘿，结果竟然是偶数100，简直让人欣喜若狂。

就像我们追求梦想一样，一步一个脚印，慢慢累积，最终一定会到达那个理想的终点。

你看，这简单的加法，背后竟然藏着这么多哲理，真是让人忍不住想深思。

四年级数论奇数与偶数(一)教师版

知识要点奇数与偶数（一）由于计数的需要，人们创造了数字。

令创造阿拉伯数字的先贤们想不到的是，随着人们的不断研究，数字的魅力已经不仅仅局限于计数本身，对数的研究已经成了数学领域的尖端学问。

本讲将向大家介绍奇数和偶数，让大家领略数字本身的独特魅力。

①所有奇数都是用2除的余数为1。

即{}13579L，，，，，②所有偶数都是用2除的余数为0。

即{}02468L，，，，，也就是能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。

因为偶数是2的倍数，所以通常用2k这个式子来表示偶数（这里k是整数）；因为任何奇数除以2其余数总是1，所以通常用式子21k+来表示奇数（这里k是整数）。

特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。

最小的奇数是1，最小的偶数是0。

奇数与偶数的运算性质：性质1：偶数+偶数=偶数（偶数-偶数=偶数）奇数+奇数=偶数（奇数-奇数=偶数）偶数+奇数=奇数（偶数-奇数=奇数）可以看出：一个数加上（或减去）偶数，不改变这个数的奇偶性；一个数加上（或减去）奇数，它的奇偶性会发生变化。

（也可以这样记：奇偶性相同的数加减得偶数，奇偶性不同的数加减得奇数。

）性质2：偶数⨯奇数=偶数（推广开来还可以得到：偶数个奇数相加得偶数）偶数⨯偶数=偶数（推广开就是：偶数个偶数相加得偶数）奇数⨯奇数=奇数（推广开就是：奇数个奇数相加得奇数）可以看出：一个数乘以偶数时，乘积必为偶数；几个数的积为奇数时，每个乘数都是奇数。

（也可以这样简记：对于乘法，见偶（数）就得偶（数））。

性质3：任何一个奇数一定不等于任何一个偶数。

基础篇【例1】357911131517+++++++的和是奇数还是偶数？为什么？【分析】因为奇数+奇数=偶数，在这8个奇数中，每两个奇数为一组，共4组，变成都是偶数．又因为偶数+偶数=偶数，所以8个奇数的和是偶数．在加法中，奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和是偶数，任意个偶数的和仍然是偶数。

【例2】135719911993L的积是偶数还是奇数，为什么？⨯⨯⨯⨯⨯⨯【分析】因为奇数⨯奇数=奇数，不管有多少个奇数相乘，它们的积还是奇数，所以这道题的计算结果是奇数．任意个自然数相乘，只要其中有一个偶数，乘积就一定是偶数。

整数奇偶性习题 (含答案

习题一1．选择题(1)若n是大于1的整数，则p=n+(n2-1)1(1)2r--的值(A)一定是偶数．(B)一定是奇数．(C)是偶数但不是2．(D)可以是偶数也可以是奇数．(1985年全国初中数学联赛题)(2)设二次方程x2+2px+2q=0有实数根，其中p，q都是奇数那么它的根一定是(A)奇数．(B)偶数．(C)分数．(D)无理数．(1983年上海市初中数学竞赛题)(3)如果n是正整数，那么18[1-(-1)n](n2-1)的值(A)一定是零．(B)一定是偶数．(C)是整数但不一定是偶数．(D)不一定是整数．(1984年全国高考题)(4)满足等式1983=1982x-1981y的一组自然数是(A)x=12785，y=12768．(B)x=12784，y=12770．(C)x=11888，y=11893．(D)x=1947，y=1945．(1983年福建省初中数学竞赛题)(5)若7个连续偶数之和为1988，则此7个数中最大的一个是(A)286．(B)288．(C)290．(D)292．(1987年全国部分省市初中数学通讯赛题)(6)已知n是偶数，m是奇数，方程组19881127x y nx y m-=⎧⎨+=⎩的解x py q=⎧⎨=⎩是整数，则(A)p，q都是偶数．(B)p，q都是奇数．(C)p是偶数，q是奇数．(D)p是奇数，q是偶数．(1989年“祖冲之杯”初中数学邀请赛题)(7)如果方程x2+(4n+1)x+2n=0(n为整数)有两个整数根，那么这两个根是(A)都是奇数．(B)都是偶数．(C)一奇一偶．(D)无法判断．(1985年成都市初中数学竞赛题)(8)设a，b都是整数，给出四个命题：(i)若a+5b是偶数，则a-3b也是偶数；(ii)若a+b能被3整除，则a，b都能被3整除；(iii)若a+b是素数，则a-b一定不是素数；(iv)若c=a+b≠0，则3333a b a ba c a c--=++．上述命题中是正确命题的个数是(A)1个．(B)2个．(C)3个．(D)4个．(第二届“祖冲之杯”初中数学邀请赛题)(9)六个奇数，它们的和是42，它们的平方和只可能是(A )280． (B )368． (C )382． (D )423．(1990年南昌市初中数学竞赛题)(10)自然数1，2，3，…，1989之和为一个奇数，若将前t 个数添上“-”号，则这1989个数的和(A )总是奇数． (B )总是偶数．(C )t 为奇数时其和为整数． (D )奇偶性不能确定．(第6届缙云杯数学邀请赛题)(11)设u =x 2+y 2+z 2，其中x ，y 是相邻的整数，且z =xy(A )总为奇数． (B )总为偶数．(C )有时为偶数，有时为奇数． (D )总为无理数．(第6届缙云杯数学邀请赛题)(12)设a 为任一给定的正整数，则关于x 与y 的方程x 2-y 2=a 2(A )没有正整数解． (B )只有正整数解．(C )仅当a 为偶数时才有整数解． (D )总有整数解．(1988年江苏省初中数学竞赛题)(13)将正奇数1，3，5，7，…依次排成五列，如下表所示．把最左边的一列叫做第1列，从左到右依次将每列编号．这样，数“1985”出现在(A )第1列．(B )第2列．(C )第3列．(D )第4列．(E )第5列．(1985年第36届美国中学生数学竞赛题)2．扑克牌中的A ，J ，Q ，K 分别表示1，11，12，13．甲取13张红桃，乙取13张黑桃，分别洗和后，甲、乙依次各出一张牌，使红、黑牌配成13对，求证：这13对的差的积必为偶数．(1987年天津市初二数学竞赛题)3．求证：1986不能等于任何一个整数系数二次方程ax 2+bx +c=0的判别式的值．(1985年苏州市初中数学竞赛题)4．设有n 个实数x 1，x 2，…，x n ，其中每一个不是+1就是-1，且12x x +23x x +…+1n nx x ＋1n x x =0，求证：n 是4的倍数．(1985合肥市初中数学竞赛题) 5．把n 2个互不相等的实数排成下表：a 11，a 12，…，a 1n ，a 21，a 22，…，a 2n ，……a n 1，a n 2，…，a nn ．取每行的最大数得n 个数，其中最小的一个是x ；再取每列的最小值，又得n 个数，其中最大的一个是y ，试比较x n 与y n 的大小．(1982年上海市高中数学竞赛题)6．把1980分解成连续整数之和．(1980年长沙市高中数学竞赛题)7．求证：当n 为自然数时，2(2n +1)形式的数不能表示为两个整数的平方差．(1990年西安市初中数学竞赛题)8．设n 是正的偶数，试问下列诸数：1×(n -1)，2×(n -2)，…，(n -1)×1中哪个数最大？为什么？(1989年浙江省初二数学竞赛题)9．有一无穷小数A =0.a 1a 2a 3…a n a n +1a n +2…，其中a k (k =1，2，…)是0，1，2，…，9中的一个数，且a 1为奇数，a 2为偶数，a 3等于a 1+a 2的个位数，a 4等于a 2+a 3的个位数，…，a n +2等于a n +a n +1的个位数．求证：A 是一个循环小数．(1991年浙江省初中数学竞赛题)10．在99张卡片上分别写着数字1，2，3，…，99，现将卡片顺序打乱，让空白面朝上，再在空白面上分别写上1，2，3，…，99，然后将每一张卡片两个面上的数字相加，再将这99个和数相乘，问这个乘积是奇数还是偶数？说明理由．(1991年浙江省初中数学竞赛题)11．桌上放有1993枚硬币，第一次翻动1993枚，第二次翻动其中的1992枚，第三次翻动其中的1991枚，…，第1993次翻动其中的一枚，按这样的方法翻动硬币，问能否使桌上所有的1993枚硬币原先朝下的一面都朝上？说明你的理由．(1992年浙江省初中数学竞赛题)12．求证：不存在两个连续的奇数，每个都可写成两个整数的平方和．13．已知一个整数n ，当它减去48所得的差是一个整数的平方，当它加上41所得的和是另一个整数的平方，求n ．(1984年苏州市高中数学竞赛题)14．给定自然数a ，b ，求证：(1)如果ab 是偶数，那么一定可以找到两个自然数c 和d ，使得a 2+b 2+c 2=d 2；(2)如果ab 是奇数，那么满足a 2+b 2+c 2=d 2的自然数c 和d 一定不存在．(1980年北京市初中数学竞赛题)15．平面上的任意五个格点，若任何三点都不在同一条直线上，求证：以其中三点为顶点的所有三角形中，至少有一个面积为整数．16．设数列{a n }：1，9，8，5，…，其中a i +4是a i +a i +3的个位数字(i =1，2，…)，求证：222198519862000a a a +++是4的倍数． 17．存在多少个不同的七位数字，其数字和为偶数．18．设a ，b 是正整数，求证：仅有有限个正整数n 存在，使得1122n na b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是整数．(1992澳大利亚数学竞赛题) 19．设a ，b ，c 是奇自然数，求证：方程ax 2+bx +c =0没有形如p q 的解，其中p ，q 是整数．(1991澳大利亚数学通讯赛题)20．求满足|12m -5n |=7的全部正整数解．(第30届加拿大IMO 训练题)21．求证：x 2+y 2=1983没有整数解．22．求证：方程2x 2-5y 2=7没有整数解．23．是否有整数m ，n 使得5m 2-6mn +7n 2=1987？24．求证：5x +2=17y 没有正整数解．25．求证：四个正整数之和为13时，它们的立方和不可能是120．你能否把这个命题推广到一般的情形？请证明你的结论．26．一张8×8的方格纸，任意把其中32个方格涂上黑色，剩下的32个方格涂成白色，接着对涂了色的方格纸进行“操作”，每次操作把任意横行或者竖列上每个方格同时变换颜色，问能否最终得到恰有一个黑色方格的方格纸？27．用0至9十个不同数字，组成一个能被11整除的最大十位数．28．在一个凸n 边形内，任意给出有限个点，在这些点之间以及这些点与凸n 边形的顶点之间，用线段连结起来，要使这些线段互不相交，而且把原凸n 边形分为只有三角形的小块．求证：这种小三角形的个数与n 的奇偶性相同．29．在1，2，3，…，1989之间填上“+、-”号，求和式可以得到最小的非负数是多少？(第15届全俄中学生数学竞赛题)30．三个质数之积恰好等于它们和的7倍，求这三个质数．31．置于暗室的一只抽屉内装有100只红袜子，80只绿袜子，60只蓝袜子，40只黑袜子，一个人从抽屉中选取袜子，但他无法看清所取袜子的颜色．为确保取出的袜子至少有10双(一双袜子是指两只相同颜色的袜子，但每只袜子只能一次用在一双中)，问至少需取多少只袜子？(第37届美国中学生数学竞赛题)32．如图表示64间陈列室，凡邻室皆有门相通，一人从A 进，从B 出，但要求每室都到且只到一次，问这种路线是否存在？33．求证：不存在三阶幻体．即将数1，2，…，27填入3×3×3的立方体中，不可能使所有“共线”的三数之和均相等．34．设a ，b 是自然数，且有关系式123456789=(11111+a )(11111-b )，求证：a -b 是4的倍数．(1990年日本高考数学题)35．求证：方程x 2+4xy +4y 2+6x +12y =1986无整数解．36．已知多项式x 3+bx 2+cx +d 的系数都是整数，并且bd +cd 是奇数，求证：这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积．(1963年北京市中学数学竞赛题)37．求证：x 4+1980x 2+2000x +1990不可能分解成两个整系数二次三项式之积．38．设有7个3的不同方幂：13x ，23x ，…，73x ，(x i ≥0，i =1，2，…，7)．求证：可以从中找到四个数，它们的积等于某整数的四次方．39．求出所有的正整数m ，n ，使得(m +n )m =n m +1413．(1987年第2届东北三省数学邀请赛题)40．给定关于x ，y 的方程组22200y x a y xy x b --=⎧⎨-+-=⎩ (其中a ，b 是整数)．求证：如果这个方程组有一组有理数解，那么这组有理数一定是整数．41．求证：勾股三角形(即边长为整数的直角三角形)的两条直角边长不可能是两个差为2的质数．42．设n为大于2的整数，求证，可以找到一个整数边长的直角三角形，它的一条边长等于n．43．设a，b，c为三个偶数，且a>b>c>0，它们的最小公倍数为1988．当a在它可取值的范围内取最小的一个时，试确定a，b，c可能组成的数组．(1988年天府杯初中数学竞赛题)44．设有101个自然数，记为a1，a2，…，a101，已知a1+2a2+3a3+…+100a100+101a101=S是偶数，求证：a1+a3+…+a99+a101是偶数．45．设n为正整数，k为大于1的正整数，求证：n k是n个连续奇数之和．46．设a，b，c为正整数，n为正奇数．如果a+b+c可被6整除，求证：a n+b n+c n可被6整除．47．求证：任何形如2n的正整数，都不可能表示为两个或两个以上的连续整数之和，而其他形式的正整数都可以表示为这样的和．48．设a，b，c，d都是奇数，0<a<b<c<d，且ad=bc．如果对整数k和m 有a+d=2k及b+c=2m，求证：a=1．(第25届IMO试题)49．设点O在凸1000边形A1A2...A1000内部，用整数1，2， (1000)1000边形的各边任意编号，用同样的整数把线段OA1，OA2，…，OA1000任意编号．问能否找到这样一种编号法，使△A1OA2，△A2OA3，…，△A1000OA1各边上的号码和相等？50．已知如下数表：将它的任一行或任一列中的所有数同时变号，称为一次变换．问能否经过若干次变换，使表中的数全变为正数？51．设集合M由奇数个元素组成，如果对于M中的每一个元素x，都有一个唯一确定的集合H x M与x对应，并且满足条件：(i)对于任意x∈M，都有x∈H x；(ii)对于任意两个元素x，y∈M，当且仅当y∈H x时，x∈H y．求证：至少有一个H x由奇数个元素组成．(1987年安徽省数学竞赛题)52．在两张1994×1995的方格纸上涂上红蓝两种颜色，使得每一行及每一列都有偶数个方格是蓝色的，如果将这两张纸重叠时，有一个蓝格与一个红格重合，求证：至少还有三个方格与不同颜色的方格重合．53．m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所有这样的m与n，问3m+4n的最大值是多少？请证明你的结论．(第2届全国中学生数学冬令营试题)54．在4000与7000之间有多少个偶数具有4个不同的数字？(1993年第11届美国数学邀请赛试题)55．设E ={1，2，3，…，200}，G ={a 1，a 2，…，a 100}⊂E ．且G 具有下列两条性质：(i)对任何1≤i ≤j ≤100，恒有a i +a j ≠201；(ii)1001i i a =∑=10080．求证：G 中的奇数的个数是4的倍数，且G 中所有数字的平方和为一个定数．(1990年全国高中数学联赛题)56．每个正整数都可以表示成一个或者多个连续正整数之和，试对每个正整数n ，求n 有多少种不同的方法表示成这样的和．(1992年中国台北第1届数学竞赛题)57．设r 为正整数，定义数列{a n }如下：a 1=1．且对每个正整数n ，a n +1=22(1)2rn ma n n +++．求证：每个a n 都是正整数，且确定对哪些n ，a n 是偶数．(1992年中国台北第1届数学竞赛题)习题一解答1．(1)B ．(2)D ．(3)B ．(4)C ．(5)C ．(6)C ．(7)C ．(8)B ．(9)C ．(10)A ．(11)A ．(12)B ．(13)B ．2．由于这13对数的差的和为0，所以不可能每对数的差都是奇数(原因是它们的和为奇数)．于是至少有一对数的差为偶数，即13对数的差的积必为偶数．3．用反证法．设△=b 2-4ac =1986=4k +2(k 为正整数)，这时b 2能被2整除，因而b 为偶数，令b =2t ，b 2=4t 2且4t 2-4ac =4k +2．这时等式左边的数被4整除，而右边的数不能被4整数，矛盾．4．由于n 个实数x 1，x 2，…，x n 中每一个不是+1就是-1，所以n 个实数12x x ，23x x ，…，1n x x 中每一个不是+1就是-1．设其中有a 个+1，b 个-1，则a +b =n ．又由12x x +23x x +...+1n x x =0，即a -b =0，∴a =b =2n ．又由于12x x .23x x .. (1)n x x =1，即1a ·(-1)b =-1，∴b 为偶数，设b =2m ，则n =4m ．5．设x =a ij ，y =a pq ，a ij ≥a iq ≥a pq ，∴x ≥y ．(1)当n 是奇数时，x n ≥y n ；(2)当n 是偶数时，(i)如果x ≥y ≥0，则x n ≥y n ；(ii)如果0≥x ≥y ，则x n ≤y n ；(iii)如果x ≥0≥y ，则当x ≥-y 时，x n ≥y 时，x n ≤y n ．6．设1980=a +(a +1)+…+(a +n -1)，即na +12n (n -1)=22·32·11·5，故有n (2a +n -1)=23×32×11×5．易知n 与2a +n -1有不同的奇偶性，由此可得n ，2a +n -1与a 的取值如下表：可知分解成连续正整数的分解法有12种，分解成含有负整数的分解法也有12种，共有24种不同的分解法．7．应用反证法，进行奇偶性分析．8．所列各数可表示为i (n -i )(i =1，2，…，n -1)，由于i (n -i )=-i 2+in =-(i 2-2·2n ·i +24n )+24n =24n -(i -2n )2．故当i =2n 时，i (n -i )取得最大值，且最大值为2n (n -2n )=24n ． 9．由题设知：A =0.a 1a 2…a n a n +1…中的a i 是0，1，2，…，9中的数，而a 1是奇数，a 2是偶数，a 3是由a 1+a 2确定的，个位数必为奇数，以下类推，可知有如下规律：A =0.奇偶奇奇偶奇奇偶奇……因为0，1，2，…，9这10个数字只能组成不同的奇偶数组25个，开首的不同奇偶数组，便决定了不同的A ．另一方面，对于每一个A ，至多在小数点后第26个奇偶组之后便开始循环，出现重复的奇偶组，因此，A 必然是循环小数．10．因为1，2，…，99中，奇数个数多于偶数个数，两面数字之和中必有一个是两面为奇数的情况，此时必然得到其和为偶数，99个和的乘积也必然是偶数．11．能．按题目规定的翻法，共翻了1+2+3+…+1993=1993×997(次)，平均每枚硬币翻动了997次，这是奇数．翻动奇数次的结果，必使硬币朝向相反，只要在翻动n 个硬币时，选择翻动1993-n 个硬币时所剩余的硬币，则每个硬币恰好都翻动了997次，故能使所有1993枚硬币都反了面，将原来朝下的一面都变成朝上．12．可表成两整数的平方和的奇数必是4m +1型，故不存在．13．设n -48=m 2，n +41=l 2，解得m =±44，l =±45，∴n =48+442=1984．14．(1)分两种情况讨论：a ，b 一奇一偶，则a 2+b 2为奇数．可设a 2+b 2=2k +1，所以a 2+b 2+k 2=(k +1)2．故可找到c =k ，d =k +1，使a 2+b 2+c 2=d 2成立；a ，b 同为偶数，则a 2+b 2是4的倍数，可设a 2+b 2=4m +4，所以，a 2+b 2+m 2=(m +2)2，故可找到c =m ，d =m +2，使a 2+b 2+c 2=d 2成立．(2)∵ab 是奇数，∴a ，b 都是奇数．不妨设a =2m+1，b =n +1，则a 2+b 2=(2m +1)2+(2n +1)2=4m 2+4n 2+4m +4n +2．可见a 2+b 2是偶数，但不能被4整除．如果存在c ，d ，使a 2+b 2+c 2=d 2成立，则d 2-c 2=(d +c )(d -c )应为偶数，即d +c 与d -c 应都是偶数，因此a 2+b 2=d 2-c 2必能被4整除，这就导致了矛盾．15．设五个格点为A k ，其坐标是(x k ，y k )(k =1，2，3，4，5)．在五个整数x 1，x 2，x 3，x 4，x 5中至少有三个同是奇数或者同是偶数．不妨设三个整数为x 1，x 2，x 3，则x 1-x 3和x 2-x 3都是偶数．△A 1A 2A 3的面积=11223311121x y x y x y =12|(x 1-x 3)(y 2-y 3)-(x 2-x 3)(y 1-y 3)|． ∵y 2-y 3和y 1-y 3都是整数，∴(x 1-x 3)(y 2-y 3)-(x 2-x 3)(y 1-y 3)是偶数，∴△A 1A 2A 3的面积为整数．16．当原数列中a i 为奇数，偶数时，分别记b i 为1，0，则得数列{b i }：1，1，0，1，0，1，1，0，0，1，0，0，0，1，1，1，1，0，1，0，…且a i 与b i 的奇偶性相同．由观察及{a i }，{b i }的定义可见，{b i }从第15项开始出现循环，即b i =b i +15．∵1985=15×132+5，1986=15×132+6，…，2000=15×133+5，∴b 1985=b 5=0，b 1986=b 6=1，…，b 2000=b 5=0，即在a 1985到a 2000的16项中，奇数，偶数各有8项．由于偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1，∴21985a +…+22000a 是4的倍数．17．研究以下10个七位数：a 1a 2a 3a 4a 5a 60，a 1a 2a 3a 4a 5a 61，…，a 1a 2a 3a 4a 5a 69，这里a 1，a 2…，a 6为任意数字，且a 1≠0．显然数字和为偶数的有5个．第一个数字a 1可以取9个不同的值，a 1，a 2…，a 6中的每一个可以取10个不同的值，∴存在9·105·5=45·105个不同的七位数字，其数字和为偶数．18．当n 为偶数时，(2a +1)n +(2b +1)n =(4a 2+4a +1)2n +(4b 2+4b +1)2n 是奇数的2倍，不能被2n 整除，所以(a +12)n +(b +12)n 不可能是整数；当n 为奇数时，(2a +1)n +(2b +1)n =2(a +b +1)[(2a +1)n -1-(2a +1)n -2(2b +1)+…+(2b +1)n -1]．这里第二个括号内有n 个奇数项，它们的代数和为奇数，所以若(a +12)n +(b +12)n 是整数，必有2n 整除2(a +b +1)，显然这样的整数n 只有有限个．19．假设x =p q是方程的解，(p ，q )=1，则方程可化为ap 2+bpq +cq 2=0．由已知a ，b ，c 为奇数．(1)当p ，q 都为奇数时，方程左边=奇数，而右边为零，矛盾：(2)当p ，q 为一奇一偶时，可推知方程左边仍为奇数，矛盾．20．若5n -12m =7，两边mod4，得1≡3(mod4)，这不可能．若12m -5n =7，而m ，n 中有一个大于1，则另一个也大于1，mod3可得(-1)n +1≡(mod3)，∴n 为奇数，而mod8可得-5n ≡-1(mod8)．∵n 为奇数，上式导出-5≡-1(mod8)．矛盾！∴m =1，n =1是唯一的解．21．显然x ，y 的奇偶性相反．若x =2n ，则y =2k +1，(2n )2+(2k +1)2=1983，即4(n 2+k 2+k )=1982，但41982，∴方程x 2+y 2=1983没有整数解．22．设方程有整数解，则y 应是奇数，可设为y =2k +1，则2x 2-5(2k +1)2=7，整理得x 2-10k 2-10k =6，可见x 是偶数．设x =2M ，则有2M 2-5k (k +1)=3，因k (k +1)是偶数，而两个偶数之差不可能等于奇数，因此等式不成立，原方程没有整数解．23．容易看出，若m ，n 同奇同偶，所给方和左边为偶数，而1987是奇数，矛盾．所以m ，n 一奇一偶，从而m +n 与m -n 是奇数．原方程为4(m -n )2+(m +n )2+2n 2=1987．①(1)若n =2k ，m -n =2l +1，m +n =2p +1，由①式得4(2l +1)2+(2p +1)2+2(2k )2=1987，即16(l 2+l )+4p (p +1)+8k 2+5=1987．②∵p (p +1)是偶数，∴16(l 2+l )+4p (p +1)+8k 2能被8整除，则②式可写成8M +5=1987，但1987被8除余3，故上式不可能成立．(2)若n 为奇数时，类似可推出②式左边为8k +7，矛盾，故满足要求的整数m ，n 不存在．24．设有正整数x ，y 使得5x +2=17y ，即(3·2-1)x +2=(3·6-1)y ，∴3k +(-1)x +2=3l +(-1)y ，即(-1)x +2=3m +(-1)y ．若y 为奇数，则(-1)x =3(m -1)，这不可能，∴y 必须是偶数．另一方面，由5x +2=17y =(5·3+2)y =5M +2y ，知2y -2可被5整除，但y 为偶数时，2y -2的末位数是2或4，又得矛盾．25．由已知可知四数必是三奇一偶或一奇三偶，不论哪一种，四数之立方和为奇数，不可能为120．一般命题：如果偶数个正整数之和为奇数，则它们的幂之和必为奇数．26．回答是否定的．可用奇偶性来证明：设横行或竖列内含k 个黑色方格及8-k 个白色方格(0≤k ≤8)．当改变方格颜色时，即得8-k 个黑色方格和k 个白色方格，因此，每进行一次操作，黑色方格数“增加了”(8-k )-k =8-2k (即改变了一个偶数)．于是无论进行多少次操作，方格纸上黑色方格数目的奇偶性无变化．所以原来32个黑色方格(偶数)进行操作后，最后还是有偶数个黑色方格，决不会得到恰有一个(奇数)黑色方格的方格纸．27．设十位数中，五个奇数位数字之和为a ，五个偶数位数字之和为b (10≤a ≤35，10≤b ≤35)，则a +b =45．又十位数能被11整除，则a -b 应为0，11，22．由于a +b 与a -b 有相同的奇偶性，经分析所求的十位数是9876524130．类似地，我们还可以求出由0到9十个不同数字组成的能被11整除的最小十位数为1203465879．28．设小三角形的个数为k ，则k 个小三角形共有3k 条边，减去n 边形的n 条边及重复计算的边数后共有12(3k -n )条线段．显然只有k 与n 有相同的奇偶性时，12(3k -n )才是整数． 29．除995外，可将1，2，…，1989所有数分为994对：(1，1989)，(2，1988)，…，(994，996)，每对数中两个数的奇偶性相同，所以在每对数前无论放置“+”、“-”号，运算结果只能是偶数．而995为奇数，所以数1，2，…，1989的总值是奇数，于是所求的最小非负数不小于1；数1可用下列方式求得：1=1+(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+…+(1986-1987-1988+1989)．30．设三个质数分别为x ，y ，z ，则x +y +z =7xyz ，∴x ，y ，z 中必有一个是7．若x =7，则yz =y +z +7，即(y -1)(z -1)=8．利用奇偶性分析求得y =5，z =3．31．注意到一种袜子至多一只无配偶，而且，某一种颜色的袜子有一只无配对该颜色的袜子取了奇数只．当取出袜子总数是奇数时，最坏的可能是有三种颜色为奇数只，由此可知至少要取23只袜子。

(完整版)两数之和的奇偶性练习题

两数之和的奇偶性练习题姓名班级1、下式的和是奇数还是偶数？1+2+3+4+…+1997+1998。

2、能否在下式的□中填上“+"或“-”,使得等式成立？1□2□3□4□5□6□7□8□9=63、任意给出一个五位数，将组成这个五位数的5个数码的顺序任意改变，得到一个新的五位数。

那么，这两个五位数的和能不能等于99999？4、在一次校友聚会上，久别重逢的老同学互相频频握手。

请问：握过奇数次手的人数是奇数还是偶数?请说明理由。

5、五（2）班部分学生参加镇里举办的数学竞赛,每张试卷有50道试题.评分标准是：答对一道给3分，不答的题，每道给1分,答错一道扣1分.试问：这部分学生得分的总和能不能确定是奇数还是偶数？6、能否从四个3、三个5、两个7中选出5个数，使这5个数的和等于22？7、任意交换一个三位数的数字，得一个新的三位数，一位同学将原三位数与新的三位数相加，和是999。

这位同学的计算有没有错?8、甲、乙两人做游戏。

任意指定七个整数（允许有相同数），甲将这七个整数以任意的顺序填在下图第一行的方格内，乙将这七个整数以任意的顺序填在图中的第二行方格里，然后计算出所有同一列的两个数的差(大数减小数）,再将这七个差相乘。

游戏规则是：若积是偶数，则甲胜；若积是奇数，则乙胜。

请说明谁将获胜。

9、用0～9这十个数码组成五个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是奇数，那么这五个两位数的和最大是多少?10、7只杯子全部杯口朝上放在桌子上，每次翻转其中的2只杯子.能否经过若干次翻转，使得7只杯子全部杯口朝下?11、有m（m≥2）只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻转其中的(m-1)只杯子。

经过若干次翻转，能使杯口全部朝上吗？两数之和的的奇偶性练习题1. 判一判下面的数是奇数还是偶数。

说说你是怎样判一判的。

123 961 452 328 654 321 6902. 填一填.（1）从1到100这100个数中，共有（ )个偶数，（）个奇数。

五年级奥数题及答案[1]

五年级奥数题问题1 如果一个四位数与一个三位数的和是1999，并且四位数和三位数是由7个不同的数字组成的。

那么，这样的四位数最多能有多少个？这是北京市小学生第十五届《迎春杯》数学竞赛决赛试卷的第三大题的第4小题，也是选手们丢分最多的一道题。

得到a＝1，b＋e＝9，（e≠0），c＋f＝9，d＋g＝9。

为了计算这样的四位数最多有多少个，由题设条件a，b，c，d，e，f，g互不相同，可知，数字b有7种选法（b≠1，8，9），c有6种选法（c≠1，8，b，e），d有4种选法（d≠1，8，b，e，c，f)。

于是，依乘法原理，这样的四位数最多能有（7×6×4=）168个。

在解答完问题1以后，如果再进一步思考，不难使我们联想到下面一个问题。

问题2 有四张卡片，正反面各写有1个数字。

第一张上写的是0和1，其他三张上分别写有2和3，4和5，7和8。

现在任意取出其中的三张卡片，放成一排，那么一共可以组成多少个不同的三位数？此题为北京市小学生第十四届《迎春杯》数学竞赛初赛试题。

其解为：后，十位数字b可取其他三张卡片的六种数字；最后个位数c可取剩余两张卡片的四种数字。

综上所述，一共可以组成不同的三位数共（7×6×4＝）168个。

如果从甲仓库搬67吨货物到乙仓库,那么甲仓库的货物正好是乙仓库的2倍；如果从甲仓库搬17吨货物到乙仓库，那么甲仓库的货物正好是乙仓库的5倍，原来两仓库各存货物多少吨？67×(2+1)-17×(5+1)=201-102=99（吨）99÷…(5+1)-（2+1）‟=99÷3=33（吨）答：原来的乙有33吨。

（33+67）×2+67=200+67=267（吨）答：原来的甲有267吨。

分析：1、如果从甲仓库搬67吨货物到乙仓库,那么甲仓库的货物正好是乙仓库的2倍；甲和乙总的数量没有变，总的数量包括2+1=3个现在的乙，现在的乙是原来的乙加上67得来。

数量关系-例题习题及答案解析

平均数问题求平均数问题是小学学习阶段经常接触的一类典型应用题，如“求一个班级学生的平均年龄、平均身高、平均分数……”。

平均数问题包括算术平均数、加权平均数、连续数和求平均数、调和平均数和基准数求平均数。

解答这类应用题时，主要是弄清楚总数、份数、一份数三量之间的关系，根据总数除以它相对应的份数，求出一份数，即平均数。

一、算术平均数例1用4个同样的杯子装水，水面高度分别是4厘米、5厘米、7厘米和8厘米，这4个杯子水面平均高度是多少厘米？分析求4个杯子水面的平均高度，就相当于把4个杯子里的水合在一起，再平均倒入4个杯子里，看每个杯子里水面的高度。

解：（4＋5+7+8）÷4=6（厘米）答：这4个杯子水面平均高度是6厘米。

例2蔡琛在期末考试中，政治、语文、数学、英语、生物五科的平均分是 89分.政治、数学两科的平均分是91.5分.语文、英语两科的平均分是84分.政治、英语两科的平均分是86分，而且英语比语文多10分.问蔡琛这次考试的各科成绩应是多少分？分析解题关键是根据语文、英语两科平均分是84分求出两科的总分，又知道两科的分数差是10分，用和差问题的解法求出语文、英语各得多少分后，就可以求出其他各科成绩。

解：①英语：（84×2+10）÷2=89（分）②语文： 89-10=79（分）③政治：86×2-89＝83（分）④数学： 91.5×2-83＝100（分）⑤生物： 89×5-（89＋79＋83＋100）＝94（分）答：蔡琛这次考试英语、语文、政治、数学、生物的成绩分别是89分、79分、83分、100分、94分。

二、加权平均数例3果品店把2千克酥糖，3千克水果糖，5千克奶糖混合成什锦糖.已知酥糖每千克4.40元，水果糖每千克4.20元，奶糖每千克7.20元.问：什锦糖每千克多少元？分析要求混合后的什锦糖每千克的价钱，必须知道混合后的总钱数和与总钱数相对应的总千克数。

奇数与偶数

奇数与偶数（一）一、填空题1. 2，4，6，8，……是连续的偶数，若五个连续的偶数的和是320，这五个数中最小的一个是______.2. 有两个质数,它们的和是小于100的奇数,并且是17的倍数.这两个质数是_____.3. 100个自然数,它们的和是10000,在这些数里,奇数的个数比偶数的个数多,那么,这些数里至多有_____个偶数.4. 右图是一张靶纸,靶纸上的1、3、5、7、9表示射中该靶区的分数.甲说:我打了六枪,每枪都中靶得分,共得了27分.乙说:我打了3枪,每枪都中靶得分,共得了27分.已知甲、乙两人中有一人说的是真话，那么说假话的是_____.5.一次数学考试共有20道题,规定答对一题得2分,答错一题扣1分,未答的题不计分.考试结束后,小明共得23分.他想知道自己做错了几道题,但只记得未答的题的数目是个偶数.请你帮助小明计算一下,他答错了_____道题.6. 一本书中间的某一张被撕掉了,余下的各页码数之和是1133,这本书有_____页,撕掉的是第_____页和第_____页.设这本书的页码是从1到n 的自然数,正确的和应该是1+2+…+n =n 21( n +1) 由题意可知，n 21( n +1)>1133 由估算，当n =48时，n 21( n +1)=21⨯48⨯49=1176，1176-1133=43.根据书页的页码编排,被撕一张的页码应是奇、偶，其和是奇数，43=21+22.所以,这本书有48页,被撕的一张是第21页和第22页.1 3 5 7 9二、解答题7．如下图，从0点起每隔3米种一棵树.如果把3块“爱护树木”的小木牌分别挂在3棵树上，那么不管怎么挂，至少有两棵挂牌树之间的距离是偶数（以米为单位）.试说明理由.奇数与偶数一、填空题1．五个连续奇数的和是85，其中最大的数是_____,最小的数是_____.2.三个质数△、□、○，如果□>△>1, △+ □= ○,那么△=_____.3.已知a、b、c都是质数，且a+b=c，那么a⨯b⨯c的最小值是_____.4.已知a、b、c、d都是不同的质数，a+b+c=d，那么a⨯b⨯c⨯d的最小值是_____.5.a、b、c都是质数,c是一位数,且a⨯b+c=1993,那么a+b+c=_____.6.三个质数之积恰好等于它们和的7倍,则这三个质数为_____.依题意,设三个质数为X，Y，Z，则X+Y+Z=7Z ⨯⨯YX，这样三个质数必定有一个质数是7.如果X=7,则Y⨯Z=Y+Z+7,即Y⨯Z-(Y+Z)=7.根据数的奇偶性:偶-奇=奇；奇-偶=奇，进行讨论.当Y⨯Z为偶数, Y+Z为奇数时,则Y(或Z)必定是2,从而有2⨯3-(2+3)=1,2⨯5-(2+5)=3,2⨯11-(2+11)=9,……均不符合条件.当Y⨯Z为奇数, Y+Z为偶数时,则Y、Z均为奇数.若Y=3,Z=5,则3⨯5-(3+5)=7,符合条件.0 3 6 9 12 15 18 21 24所以,这三个质数分别是3,5和7.[注]以上五题(题2—题6)都是质数与奇偶数的性质求解“小、巧、活”的例子.尤其要注意2是所有质数中唯一的偶数这一特征.命题者常在此涉足.7、一本书共186页,那么数字1,3,5,7,9在页码中一共出现了_____次.因为1,3,5,7,9为连续奇数,分别算出186页总页码中个位、十位、百位上出现的奇数次数，再相加后所得的奇数总和即为数字1，3，5，7，9在页码中一共出现的总次数.从1—186，个位上出现的奇数为186÷2=93（次）；从10—186，十位上出现的奇数为10⨯9=90（次）；从100—186，百位上出现的奇数为186-100+1=87（次）.所以,186页书中1,3,5,7,9在页码中一共出现了93+90+87=270(次)8.筐中有60个苹果,将它们全部取出来,分成偶数堆,使得每堆的个数相同,则有_____种分法.9 能不能在下式:1□2□3□4□5□6□7□8□9=10的每个方框中,分别填入加号或减号,使等式成立?由题7评注知，在一个只有加减法运算的自然数式子中，如果把式子中减法运算改成加法运算，那么所得结果的奇偶性不变.因此无论在给出的式子每个方框中怎样填加减号,所得结果的奇偶性,与在每个方框中都填入加号所得结果的奇偶性一样.但是,每个方框中都填入加号所得结果是45,是个奇数.而式子的右边是10,是个偶数.也就是说从奇偶性上判断,要使题中式子成立是不可能的.10. 在一张9行9列的方格纸上，把每个方格所在的行数和列数加起来，填在这个方格中，例如a=5+3=8.问:填入的81个数字中,奇数多还是偶数多?1 2 3 4 5 6 7 8 9123456789根据自然数和的奇偶性:奇数+奇数=偶数,偶数+偶数=偶数,奇数+偶数=奇数,知,第一行填的数中偶数比奇数多1个,第二行填的数中偶数比奇数少1个,第三得填的数中偶数比奇数多1个,第四行填的数中偶数比奇数少1个,……可见，前8行中奇数和偶数的个数一样多，而第九行中偶数多。

小学奥数训练题奇偶数与加减运算

奇偶数与加减运算1、判断下面算式的得数是奇数还是偶数：（1）12+13+14+…+86+87；（2）（300+301+302+…+397）-（151+152+…+191）.2、有七个连续偶数,其中最大数是最小数的3倍,求这七个数.3、有10个连续奇数,第5个数与第8个数的和为56,求第1个数.4、能否在下式的□内填入加号或减号,使下式成立？1□2□3□4□5□6□7□8□9＝10.5、对于任意三个自然数,是否总有两个数的和是偶数？为什么？6、有一排树,每两棵间的距离为1米.如果把三块“爱护树木”的小牌分别挂在三棵树上,那么不管怎样挂,至少有两棵挂牌的树之间的距离是偶数米.为什么？7、在30到100中,所有3的倍数的数之和是奇数还是偶数？8、在前100个自然数中,任意取出两个不同的数相加,其和是偶数的不同的取法共有多少种？9、有11张卡片,分别写有1～11这11个自然数.现在要将这11张卡片分为两堆,使得一堆所有卡片上的数字之和是奇数,另一堆所有卡片上的数字之和是偶数.能否做到？10、任意交换某个三位数的数字顺序得到一个新的三位数,原三位数与新三位数之和能否等于999？11、两个四位数相加,第一个四位数的每个数码都小于5,第二个四位数仅仅是第一个四位数的四个数码调换了位置.两数的和可能是7356吗？为什么？12、P为质数,P3+5仍为质数,P5+5是不是质数？13、有12张卡片,其中有三张上面写着1,三张写着3,三张写着5,三张写着7.问：能否从中选出五张,使它们上面的数字之和为20？为什么？14、有一本500页的书,从中任意撕下20张纸,这20张纸上的所有页码之和能否是1999？15、下图是一张9行9列的方格纸,在每个方格内填入所在行数与列数之和,例如a=4+7=11.在填入的81个数中,偶数有多少个？16、有一根绕成一团的毛线,拿剪刀任意剪一刀,假设剪出偶数个断口.问：这根毛线被分成的段数是偶数还是奇数？17、沿江有1、2、3、4、5、6号六个码头,相邻两码头间的距离都相等.早晨有甲、乙两船从1号码头出发,各自在这些码头间多次往返运送货物.傍晚,甲船停泊在6号码头,乙船停泊在1号码头.请说明甲、乙两船的航程不相等.18、在左下图中,已填入两个数字1和8.问：在其余的格子中能否填满整数,使得横行任意相邻两数左边减右边之差都相等,纵列任意相邻两数下边减上边之差都相等？19、在右上图的4×4方格中还有12个空格,希望填入12个自然数,使得同一行中相邻两数的差（大数减小数）都相等,同一列中相邻两数的差（大数减小数）也相等.问：这件事能否办到？为什么？20、有一列数,从第2个数起,每个数与它前面一个数的差等于它的序号.例如：第6个数与第5个数的差是6.如果第1个数是1,那么第100个数是奇数还是偶数？21、100个数排成一排,除了两头的两个数外,每个数的3倍都恰好等于它两边的两个数的和.这排数最左边的几个数为：2、1、1、2、…问：最右边的一个数是奇数还是偶数？22、在黑板上写出三个整数,然后擦去一个换成其它两数之和,这样继续操作下去,最后得到44、66、109.问：原来写的三个整数能否为1、3、5？23、在黑板上写出三个整数,然后擦去一个换成其它两数之和加1,这样继续操作下去,最后得到35、47、81.问：原来写的三个整数能否为2、4、6？24、有两堆石子,第一堆有1234枚,第二堆有4321枚,每次允许要么从两堆中拿走相同数量的石子（每次拿的数可以不同）,要么从一堆中拿若干枚放入另一堆.问：能否经过若干次操作把两堆石子同时拿光？为什么？25、某城市举行小学生数学竞赛,试卷共有20道题.评分标准是：答对一道给3分,没答的题每题给1分,答错一道扣1分.问：所有参赛学生的得分总和是奇数还是偶数？为什么？26、电视台举办知识竞赛,共10道题.评分标准是：基础分15分,答对一道加3分,没答的题每题记1分,答错一道减1分.如果有奇数个人参赛,那么所有参赛人的得分总和一定是奇数吗？27、一次数学考试共有20道题.规定答对一题得2分,答错一题扣1分,未答的题不得分.小明得了23分,已知他未答的题目数是偶数.他答错了几道？28、在9×9的方格表中,画出一条从左上角到右下角的对角线,以这条对角线为轴对称地放置棋子,每个方格中至多放一枚棋子,且每行恰好放了5枚棋子.请说明,在所画出的对角线上的格子里至少放有一枚棋子.29、桌上放着七只杯子,有三只杯口朝上,四只杯口朝下,每个人任意将杯子翻动四次.问：若干人翻动后,能否将七只杯子全变成杯口朝下？30、桌上放着四只杯口朝下的杯子,每次翻动三只.问：能否将四只杯子全变成杯口朝上？如能,怎样翻？31、有6个学生都面向南站成一排,每次恰有5个学生向后转,最少要做多少次才能使6个学生都面向北？32、桌面上放着五枚正面朝上的硬币,这时小明来翻转硬币,每次随意翻转两枚,翻转若干次后,小明用手捂住其中一枚硬币,此时另外四枚硬币恰好是两反两正.请问：小明捂住的那枚硬币哪面朝上？33、在2×2的方格里,如左下图那样摆上四个围棋子,如果每次改变同一行或同一列两个棋子的颜色,即白色变黑色,黑色变白色,那么能否通过若干次这样的换色,使左下图变成右下图的样式？34、在3×3的方格里,如左下图那样摆上九个围棋子,如果每次改变同一行或同一列三个棋子的颜色,即白色变黑色,黑色变白色,那么能否通过若干次这样的换色,使左下图变成右下图的样式？35、对于左下表,每次将其中的任意两个数减去或加上同一个数,能否经过若干次后（各次减去或加上的数可以不同）变为右下表？为什么？36、把1、2、3三个数分别填在右图中的A、B、C三个小圆圈内,然后按逆时针方向,先把B 中的数改为A中的数与B中的数之和,再把C中的数改为B中（已改过）的数与C中的数之和,再把A中的数改为C中（已改过）的数与A中的数之和,这样循环做下去.如果在某一步做完之后,A、B、C中的数都变成了奇数,则停止运算.为了尽可能多运算几步,那么2应填在A、B、C哪个圆圈中？37、小敏给9个点分别涂上红色或兰色,涂完后又全部擦干净,然后再涂一遍,两次总共涂上红色和兰色的点各9个.无论怎样涂,是否总能找到一个两次涂的颜色不相同的点？38、某音乐厅有767个座位,在连续的两场演出中,音乐厅将这两场的票售给A、B两所大学各767张.问：是否一定有这样的座位,在这两场演出中坐的不是同一学校的人？39、有777个孩子,依次编为1～777号.能否将这些孩子分为若干组,使每组中都有一个孩子的号码数等于本组其余孩子号码数的总和？为什么？40、在左下图的每个中填入一个自然数（可以相同）,使得任意两个相邻的中的数字之差（大数减小数）,恰好等于它们之间所标的数字.能否办到？为什么？41、如右上图所示,将1～12顺次排成一圈.任意选一个数a（1≤a≤12）,然后从数a的下一个数起顺时针数a个数.例如a=3,就从4数到6；a=11,就从12顺时针数11个数到10.问：当a等于几时,可以数到7？42、一本故事书有50篇故事,这些故事占的篇幅从1页到50页各不相同.如果从书的第1页开始印第一个故事,下一个故事总是从新的一页开始印,那么故事从奇数页起头的最多有几篇？最少有几篇？43、A、B、C、D、E、F、G七盏灯各自装有拉线开关,开始B、D、F亮着,一个小朋友按从A 到G,再从A到G,再……的顺序拉开关,一共拉了2000次.问：此时哪几盏灯是亮的？44、走廊里有10盏电灯,从1到10编号,开始时电灯全部关闭.有10个学生依次通过走廊,第1个学生把所有的灯绳都拉了一下,第2个学生把2的倍数号的灯绳都拉了一下,第3个学生把3的倍数号的灯绳都拉了一下……第10个学生把第10号灯的灯绳拉了一下.假定每拉动一次灯绳,该灯的亮与不亮就改变一次.试判定：当这10个学生通过走廊后,走廊里哪些号数的灯是亮的？45、将任意六个整数填入2×3的方格中.证明：必定存在一个矩形,它的四个角上的四个数字之和为偶数.46、能否将1、1、2、2、3、3、…、10、10这20个数排成一排,使得两个1之间夹着这20个数中的1个数,两个2之间夹着这20个数中的2个数……两个10之间夹着这20个数中的10个数？为什么？。

小学奥数题及答案

小学奥数题及答案火车过桥问题（二）一、填空题1.有两列火车,一列长102米,每秒行20米;一列长120米,每秒行17米.两车同向而行,从第一列车追及第二列车到两车离开需要几秒?2.某人步行的速度为每秒2米.一列火车从后面开来,超过他用了10秒.已知火车长90米.求火车的速度.3.现有两列火车同时同方向齐头行进,行12秒后快车超过慢车.快车每秒行18米,慢车每秒行10米.如果这两列火车车尾相齐同时同方向行进,则9秒后快车超过慢车,求两列火车的车身长.4.一列火车通过440米的桥需要40秒,以同样的速度穿过310米的隧道需要30秒.这列火车的速度和车身长各是多少?5.小英和小敏为了测量飞驶而过的火车速度和车身长,他们拿了两块跑表.小英用一块表记下了火车从她面前通过所花的时间是15秒;小敏用另一块表记下了从车头过第一根电线杆到车尾过第二根电线杆所花的时间是20秒.已知两电线杆之间的距离是100米.你能帮助小英和小敏算出火车的全长和时速吗?6.一列火车通过530米的桥需要40秒,以同样的速度穿过380米的山洞需要30秒.求这列火车的速度与车身长各是多少米.7.两人沿着铁路线边的小道,从两地出发,以相同的速度相对而行.一列火车开来,全列车从甲身边开过用了10秒.3分后,乙遇到火车,全列火车从乙身边开过只用了9秒.火车离开乙多少时间后两人相遇?8. 两列火车,一列长120米,每秒行20米;另一列长160米,每秒行15米,两车相向而行,从车头相遇到车尾离开需要几秒钟?9.某人步行的速度为每秒钟2米.一列火车从后面开来,越过他用了10秒钟.已知火车的长为90米,求列车的速度.10.甲、乙二人沿铁路相向而行,速度相同,一列火车从甲身边开过用了8秒钟,离甲后5分钟又遇乙,从乙身边开过,只用了7秒钟,问从乙与火车相遇开始再过几分钟甲乙二人相遇?二、解答题11.快车长182米,每秒行20米,慢车长1034米,每秒行18米.两车同向并行,当快车车尾接慢车车尾时,求快车穿过慢车的时间?12.快车长182米,每秒行20米,慢车长1034米,每秒行18米.两车同向并行,当两车车头齐时,快车几秒可越过慢车?13.一人以每分钟120米的速度沿铁路边跑步.一列长288米的火车从对面开来,从他身边通过用了8秒钟,求列车的速度.14.一列火车长600米,它以每秒10米的速度穿过长200米的隧道,从车头进入隧道到车尾离开隧道共需多少时间?——————————————答案——————————————————————一、填空题120米102米17x米20x米尾尾头1. 这题是“两列车”的追及问题.在这里,“追及”就是第一列车的车头追及第二列车的车尾,“离开”就是第一列车的车尾离开第二列车的车头.画线段图如下:设从第一列车追及第二列车到两列车离开需要x秒,列方程得:102+120+17 x =20 xx =74.2. 画段图如下:头90米尾10x设列车的速度是每秒x米,列方程得10 x =90+2×10x =11.头尾快车头尾慢车头尾快车头尾慢车3. (1)车头相齐,同时同方向行进,画线段图如下:则快车长:18×12-10×12=96(米)(2)车尾相齐,同时同方向行进,画线段图如下:头尾快车头尾慢车头尾快车尾慢车则慢车长:18×9-10×9=72(米)4. (1)火车的速度是:(440-310)÷(40-30)=13(米/秒)(2)车身长是:13×30-310=80(米)5. (1)火车的时速是:100÷(20-15)×60×60=72000(米/小时)(2)车身长是:20×15=300(米)6. 设火车车身长x米,车身长y米.根据题意,得①②解得7. 设火车车身长x米,甲、乙两人每秒各走y米,火车每秒行z米.根据题意,列方程组,得①②①-②,得:火车离开乙后两人相遇时间为:(秒) (分).8. 解:从车头相遇到车尾离开,两车所行距离之和恰为两列车长之和,故用相遇问题得所求时间为:(120+60)¸(15+20)=8(秒).9. 这样想:列车越过人时,它们的路程差就是列车长.将路程差(90米)除以越过所用时间(10秒)就得到列车与人的速度差.这速度差加上人的步行速度就是列车的速度.90÷10+2=9+2=11(米)答:列车的速度是每秒种11米.10. 要求过几分钟甲、乙二人相遇,就必须求出甲、乙二人这时的距离与他们速度的关系,而与此相关联的是火车的运动,只有通过火车的运动才能求出甲、乙二人的距离.火车的运行时间是已知的,因此必须求出其速度,至少应求出它和甲、乙二人的速度的比例关系.由于本问题较难,故分步详解如下:①求出火车速度与甲、乙二人速度的关系,设火车车长为l,则:(i)火车开过甲身边用8秒钟,这个过程为追及问题:故; (1)(i i)火车开过乙身边用7秒钟,这个过程为相遇问题:故 . (2)由(1)、(2)可得: ,所以, .②火车头遇到甲处与火车遇到乙处之间的距离是:.③求火车头遇到乙时甲、乙二人之间的距离.火车头遇甲后,又经过(8+5×60)秒后,火车头才遇乙,所以,火车头遇到乙时,甲、乙二人之间的距离为:④求甲、乙二人过几分钟相遇?(秒) (分钟)答:再过分钟甲乙二人相遇.二、解答题11. 1034÷(20-18)=91(秒)12. 182÷(20-18)=91(秒)13. 288÷8-120÷60=36-2=34(米/秒)答:列车的速度是每秒34米.14. (600+200)÷10=80(秒)答:从车头进入隧道到车尾离开隧道共需80秒.平均数问题1. 蔡琛在期末考试中，政治、语文、数学、英语、生物五科的平均分是89分.政治、数学两科的平均分是91.5分.语文、英语两科的平均分是84分.政治、英语两科的平均分是86分，而且英语比语文多10分.问蔡琛这次考试的各科成绩应是多少分？2. 甲乙两块棉田，平均亩产籽棉185斤.甲棉田有5亩，平均亩产籽棉203斤；乙棉田平均亩产籽棉170斤，乙棉田有多少亩？3. 已知八个连续奇数的和是144，求这八个连续奇数。

五年级奥数训练检测卷：奇数与偶数

2013-2014学年五年级（上）奥数训练检测卷：奇数与偶数一、解答题（共21小题，满分0分）1．23+45+67+78+89﹣167+929是奇数还是偶数？2．123×45×67×78×89×167×929是奇数还是偶数？3．已知a÷23456789×27×37=999999，问a是奇数还是偶数？4．从200到300中的所有7的倍数之和是奇数还是偶数？5．已知a、b、c中有一个是2005，一个是2006，一个是2007，试判断（a+1）×（b+4）×（c+7）的结果的奇偶性．6．某聚会有97个人参加，且每人至少认识其中三人，试说明必有一人认识其中至少4个人．7．31人参加羽毛球赛，问能否制定一程序表使得每个选手恰参加3场比赛？8．在一次聚会家见面互相问候，问在某一时刻参加聚会的同学中握手次数是奇数的人人数是奇数还是偶数？9．任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数．试证新数与原数之和不能等于999．10．有7卡片正面分别写着51，52，53，54，55，56，57，而背面的数字为31，32，33，34，35，36，37，问每卡片正面与反面两数之和的乘积是奇数还是偶数？又问每卡片正面与反面两数之乘积的和是奇数还是偶数？11．在黑板上写着3个数，每次擦去其中一个换成其余两数之和或差，这样一直操作下去最后得到36，48，84，问最初的3个数能否是1，3，8？12．24个不同整数和为200，且已知偶数比奇数多，问偶数最少有多少个？13．四个连续奇数之和能否等于2007，2006，2004，为什么？14．某小学有240人参加竞赛，竞赛评分标准为：答对加3分，不答加1分，答错扣1分；试说明所有参赛人得分总和是偶数．15．（1）把1，1，2，2，3，3排成一行，使得两个1之间恰有一个数，两个2之间恰有两个数，两个3之间恰有三个数．（2）把1，1，2，2，3，3，4，4排成一行，使得两个1之间恰有一个数，两个2之间恰有两个数，两个3之间恰有三个数，两个4之间恰有4个数．（3）能否把1，1，2，2，3，3，4，4，5，5排成一行，使得两个1之间恰有一个数，两个2之间恰有两个数，两个3之间恰有三个数，两个4之间恰有4个数，两个5之间恰有5个数？16．1+2+3+…+2007 是奇数还是偶数？17．已知 2337+2288+23491+97732+a=3945794360，问a是奇数还是偶数？18．2007﹣2006+2005﹣2004+…+3﹣2+1的结果是奇数还是偶数？19．某校同学的校服，男生衣服有5个扣子，女生衣服有4个扣子，已知制作校服时共用了2000个扣子，且学生总数为偶数，问女生人数是奇数还是偶数？20．在黑板上3个整数，每次操作擦去其中一个，换成其他两数加1，这样一直操作，最后得到41，43，45，问原来写的3个整数能否为2，4，6？21．如果7个连续奇数中，最大数是最小数的5倍，问最大数是多少？2013-2014学年五年级（上）奥数训练检测卷：奇数与偶数参考答案与试题解析一、解答题（共21小题，满分0分）1．23+45+67+78+89﹣167+929是奇数还是偶数？考点：奇偶性问题．专题：整除性问题．分析：由于偶数±偶数=偶数，奇数个奇数相加减，得奇数，偶数个奇数相加减，得偶数，据此根据所给算式时行分析完成即可．解答：解：23+45+67+78+89﹣167+929中，有6个奇数，一个偶数．则6个奇数相加减的结果还是偶数，偶数+偶数=偶数．即23+45+67+78+89﹣167+929的结果是偶数．点评：根据数和的奇偶性进行分析是完成本题的关键．2．123×45×67×78×89×167×929是奇数还是偶数？考点：奇偶性问题．专题：整除性问题．分析：由于奇数×奇数=奇数，偶数×奇数，123×45×67×78×89×167×929中，78为偶数，则它们的积一定是偶数．解答：解：123×45×67×78×89×167×929中，78为偶数，则它们的积一定是偶数．点评：在整数乘法算式中，无论有多少乘数，只要其中有一个偶数，则积一定是偶数．3．已知a÷23456789×27×37=999999，问a是奇数还是偶数？考点：奇偶性问题．专题：整除性问题．分析：奇数×奇数=奇数，由于a÷23456789×27×37=999999，999999是奇数，所以a÷23456789=奇数，则a=奇数×23456789，则a为奇数．解答：解：999999是奇数，所以a÷23456789=奇数，则a=奇数×23456789，所以a为奇数．点评：本题考查了学生于数的奇偶性的理解与应用．4．从200到300中的所有7的倍数之和是奇数还是偶数？考点：奇偶性问题．专题：整除性问题．分析：从200到300中的所有7的倍数中，最小的是7×29=203，最大的是7×42=294，所以200与300之间共有42﹣29+1=14个7的倍数，据此根据高斯求公式求出从200到300中的所有7的倍数之和知是偶数还是奇数．所以，14个数的和为（203+294）×14/2=3479解答：解：7×29=203，7×42=294，又所以200与300之间共有42﹣29+1=14个7的倍数，（203+294）×14÷2=3479，所以，从200到300中的所有7的倍数之和是奇数．点评：首先求出200与300之间共有多少个7的倍数是完成本题的关键．5．已知a、b、c中有一个是2005，一个是2006，一个是2007，试判断（a+1）×（b+4）×（c+7）的结果的奇偶性．考点：奇偶性问题．专题：整除性问题．分析：由于偶数×偶数=偶数，偶数×奇数=奇数，奇数×奇数=奇数，即无论a、b、c取什么值，只要三个乘数中存在偶数，则积一定是偶数．解答：解：2005分别加1，4，7可得2006，2009，2012；2006分别中1，4，7，可得2007，2010，2013；2007分别加1，4，7可得2008，2011，2014．由此可知，无论无论a、b、c分别取什么值，（a+1）×（b+4）×（c+7）三个乘数中一定存在偶数．所以（a+1）×（b+4）×（c+7）的结果一定是偶数．点评：根据数的奇偶性进行分析是完成本题的关键．6．某聚会有97个人参加，且每人至少认识其中三人，试说明必有一人认识其中至少4个人．考点：染色问题．专题：传统应用题专题．分析：从最不利的情况考虑，根据“且每人至少认识其中三人，”可知：使每组3+1=4人只相互认识，与另外4个人不认识，所以根据抽屉原理，每4人一组，把97能分成24组，还余1人，这1人要想满足“每人至少认识其中三人，”必须在这24组中人任选一组；这样这一组就有5人，即有一人认识其中至少4个人．解答：解：3+1=4（人）97÷4=24（组）…1（人）4+1=5（人），即有一人认识其中至少4个人．点评：本题考查了染色问题与抽屉原理的综合运用，关键是确定抽屉的个数，本题也可把认识的三个人看作三种颜色，然后按染色问题解答．7．31人参加羽毛球赛，问能否制定一程序表使得每个选手恰参加3场比赛？考点：奇偶性问题．专题：整除性问题．分析：由于31人参加羽毛球赛，如果每个选手恰能参加3场比赛，则所有人打的场数之和是31×3=93场，设总共进行了n场比赛，又因为每打一场比赛，涉及两个人：那么所有人打比赛的场数之和为2n是一个偶数．与93是一个奇数，矛盾，所以不能制定一程序表使得每个选手恰参加3场比赛．解答：解：如果31人每人打3场，则所有人打的场数之和是31×3=93场，设总共进行了n场比赛，又因为每场比赛涉及两个人：那么所有人打比赛的场数之和为2n是一个偶数．与93是一个奇数，矛盾．所以不能制定一程序表使得每个选手恰参加3场比赛．点评：根据比赛场数的奇偶性进行分析是完成本题的关键．8．在一次聚会家见面互相问候，问在某一时刻参加聚会的同学中握手次数是奇数的人人数是奇数还是偶数？考点：奇偶性问题．专题：整除性问题．分析：由于每个人都要和其他个人握一次手，设这一时刻共有n个人，则每人需要握n﹣1次手，又握手次数是奇数，即n﹣1是奇数，则n一定是偶数．解答：解：设这一时刻共有n个人，则每人需要握n﹣1次手，又握手次数是奇数，即n﹣1是奇数，则n一定是偶数．即此时总人数是偶数．点评：明确每个人都要和其他个人握一次手是完成本题的关键．9．任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数．试证新数与原数之和不能等于999．考点：奇偶性问题．专题：数性的判断专题．分析： 999三位皆为奇数，由于只有奇+偶=奇，故只有奇偶位数相等情况下才可能出现和的位数全为奇数，而题设为3位数，故不可能；进一步举例验证即可．解答：解：令该数为ABC，则：1、全为奇数﹣﹣结果3位均为偶数；2、全为偶数﹣﹣结果3位均为偶数；3、AB奇，C偶﹣﹣A，B必须全与偶数相加才能都为奇数，不成立；4、AB偶，C奇﹣﹣A，B必须全与奇数相加才能都为奇数，不成立；故新数与原数之和不能等于999．点评：此题数的奇偶性的运用：奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，奇数+偶数=奇数．10．有7卡片正面分别写着51，52，53，54，55，56，57，而背面的数字为31，32，33，34，35，36，37，问每卡片正面与反面两数之和的乘积是奇数还是偶数？又问每卡片正面与反面两数之乘积的和是奇数还是偶数？考点：奇偶性问题．专题：整除性问题．分析：由于偶数+偶数=偶数，奇数+奇数=偶数，由于每卡片上数的奇偶性是相同的，所以每卡片正面与反面两数之和是偶数，又偶数×偶数=偶数，所以每卡片正面与反面两数之和的乘积还是偶数；由于偶数×偶数=偶数，奇数×奇数=奇数，由于每卡片上数的奇偶性是相同的，所以7卡片数的乘积中，有四个奇数，三个偶数，又四个奇数的和是偶数，所以每卡片正面与反面两数之乘积的和还是偶数．解答：解：由于由于每卡片上数的奇偶性是相同的，所以每卡片正面与反面两数之和是偶数，则偶数×偶数=偶数，所以每卡片正面与反面两数之和的乘积还是偶数；同理可知，所以7卡片数的乘积中，有四个奇数，三个偶数，又四个奇数的和是偶数，所以每卡片正面与反面两数之乘积的和还是偶数．点评：明确每卡片上反正面数的奇偶性相同是完成本题的关键．11．在黑板上写着3个数，每次擦去其中一个换成其余两数之和或差，这样一直操作下去最后得到36，48，84，问最初的3个数能否是1，3，8？考点：奇偶性问题．专题：整除性问题．分析：此题单从具体的数来，无从下手．但抓住其操作过程中奇偶变化规律，问题就变得很简单了．如果原来三个数为1，3，8，为两奇一偶，无论怎样，第一次无论擦去哪个数，结果中总分存在两奇一偶，再往后操作，可能有以下两种情况：一是擦去一奇数，剩下一奇一偶，其和为奇，因此换上去的仍为奇数；二是擦去一偶数，剩下两奇，其和为偶，因此，换上去的仍为偶数．总之，无论怎样操作，总是两奇一偶，而36，48，84是三个偶数，这就发生矛盾．所以，原来写的不可能为1，3，8．解答：解：如果原来三个数为1，3，8，为两奇一偶，第一次无论擦去哪个数，结果中总分存在两奇一偶，再往无论怎样操作，总是两奇一偶，而36，48，84是三个偶数，这就发生矛盾．所以，原来写的不可能为1，3，8．点评：根据规作规则及数的奇偶性进行分析是完成本题的关键．12．24个不同整数和为200，且已知偶数比奇数多，问偶数最少有多少个？考点：数字问题．专题：整除性问题．分析：由于奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数，偶数+偶数，要使偶数最少，则应使奇数个数最多，又偶数比奇数多，所以最多可有10个奇数，最少有14个偶数．解答：解：由于偶数个奇数相加的和是偶数，偶数加偶数=偶数，最多可有10个奇数，最少有14个偶数．点评：明确偶数个奇数相加的和是偶数，是完成本题的关键．13．四个连续奇数之和能否等于2007，2006，2004，为什么？考点：奇偶性问题．专题：整除性问题．分析：由于偶数个奇数相加的和是偶数，2007是奇数，所以2007一定不是四个连续奇数之和．又每两个相邻奇数之间相差2，设四个连续奇数中最小的是x，由此可得：x+x+2+x+4+x+6=2004，x+x+2+x+4+x+6=2006，然后解此两个方程，求证四个连续奇数之和能否等于2006，2004．解答：解：由于偶数个奇数相加的和是偶数，2007是奇数，所以2007一定不是四个连续奇数之和．设四个连续奇数中最小的是x，由此可得：x+x+2+x+4+x+6=2004，4x+12=2004x=1992x=498498是偶数，所以四个连续奇数之和不能等于2004．x+x+2+x+4+x+6=2006，4x+12=20064x=1994x=498.5498.5不是整数，所以四个连续奇数之和不能等于2006．点评：明确数和奇偶性与奇数在自然数中的排列规律是完成本题的关键．14．某小学有240人参加竞赛，竞赛评分标准为：答对加3分，不答加1分，答错扣1分；试说明所有参赛人得分总和是偶数．考点：奇偶性问题．专题：整除性问题．分析：如果有奇数道题目，则总分是奇数×3=奇数，又答对加3分，不答加1分，答错扣1分，则不答相当于每道扣两分，答错一题相当于每道扣4分，即无论答错或不答，扣的分数都为偶数，则每位同学所得分=总分（奇数）﹣偶数=奇数．共240名同学，所以所有参赛人的得分总和是奇数×240=偶数．同理可知，如果有偶数道题目，则总分是偶数×3=偶数，由于扣的分数都为偶数，则每位同学所得分=总分（偶数）﹣偶数=偶数．共240名同学，所以所有参赛人的得分总和是偶数×240=偶数．解答：解：由于答对加3分，不答加1分，答错扣1分，则不答相当于每道扣两分，答错一题相当于每道扣4分，即无论答错或不答，扣的分数都为偶数，如果如果有奇数道题目，则总分是奇数×3=奇数，每位同学所得分=总分（奇数）﹣偶数=奇数．共240名同学，所以所有参赛人的得分总和是奇数×240=偶数．果有偶数道题目，则总分是偶数×3=偶数，则每位同学所得分=总分（偶数）﹣偶数=偶数．共240名同学，所以所有参赛人的得分总和是偶数×240=偶数．即无论有多少道题目，所有参赛人得分总和是偶数．点评：明确根据分制，每位同学的扣的分数一定是偶数是完成本题的关键．15．（1）把1，1，2，2，3，3排成一行，使得两个1之间恰有一个数，两个2之间恰有两个数，两个3之间恰有三个数．（2）把1，1，2，2，3，3，4，4排成一行，使得两个1之间恰有一个数，两个2之间恰有两个数，两个3之间恰有三个数，两个4之间恰有4个数．（3）能否把1，1，2，2，3，3，4，4，5，5排成一行，使得两个1之间恰有一个数，两个2之间恰有两个数，两个3之间恰有三个数，两个4之间恰有4个数，两个5之间恰有5个数？考点：数字问题．专题：竞赛专题．分析：（1）把1，1，2，2，3，3排成一行，使得两个1之间恰有一个数，则两个1之间只能为2或3其中一个，两个2之间恰有两个数，则两个2之间可为必为13，两个3之间恰有三个数，则这三个数可由1或2组成．根据题意可这样排列：312132．（2）把1，1，2，2，3，3，4，4排成一行，使得两个1之间恰有一个数，两个2之间恰有两个数，两个3之间恰有三个数，两个4之间恰有4个数，根据规则可得两个符合要求的数列：41312432、23421314．（3）题应该用反证法说明，假设可以这样排放，则偶数占据的位置和奇数占据的位置应该都为5个，但实际是不可能的，据此推翻假设，从而得证．解答：解：（1）根据规则可得数列：312132．（2）根据规则可得数列：：41312432、23421314．（3）将10个位置按奇数位着白色，偶数位着黑色染色，于是黑白点各有5个．假设可以排放：因为偶数之间有偶数个位置，所以一个偶数占据一个黑点和一个白点，奇数之间有奇数个位置，一个奇数要么都占黑点，要么都占白点．于是2个偶数，占据白点A1=2个，黑点B1=2个．3个奇数，占据白点A2=2a个，黑点B2=2b个，其中a+b=3．因此，共占白点A=A1+A2=2+2a个．黑点B=B1+B2=2+2b个，由于a+b=3（非偶数！）所以a≠b，从而得A≠B．这与黑、白点各有5个矛盾．故这种排法不可能．点评：问题三利用了反证法进行了证明，此题可推广到“两个n之间夹着n个数”的证法．16．1+2+3+…+2007 是奇数还是偶数？考点：奇偶性问题．专题：整除性问题．分析：由于2007÷2=1003…1，即1+2+3+…+2007 中，有1003个偶数，1003+1=1004个奇数，又偶数个奇数相加的和是偶数，偶数+偶数=偶数，所以+2+3+…+2007的和偶数．解答：解：2007÷2=1003…1，即1+2+3+…+2007 中，有1003个偶数，1003+1=1004个奇数，又1004个奇数相加的和是偶数，偶数+偶数=偶数，所以+2+3+…+2007的和是偶数．点评：明确偶数个奇数相加的和是偶数是完成本题的关键．17．已知 2337+2288+23491+97732+a=3945794360，问a是奇数还是偶数？考点：奇偶性问题．专题：整除性问题．分析：由于前四个加数个位数相加的和是7+8+1+2=18，又五个加数的和的末尾是0，则a的个位数=20﹣18=2，即a是偶数．解答：解：7+8+1+2=16，则a的个位数是=20﹣18=2，即a是偶数．点评：完成本题也可根据数的奇偶性进行分析，由于前三个加数中有两个奇数，一个偶数，又奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，则a一定是偶数．18．2007﹣2006+2005﹣2004+…+3﹣2+1的结果是奇数还是偶数？考点：奇偶性问题．专题：整除性问题．分析：先求出结果，再判断结果是奇数还是偶数；通过观察，每两个数分为一组，共分成（2007﹣1）÷2=1003组，最后剩余1，每组的结果为1，据此解答即可．解答：解：2007﹣2006+2005﹣2004+2003﹣…+1=（2007﹣2006）+（2005﹣2004）+（2003﹣2002）…+（3﹣2）+1=1×1003+1=10041004是偶数；答：2007﹣2006+2005﹣2004+…+3﹣2+1的结果是偶数．点评：解答本题的关键是运用简便方法求出结果．19．某校同学的校服，男生衣服有5个扣子，女生衣服有4个扣子，已知制作校服时共用了2000个扣子，且学生总数为偶数，问女生人数是奇数还是偶数？考点：奇偶性问题．专题：整除性问题．分析：制作校服时共用的扣子总数是偶数，每个女生的扣子数是偶数，所以不论女生的人数是奇数还是偶数，扣子总数都是偶数；而每个男生的扣子数是奇数，又因为总人数是偶数，而扣子总数又是偶数，根据奇偶性的运算：奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数；所以只有男生是偶数，才能保证扣子总数是偶数，则女生人数是偶数．解答：解：女生扣子数是偶数，不论女生的人数是奇数还是偶数，女生扣子总数永远都是偶数，但总扣子数是偶数，所以男生扣子总数也是偶数，又因为男生衣服有5个扣子是奇数，所以只有男生人数为偶数时，才能保证男生扣子总数是偶数；且学生总数为偶数，所以女生人数是偶数．答：女生人数是偶数．点评：解答本题需运用数的奇偶性的运算．20．在黑板上3个整数，每次操作擦去其中一个，换成其他两数加1，这样一直操作，最后得到41，43，45，问原来写的3个整数能否为2，4，6？考点：数字问题．专题：整除性问题．分析：开始写的2、4、6，记为（偶、偶、偶），按操作无论擦去那个数，都变为两偶，以后每次都得到两偶，不可能得到像（41、43、45）这样三奇的情形．解答：解：最后得到41、43、45是三个奇数；对2、4、6这样的偶、偶、偶型来说，第一步，擦去一个偶数，只能写上一个偶数，因偶数+偶数=偶数．此时，对偶、偶、偶型的数字来说，无论擦去哪个偶数，写上的仍是偶数，因偶数+偶数=偶数．即2、4、6偶、偶、偶型一旦做完第一步后，就陷入偶、偶、偶型中，永远出不来，不可能达到三个奇数；所以原来写的三个整数不能为2、4、6．点评：做此题要熟知奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，奇数+偶数=奇数．21．如果7个连续奇数中，最大数是最小数的5倍，问最大数是多少？考点：奇偶性问题；差倍问题．专题：整除性问题．分析：由于每两个连续的奇数相差2，则这7个连续的奇数中，最大的比最小的多多（7﹣1）×2，设最小的是x，可得：x+（7﹣1）×2=5x．解答：解：设最小的是x，可得：x+（7﹣1）×2=5xx+12=5x4x=12x=33×5=15．答：最大的数是15．点评：明确自然数中奇数的排列规律是完成本题的关键．。

n个奇数相加的公式

n个奇数相加的公式在数学中有许多关于奇数和的公式和规律，其中最为著名的就是高斯提出的求和公式：1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}。

但是，如果我们想求得n个连续的奇数之和，这个公式就不再适用了。

那么，有没有一种公式可以用来快速求得这个和呢？答案是有的。

对于一个正整数n，它的n个连续的奇数从m开始，可以表示为m, m+2, m+4, ..., m+2(n-1)，其中m是第一个奇数，m+2是第二个奇数，以此类推。

则这n个奇数的和为：1. 当n为奇数时：m+(m+2)+(m+4)+...+(m+2n-2)+(m+2n-1)=（m+m+2n-1）/ 2 × n= mn+n^22. 当n为偶数时：m+(m+2)+(m+4)+...+(m+2n-2)= (m+m+2n-2) / 2 × n= mn + n(n-1)这两个式子分别适用于n为奇数和偶数的情况，我们可以将它们整合成一个式子：m+n^2，如果n为奇数m+n(n-1)，如果n为偶数其中m是第一个奇数，也就是n个连续的奇数中的最小值。

这个公式非常简洁明了，而且计算时也非常方便。

举个例子，如果我们要求1+3+5+7+9的和，可以将m设为1，n设为5，带入公式得到：1+3+5+7+9=1×5+5^2=25同样地，如果我们要求3+5+7+9+11+13的和，可以将m设为3，n设为6，带入公式得到：3+5+7+9+11+13=3×6+6×5=48这个公式在数论研究和数学推导中具有重要的地位，而且在实际应用中也有一定的价值。

例如，在计算机算法设计中，有许多要求对连续的一段整数进行求和的问题，而这个奇数和公式恰恰可以很好地解决这些问题。

总之，奇数和公式不仅提供了一种简单有效的求解n个连续奇数和的方法，而且也展示了数学中寻找规律和公式的无穷乐趣。

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