人教版-数学-五年级上册-刘徽的“出入相补”原理 拓展资料
数学视野：经典算法割圆术
数学视野经典算法----割圆术根据刘徽的记载，在刘徽之前，人们求证圆面积公式时，是用圆内接正十二边形的面积来代替圆面积.应用出入相补原理，将圆内接正十二边形拼补成一个长方形，借用长方形的面积公式来论证《九章算术》的圆面积公式.刘徽指出，这个长方形是以圆内接正六边形周长的一半作为长，以圆半径作为高的长方形，它的面积是圆内接正十二边形的面积.这种论证“合径率一而弧周率三也”，即后来常说的“周三径一”，当然不严密.他认为，圆内接正多边形的面积与圆面积都有一个差，用有限次数的分割、拼补，是无法证明《九章算术》的圆面积公式的.因此刘徽大胆地将极限思想和无穷小分割引入了数学证明.他从圆内接正六边形开始割圆，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体，而无所失矣.”也就是说将圆内接正多边形的边数不断加倍，则它们与圆面积的差就越来越小，而当边数不能再加的时候，圆内接正多边形的面积的极限就是圆面积.刘徽考察了内接多边形的面积，也就是它的“幂”，同时提出了“差幂”的概念.“差幂” 是后一次与前一次割圆的差值.刘徽指出，在用圆内接正多边形逼近圆面积的过程中，圆半径在正多边形与圆之间有一段余径.以余径乘正多边形的边长，即2倍的“差幂”，加到这个正多边形上，其面积则大于圆面积.这是圆面积的一个上界序列.刘徽认为，当圆内接正多边形与圆是合体的极限状态时，“则表无余径.表无余径，则幂不外出矣.”就是说，余径消失了，余径的长方形也就不存在了.因而，圆面积的这个上界序列的极限也是圆面积.于是内外两侧序列都趋向于同一数值，即，圆面积.利用圆内接或外切正多边形，求圆周率近似值的方法，其原理是当正多边形的边数增加时，它的边长和逐渐逼近圆周.早在公元前5世纪，古希腊学者安蒂丰为了研究化圆为方问题就设计一种方法：先作一个圆内接正四边形，以此为基础作一个圆内接正八边形，再逐次加倍其边数，得到正16边形、正32边形等等，直至正多边形的边长小到恰与它们各自所在的圆周部分重合，他认为就可以完成化圆为方问题.到公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德在《论球和圆柱》一书中利用穷竭法建立起这样的命题：只要边数足够多，圆外切正多边形的面积与内接正多边形的面积之差可以任意小.阿基米德又在《圆的度量》一书中利用正多边形割圆的方法得到圆周率的值小于三又七分之一而大于三又七十分之十，还说圆面积与外切正方形面积之比为11：14，即取圆周率等于22/7.公元263年，中国数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割圆”之说，他从圆内接正六边形开始，每次把边数加倍，直至圆内接正96边形，算得圆周率为3.14或157/50，后人称之为徽率.书中还记载了圆周率更精确的值3927/1250（等于3.1416）.刘徽断言“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.其思想与古希腊穷竭法不谋而合.割圆术在圆周率计算史上曾长期使用.1610年德国数学家柯伦用2^62边形将圆周率计算到小数点后35位.1630年格林贝尔格利用改进的方法计算到小数点后39位，成为割圆术计算圆周率的最好结果.分析方法发明后逐渐取代了割圆术，但割圆术作为计算圆周率最早的科学方法一直为人们所称道.。
刘徽原理刘徽
刘徽原理刘徽刘徽（约公元225年—295年），汉族，山东邹平县人，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一。
是中国数学史上一个非常伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是中国最宝贵的数学遗产。
刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观．他是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人．刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生．他虽然地位低下，但人格高尚．他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。
刘徽是公元三世纪世界上最杰出的数学家，他在公元263年撰写的著作《九章算术注》以及后来的《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产，从而奠定了他在中国数学史上的不朽地位。
刘徽的数学著作，留传后世的很少，所留均为久经辗转传抄之作。
他的主要著作有：《九章算术注》10卷；《重差》1卷，至唐代易名为《海岛算经》；《九章重差图》l卷。
可惜后两种都在宋代失传。
《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法。
在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列。
但因解法比较原始，缺乏必要的证明，刘徽则对此均作了补充证明。
在这些证明中，显示了他在众多方面的创造性贡献。
他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根。
在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则，改进了线性方程组的解法。
在几何方面，提出了"割圆术"，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法。
他利用割圆术科学地求出了圆周率π=3.1416的结果。
他用割圆术，从直径为2尺的圆内接正六边形开始割圆，依次得正12边形、正24边形……，割得越细，正多边形面积和圆面积之差越小，用他的原话说是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。
”他计算了3072边形面积并验证了这个值。
刘徽的“出入相补”原理
刘徽的“出入相补”原理
在“九章算术注”中，刘徽发展了中国古代“率”的思想和“出入相补”原理。
用“率”统一证明“九章算术”的大部分算法和大多数题目，用“出入相补”原理证明了勾股定理以及一些求面积和求体积的公式。
刘徽的工作，不仅对中国古代数学发展产生了深远影响，而且在世界数学史上也确立了崇高的历史地位。
鉴于刘徽的巨大贡献，不少书上把他称作“中国数学史上的牛顿”。
所谓出入相补原理，简单地说，就是指：一个平面图形从一处移至他处，面积不变，假如把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形转移前后各部分面积的和、差有简单的相等关系。
立体的情形也是这样。
举几个简单的例子，如图：。
勾股定理的证明和出入相补原理(最全)word资料
勾股定理的证明和出入相补原理(最全)word资料勾股定理的证明和出入相补原理出入相补原理是我国著名数学家吴文俊先生提出的，他认为这个原理“就是指这样的明显事实：一个平面图形从一处移到他处，面积不变．又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系．立体的情形也是如此”．我们教材中介绍的勾股定理的证明就用到了出入相补原理．下面我们再介绍刘徽的一种证明勾股定理的方法：如下图，正方形ABCD、BFGI的边长分别为b、a，在BF上取一点E，使AE=a连结DE、GE，将△ADE移至△CDH，将△EFG 移至△HIG，由此就可以证明勾股定理，你试一试吧!20中学数学教学2020 年第1期勾股定理证明的探讨与教学思考安徽省合肥市第四十五中学李光武孔云( :230001勾股定理的证明方法有很多种,目前教材给出的几种证明方法是面积法.如下图所示:①利用若干个全等的直角=三角形和一个小正方形,拼成一个大正方形(图1是邹元治的证明拼图法、图2是赵爽的证明拼图法;②利用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形,拼成一个直角梯形(图3是1876年总统Garfield的证明拼图法.教材选用这几种证明方法,都是利用几个简单的直角三角形和一个正方形或等腰直角三角形,拼成一个学生比较熟悉,而且它们的面积也是很容易求解的一种几何图形.够珞图1图2图3然后,教材给出学生比较熟悉的证明方法——面积法,即先算出整个图形的面积,再算出各个部分的图形面积,利用图形分割前后的面积相等,构成一个等式,最后经过整式的化简、整理o,c9c’o'070?o_c'coc,t70’o’o’o’o,o’_。
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人教版小学五年级上册数学第6单元多边形的面积第3课时梯形的面积拓展资料刘徽的“出入相补”原理
刘徽的“出入相补”原理
在“九章算术注”中，刘徽发展了中国古代“率”的思想和“出入相补”原理。
用“率”统一证明“九章算术”的大部分算法和大多数题目，用“出入相补”原理证明了勾股定理以及一些求面积和求体积的公式。
刘徽的工作，不仅对中国古代数学发展产生了深远影响，而且在世界数学史上也确立了崇高的历史地位。
鉴于刘徽的巨大贡献，不少书上把他称作“中国数学史上的牛顿”。
所谓出入相补原理，简单地说，就是指：一个平面图形从一处移至他处，面积不变，假如把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形转移前后各部分面积的和、差有简单的相等关系。
立体的情形也是这样。
举几个简单的例子，如图：
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刘徽的“出入相补”原理
刘徽的“出入相补”原理
一、出入相补原理是刘徽提出来的
出入相补原理是刘徽提出来的从象棋思想，以及他在《新象棋考》中
阐述的一种战略思想，主要是针对当时局面解决问题的一种思维方法，也
可以说是他当时的棋术观念。
这里所说的出入相补，指的是出兵和撤军之
间的关系。
二、刘徽的出入相补原理是什么
刘徽的出入相补原理指的是，当一个军队出兵时，应该考虑同时准备
好计划撤军，而此时兵力应该整合，利用兵力调动的变化，将占领的地方
重新变得强大，从而使得整个军队能够通过撤军的方式实现赢得胜利的目的。
说白了，就是把原本在外面的兵力调动，重新调整到内部，反过来加
强内部的势力，从而让整个军队赢得胜利。
三、古代象棋思想
古代象棋思想是一种具有深厚文化内涵的游戏，它代表了当时的文化
价值观、政治观念和思想观念，是道家传统的文化和原则的体现。
在古代，以棋为代表的有节制的思想被大量传播，而其中讲究人文关怀的棋艺思想
是极富价值的。
四、刘徽的出入相补原理对象棋术的意义
刘徽的出入相补原理对象棋术的意义非常深远，它不仅融合了道家哲
学思想，而且具有非常高的价值取向，它将人性上的智慧、信念和勇气融
入到棋的实践和发展中去。
刘徽出入相补原理三角形面积公式的推导
刘徽出入相补原理三角形面积公式的推导刘徽是中国古代数学家，他在《九章算术》中提出了出色的相补原理，其中包括了三角形面积公式的推导。
以下是关于刘徽出入相补原理的推导的详细解释。
首先，让我们考虑一个任意的三角形ABC，三边分别为a、b和c。
我们将这个三角形分成三个小三角形-三角形ABC、三角形ADC和三角形BDC。
根据刘徽出入相补原理，我们可以得到以下公式：S_ABC=S_ADC+S_BDC其中，S_ABC表示大三角形ABC的面积，S_ADC表示三角形ADC的面积，S_BDC表示三角形BDC的面积。
根据几何知识，我们可以得到以下两个等式：S_ABC=(1/2)某a某h_aS_ADC=(1/2)某b某h_bS_BDC=(1/2)某c某h_c其中，h_a、h_b和h_c分别表示从顶点A、B和C到对边BC、AC和AB的高度。
现在，我们来看一下如何计算这些高度。
对于h_a，我们可以使用海伦公式来计算。
根据海伦公式，我们可以得到三角形ABC的半周长s为：s=(a+b+c)/2然后，根据海伦公式，我们可以计算三角形ABC的面积S_ABC：S_ABC=√(s某(s-a)某(s-b)某(s-c))接下来，我们来计算高度h_a。
根据几何知识，我们可以使用S_ABC 和对应边的长度计算高度h_a：h_a=(2某S_ABC)/a同样地，我们可以得到h_b和h_c：h_b=(2某S_ABC)/bh_c=(2某S_ABC)/c将以上结果代入到最初的公式中，我们可以得到：S_ADC=(1/2)某b某[(2某S_ABC)/a]S_BDC=(1/2)某c某[(2某S_ABC)/a]简化后可以得到：S_ADC=(S_ABC某b)/aS_BDC=(S_ABC某c)/a最后，将这两个公式代入到刘徽出入相补原理的公式中，我们可以得到：S_ABC=[(S_ABC某b)/a]+[(S_ABC某c)/a]S_ABC=S_ABC某(b+c)/a将S_ABC移到等式的左边，我们可以得到：S_ABC某(1-(b+c)/a)=0由于三角形ABC是一个实际存在的三角形，所以它的面积S_ABC不可能为0。
五年级数学上册拓展. 出入相补法-割补法求图形面积
平行四边形的面积= 底
×高=== Nhomakorabea梯形的面积（= 上底+下底） ×（高÷2）
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长方形的面积= 长 × 宽
梯形的面积（= 上底+下底） ×（高÷2）
梯形的面积=（上底+下底）×高➗2
出入相补原理
出入相补原理就 是把一个图形分割、移 补，而面积保持不变， 来计算它的面积。
世界十大数学家之 一、被称作“中国 数学史上的牛顿” 的山东人刘徽
割补法 倍拼法 倍拼法
用割补法把三角形转化成长方形或平行四边形，试一试。
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=
= = =
长方形的面积 = 长 × 宽 平行四边形的面积 = 底 × 高
三角形的面积 = 底 ×（高÷2） 三角形的 面积 = 底 ×（高÷2）
倍拼法
割补法
三角形的面积=底×高÷2
三角形的面积=底×（高÷2）
三角形的面积=底×高÷2
等积变形(思维拓展专项练习)六年级下册小升初数学专项培优(通用版)
等积变形(思维拓展提高卷)一．选择题(共9小题)1我国古代数学家刘徽利用“出入相补”原理计算平面图形的面积，其原理是：把一个图形分割、移补，而面积保持不变。
下面没有用到这个原理的是()A. B. C. D.2把割补成后，面积()A.不变B.变大了C.变小了D.无法判断3一个圆柱形橡皮泥，底面积是12.56cm2，高是6cm，如果把它捏成同样底面积大小的圆锥，这个圆锥的高是( )cm．A.2B.3C.18D.364如图，长方形的面积与圆的面积相等，已知阴影部分的面积是84.78cm2，圆的周长是( )cm．A.18.84B.75.36C.37.685如果图中每个小方格代表1cm2，那么大长方形的面积是( )cm2．A.56B.60C.58D.666轧钢厂要把一种底面直径6厘米，长1米的圆柱形钢锭，轧制成内径(内侧直径)为10厘米，外径(外侧直径)为30厘米的无缝钢管，如果不计加工过程中的损耗，则这种无缝钢管的长是()A.4.25厘米B.5厘米C.4厘米D.4.5厘米7把圆柱的底面平均分成若干等份，切开后，拼成一个长方体，这个长方体与圆柱相比()A.体积不变，表面积也不变B.体积不变，表面积变大C.体积变大，面积不变8以下是四位同学运用转化的策略将左边的图形转化成右边的图形解决问题，其中做对的有( )位．A.1B.2C.3D.49如图的等腰梯形中，甲三角形的面积( )乙三角形的面积。
A.大于B.等于C.小于D.无法判断二．填空题(共25小题)10(如图)运用了数学思想方法是，你还知道哪些数学思想方法？再列举一个。
11如图，大正方形ABCD的边长是10cm，小正方形CGFE的边长是6cm，那么图中阴影部分的面积是cm2。
12将一底面半径为2分米的圆柱的底面平均分成若干个扇形，截开拼成一个和它等底等高的长方体后，表面积增加16平方分米，圆柱的体积是．13把一个底面半径2厘米、高1.5厘米的圆柱形钢锭，铸成底面积大小不变的圆锥形钢锭，圆柱的高和圆锥的高的比是．14有一种饮料瓶的容积是50立方厘米，瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)．现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为5厘米．瓶内现有饮料立方厘米．15如图，外侧大正方形的边长是10厘米，图中阴影部分的面积是27.5平方厘米，那么圆内的大正方形面积是小正方形面积的倍．16用6米、8米、10米、16米、20米、28米分别作为如图的6条边的边长，当这个图形的面积最大时，过A点画一条直线把图形分成面积相等的两部分，这条直线与边界的交点为K，从A点沿边界走到K点，较短的路线是米．17如图所示，梯形下底是上底的1.5倍，梯形中阴影面积等于空白面积，三角形OBC的面积是12，那么三角形AOD的面积是．18如图，ABCDEF为正六边形，P为其内部任意一点，若△PBC、△PEF的面积分别为3和12，则正六边形ABCDEF的面积是．19每块砖0.6元，修补好下图中的墙体上的漏洞需要砖钱元．20图中阴影部分的面积是．(图中的三角形是等腰直角三角形，π=3.14)21如图，E，F，G，H是边长为2的正方形ABCD各边的中点，则图中阴影部分的面积等于．22如图，三个大小相同的正方形重叠地放在一个大的正方形ABCD内，已知能看见的部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别是64平方厘米、38平方厘米、34平方厘米．那么正方形ABCD的边长是厘米．23如图中E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的三等分点，如果阴影部分面积为10平方厘米，则四边形ABCD的面积等于平方厘米．24如图所示，有一张四边形纸片ABCD，其中AD=2，AB=4，CD=5，把这张四边形纸片如图所示折叠，点A落在点E处，点E到点C的最短距离为．25一张长方形铁皮长32厘米，宽10厘米，把它围成一个圆柱体，做底面周长，做高，所围成的圆柱体的体积最大．长方形围圆柱体有两种围法，但所围成的圆柱体没变．26一级台阶的长10米、宽0.8米、高0.5米，从一楼到二楼有12级台阶，二楼到六楼每层有18级台阶，台阶的表面积平方米．27用一块正方形玻璃来修补窗户，需要在相邻的两边分别划掉5厘米和2厘米，共划掉298平方厘米，原来正方形玻璃的面积是平方厘米，剩下部分的面积是平方厘米．28如图，图中的小正方形完全一样，大长方形的周长是56厘米．这个大长方形的面积是平方厘米．29长方形的广告牌长为15米，宽为10米，A、B、C、D分别在四条边上，并且C比A低4米，D在B 的右边7米，则四边形ABCD的面积是平方米．30如图所示，一种饮料瓶，容积是200ml，瓶身是圆柱形．将该瓶正放时饮料高20cm，倒放时余部分高5cm，瓶内的饮料是ml．31数学小组将一圆柱按左图切割开，然后拼为右图，观察填空．拼出的右图是一个近似的体，它的高与圆柱的高，是；它的底面积与圆柱的底面积，是；拼出图形的体积是，圆柱的体积与它，所以圆柱的体积是．32右图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，左图中阴影部分是右图中阴影部分的面积%．33一个圆柱铅块和一个圆锥铅块等底等高，它们可以熔铸成一个长8厘米、宽3厘米、厚2厘米的长方体，那么圆柱的体积是立方厘米，它们的体积相差立方厘米．34如图所示，把底面直径4厘米、高10厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体．这个长方体的体积是立方厘米，表面积是平方厘米．三．应用题(共2小题)35如图所示，S A=32dm2，S B=8dm2，h=5dm．现在要把A处的铁块熔到B处．使A、B处同样高，这时B处比原来升高了多少分米？36如图，一瓶营养液的瓶底直径是12厘米，瓶高30厘米，液面高20厘米，倒置后，液面高25厘米．这个瓶子的容积是多少？等积变形(思维拓展提高卷)参考答案与试题解析一．选择题(共9小题)1【答案】A【分析】根据题意，我国古代数学家刘徽利用“出入相补”原理来计算平面图形的面积，根据数学常识即可完成判断。
五上. 出入相补法-割补法求图形面积
世界十大数学家之 一、被称作“中国 数学史上的牛顿” 的山东人刘徽
宁波市奉化区莼湖中心小学 莫波儿
割补法 倍拼法 倍拼法
用割补法把三角形转化成长方形或平行四边形，试一试。
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长方形的面积 = 长 × 宽 平行四边形的面积 = 底 × 高
三角形的面积 = 底 ×（高÷2） 三角形的 面积 = 底 ×（高÷2）
倍拼法
割补法
三角形的面积=底×高÷2
三角形的面积=底×（高÷2）
三角形的面积=底×高÷2
平行四边积（= 上底+下底） ×（高÷2）
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长方形的面积= 长 × 宽
梯形的面积（= 上底+下底） ×（高÷2）
梯形的面积=（上底+下底）×高➗2
出入相补原理
出入相补原理就 是把一个图形分割、移 补，而面积保持不变， 来计算它的面积。
五年级上册数学6.3梯形的面积(共19张PPT)
b
小学数学 5年级上册 RJ版
知识梳理 知识点1: 回顾梯形面积探究的过程 无论哪种方法，都是运用转化的方法，把梯形转化成学过的 图形，推导其面积公式。
小学数学 5年级上册 RJ版
知识梳理 知识点2: 运用公式解决实际问题 我国三峡水电站大坝的横截面的一部分是梯形(如下图)，求它的面积。
S＝(a＋b)h÷2 ＝(36＋120)×135÷2 ＝156×135÷2 ＝10530(m²)
答：它的面积是10530 m²。
知识梳理 知识点2: 运用公式解决实际问题
小学数学 5年级上册 RJ版
5层
(顶层根数＋底层根数)×层数÷2
10个 (顶层根数＋底层根数)×层数÷2 ＝10×5÷2 ＝25(个)
小学数学 5年级上册 RJ版
易错点睛
1.寻找合适的条件，求出下图中涂色梯形的面积。(单位：cm)
S＝(a＋b)h÷2 ＝(5.2＋6.6)×5.8÷2 ＝34.22(dm2)
小学数学 5年级上册 RJ版
分层练习 （基础练习）
2.如图，汽车的前挡风玻璃近似是一个梯形。这块玻璃的面积是多少 平方厘米？（单位：cm） S＝(a＋b)h÷2 ＝(100＋132)×55÷2 ＝6380(cm2) 答：这块玻璃的面积是6380 cm2。 合理地运用公式能帮我们解
6 多边形的面积
第3讲 梯形的面积
小学数学 5年级上册 RJ版
知识梳理 知识点1: 回顾梯形面积探究的过程
上底
下底
高
转化
下底
上底
平行四边形的面积＝底×高
梯形的面积＝(上底＋下底)×高÷2
小学数学 5年级上册 RJ版
知识梳理 知识点1: 回顾梯形面积探究的过程
出入相补法
用出入相补法证明勾股定理三国时期魏国数学家刘徽为古籍《九章算术》作注释时提出“出入相补法”验证勾股定理，如图请加以说明点击图片还原到原大小点击图片还原到原大小正方形ABCD边长为a ，点B在AG上，正方形EFGB边长为b ，点C在EB上，正方形EHIA边长为c ，点H在FG上，设IJ⊥AG交于J，HI交AG于K，AE交CD 于L ；∵EA=EH=a，EB=EF=b，∠EBA=∠EFH=90°，∴Rt△EFH≌Rt△EBA，∠1=∠2,FH=BA=a ,∴Rt△EFH中，直角边FH=a，直角边EF=b，斜边EH=c ，∵∠2=∠3=∠4=90°-∠EAB，∠1=∠2,∴∠1=∠3，又EH=AI=a，∠EFH=∠AJI=90°，∴Rt△EFH≌Rt△AJI，JI=FH=a ，∵∠5=∠3=90°-∠AIJ，∠3=∠4 ,∴∠4=∠5，又DA=JI=a，∠ADL=∠IJK=90°，∴Rt△ADL≌Rt△IJK，∵∠6=∠1=90°-∠EHF，∠1=∠2 ,∴∠2=∠6，又EC=HB=b-a，∠LCE=∠KGH=90°∴Rt△LCE≌Rt△KGH ；∴综上所述：正方形ABCD面积+正方形EFGB面积=正方形EHIA面积；即：a²+b²=c²；∴直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
41我们先画一个直角三角形，然后在最短的直角边旁向三角形那一边加上一个正方形，为了清楚起见，以红色表示。
又在另一条直角边下面加上另一个正方形，以蓝色表示。
接著，以斜边的长度画一个正方形，如图五(b)。
我们打算证明红色和蓝色两个正方形面积之和，刚好等於以斜边画出来的正方形面积。
留意在图五(b)中，当加入斜边的正方形后，红色和蓝色有部分的地方超出了斜边正方形的范围。
现在我将超出范围的部分分别以黄色、紫色和绿色表示出来。
同时，在斜边正方形内，却有一些部分未曾填上颜色。
出入相补原理在开方运算的应用
中国传统数学的奇葩——出入相补原理原理在开方术的应用“数形结合”中国传统数学思想的重要组成部分和基本方法之一。
古代称数学为算数，可见古人以计算为主，对于形的问题往往也转化为数的计算，同时也用形来解析和证明数的问题，这在先秦时期已经初现端倪，之后来《九章算术》的成书，已经较为完善。
刘徽提出的出入相补的原理，它的基本内容有：一、一个几何图形，可以切割成任意多块任何形状的小图形，总面积或体积维持不变=所有小图形面积或体积之和。
二、一个几何图形，可以任意旋转，倒置、移动、复制，面积或体积不变。
三、多个几何图形，可以任意拼合，总面积或总体积不变。
四、几何图形与其复制图形拼合，总面积或总体加倍。
这些都是我们所知道的常识，但在中国古代数学家的眼中却是重要的方法与原理。
出入相补原理的应用十分广泛，中国古代数学家通过对图形的分割与拼补，实现一些恒等式的证明和满足其它计算的需求，开方术就是其中的应用之一。
目前主要流传的记载这一原理与应用的的有《周髀算经》、《九章算术》、刘徽《九章算术注》、《海岛算经》、《日高图说》和《勾股圆方图说》等。
开方运算实际是勾股定理的延生，从勾、股求弦，先把勾、股平方后相加，再开平方就得弦。
在《九章》中，更详细说明了开平方的具体方法步骤。
这一方法的根据是几何的，就是出入相补原理。
在利用出入相补原理计算一个数n的平方根时，相当于已知一面积为n的正方形ABCD，求其边长。
根据我国计数的习惯，先估计这边长为几位数，假设共a位，之后一次求出每一位的数字。
求边长时先估计最高位的数字，假设为b，然后在正方形边长AB上取10a-1*b的线段，并以此作为一边在正方形ABCD中作一个边长为10a-1*b的正方形AEFG，它的边EF的两倍称为“定法”。
把AEFG从ABCD中除去，所余曲尺形EBCDGF的面积是n-10a-1*b 再估计第二位的数字，用同样的方法算出第二位数。
依次类推直至算出最后一位数。
试以求61653904的算术平方根为例。
刘徽原理刘徽
刘徽原理刘徽刘徽（约公元225年—295年），汉族，山东邹平县人，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一。
是中国数学史上一个非常伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是中国最宝贵的数学遗产。
刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观．他是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人．刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生．他虽然地位低下，但人格高尚．他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。
刘徽是公元三世纪世界上最杰出的数学家，他在公元263年撰写的著作《九章算术注》以及后来的《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产，从而奠定了他在中国数学史上的不朽地位。
刘徽的数学著作，留传后世的很少，所留均为久经辗转传抄之作。
他的主要著作有：《九章算术注》10卷；《重差》1卷，至唐代易名为《海岛算经》；《九章重差图》l卷。
可惜后两种都在宋代失传。
《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法。
在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列。
但因解法比较原始，缺乏必要的证明，刘徽则对此均作了补充证明。
在这些证明中，显示了他在众多方面的创造性贡献。
他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根。
在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则，改进了线性方程组的解法。
在几何方面，提出了"割圆术"，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法。
他利用割圆术科学地求出了圆周率π=3.1416的结果。
他用割圆术，从直径为2尺的圆内接正六边形开始割圆，依次得正12边形、正24边形……，割得越细，正多边形面积和圆面积之差越小，用他的原话说是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。
”他计算了3072边形面积并验证了这个值。
挖掘数学阅读价值，提升学生核心素养——以人教版教材《你知道吗？》栏目为例
《你知道吗？》是人教版教材特意开辟的栏目，具有极高的阅读价值，是培育学生核心素养的重要载体。
但在当前小学数学教学中，不少教师忽略了该栏目的教学价值，局限于引导学生理解浅显的知识点，没有真正发挥该栏目的教学功能。
为此，我进行了相关研究，期望能合理利用该栏目，促进学生掌握知识、形成方法、体验价值、提升素养。
一、深研教材，，挖掘数学阅读价值《你知道吗？》栏目选编丰富的阅读材料，从各个方面展示中国数学教育文化的魅力。
该栏目呈现出以下几个特点，具有以下教学价值：1.补充丰富的数学知识，呈现数学的人文价值。
知识的产生、发展等数学史有助于学生了解数学活动的“原过程”，厚植数学文化底蕴。
《你知道吗？》栏目编排了不少数学史料。
例如，二年级上册第86页介绍了我国两千多年前就出现的乘法口诀“九九歌”名字的由来及发展过程，同时呈现了刻在竹简上的乘法口诀，能让学生了解中华民族的数学教育及历史文化，从而激起他们的民族自豪感和学好数学的信心。
2.蕴含常见的数学思维，体现数学的理性价值。
数学特有的理性精神激发和促进人类思维的发展。
《你知道吗？》栏目多数内容背后都蕴含着数学思维、数学精神，有助于促进学生锻炼思维、积淀素养。
例如，五年级上册第94页介绍了我国古代数学家刘徽的“出入相补”原理，学生通过自主阅读、思考、交流，尝试运用这一原理推导出三角形和梯形的面积计算公式。
这一内容体现了数学思考的重要意义，也彰显了数学思维的哲学内涵。
3.具有鲜明的生活元素，凸显数学的创造价值。
数学来源于实际生活，服务于现实生活。
《你知道吗？》栏目引入生活化的内容，与学生生活实际相对应，不仅能使学生体会到生活中充满了数学，还能打破思维能力不足的限制，凸显数学文化的创造价值。
例如，六年级上册第49页介绍了在实际生活中广泛存在的黄金比。
学生通过阅读该材料，可以拓宽知识面，体会生活中处处有数学。
4.注重知识的迁移运用，彰显数学的应用价值。
数学知识的学习需要学生自主发现、理解、建构，并迁移运用到生活中解决实际问题。
-数学家--刘徽讲课稿
个人成就
• 刘徽的数学成就大致为两方面: • 一是整理中国古代数学体系并奠定了它的理论基础，这方面集中体现在《九章
算术注》中。它实已形成为一个比较完整的理论体系:
• 数系理论：①用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算，以及繁分数化
简等的运算法则;在开方术 的注释中，他从开方不尽的意义出发，论述了无理 方根的存在，并引刘徽评传刘徽评传②在筹式演算理论方面， 先给率以比较明确的定义，又以遍
乘、通约、齐同等三种基本运算为基础，建立了数与式运算的统一的理论基础， 他还用"率"来定义中国古代数学中的"方程"，即现代数学中线性方程组的增广矩 阵。
• ③在勾股理论方面 逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理，建立了相
•方程新术：在《九章算术 方程术》注中，他提出了解线性方程组的新方法，运
用了比率算法的思想。
•重差术：在白撰《海岛算经》中，他提出了重差术，采用了重表、连索和 累矩
等测高测远方法。他还运用"类推衍化"的方法，使重差术由两次测望，发展为"三 望"、"四望"。而印度在7世纪，欧洲在15~16世纪才开始研究两次测望的问题。 刘徽的工作，不仅对中国古代数学发展产生了深远影响，而且在世界数学史上也 确立了崇高的历史地位。鉴于刘徽的巨大贡献，所以不少书上把他称作"中国数 学史上的牛顿"。
似勾股形理论，发展了勾股测量术，通过对"勾中容横"与"股中容直"之类的典型 图形的论析，形成了中国特色的相似理论。
• 面积与体积理论：用出入相补、以盈补虚的原理及"割圆术"的极限方法提出了
刘徽原理，并解决了多种几何形、几何体的面积、体积计算问题。这些方面的 理论价值至今仍闪烁着余辉。
刘徽原理刘徽
刘徽原理刘徽刘徽（约公元225年—295年），汉族，山东邹平县人，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一。
是中国数学史上一个非常伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是中国最宝贵的数学遗产。
刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观．他是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人．刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生．他虽然地位低下，但人格高尚．他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。
刘徽是公元三世纪世界上最杰出的数学家，他在公元263年撰写的著作《九章算术注》以及后来的《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产，从而奠定了他在中国数学史上的不朽地位。
刘徽的数学著作，留传后世的很少，所留均为久经辗转传抄之作。
他的主要著作有：《九章算术注》10卷；《重差》1卷，至唐代易名为《海岛算经》；《九章重差图》l卷。
可惜后两种都在宋代失传。
《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法。
在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列。
但因解法比较原始，缺乏必要的证明，刘徽则对此均作了补充证明。
在这些证明中，显示了他在众多方面的创造性贡献。
他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根。
在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则，改进了线性方程组的解法。
在几何方面，提出了"割圆术"，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法。
他利用割圆术科学地求出了圆周率π=3.1416的结果。
他用割圆术，从直径为2尺的圆内接正六边形开始割圆，依次得正12边形、正24边形……，割得越细，正多边形面积和圆面积之差越小，用他的原话说是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。
”他计算了3072边形面积并验证了这个值。
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小学-数学-打印版
小学-数学-打印版 1 刘徽的“出入相补”原理
在“九章算术注”中，刘徽发展了中国古代“率”的思想和“出入相补”原理。
用“率”统一证明“九章算术”的大部分算法和大多数题目，用“出入相补”原理证明了勾股定理以及一些求面积和求体积的公式。
刘徽的工作，不仅对中国古代数学发展产生了深远影响，而且在世界数学史上也确立了崇高的历史地位。
鉴于刘徽的巨大贡献，不少书上把他称作“中国数学史上的牛顿”。
所谓出入相补原理，简单地说，就是指：一个平面图形从一处移至他处，面积不变，假如把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形转移前后各部分面积的和、差有简单的相等关系。
立体的情形也是这样。
举几个简单的例子，如图：。