一元函数微分历年试题
一元函数的微分学试题
一元函数的微分学 试题1.设()f x 在x a =处可导，求1()lim ()nn f a n f a →∞⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.2. 设()()()f x a bx a bx ϕϕ=+--,()x ϕ在x a =处可导，求(0)f '.3. 设()f x 连续，(1)f a '=(0)a ≠，且对于任意的,x y R ∈,恒有()()()f xy f x f y =+,求()f x .4. 设0()()xF x x t f t x dt =+⋅-⎰,求dF dx.5.设31cos0()=00x x x xx ϕ⎧≠⎪⎨⎪=⎩,()f x 在0x =处可导，()=(())F x f x ϕ，求(0)F '.6.设()f x 连续，且0()lim 2x f x x →=，102()0()00ln(1)f xt dt x F x x x x x ⎧>⎪⎪⎪==⎨⎪+⎪<⎪⎩⎰,求(0)F '.7.设函数2(1)(1)()lim 1n x n x n x e ax bf x e--→∞++=+可导，求常数a 和b .8.设()f x 在0x =处连续，且0sin lim 1ln(()2)x x xf x →-=+,求(0)f '的值.9.设(0)0f =，则()f x 在0x =处可导的充要条件是201lim (1cosh)h f h →- 存在吗？是01lim (1)h h f e h→-存在吗？························阅·······················卷························密························封························线·························系别：_____________ 年级：____________ 专业：____________________ 姓名：_______________ 学号： ························装·······················订························密························封························线·························10.设()f x 在x a =处可导，试证：当()0f a =，()0f a '≠时，()f x 在a 处不可导.11.设()x F x t dt -=⎰,求(0)F '.12.设2221cos cos t x t y t t udu ⎧=⎪⎨=-⎪⎩⎰,求22t d y dx13.求函数231()=2(1)ln 1(1)ln 1222x f x x x x x x --++++--的凹凸区间及拐点.14.求曲线1ln(1)x y e x=++的渐近线.15.求曲线322322121t t x t t t y t ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩的斜渐近线.16.求20()(2)x t f x t e dt -=-⎰的最值.17.设()x ρρ=为抛物线y =上任一点(,)M x y (1)x ≥处的曲率半径，()s s x =是该抛物线上介于点(1,1)A 与M 之间的弧长，求2223()d d ds dsρρρ-的值.18.作函数222(1)x y x =-的图形.19.设()f x 为可导函数，试证：若1x =时，有22()()d d f x f x dx dx=， 则必有(1)=0f '或(1)=1f .20.设0()=10xx f x x ⎧≠⎨=⎩,试证：不存在一个函数以()f x 为其导函数.21.设01x y <<<或1x y <<,则xy y y x x>.22.设1p >，试证：对于[0,1]内任一x 有11(1)2p p p x x -+-≥.23.设011012n n a a aa n n -++++=+,试证方程1010n n n a x a x a -+++=在(0,1)内至少有一实根.24.比较e π与e π的大小.25.设,,a b c 为三个实数，试证方程2x e ax bx c =++的根不超过三个.26.设12e x x <<，试证112221ln ln x x x x x x <<.27.设函数()f x 在[,]a b 上可导，求证：()f x '可取得介于()f a '与()f b '之间的任何值.28.设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可微，0a b <<，试证：在(,)a b内存在123,,x x x ，使得22312332212ln()()=(b )=(())24bf x f x a a x f x x x b a '''+-.29.若()f x 在[0,1]上二次可微，且(0)=(1)f f ，()1f x ''≤，试证1()2f x '≤.30.设()f x 在[0,1]上可微，且满足120(1)2()0f xf x dx -=⎰，试证在(0,1) 内至少存在一点ξ，使得()()f f ξξξ'=-.31.设函数()f x 在[0,1]上二阶可导，且(0)(0)(1)0f f f ''===，(1)1f =，试证至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()4f ξ''≥.32.设x R ∈，()f x 满足2()3[()]1x xf x x f x e -'''+=-，且0x =为()f x 的极值点，试说明0x =为极小值点.33.设()f x 在[,]a a -上有连续的二阶导函数，(0)0f =，试证 存在[,]a a ξ∈-，使得33()=()aaf f x dx a ξ-''⎰.34.求10lim 1nn x dx x→∞+⎰.35.设函数()y f x =在(0,)+∞内有界且可导，若满足lim ()x f x A →+∞'=，A R ∈，试证0A =.36.设函数()f x 在[,]a b 上连续且不恒为常数，在(,)a b 内可导，且满足()()f a f b =，试证：存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ'>.37.设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可微，且()1f x '<，又(0)=(1)f f ， 试证：12,[0,1]x x ∀∈，有121()()2f x f x -<.38.设()f x 二阶可导，(0)=0f ，()0f x ''>，且0lim 1x +→=-，试证：()0f x x +≥.39.若2()()lim1()x af x f a x a →-=--，则()f x 在a 点处可导且在a 点处取得极值.40.试证方程221x x -=有且仅有三个根.41.设()f x 在[,]a b 上二阶可导，且()()0f a f b ''==，则在(,)a b 内至少有一点ξ,使得24()()()()f f b f a b a ξ''≥--.42.设0a >，求11()11f x x x a=+++-的最值.。
[考研类试卷]考研数学一(一元函数微分学)历年真题试卷汇编1.doc
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（B）F(x)是奇函数 f(x)是偶函数
（C）F(x)是周期函数 f(x)是周期函数
（D）F(x)是单调函数 f(x)是单调函数
二、填空题
23 (1999年)
24 (2002年)已知函数y=y(x)由方程ey+6xy+x2一1=0确定，则y"(0)=____________。
（A）当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数
（B）当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数
（C）当f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数
（D）当f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数
21 (2002年)设函数y=f(x)在(0，+∞)内有界且可导，则( )
22 (2005年)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，“M N”表示“M的充分必要条件是N”，则必有( )
34 (2002年)已知两曲线y=f(x)与 在点(0，0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极限
35 (2010年)求函数 的单调区间与极值。
36 (1999年)试证：当x＞0时，(x2一1)lnx≥(x一1)2。
37 (2004年)设e＜a＜b＜e2，证明
38 (2012年)证明：
（A）一个极小值点和两个极大值点
（B）两个极小值点和一个极大值点
（C）两个极小值点和两个极大值点
（D）三个极小值点和一个极大值点
15 (2011年)曲线y=(x一1)(x一2)2(x一3)3(x一4)4的拐点为( )
（A）(1，0)
（B）(2，0)
（C）(3，0)
（D）(4，0)
16 (2015年)设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其中二阶导数f"(x)的图形如图所示，则曲线y=f(x)的拐点个数为( )
一元函数微分学练习题
第一部分、一元函数微分学习题集1一、选择题1.下列命题正确的是（ ）0(A)()lim ().x x f x x f x →=∞若在的任意空心邻域内无界，则0(B)lim (),().x x f x f x x →=∞若则在的任意空心邻域内无界(C)lim (),lim ().x x x x f x f x →→=∞若不存在则1(D)lim (),lim.()x x x x f x f x →→=∞若=0则 2.{}n x 关于数列下列命题正确的个数是（ ）{}(1)lim .n n n x A x →∞⇒若=存在有界(2)lim lim .n n k n n x A k x A +→∞→∞=⇔=存在对任意确定正整数有221(3)lim lim lim .n n n n n n x A x x A -→∞→∞→∞=⇔==存在1(4)lim lim1.n n n n nx x A x +→∞→∞=⇒=存在(A)1 (B)2 (C)3 (D)43. 下列命题正确的是( )00,0()()lim (),lim ()x x x x x x f x g x f x A g x B A B δδ→→∃><-<>==>(A)若当时， 且均存在，则0lim ()lim ()00()()x x x x f x g x x x f x g x δδ→→≥∃><-<>(B)若，则，当时 00lim ()lim ()00()()x x x x f x g x x x f x g x δδ→→≥∃><-<≥(C)若，则，当时0lim ()lim ()00()()x x x x f x g x x x f x g x δδ→→>∃><-<>(D)若，则，当时4 ()()()cos 1sin ,02x x x x x x πααα-=<→设,当时( )x (A)比高阶的无穷小 x (B)比低阶的无穷小 x (C)与同阶但不等价的无穷小 x (D)与是等价的无穷小5. 已知当0x →时，函数()3sin sin 3f x x x =-与k cx 是等价无穷小，则( )(A) 1,4k c == （B ）1,4k c ==- （C ）1,4k c == （D ）3,4k c ==- 6.20()sin ()ln(1)x f x x ax g x x bx →=-=-当时，与是等价无 a 穷小,则=( )b=( )1111(A)1,(B)1,(C)1,(D)1,6666a b a b a b a b ==-===-=-=-=-7.设()(1231,1,1a x a a =-=+=.当0x +→时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是 ( ) （A ）123,,a a a （B ）231,,a a a （C ）213,,a a a （D ）321,,a a a8.(](](),lim (),(),x f x b f x A f x b →-∞-∞=-∞设在上连续,则存在是在上有界的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 9.[]11()tan (),( ) ()xxe e xf x x x e e ππ+=-=-设在上的第一类间断点是0 1 22ππ(A) (B)(C)- (D)10. 1()( )(1)ln xx f x x x x-=+函数的可去间断点的个数为0 1 2(A) (B)(C) (D)311.()20sin ()lim 1,( ) x tt t f x x →⎛⎫+-∞+∞ ⎪⎝⎭函数=在内(A)连续 (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点12.曲线y= 1ln(1)x e x++, 渐近线的条数为 ( )A.0B.1C.2D.313. 已知()f x 在0x =附近有定义，且()00f =，则f(x)在0x =处可导的充要条件为 ( )（A ）()22limx f x x →存在. （B ）()1lim xx f ex→-存在.(C) ()201cos limx f x x →-存在. (D)()02()lim x f x f x x→-存在.14. 已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩，则（ ）（A ）0x =是()f x 的第一类间断点 （B ）0x =是()f x 的第二类间断点 （C ）()f x 在0x =处连续但不可导 （D ）()f x 在0x =处可导15. 已知函数()2321cos ,0()arcsin ,0x x f x xg x x x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩，其中g (x )是有界函数，则f (x )在x =0处（ ） （A ）极限不存在 （B ）极限存在但不连续 （C ）连续但不可导 （D ）可导16.[]0(),(0)1y f x f δδδ∃>=-=若使得在上有定义,且满足20ln(12)2()lim 0()x x xf x x →-+=，则 ''(A)()0 (B)()0(C)()0(0)0 (D)()0(0)1f x x f x x f x x f f x x f ======在处不连续在处连续但不可导在处可导，且在处可导，且17.'1cos ,0()()00, 0x x f x f x x x x αβαβ⎧>⎪==⎨⎪≤⎩设，(>0,>0),若在处连续，则( )(A) 1 (B)0 1 (C) 2 (D)0 2 αβαβαβαβ-><-≤-><-≤18.()2()cos ln 1lim 1?n y f x xy y x f n →∞⎡⎤⎛⎫=+-=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦设是由所确定,则n （ ）(A) 2 (B) 1 (C) 1 (D) 2--19.()()''0,()0 , f x f x +∞>设函数在上具有二阶导数，且 令(),1,2,3,,n u f n n ==则下列结论正确的是( ).{}{}{}{}12121212(A), (B),(C), (D),n n n n u u u u u u u u u u u u >><<若则必收敛若则必发散若则必收敛若则必发散20.()()()2'2arctan limx f x x f x xfx ξξ→==设，若则=( )211(A)1 (B) (C) (D)32321.21,y ax b y x a b x=+=设直线同时与曲线及y=相切，则为( )(A)4, 4 (B)3, 4(C)4, 3 (D)3, 3a b a b a b a b =-=-=-=-=-=-=-=-22.()()()0,()0,()gf xg x g x g x a x ''<=设函数具有二阶导数，且若是()()0f g x x 的极值，则在取极大值的一个充分条件是( )(A) ()0f a '< (B)()0f a '> (C)()0f a ''< (D)0)(>''a f 23.设函数0()y f x x =在的某邻域内具有二阶导数，且0''0()lim 0x x f x A x x →=<-，则（ ） ()()0000(A)0,(),()x x x y f x x x x y f x δδδ∃>∈-=∈+=当时是凹的，当时是凸的()()0000(B)0,(),()x x x y f x x x x y f x δδδ∃>∈-=∈+=当时是凸的，当时是凹的()00(C)0,()x x x y f x δδδ∃>∈-+=当时是凹的()00(D)0,()x x x y f x δδδ∃>∈-+=当时是凸的 24. 设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其导函数的图形如图所示，则 ( ) （A ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有2个拐点 （B ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有3个拐点 （C ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有1个拐点 （D ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有2个拐点25.''22()()(1,1)2()f x y f x x y f x =+=设 不变号，且曲线在点上的曲率圆为,则函数在区间(1,2)内( ).(A), (B),(C), (D),有极值点无零点无极值点有零点有极值点有零点无极值点无零点26.设函数()(1,2)i f x i =具有二阶连续导数，且''0()0(1,2)i f x i <=，若两条曲线()(1,2)i y f x i ==在点00(,)x y 处具有公切线()y g x =，且在该点处曲线1()y f x =的曲率大于曲率2()y f x =的曲率，则在0x 的某个邻域内，有 （ ）（数一、二做）12(A)()()()f x f x g x ≤≤ 21(B)()()()f x f x g x ≤≤ 12(C)()()()f x g x f x ≤≤ 21(D)()()()f x g x f x ≤≤ 27.设商品的需求函数为()215()150082Q p p p p =--<<其中Q ， p 分别为需求量和价格，ε为商品需求弹性，若1ε<，则p 的取值范围 （ ）（数三做）(A)03p << (B)58p << (C)35p << (D)05p <<二、填空题 1. 212lim tan1x xx x →∞-=+ . 2. 0ln(1sin )lim cos 1x x x x →+-= .3.cos 0x x →= .4. tan sin 0limx xx e e →=- .5.limx →∞= .6.(lim sin x →∞-= .7.设0()ln 1lim 3x f x x x x→⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，则20()lim x f x x →= .8. []()21cos ()()lim 1(0) 1()xx xf x f x f ef x →-==-已知函数连续且，则 . 9. 已知函数()f x满足x →=02，则lim ()____x f x →=0.10.20()()x x kx x αβ→==当时，与 k 是等价无穷小则= .11.3231lim (sin cos )2x x x x x x x →∞+++=+求 .12.20ln cos lim _________.x xx →=13. 30arctan sin lim x x x x →-⎛⎫=⎪⎝⎭求 .14.()11lim _________nn n n -→∞+⎛⎫= ⎪⎝⎭.15.101+2lim 2xxx →⎛⎫= ⎪⎝⎭求 . 16.10ln(1)lim 2xx x x →+⎛⎫-= ⎪⎝⎭.17.20lim x x →-= .18.21lim tan 4n n n π→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭.19.21000lim xx e x--→= .20.()2224cos limx x e x x xe ex-→-= .21.若2260sin 3()lim 0x x x f x x→+=，则403()lim →+=x f x x . 22.()21,()=, .2, x x cf x c x c x ⎧+≤⎪-∞+∞=⎨>⎪⎩设函数在内连续则23. x =0是1()1arctanf x x x=-的 间断点.24. x =1是221()lim 1n nn x f x x →∞-=+的 间断点. 25. 曲线()322arctan 11x y x x=+++的斜渐近线方程为 . 26. 曲线1y x =-+的水平渐近线方程为 ，垂直渐近线方程为 ，斜渐近线方程为 .27.1()(()) .21,1x edyx f x y f f x dx x x =⎧≥===⎨-<⎩设，,则28.'()y f x f =设是以3为周期的周期函数，且(7)=1,则(1)(13tanh)lim.h f h f h→+--=29.'f 设(1)=1,则0(1)(12sin )lim .2sin x f x f x x x→+--+=30. ()2()1,0lim . 2n n y f x y x x nf n →∞⎛⎫==-=⎪+⎝⎭曲线和在点处有切线,则31.111cos '1(0)1(0)3lim . nn n f f f n -→∞⎛⎫=== ⎪⎝⎭设，,则32. 2cos cos .41sin x t t t y tπ⎧=+=⎨=+⎩曲线上对应于点的法线斜率为33.()21ln(1),()2arctan x t t y f x y t ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩设为参数则在任意点处的曲率22 ,() .()d yK dx==数一、二做数三做34.曲线arctan y x=在(1,0)点的切线方程为 .35. 曲线tan()4y x y e π++=在点(0,0)处的切线方程为 .36.()12 ln 0(0)13n x y x n y x -===+函数在处的阶导数 . 37.()2()sin cos (0).n f x x x x f=设 ,则 =38.()23 ()3+ 0, f x x Ax x A A -=>设为正常书，则至少取时f(x)20.≥有39. 若曲线y x ax bx =+++3214有拐点(1,3),则b=_____________.40. 已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速率增加，宽w 以3cm/s 的速率增加，则当l=12cm,w=5cm 时，它的对角线增加的速率为_________. （数学一、二做） 41.已知动点P 在曲线3x y =上运动，记坐标原点与点P 间的距离为l 。
高数(一元函数微积分)试卷含答案
《高等数学》（一元微积分）考试试卷试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分 一、填空题：(共5小题，每小题2分，共10分) 1. 函数5()(3)(4)(5)x f x x x x -=---无穷型间断点是 34x x ==， ；2. 曲线()2132x f x x x -=-+的水平渐近线有 0y = ；3. 定积分141(sin +)d x x x x -=⎰23；4. 设方程23210x xy y -+-=确定函数()y y x =,则d d x yx-=32; 5.不定积分(x x x =⎰ 5321235x x C ++ .二、单项选择题： (共5小题，每小题2分，共10分) 1.若函数2sin x 是()f x 的一个原函数，则()f x =（C ）. (A) 2sin x C + (B) 22sin x x (C) 22cos x x (D) 2sin x 2. 函数()3f x x=在[0,3]上满足拉格朗日中值定理中的ξ=（C ）. (A)(D) 以上都不对 3.设)(x f 在[]b a ,上连续，且t x 与无关，则（ B ） （A ）()d ()d bbaatf x t t f x t =⎰⎰ （B ）()d ()d bbaatf x x t f x x =⎰⎰（C ）()d ()d b b aatf x x f x t x =⎰⎰ (D) ()d ()d b baaf tx x t f x x =⎰⎰4. 下列广义积分收敛的个数是（ B ）. (1)211d x x +∞⎰；（2）31d ln x x x +∞⎰；（3）1211d x x -⎰；（4）10x ⎰ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 5.曲线21e x y += 在(,0)-∞内是（ A ）.（A ）凹曲线 （B ）凸曲线 （C ）增加曲线 （D ）有界曲线.三、判断题：（正确的填对，错误的填错）：(共5小题，每小题2分，共10分) 1.一切初等函数在其定义域内连续（ 错 ）；2.区间上连续函数一定存在最大值与最小值（ 错 ）；3.闭区间上连续函数一定可积（ 对 ）；4.函数()f x 在点0x 连续是在点0x 可导的必要条件（对 ）；5. 若()f x 连续，则21()d ()d 2a axf x x f u u =⎰⎰（ 错 ）.四、计算下列各题:(共7小题，每小题5分，共35分) 1.求极限 3lim()3xx x x →∞+-, 解 36663366lim()=lim(1+)=lim(1+)333x xx x x x x x x e x x x --→∞→∞→∞+=---.2. 求极限2030lim(cos 1)t t xt t-→+⎰．解: 原式2301lim 2tt x t -→==⎰200112sin()1lim 2233t t t t t --→→-==-. .3.设20,()1x x f x e ax bx →=---是2x 的高阶无穷小，求,a b .解 由220012lim0,lim 012x x x x e ax bx e ax b b x x→→-----==⇒=， 021lim 022x x e a a →-=⇒=.4.已知1ln1xy x-=+，求d y ； 解 221(1)(1)21(1)11x x y x x x x-+---'==-+-+，22d =d 1y x x--.5. 设sin 1cos .x t t y t =-⎧⎨=-⎩，求d d y x 与22d d yx .解d sin =d 1cos y tx t-， 222d sin 11=1cos 1cos d (1cos )y t t t x t -'=---（）.6. 求不定积分sin cos d sin cos x xx x x-+⎰．解 原式22(sin cos )11d d(sin cos )(sin cos )(sin cos )sin cos x x x x x C x x x x x x'+=-=-+=++++⎰⎰ . 7. 求定积分120e d x x x -⎰.解 12201e d =13e )4x x x ---⎰（五、解答下列各题(共3小题，每小题10分，共30分).1．试问a 为何值时，函数3()2023f x x ax =++在1x =处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值．解 因为2()3f x x a '=+．函数()f x 在1x =处取得极值，则(1)0f '=，得3a =-．由()6f x x ''=，得(1)60f ''=>，故函数3()2023f x x ax =++在1x =处取得极小值，此极小值为2021.2. 设函数1sin ,0,()0,0.x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩（2）220,()2sin cos ()2sin cos x f x x x x x x x x x'≠=+⋅-=-.3．设抛物线2(0),y x x =≥与直线1,0y x ==所围图形为D ， （1）求D 的面积；（2）求图形D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.六、证明题(共1小题，5分，) .证明方程5310x x -+=在0,1（）内至少有一个实根.证明 令5()=31f x x x -+，由于()f x 在[0,1]上连续，且(0)=10,(1)10f >=-<，则零点存在定理。
考研数学一(一元函数微分学)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学一（一元函数微分学）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(1998年)函数f(x)=(x2一x一2)|x3一x|不可导点的个数是( )A．3B．2C．1D．0正确答案：B解析：方法一：当函数中出现绝对值号时，就有可能出现不可导的“端点”，因为这时的函数是分段函数。
f(x)=(x2一x一2)|x||x2一1|，当x≠0，±1时f(x)可导，因而只需在x=0，±1处考虑f(x)是否可导。
在这些点我们分别考虑其左、右导数。
由即f(x)在x=一1处可导。
又所以f(x)在x=0处不可导。
类似，函数f(x)在x=1处亦不可导。
因此f(x)只有两个不可导点，故应选B。
方法二：利用下列结论进行判断：设函数f(x)=|x一a|φ(x)，其中φ(x)在x=a 处连续，则f(x)在x=a处可导的充要条件是φ(a)=0。
先证明该结论：由导数的定义可知：其中可见，f′(a)存在的充要条件是φ(a)=一φ(a)，也即φ(a)=0。
再利用上述结论来判断本题中的函数有哪些不可导点：首先，绝对值函数分段点只可能在使得绝对值为零的点，也就是说f(x)=(x2一x一2)|x3一x|只有可能在使得|x3一x|=0的点处不可导，也即x=一1，x=0以及x=1。
接下来再依次对这三个点检验上述结论：对x=一1，将f(x)写成f(x)=(x2一x一2)|x2一x||x+1|，由于(x2一x-2)|x2一x|在x=一1处为零，可知f(x)在x=一1处可导。
对x=0，将f(x)写成f(x)=(x2一x一2)|x2一1||x|，由于(x2一x 一2)|x2一1|在x=0处不为零，可知f(x)在x=0处不可导。
对x=1，将f(x)写成f(x)=(x2一x一2)|x2+x||x+1|，由于(x2一x一2)|x2+x|在x=1处不为零，可知f(x)在x=1处不可导。
第二章 一元函数微分学测试卷
第二章 一元函数微分学测试题（A ）一、选择题：（每小题3分，共计15分）1．设()f x 在0x x =可导，则下列各式中结果等于0()f x '的是 （） A ．000()()lim x f x f x x x∆→-+∆∆；B ．000()()limx f x x f x x∆→-∆-∆C ．000(2)()lim x f x x f x x∆→+∆-∆； D ．000(2)()lim x f x x f x x x∆→+∆-+∆∆． 2．函数()1f x x =-（）A ．在1x =处连续可导B ．在1x =处不连续C ．在0x =处连续可导D ．在0x =处不连续 3．设x x y =,则='y（ ）A ．)1(ln +x x xB ．)1ln (+x x x xC ．x x x lnD ．x x4．若函数()f x 在[],a b 上连续，在),(b a 内可导，且（ ）时，则在(),a b 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立．A ．()()f a f b =；B ．()()f a f b ≠；C ．0)()(>b f a f ；D ．0)()(<b f a f ． 5．若()f u 可导，且()x y f e =，则有dy（ ）A ．()x f e dx '；B ．()x x f e de ；C ．[()]x x f e de '；D ．[()]x x f e e dx '．二、填空题（每小题3分，共计15分）1．已知 2ln sin y x =，则y '= ； 2．求极限：1lim1ln xx x xx x→--+= ；3．已知曲线方程为2323x t t y t t ⎧=-⎨=-⎩，则()y x ''= ； 4．已知函数410()3f x x e =，则(10)y = ； 5．曲线ln sec y x =在点(,)x y 处的曲率半径为 ； 三、计算题（每题5分，共30分）1．1ln(1)lim cot x x arc x→+∞+2．tan 0lim x x x +→3．0limln(1)x x x x→+-4.已知ln(y x =-，求()y x ¢5.已知 y x x y =，求d y d x四、解答题（每题8分，共40分）1、设曲线)(x f y =与x y sin =在原点处相切，求极限)2(lim nnf n ∞→ 2、当20π<<x 时，证明xx x <<sin 2π.3.若曲线32y ax bx cx d =+++在点0x =处有极值0y =，点(1,1)为拐点，求,,,a b c d 的值.4.已知221sin ,0()0,01sin ,0x x x f x x x x x ìïï<ïïïï==íïïïï>ïïïî，讨论()f x 的连续性与可导性. 5.用汽船拖载重相等的小船若干只，在两港之间来回运送货物，已知每次拖4只小船，一日能来回16次，每次拖7只，则一日能来回10次，如果小船增多的只数与来回减少的次数成正比，问每日来回多少次，每次拖多少只小船能使运货总量达到最大？参考答案：一、选择题：（每小题3分，共计15分）1-5． DCAAC二、填空题（每小题3分，共计15分）1．22cot x x ；2． 2；3．34(1)t -；4．0；5．232sec (1tan )xx +三、计算题（每题5分，共30分）1．1ln(1)lim cot x x arc x→+∞+222211()11ln(1)11:limlim lim1cot 122limlim1212x x x x x xxx xarc x x x xx x →+∞→+∞→+∞→+∞→+∞⋅-+++==+-+===+解2．tan 0lim xx x+→tan 221ln :lim lim exp tan ln exp lim exp lim cot csc sin exp lim 1xx x x x x x x xx x xx x e x+++++→→→→→===--===解3．0limln(1)x x x x→+-:limtan 1cos lim ln(1)11cos 1sin limlim12ln(1)2111sin (1)1lim22x x x x x x x xx xx x x x xx x x→→→→→=-=⋅+--==+--++==--解原极限4.已知ln(y x =-，求()y x ¢12211(1)2:x xy---⋅'===-解5．已知y xx y=，求d yd x: :ln lnln lnlnlnlnlny x x yy yy x y xx yyyx y yxyx y x xxy=''+=+⋅--'==--解两边取对数得四、解答题（每题8分，共40分）1、解:因为曲线)(xfy=与xy sin=在原点处相切,000,sin0(0)0,cos1,(0)1x xx y fy x f======''===当时且则00lim lim2()()()(0)lim lim lim(0)120limn nn x xnff x f x fn fx xn→∞→∞→∞→∞→→→∞→∞∴==-'====-∴==2、sin,(0,]:()21,0xxf x xxπ⎧∈⎪=⎨⎪=⎩证明构造函数2cos sin ()[0,](0,),(0,),()<0 222x x xf x x f xx πππ-'∴∀∈=在上连续.在内可导且对于总有2sin ()[0,],(0,),()<()<(0)1,2222s 2s in n <1,i #<x f x x f f x f xx xx x x ππππππ<<∴∀∈===在上单调递减所以有即所以3.32:00,y ax bx cx d x y =+++==解在处有极值232,(0)0,(0)=0(1,1)62(1)=620(1)113,2213,,0,022y ax bx c y c y d y ax b y a b y a b c d a b a b c d '=++'∴===''=+''∴+==+++==-=∴=-===为拐点,解得4.已知221sin ,0()0,01sin ,0x x x f x x x x x ìïï<ïïïï==íïïïï>ïïïî，讨论()f x 的连续性与可导性.22222:(00)lim (00)lim (00)(00)(0)0()0,R (0)lim 1sin1sin1sin1sin1sinlim 0(0)lim 1sinlim 0()0x x x x x x f f f f f f x x f x x xx xx xxx f x x x xf x x -+--++→→-→→+→→-=+=-=+==='==-'====-=--=解所以在处连续从而在上处处连不存在在所以续处不可导5.用汽船拖载重相等的小船若干只，在两港之间来回运送货物，已知每次拖4只小船，一日能来回16次，每次拖7只，则一日能来回10次，如果小船增多的只数与来回减少的次数成正比，问每日来回多少次，每次拖多少只小船能使运货总量达到最大？:,.744121610162(12)2(12)012,0,12,n x z y nxz x n x nn y n zy n zy n y z n y =--=⇒=---∴=-'=-'''===-<=解设每日来回次每次拖只小船每只小船的运货量为 则一天的运货总量为令得故时最大所以每日来回12次,每次拖6只小船能使运货总量达到最大.一元函数微分学测试卷（B ）一、单项选择题：（每小题3分，共计15分） 1．设()f x 在x a =可导，则0()()limx f a x f a x x®+--=（ ）A ．()f a ¢B ．2()f a ¢C ．()f x ¢D ．(2)f a ¢ 2．下列结论错误的是（ ） A ．如果函数()f x 在x a =处连续，则()f x 在x a =处可导B ．如果函数()f x 在x a =处不连续，则()f x 在x a =处不可导C ．如果函数()f x 在x a =处可导，则()f x 在x a =处连续D ．如果函数()f x 在x a =处不可导，则()f x 在x a =处也可能连续 3．在曲线ln y x =与直线x e =的交点处，曲线ln y x =的切线方程是 （ ）A ．0x ey -=B ．20x ey --=C ．0ex y -=D ．0ex y e --=4. 若函数()f x 在[],a b 上连续，在),(b a 内可导，则()f x '在(),a b 内 （ ）A ．只有一实根B ．至少有一个实根C ．至少有两个实根D ．没有实根 5．2cos 2y x =，则dy =( )A ．2(cos 2)(2)x x dx ''B ．2(cos 2)cos 2x d x 'C. 2cos 2sin 2x xdx -D. 2cos 2cos 2xd x二、填空题（每小题3分，共计15分） 1．已知 1arctan 1x y x+=-，则y '= ；2．求极限： 21sin(1)lim1x x x →--= ；3．已知曲线方程为cos sin x a t y b t=⎧⎨=⎩，则()y x '= ；4．已知函数ln y x x =，则(10)y = ；5．椭圆2244x y +=在点(0,2)处的曲率为 ； 三、计算题（每题5分，共30分） 1．求011lim ()1xx xe ®--2．求()1lim 1sin x x x ®+3．0limx ®4. 已知xx xxe e y e e---=+，求()y x ¢5. 已知 ln y x y =+，求d y d x四、解答题（每题8分，共40分） 1、设22ln(1)lim2x x ax bxx®+--=，求,a b 的值.2. 已知4321y x x =-+，求其单调区间，极值点，凸凹区间及拐点.3、已知221sin ,0()0,0x x f x x x ìïï¹ï=íïï=ïî，讨论()f x 的连续性与可导性.4. 设()f x 在[]0,a 上连续，()0,a 内可导，且()0f a =，证明：存在一点(0,)a ξ∈，使得()()0f f ξξξ'+=5.一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于观察者的眼睛1.8 m ,问观察者在距墙多远处看图才最清楚(视角θ 最大) ?参考答案：一、单项选择题：（每小题3分，共计15分）1-5 BAABD二、填空题（每小题3分，共计15分）1．211x+；2．2；3．cot b t a-；4．98!x；5．2三、计算题（每题5分，共30分）1．求011lim ()1xx xe ®--1111lim ()limlim1(1)(1)11limlim112xxxxx xx xx xxxxx xe x e xe x e e xeee e xex解： ----==---+===++++2．求()1lim 1sin x x x ®+()()111ln(1sin )lim 1sin lim exp[ln 1sin ]exp lim sin exp limx x xx x x x x x xxe ex解： ®++=+====3．0limx ®1.41.8θ332212limlimlim1sin 236limlim61cos sin x xx x xxxx xxx xx解： ==-===-4. 已知x x xxe e y e e---=+，求()y x ¢22()()()()4()()()x xxx xxxxxxxxe ee e e ee e y x e ee e解：------++---¢==++5. 已知 ln y x y =+，求d y d xln 111y x y dy dy dx y dxdy y dx y 解：=+=+=-四、解答题（每题8分，共40分）1、设22ln(1)lim2x x ax bxx®+--=，求,a b22222212ln(1)1limlim22120lim[2]011lim[2]1111212ln(1)(1)1limlimlim22215lim22(1)2x xx x x xx x a bx x ax bxxxxx x a bx xa bx xbbx x ax bxx xxxb x 解：且当为无穷小，即 ®® ®--+--+==甛--=+=-=+----+--++\===-\=-=-+2. 已知4321y x x =-+，求其单调区间，极值点，凸凹区间及拐点.43322122:21462(23)300,2121212(1)0,01y x x y x x x x y x x y x x x x y x =-+'=-=-'===''=-=-''==解令得驻点为时或33311(,),(-,),(,)22216(-,0)(1,),(0,1),(0,1)(1,0).∞∞-∞∞单调增区间为单调减区间为极小值点为凹区间为及凸区间为拐点为及3、已知221sin ,0()0,0x x f x x x ìïï¹ï=íïï=ïî，讨论()f x 的连续性与可导性. 222221:lim ()lim sin(0)0()0,()R 1sin 0()(0)1(0)limlimlim sin()0,()R .x x x x x f x x xf f x x f x x f x f xf x x xxf x x f x →→→→→===∴=--'====-∴=解在处连续则在上处处连续在处可导则在上处处可导4. 设()f x 在[]0,a 上连续，()0,a 内可导，且()0f a =，证明：存在一点(0,)a ξ∈，使得()()0f f ξξξ'+=[]():()=(),()0,,0,,F(0)=F()=0,,(0,),F ()=0.()()0#x xf x x a a a a f f ξξξξξ''∃∈+=证明令F 则F 在上连续在内可导且从而满足罗尔中值定理条件所以使得即5.一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于观察者的眼睛1.8 m ,问观察者在距墙多远处看图才最清楚(视角θ 最大) ?2222222221.4 1.8 1.8arctanarctan ,(0,)3.2 1.8 1.4( 5.76)3.2 1.8( 3.2)( 1.8)0, 2.4(0m,,,, 2.4 ,)m .x x x x x x x x x x 则令得驻点根据问题的实际意义观察者最佳站位存在驻点又唯一因此观察者站在距离墙处看图最解：设观察者清楚与墙的距离为q q q +=-? ---¢=+=++++¢==?1.4 1.8。
考研数学二(一元函数微分学)历年真题试卷汇编20(题后含答案及解析)
考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编20(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)有二阶连续导数，且f′(0)=0，=1，则( )．A．f(0)是f(x)的极大值B．f(0)是f(x)的极小值C．(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D．f(0)不是f(x)的极值，(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点正确答案：B解析：利用极限性质即命题1．2．5．2判别，也可用泰勒公式分析讨论(因函数二阶可导)．此外，还可利用一阶导数符号判别．解一f″(0)==0．由=1的保号性知，在x=0的某去心邻域内，有f″(x)／∣x∣＞0，从而f″(x)＞0．曲线为凹，说明(0，f(0))不是拐点，排除(C)．又由f′(0)=0及泰勒公式f(x)=f(0)+f′(0)x+f″(ξ)x2／2，得到f(x)一f(0)=f″(ξ)x2／2＞0，再由极小值的定义知，f(0)为极小值．仅(B)入选．解二由极限的保号性知，在x=0的空心邻域内有f″(x)／∣x∣＞0．因而在x=0的空心邻域内f″(x)＞0，于是f′(x)单调增．又f′(0)=0，则当x＜0时，f′(x)＜f′(0)=0；当x＞0时，f′(x)＞f′(0)=0．由极值的一阶导数判别法知，f(0)是f(x)的极小值．仅(B)入选．知识模块：一元函数微分学2．[2016年] 设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其导函数y′的图形如图1．2．5．4所示，则( )．A．函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点B．函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有3个拐点C．函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有1个拐点D．函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点正确答案：B解析：可利用定理1．2．5．1(函数取得极值的第一充分条件)判别函数f(x)有多少个极值点．可利用命题1．2．5．3(1)判别点(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点．由导函数的图形1．2．5．4易看出，导数为0的点有x=a，b，c，d．它们是可导函数取极值的候选点．由图易看出：当x＜a时，f′(x)＞0；当x ＞a时，f′(x)＜0．由定理1．2．5．1(1)可判别x=a为f(x)的极大值点；当x＜c时，f′(x)＜0；当x＞c时，f′(x)＞0．由定理1．2．5．1(2)可判别x=c 为f(x)的极小值点．但当x＜b时，f′(x)＜0；当x＞b时，f′(x)＜0．由定理1．2．5．1(3)知，x=b不是极值点．同理，当x＜d和x＞d时，f′(x)＞0，故x=d也不是极值点．当x＜b时，f′(x)单调下降，故f″(x)＜0．当b＜x＜e时，f′(x)单调上升，故f″(x)＞0．由命题1．2．5．3(1)知，点(6，f(b))为拐点．当c＜x＜e时，f′(x)单调上升，故f″(x)＞0．又当e＜x＜d时，f′(x)单调下降，f″(x)＜0．由命题1．2．5．3(1)知，点(e，f(e))为拐点．当e ＜x＜d时，f′(x)单调下降，f″(x)＜0．当x＞d时，f′(x)单调上升，故f″(x)＞0．由命题1．2．5．3(1)知，点(d，f(d))为曲线的拐点．综上知，曲线y=f(x)有2个极值点和3个拐点．仅(B)入选．知识模块：一元函数微分学3．[2015年] 设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其二阶导数f″(x)的图形如图1．2．5．5所示，则曲线y=f(x)的拐点个数为( )．A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：利用拐点的定义判别之．设f″(x)=0左边的零点为a，右边的零点为b，f″(x)在x=0处没有定义．因在x=a处的左右两侧由图1．2．5．5可看出，f″(x)都大于零．由拐点定义知，(0．f(0))不是曲线f″(x)的拐点．因在x=b处的左右两侧，由图1．2．5．5可看出f″(x)异号：在x=b处的左侧，f″(x)＜0；在,x=b处的右侧．f″(x)＞0，故(b,f(b))为曲线f(x)的拐点．在x=0处显然f″(x)没有定义，但在x=0处的左右两侧，f″(x)异号，故(0．f(0))为曲线f(x)的拐点．仅(C)入选．知识模块：一元函数微分学4．[2006年] 设函数y=f(x)具有二阶导数，且f′(x)＞0，f″(x)＞0，Δx 为自变量x在点x0处的增量，Δy与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若Δx＞0，则( )．A．0＜dy＜ΔyB．0＜Δy＜dyC．Δy＜dy＜0D．dy＜Δy＜0正确答案：A解析：题设条件有明显的几何意义可用图示法求解．解一仅(A)入选．由f′(x)＞0，f″(x)＞0知，函数f(x)单调增加，曲线y=f(x)是凹向．作函数y=f(x)的图形，如图1．2．5．6所示．由图中易看出，当Δx＞0时，有Δy ＞dy=f′(x0)dx=f′(x0)Δx＞0．解二因Δy=f(x0+Δx)一f(x0)为函数差的形式，这警示我们可用拉格朗日中值定理Δy=f(x0+Δx)一f(x0)=f′(ξ)Δx，x0＜ξ＜x0+Δx求之．因f″(x)＞0，故f′(x)单调增加，有f′(ξ)＞f′(x0)．又Δx＞0，则Δy=f′(ξ)Δx＞f′(x0)Δx=dy＞0，即0＜dy＜Δy．知识模块：一元函数微分学5．[2004年] 设f(x)=∣x(1一x)∣，则( )．A．x=0是f(x)的极值点，但点(0，0)不是曲线y=f(x)的拐点B．x=0不是f(x)的极值点，但点(0，0)是曲线y=f(x)的拐点C．x=0是f(x)的极值点，且点(0，0)是曲线y=f(x)的拐点D．x=0不是f(x)的极值点，点(0，0)也不是曲线y=f(x)的拐点正确答案：C解析：判别分段函数的极值点与拐点，只需讨论x=0的两侧f′(x)，f″(x)的符号．解一由f(x)=，知f(x)在x=0处不可导．但x＜0时，f′(x)=(一x+x2)′=一l+2x，f″(x)=2；x＞0时，f′(x)=(x一x2)′=l－2x，f″(x)=一2．因而f′(x)及f″(x)在x=0的左、右两侧改变符号，故x=0既是f(x)的极值点，点(0，0)也是曲线f(x)的拐点．仅(C)入选．解二先作出y=x(1一x)=一x2+x=一(x一1／2)2+1／4(0≤x≤1)的图形，再对x＜0及x＞1分别作出y=x(1－x)=一(x一1／2)+1／4取正值的图形，如图1．2．5．7所示．在x=0附近，函数f(x)左减右增，则f(0)为极小值，且在x=1附近函数f(x)也是左减右增，因而f(1)也为极小值．又在x=0的左侧，曲线y=f(x)为凹，右侧为凸，故点(0，0)为拐点，且在,x=1的左侧曲线y=f(x)为凸，右侧为凹，故点(1，f(1)=0)也为曲线y=f(x)的拐点．仅(C)入选．知识模块：一元函数微分学6．[2014年] 下列曲线有渐近线的是( )．A．y=x+sinxB．y=x2+sinxC．y=x+sin(1／x)D．y=x2+sin(1／x)正确答案：C解析：直接利用渐近线的定义判别之．(1)若(x)=b，则y=b(b为有限实数)为曲线y=f(x)的水平渐近线，因(A)，(B)，(C)，(D)中均不存在，故它们均无水平渐近线．(2)若(x)=∞或f(x)=∞，则x=x0为曲线y=f(x)的铅直渐近线．取x0=0，则在(A)、(B)中，在(C)、(D)中均不存在，故(A)，(B)，(C)，(D)中曲线均无铅直渐近线．(3)若a=≠0，b=[f(x)一ax]，则y=ax+b为曲线y的斜渐近线．对于(B)，(D)，不存在，对于(A)，即=1，但不存在，故(A)，(B)，(D)中曲线均无斜渐近线．对于(C)：a==1+0(有界变量与无穷小量之乘积的极限等于0)=1，b==0，故y=1·x+0=x 是(C)中曲线的斜渐近线．仅(C)入选．知识模块：一元函数微分学7．[2012年] 曲线y=的渐近线条数为( )．A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：y有无定义的点为x=±l，因而可能有铅直渐近线，需由渐近线方程的计算公式进一步判定．因分子、分母为同阶无穷大(x→∞)，因而y不是与z 同阶的无穷大量，故y没有斜渐近线，但显然有水平渐近线．因=+∞，故x=1为铅直渐近线．又=1，故y=l为其水平渐近线．因无斜渐近线，故渐近线的条数为2．仅(C)入选．知识模块：一元函数微分学8．[2007年] 曲线y=1／x+ln(1+ex)渐近线的条数为( )．A．0B．1C．2D．3正确答案：D解析：利用曲线渐近线的求解公式分别考察三种渐近线是否存在．仅(D)入选．只有间断点x=0．由于[1／x+ln(1+ex)]=∞，故x=0为铅直渐近线．又[1／x+ln(1+ex)]=0+lnl=0，则x→一∞时有水平渐近线y=0．再由得x→+∞时有斜渐近线y=x．因而沿同一方向(x→+∞)必然没有水平渐近线．事实上，=∞．因此有3条渐近线．知识模块：一元函数微分学9．[2011年] 函数f(x)=ln∣(x一1)(x一2)(x一3)∣的驻点个数为( )．A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：先求f′(x)，再求f′(x)=0的根的个数．f(x)=ln∣(x一1)(x一2)(x 一3)∣=ln∣x一1∣+ln∣x一2∣+ln∣x一3∣，于是得f′(x)=令f′(x)=0，得3x2一12x+11—0，其判别式Δ=122一4×3×11—12＞0，故3x2一12x+11=0有两个不同实根，所以f(x)有2个驻点．仅(C)入选．知识模块：一元函数微分学10．[2008年] 设f(x)=x2(x一1)(x一2)．则f′(x)的零点个数为( )．A．0B．1C．2D．3正确答案：D解析：直接求出f′(x)=0的根或由命题1．2．5．7求之．解一令f′(x)=2x(x 一1)(x一2)+x2(x一1)+x2(x一2)=x(4x2一9x+4)=0．①可得f′(x)的零点个数为3．仅(D)入选．解二因f(0)=f(1)=f(2)=0，即f(x)有3个不同的实根．由命题1．2．5．7知f′(x)在(0，2)内有2个实根．事实上，对f(x)分别在区间[0，1]，[1，2]上使用罗尔定理得到f′(x)在(0，1)和(1，2)内各至少有一个根．又x=0为f(x)=0的二重根，且由同一命题知x=0为f′(x)=0的根．因而f′(x)=0有3个根，即f′(x)的零点个数为3．仅(D)入选．知识模块：一元函数微分学填空题11．[2008年] 曲线y=(x一5)x3的拐点坐标为________．正确答案：利用二阶导数y″的符号判别．为此求出y″(x)=0的实根或二阶导数不存在的点，检查f″(x)在这些点上左、右两侧的符号．当两侧符号相反时，该点为拐点；当两侧符号相同时，该点不是拐点．解一y=处处连续，又y′=(x≠0)，y″=(1+x) (x≠0)．①由于在x=－1两侧y″异号，故点(一1，一6)是曲线y的拐点．而x=0时为y的导数不存在的点，但在其左、右两侧不改变符号，故(0，0)不是曲线y的拐点．因此所求拐点坐标为(一1，一6)．解二y=x5/3一5x2/3处处连续．根据解一中的式①，将x与y″的关系列成下表判别．由上表易看出拐点为(一1，－6)，而二阶导数不存在的点(0，0)不是拐点．涉及知识点：一元函数微分学12．[2004年] 设函数y(x)由参数方程确定，则曲线y=y(x)向上凸的x取值范围为__________．正确答案：先由曲线y(x)的参数方程求出二阶导数，再由＜0确定x的取值范围．由＜0得到t＜0．又x=t3+3t+1单调增加，当t＜0时，x∈(一∞，1)．所以当x∈(－∞，1]时，曲线向上凸．涉及知识点：一元函数微分学13．[2009年] 函数y=x2x在区间(0，1]上的最小值为__________．正确答案：利用命题1．2．5．4或命题1．2．5．5求之．解一y=e2xlnx，故y′=e2xlnx(21nx+2)=x2x(21nx+2)，令y′=0得驻点为x1=l／e．此时y1=e-2/e．而y(1)=1，y(0+0)==e2.0=1．由命题1．2．5．6知，y=x2x在区间(0，1]上的最小值为m=min{y(0)，y(x1)，y(1))=min{1，e-2/e，1)=e-2/e．解二函数y=x2x在区间(0，1)上连续，在(0，1)区间内只有一个驻点x1=1／e，又y″=x2x(2lnx+2)2+x2x(2／x)，得y″(1／e)=＞0．故x1=1／e为y=x2x 的极小值点，该极小值为y1=e-2/e．由命题1．2．5．5知，该极小值即为函数y在区间(0，1]上的最小值．涉及知识点：一元函数微分学14．[2006年] 曲线y=的水平渐近线方程为_________．正确答案：按水平渐近线方程的计算公式求之．求极限时，要利用无穷小量与有界变量之乘积为无穷小量的性质求之．因，故水平渐近线方程为y= 涉及知识点：一元函数微分学15．[2005年] 曲线y=(1+x)3/2／√x的斜渐近线方程为__________．正确答案：直接用斜渐近线方程公式计算，其极限不要算错．可用两种方法求之．解一因函数y含√x，只有当x＞0时才有定义，故仅考虑x→∞．因而下述极限可利用m，n为正分数时的命题1．1．6．1的结论求之：a==l(分子、分母中x的最高次幂为x3/2，其系数均为l，其比值也为1)，=(利用等价无穷小代换：)因此，所求的斜渐近线方程为y=ax+b=x+3／2．解二因此，所求的斜渐近线方程为y=ax+b=x+3／2．涉及知识点：一元函数微分学16．[2010年] 曲线y=2x3／(x2+1)的渐近线方程为__________．正确答案：y的定义域为全体实数，无铅直渐近线．由命题I．I．6．I可看出y=∞，故也没有水平渐近线．y是与x的同阶无穷大可能有斜渐近线．由命题1．1．6．I即得a==2，b==0．故所求渐近线方程为y=ax+b=2x．涉及知识点：一元函数微分学17．[2016年] 曲线y=+arctan(1+x2)的斜渐近线方程为__________．正确答案：因y是与x同阶的无穷大，可能有斜渐近线，可按求斜渐近线的公式求之．故所求的斜渐近线方程为y=x+．涉及知识点：一元函数微分学18．[20l7年] 曲线y=x(1+arcsin)的斜渐近线方程为_________．正确答案：按求斜渐近线的公式求之．故曲线的斜渐近线方程为y=x+2．涉及知识点：一元函数微分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(一元函数微分学)历年真题试卷汇编11(题后含答案及解析)
考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编11(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(1991年)曲线y＝【】A．没有渐近线．B．仅有水平渐近线．C．仅有铅直渐近线．D．既有水平渐近线也有铅直渐近线．正确答案：D解析：由于＝1，则原曲线有水平渐近线y＝1，又＝∞，则原曲线有垂直渐近线χ＝0，所以应选D．知识模块：一元函数微分学2．(1992年)当χ→0时，χ－sinχ是χ2的【】A．低阶无穷小．B．高阶无穷小．C．等价无穷小．D．同阶但非等价无穷小．正确答案：B解析：由于则当χ→0时，χ－sinχ是χ2的高阶无穷小．知识模块：一元函数微分学3．(1993年)设f(χ)＝，则在点χ＝1处函数f(χ) 【】A．不连续．B．连续，但不可导．C．可导，但导数不连续．D．可导，且导数连续．正确答案：A解析：即不存在，则f(χ)在χ＝1处不连续．知识模块：一元函数微分学4．(1993年)设常数k＞0，函数f(χ)－lnχ－＋k在(0，＋∞)内零点个数为【】A．3B．2C．1D．0正确答案：B解析：由f(χ)＝lnχ－＋k可知，f′(χ)＝令f′(χ)＝0得χ＝e，且当χ∈(0，e)时f′(χ)＞0，则f(χ)严格单调增；而当χ∈(e，＋∞)时，f′(χ)＜0，则f(χ)严格单调减，又f(e)＝k＞0，而，则f(χ)在(0，e)和(e，＋∞)分别有唯一零点，故f(χ)＝lnχ－＋k在(0，＋∞)内零点个数为2．知识模块：一元函数微分学5．(1993年)若f(χ)＝－f(－χ)，在(0，＋∞)内f′(χ)＞0，f〞(χ)＞0，则f(χ)在(－∞，0)内【】A．f′(χ)＜0，f〞(χ)＜0B．f′(χ)＜0，f〞(χ)＞0C．f′(χ)＞0，f〞(χ)＜0D．f′(χ)＞0，f〞(χ)＞0正确答案：C解析：由f(χ)＝－f(－χ)知f(－z)＝－f(χ)，即f(χ)的图形关于原点对称，从而由在(0，＋∞)内f′(χ)＞0，f〞(χ)＞0可知，在(－∞，0)内f′(χ)＞0，f〞(χ)＜0，因此应选C．知识模块：一元函数微分学6．(1994年)设＝2，则【】A．a＝1，b＝－B．a＝0，b＝－2C．a＝0，b＝－D．a＝1，b＝－2正确答案：A解析：由上式右端可知a＝1，否则原式极限为无穷．知识模块：一元函数微分学7．(1994年)设f(χ)＝，则f(χ)在χ＝1处的【】A．左、右导数都存在．B．左导数存在，但右导数不存在．C．左导数不存在，但右导数存在．D．左、右导数都不存在．正确答案：B解析：＝1，但f(1)＝，则f(χ)在χ＝1不右连续，从而f′+(1)不存在，又χ3在χ＝1可导，而χ≤1时f(χ)＝χ3，则f′-存在，故应选B．知识模块：一元函数微分学8．(1994年)设y＝f(χ)是满足微分方程y〞＋y′－esinχ＝0的解，且f′(χ0)＝0，则f(χ)在【】A．χ0某邻域内单调增加．B．χ0某邻域内单调减少．C．χ0处取得极小值．D．χ0处取得极大值．正确答案：C解析：由于y＝f(χ)满足方程y〞＋y′＝esinχ＝0，则f〞(χ)＋f′(χ)＝esinχ≡0 令χ＝χ0，得f〞(χ0)＋f′(χ0)－＝0 即f〞(χ0)＝＞0 又f′(χ0)＝0 则f(χ)在χ0处取极小值．知识模块：一元函数微分学9．(1994年)曲线y＝的渐近线有【】A．1条．B．2条．C．3条．D．4条．正确答案：B解析：由可知原曲线有水平渐近线y＝又＝∞，则原曲线有垂直渐近线χ＝0，虽然原题中当χ＝1，χ＝－2时分母为零，但都不是∞，则原曲线的渐近线有两条．知识模块：一元函数微分学10．(1995年)设f(χ)在(－∞，＋∞)内可导，且对任意χ1，χ2，当χ1＞χ2时，都有f(χ1)＞f(χ2)，则【】A．对任意χ，f′(χ)＞0．B．对任意χ，f′(－χ)≤0．C．函数f(－χ)单调增加．D．函数－f(－χ)单调增加．正确答案：D解析：由于对任意的χ1，χ2，当χ1＞χ2时－χ1＜－χ2，则有f(－χ1)＜(－χ2)，即－f(－χ1)＞－f(－χ2)，也就是说，当χ1＞χ2时，－f(－χ1)＞－f(－χ2)，故－f(－χ)单调增．知识模块：一元函数微分学11．(1995年)设函数f(χ)在[0，1]上f〞(χ)＞0，则f′(1)、f′(0)、f(1)－f(0)或f(0)－f(1)的大小顺序是【】A．f′(1)＞f′(0)＞f(1)－f(0)B．f′(1)＞f(1)－f(0)＞f′(0)C．f(1)－f(0)＞f′(1)＞f′(0)D．f′(1)＞f(0)－f(1)＞f′(0)正确答案：B解析：由于f〞(χ)＞0 χ∈[0，1] 则f′(χ)单调增，又f(1)－f(0)＝f′(c) c∈(0，1) 从而f′(1)＞f′(c)＞f′(0) 即f′(1)＞f(1)－f(0)＞f′(0) 知识模块：一元函数微分学12．(1995年)设f(χ)可导，F(χ)＝f(χ)(1＋｜sinχ｜)．若F(χ)在χ＝0处可导，则必有【】A．f(0)＝0B．f′(0)＝0C．f(0)＋f′(0)＝0D．f(0)－f′(0)＝0正确答案：A解析：由于F(χ)＝f(χ)＋f(χ)｜sinχ｜，而f(χ)可导，则F(χ)在χ＝0可导等价于f(χ)｜sinχ｜在χ＝0可导，令φ(χ)＝f(χ)｜sinχ｜则要使F(χ)在χ＝0可导，当且仅当f(0)＝－(0)，即f(0)＝0．知识模块：一元函数微分学填空题13．(1992年)设，其中f可导，且f′(0)≠0，则＝________．正确答案：3．解析：知识模块：一元函数微分学14．(1992年)函数y＝χ＋2cosχ在区间[0，]上的最大值为_______．正确答案：解析：y′＝1－2sinχ，令y′＝0得χ＝y〞＝－2cosχ，＜0，则y＝χ＋2cosχ在χ＝取得极大值，又在(0，)上极值点唯一，则该极大值为最大值，最大值为知识模块：一元函数微分学15．(1993年)χlnχ＝_______．正确答案：0．解析：知识模块：一元函数微分学16．(1993年)函数y＝y(χ)由方程sin(χ2＋y2)＋eχ＝0所确定，则＝_______．正确答案：解析：等式sin(χ2＋y2)＋ey－χy2＝0两边对χ求导得知识模块：一元函数微分学17．(1994年)设函数y＝y(χ)由参数方程所确定，则＝_______．正确答案：(6t＋5)(t＋1)．解析：知识模块：一元函数微分学18．(1995年)设y＝cos(χ2)sin2，则y′＝_______．正确答案：－2χsin(χ2)sin2cos(χ2)．解析：知识模块：一元函数微分学19．(1995年)曲线，在t＝2处的切线方程为_______．正确答案：3χ－y－7＝0．解析：当t＝2时χ＝5，y＝8．则所求切线方程为y－8＝3(χ－5)，即3χ－y－7＝0．知识模块：一元函数微分学20．(1995年)曲线y＝χ2的渐近线方程为_______．正确答案：y＝0．解析：由于＝0，原曲线仅有一条水平渐近线y＝0．知识模块：一元函数微分学21．(1996年)设y＝＝_______．正确答案：解析：知识模块：一元函数微分学22．(1997年)设y＝＝_______．正确答案：解析：由对数的性质可知y＝[ln(1－χ)－ln(1＋χ2)] 知识模块：一元函数微分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
一元函数的微分计算
一元函数的微分计算当然可以，这里是根据“一元函数的微分计算”主题设计的2 0道试题，包括选择题和填空题：1. 选择题：1.1 一元函数微分的基本定义是指哪一种？A. 极限的定义B. 导数的定义C. 积分的定义D. 泰勒展开式1.2 函数 \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \) 在点 \( x = 2 \) 处的导数是多少？A. 5B. 8C. 10D. 121.3 函数 \( y = \sqrt{x} + \frac{1}{x} \) 的导数 \( \frac{dy}{dx} \) 是什么？A. \( \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2} \)B. \( \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{x^2} \)C. \( \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x} \)D. \( \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{x} \)2. 填空题：2.1 设函数 \( f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x \)，求其在点 \( x = 1 \) 处的导数 \( f'(1) \)。
2.2 函数 \( y = e^x \sin x \) 的导数 \( \frac{dy}{dx} \) 是 \_\_\_\_\_\_\_。
2.3 求函数 \( f(x) = \ln(3x + 1) \) 的导数 \( f'(x) \)。
3. 选择题：3.1 函数 \( y = \frac{1}{x^2} \) 在点 \( x = 2 \)处的导数是多少？A. -\(\frac{1}{4}\)B. -\(\frac{1}{2}\)C. -1D. -23.2 函数 \( f(x) = \cos(x^2) \) 的导数 \( f'(x) \) 是什么？A. \( -2x \sin(x^2) \)B. \( -2x \cos(x^2) \)C. \( -\sin(x^2) \)D. \( -2x \sin(2x) \)4. 填空题：4.1 设函数 \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1}\)，求其导数 \( f'(x) \)。
考研数学一(一元函数微分学)历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)
考研数学一（一元函数微分学）历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(2004年)设函数f(x)连续，且f’(0)＞0，则存在δ＞0。
使得A．f(x)在(0，δ)内单调增加B．f(x)在(一δ，0)内单凋减少C．对任意的x∈(0，δ)有f(x)＞f(0)D．对任意的x∈(一δ，0)有f(x)＞f(0)正确答案：C解析：由于由极限的保号性知，存在δ＞0，当x∈(一δ，0)或x∈(0，δ)时，而当∈(0，δ)时x＞0，则此时f(x)一f(0)＞0，即f(x)＞f(0)，故应选(C)．知识模块：一元函数微分学2．(2005年)设函数则f(x)在(一∞，+∞)内A．处处可导B．恰有一个不可导点C．恰有两个不可导点D．至少有三个不可导点正确答案：C解析：当|x|≤1时，当|x|＞1时，则而f’+(一1)≠f’-(一1)，则f(x)在x=一1不可导．同理则f(x)在x=1处不可导，故应选(C)．知识模块：一元函数微分学3．(2006年)设函数y=f(x)具有二阶导数，且f’(x)＞0．f”(x)＞0，△x为自变量x在x11处的增量，△y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若△x＞0，则A．0＜dy＜△yB．0＜△y＜dyC．△y＜dy＜0D．dy＜△y＜0正确答案：A解析：解1 直接法：dy=f’(x0)△x，△y=f(x0+△x)一f(x0)=f’(ξ)△x，x0＜ξ＜x0+△x由于f”(x)＞0，则f’(x)单调增，从而有f(x0)＜f’(ξ)，故dy＜△y 由于f’(x)＞0，△x＞0，则0＜dy＜△y，故应选(A)．解2 排除法：取f(x)=x2，在(0，+∞)上，f’(x)=2x＞0，f”(x)一2＞0，取x0=1，则dy=f’(x0)△x=2△x △y=f(1+△x)一f(1)=(1+△x)2一1=2△x+(△x)2由于△x＞0，显然有0＜dy＜△y，由此可知，选项(B)，(C)，(D)均不正确，故应选(A)。
02一元函数微分学练习试题.docx
第二部分一元函数微分学[ 选择题 ]1. 若f x点 x x0处可导，则下列各式中结果等于f x0的是 [].f x0 f x0x（ B）lim f x0x f x0（ A）limx0x x0xf x0 2 x f x0（ D）lim f x0 2 x f x0x（ C）limx xx0x02.下列结论错误的是 [ ]（ A）如果函数f x 在点 x x0处连续，则f x 在点 x x0处可导（ B）如果函数f x 在点 x x0处不连续，则 f x 在点 x x0处不可导（ C）如果函数f x 在点 x x0处可导，则f x 在点 x x0处连续（ D）如果函数f x 在点 x x0处不可导，则 f x 在点 x x0处也可能连续x 2x 0x 在点x0 处[ ]3. 设f x1，则 fx3x＞0（A）左导数不存在，右导数存在（B）右导数不存在，左导数存在（C）左、右导数都存在（D）左、右导数都不存在4.若曲线 y x2ax b 和 y x3x 在点（1，2）处相切（其中a, b是常数），则a, b之值为 [ ].（ A）a2, b1（ B）a 1, b3（ C）a0, b2（ D）a3, b 15.设 f x cosx,则 lim f a f ax[]x0x（ A）sin a（B）sin a（ C）cosa（ D）cosa6. 设f x二阶可导，y f 1nx , 则y[]（ A ） f ' ' 1nx（ B ） f '' 1nx 1x 2（ C ）1f ' ' nxf ' nx1f ''1nx f'1nxx 211（D ）x 27. 若 f u可导 , 且 yf (e x ) 有 dy []（ A ） f 'e xdx（B ） f ' e x de x （ C ） f e xde x（ D ） f e x ' e x dx8．设函数 yf (x)在点 x 0 处可导， y f ( x 0 h) f ( x 0 ) ，则当 h 0 时，必有 [ ].(A) dy 是 h 的同价无穷小量 . (B)y - dy 是 h 的同阶无穷小量。
第二章一元函数微分学例题练习
第二章、一元函数微分学题型一、导数与微分的计算【例题2.2】设函数f (x )在(0,+∞)内有定义，且对任意的x >0,y >0，都有f (xy )=f (x )+f (y ),又f (1)存在且等于a ,求f ′(x )和f (x )【例题2.4】设函数f (x )=g (x )−cos x x,x =00,x =0其中，g (x )具有二阶连续导数,且g (0)=1,确定a 的值，使得f (x )在点x 0=0处连续，并求出f ′(x ),同时讨论f ′(x )在点x =0处的连续性【例题2.11】(利用Taylor 公式求高阶导数)设函数f (x )=sin 6x +cos 6x ,求f (n )(x )【例题2.13】设函数f (x )=11−x −x2求f (n )(0)题型二、微分中值定理的应用【例题2.21】求极限lim n →∞n n √n +1−n +1√n n √2−1 ln n 【例题2.22】求极限I =limx →0+e (1+x )1x−(1+x )exx 2【例题2.23】设函数f (x ),g (x )均为(0,+∞)上的非常数可导函数,且对任意的x,y ∈(−∞,+∞),恒有f (x +y )=f (x )f (y )−g (x )g (y ),g (x +y )=f (x )g (y )+g (x )f (y )已知f ′(0)=0,证明：对一切x ∈(−∞,+∞),恒有f 2(x )+g 2(x )=1【例题2.25】设n 为正整数，证明：对任意实数λ≥1,有nk =11(1+k )k√λ<λ【例题2.28】设f (x )在区间[−a,a ]上具有二阶连续导数，f (0)=0，(1)写出f (x )的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；(2)证明：在区间[a,a ]上至少存在一点η，使得a 3f ′′(η)=3a−a f(x )dx【例题2.29】设函数y =f (x )((−1,1)内具有二阶连续导数，且f ′′(x )=0，证明：(1)对于(−1,1)内任意x =0，存在唯一的θ(x )，使得f (x )=f (0)+xf ′(θ(x )x )(2)lim x →0θ(x )=12题型三、导数的应用【例题2.30】设在(−∞,+∞)上f ′′(x )>0,f (0)<0，证明：f (x )x分别在(−∞,0)和(0,+∞)上单调递增【例题2.31】设函数f (x )=(1+x )1x ,x >0确定常数A,B,C ，使得当x →0+时，f (x )=Ax 2+Bx +C +o x 2【例题2.43】设函数f (x )在区间(−π,π)内连续可导，且满足f ′′(x )=sin 2x −[f ′(x )]2=13xg (x )，其中g (x )为连续函数，满足当x =0，g (x )x >0且lim x →0g (x )x =34，证明：(1)点x =0是f (x )在区间(−π,π)内唯一的极值点，且是极小值点；(2)曲线g =f (x )在区间(−π,π)内是向上凹的题型四、介值定理的论证方法【例题2.54】设函数f (x )在[0,1]上连续，(0,1)可导，并且f (0)=f (1)=0，已知对任意的x ∈(0,1)，都有f ′′(x )>0，且f (x )在[0,1]上的最小值m <0，求证：(1)对任意正整数n 都存在唯一的x n ∈(0,1)，使得f ′(x n )=m n；(2)数列{x n }收敛，且flim n →∞x n=m【例题2.58】设0<a <b,f (x )在[a,b ]上连续，在(a,b )内可导，求证：存在ξ,ηϵ(a,b )，使得f ′(ξ)=a +b 2ηf ′(η)【例题2.60】设函数f (x )在[a,b ]上连续， ba f (x )dx =b a f (x )e x dx =0，求证：f (x )在(a,b )内至少存在两个零点【例题2.61】f (x )在区间[a,b ]上连续，在(0,1)内可导，f ′(x )>0，f (0)=0,f (1)=1，证明：对任意给定的正数λ1,λ2,λ3···λn ，在(0,1)内存在不同的数，x 1,x 2,x 3···x n 使得ni =1λif ′(x i )=ni =1λi【例题2.62】设函数f (x )=x n +x −1，其中n 为正整数，证明：(1)若n 为奇数，则存在唯一的正实数x n ，使得f (x n )=0(2)若n 为奇数，则存在两个实数根x n ,y n ，且x n <0,y n >0(3)极限lim n →∞x n ,lim n →∞y 2n 都存在，并求出它们的值【例题2.63】设实数a,b ，满足b −a >π，函数f (x )在开区间(a,b )内可导，证明：至少存在一点ξ∈(a,b )，使得f 2(ξ)+1>f ′(ξ)。
一元函数微积分基本练习试题包括答案.docx
一、极限题12 1、求 lim (cos x) x.x 03、、limx arctan xxsin x 2(arctan x)(x t 2dt ) 2e5、 xlimxe 2 t2dtx 2e x)117、 lim (1cos xx 0(tanx )( e x2 1)9、 lim3x2 x ) ln( 1 x 2 )(sin111、 lim (2x1)(ex1)x13、 lime x 1 1x)x1sin 3(13x 2(e t 21)dt2、 求极限 lim 0sin x6。
xsin x1 4、 limx 2xx 016、 lim xln( e x1)x8、 limxx xxln xx1110、 lim( axbxcx1) x， (a, b, c 0, 1)x312、 lim (1cot 2x)xx214、 f ( x)1 2 x xx0 点连续，则 A=___________A x 在 x二、导数题1、 设 yx 2 sin x ，求 y .2、 已知方程 xye x e y0确定了隐函数 yy( x), 求 y .3、 求函数 f (x) x 3 ( x 5) 2 的单调区间与极值 .4、要造一圆柱形油罐，体积为 V ，问底半径 r 和高 h 等于多少时，才能使表面积最小，这时底直径与高的比是多少？—5、 f ( x) (x 1)( x 2) (x n) .求 f ( n) ( x)6、 xxy y求 dy7、 F ( x)1x1sin t 2 dt 求 F ( x)sin x8、设 f ( x)e x 1 x 0求 a , b 使 f ( x) 在 x0 点可导 .4axb x 09、设f (x) 可导且 f (0)f (1)1 .若 yf (2sin2 x )2 f (sin 2 x)求dy x 010、设 yarctanex lne 2x, 求 y .1 e2 x11、设 xy y , 求 dy .12、设 f ( x)(1 xx 2x n )e xf (x) 的极值 . 2!n! ， n 为正整数，求13、设 f ( x) 在 x 0 点连续， f (0)0 ，又 f 2 ( x) 在 x0 点可导且 [ f 2 (x)] |x 0 f (0) ，求 f (0) .14、设 f (x) 在 [0,1] 上连续， (0,1)内可导， f (0) f (1) 0 ， f ( 1) 1. 证明：(0,1)2使 f ( ) 115、设函数 f ( x) 0 且二阶可导， yln f ( x) ，则 y __________16、 y sin x cos( xy) 0 ，则 dy__________17、 yx sin x ，求 y18、求函数 yx的极值x 2119、 ysin x yd 2 y，求dx 2 20、 ycos xdysin x，求dx21、求过原点且与曲线 x 9相切的切线方程。
一元函数微分学练习题(答案)
一元函数微分学练习题答案一、计算下列极限：1．9325235lim222-=-+=-+→x x x 2．01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x 3．x x x 11lim--→)11(lim)11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x xx x x x x x 211011111l i m-=+--=+--=→x x4．0111111lim )1)(1()1(lim 112lim 121221=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5．21)23()124(lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x xx x x x x x6．x t x tx t x x t x t x t x t t t 2)2(lim ))((lim )(lim00220-=--=--+-=--→→→ 7．00010013111lim 13lim 4232242=+-+=+-+=+-+∞→∞→xx x x x x x x x x 8．943)3(2)13()31()12(lim )13()31()12(lim1082108210108822=-⋅=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9．2)211(lim 2211)211(1lim )21...41211(lim =-=--=++++∞→∞→∞→n n n n n n 10．212lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+→→→→x x x x x x x x x x x x x x11．01sin lim 20=→xx x （无穷小的性质）12．0arctan 1lim arctan lim ==∞→∞→x x xx x x （无穷小的性质）13．51231121lim3)3sin(lim )2)(3()3sin(lim 6)3sin(lim33323=+⋅=+⋅--=+--=---→→→→x x x x x x x x x x x x x 14．xx x x x x x xx x x x )11)(sin(lim)11)(11()11)(sin(lim11)sin(lim00-+-=-+---+-=---→→→2)011(1)11(lim )sin(lim00-=-+⋅-=-+⋅-=→→x xx x x15．2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x16．mn x x x )(sin )sin(lim 0→（n 、m 为正整数） ⎪⎩⎪⎨⎧<∞=>==→→mn m n mn x x x x mnx m nx , ,1 ,0lim )(sin )sin(lim 00 17．32)2(231lim 2sin 21)1(lim 1cos 1)1(lim 220231203120-=⋅-=--+=--+→→→x xx x x x x x x （等价替换）18．31301)3(lim )3(sin lim 3sin lim2202030=+=+=+=+→→→x x x x x x x x x x x x 19．413)1()(33)11(lim )31(lim )11()31(lim )1()3(lim )13(lim e ee xx x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x ==-+=-+=-+=-+--⋅-∞→⋅∞→∞→∞→∞→ 20．2121)2()21()2(])211(lim [)211(lim )211(lim ---∞→-⋅-∞→∞→=-=-=-e xx x x x x x x x 21．1lim )1ln(lim 00==+→→x xx x x x （等价替换）注：也可用洛必达法则22．535sec 53cos 3lim 5tan 3sin lim2-==→→x x x x x x ππ23．)2(sin cos lim 41)2)(4(sin cos lim )2(sin ln lim2222ππππππ-⋅=--⋅=-→→→x x xx x x x x x x x 812141sin 2)2(cos sin lim412-=-⋅=+-⋅-=→x x x x x ππ 24．nm n m a x nnm m a x a nm nx mx a a x a x ---→→==≠--11lim )0(lim 25．xx x x xx x xx x x x x 2sec 22tan 7tan 7sec 7lim 2tan 2sec 27tan 7sec 7lim 2tan ln 7tan ln lim 2202200⋅==+++→→→ 17cos 2cos lim 2sec 7sec lim 2sec 2277sec 7lim 220220220===⋅=+++→→→xx x x x x x x x x x 26．1cos lim sin cos )1ln(lim cos 1cos )1ln(lim cos sec )1ln(lim 22022022020==+=-+=-+→→→→xx x x x x x x x x x x x x x x 27．a aa xx x x e xa x a =+=+⋅∞→∞→)1(lim )1(lim28．2111lim 11lim )1112(lim )1112(lim 12122121-=+-=--=-+--=---→→→→x x x x x x x x x x x x二、计算下列函数的导数： 1．531-=x y 2．x x e y x+=13．1004)13(-=x y 4．122-+-=x xe y5．bx e y ax sin =（b a ,为常数） 6．3cos 12e ey x x ++= 7．xxy --+=1111 8．x x x x y 3cot sin )32(252-+-+=9．)1lg()1(22x e x y x -++=- 10．)1ln(2x x y ++= 11．xy 1tan 2= 12． 322)13(+=x y13．4)sin(=++xy e y x （求y '） 14．4)sin(=++xy e y x （求y '）答案：1．2312121)53(23)53()53(21])53[(------='-⋅--='-='x x x x y2．x e x x x x x e x x e y x xx 23121)1()()(12211+-=⋅++-⋅='+'='3．99434994)13(1200)13()13(100-='-⋅-='x x x x y 4．1221222)22()12(-+--+-+-='-+-⋅='x xx xe x x x e y5．)cos sin ()(sin sin )()sin (bx b bx a e bx e bx e bx e y ax ax ax ax +='+'='='6．x x x x x x e x e x e e y -----=+-'='+'+'='sin )2(ln 20)(cos 2ln 2)()()2(cos cos 3cos 7．x xx x x x xxy --=-+---=--+=1211111111 22)1(1)1()1()1(212)1(2x x x x x x x x xx y -+-=-'----='--='8．)3(cot )(sin ])32[(252'-'+'-+='x x x x yx x x x x x x x x x x x x 3csc 3cos sin 2)32)(22(533csc cos sin 2)32()32(52422242++-++=⋅++'-+⋅-+=9．])1[lg(])1[(22'-+'+='-x e x y x10ln )1(2)1(2)1(10ln )1(1))(1()1(222222x x e x xe x x e x e x xx x x --+-='--+'++'+=----10．])1[ln(2'++='x x y2222222211])1(1211[11])1(1[11)1(11x x xx x x x x x x x x +='+⋅++++='++++='++++=11．)1(1sec 2ln 2)1(1sec 2ln 2)1(tan 2ln 2)2(221tan 21tan 1tan1tanxx x x x y x x xx-⋅⋅='='⋅='='12．3122312322)13(4)13()13(32])13[(--+='+⋅+='+='x x x x x y13．4)sin(=++xy e y x解：方程两边同时对x 求导xyxy xy xy xy xy xe y x ye y x y ye y x xe y x y y x y e y y x xy e y x y x ++++-='∴++-=++'='+⋅+'+⋅+='⋅+'+⋅+)cos()cos( ])[cos(])[cos( 0)()1()cos( 0)()()cos(14．（与13同）三、确定下列函数的单调区间： 1．7186223---=x x x y函数在]1,(--∞、),3[+∞内单调递增，在]3,1[-内单调递减。
一元函数微分学练习题（答案）
一元函数微分学练习题答案一、计算下列极限：1．9325235lim 222-=-+=-+→x x x2．01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x 3．x x x 11lim--→)11(lim)11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x x x x x x x x 211011111l i m-=+--=+--=→x x4．0111111lim )1)(1()1(lim 112lim 121221=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5．21)23()124(lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x xx x x x x x 6．x t x tx t x x t x t x t x t t t 2)2(lim ))((lim )(lim00220-=--=--+-=--→→→ 7．00010013111lim 13lim 4232242=+-+=+-+=+-+∞→∞→xx x x x x x x x x 8．943)3(2)13()31()12(lim )13()31()12(lim1082108210108822=-⋅=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9．2)211(lim 2211)211(1lim )21...41211(lim =-=--=++++∞→∞→∞→n n n n n n 10．212lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+→→→→x x x x x x x x x x x x x x11．01sin lim 20=→xx x （无穷小的性质）12．0arctan 1lim arctan lim ==∞→∞→x x xx x x （无穷小的性质）13．51231121lim3)3sin(lim )2)(3()3sin(lim 6)3sin(lim33323=+⋅=+⋅--=+--=---→→→→x x x x x x x x x x x x x 14．xx x x x x x xx x x x )11)(sin(lim)11)(11()11)(sin(lim11)sin(lim00-+-=-+---+-=---→→→2)011(1)11(lim )sin(lim00-=-+⋅-=-+⋅-=→→x xx x x15．2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x16．mn x x x )(sin )sin(lim 0→（n 、m 为正整数） ⎪⎩⎪⎨⎧<∞=>==→→mn m n mn x x x x mnx m nx , ,1 ,0lim )(sin )sin(lim 00 17．32)2(231lim 2sin 21)1(lim 1cos 1)1(lim 220231203120-=⋅-=--+=--+→→→x xx x x x x x x （等价替换）18．31301)3(lim )3(sin lim 3sin lim2202030=+=+=+=+→→→x x x x x x x x x x x x 19．413)1()(33)11(lim )31(lim )11()31(lim )1()3(lim )13(lim e ee xx x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x ==-+=-+=-+=-+--⋅-∞→⋅∞→∞→∞→∞→ 20．2121)2()21()2(])211(lim [)211(lim )211(lim ---∞→-⋅-∞→∞→=-=-=-e xx x x x x x x x 21．1lim )1ln(lim 00==+→→x xx x x x （等价替换）注：也可用洛必达法则22．535sec 53cos 3lim 5tan 3sin lim2-==→→x x x x x x ππ23．)2(sin cos lim 41)2)(4(sin cos lim )2(sin ln lim2222ππππππ-⋅=--⋅=-→→→x x xx x x x x x x x 812141sin 2)2(cos sin lim412-=-⋅=+-⋅-=→x x x x x ππ 24．nm n m a x nn m m a x a nm nx mx a a x a x ---→→==≠--11lim )0(lim 25．xx x x xx x xx x x x x 2sec 22tan 7tan 7sec 7lim 2tan 2sec 27tan 7sec 7lim 2tan ln 7tan ln lim 2202200⋅==+++→→→ 17cos 2cos lim 2sec 7sec lim 2sec 2277sec 7lim 220220220===⋅=+++→→→xx x x x x x x x x x 26．1cos lim sin cos )1ln(lim cos 1cos )1ln(lim cos sec )1ln(lim22022022020==+=-+=-+→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x 27．a aa xx x x e xa x a =+=+⋅∞→∞→)1(lim )1(lim28．2111lim 11lim )1112(lim )1112(lim 12122121-=+-=--=-+--=---→→→→x x x x x x x x x x x x二、计算下列函数的导数： 1．531-=x y 2．x x e y x+=13．1004)13(-=x y 4．122-+-=x xe y5．bx e y ax sin =（b a ,为常数） 6．3cos 12e ey x x ++= 7．xxy --+=1111 8．x x x x y 3cot sin )32(252-+-+=9．)1lg()1(22x e x y x -++=- 10．)1ln(2x x y ++= 11．xy 1tan 2= 12． 322)13(+=x y13．4)sin(=++xy e y x （求y '） 14．4)sin(=++xy e y x （求y '）答案：1．2312121)53(23)53()53(21])53[(------='-⋅--='-='x x x x y2．x e x x x x x e x x e y x xx 23121)1()()(12211+-=⋅++-⋅='+'='3．99434994)13(1200)13()13(100-='-⋅-='x x x x y 4．1221222)22()12(-+--+-+-='-+-⋅='x xx xe x x x e y5．)cos sin ()(sin sin )()sin (bx b bx a e bx e bx e bx e y ax ax ax ax +='+'='='6．x x x x x x e x e x e e y -----=+-'='+'+'='sin )2(ln 20)(cos 2ln 2)()()2(cos cos 3cos 7．xxx x x x xxy --=-+---=--+=1211111111 22)1(1)1()1()1(212)1(2x x x x x x x xxx y -+-=-'----='--='8．)3(cot )(sin ])32[(252'-'+'-+='x x x x yx x x x x x x x x x x x x 3csc 3cos sin 2)32)(22(533csc cos sin 2)32()32(52422242++-++=⋅++'-+⋅-+=9．])1[lg(])1[(22'-+'+='-x e x y x10ln )1(2)1(2)1(10ln )1(1))(1()1(222222x x e x xe x x e x e x xx x x --+-='--+'++'+=----10．])1[ln(2'++='x x y2222222211])1(1211[11])1(1[11)1(11x x xx x x x x x x x x +='+⋅++++='++++='++++=11．)1(1sec 2ln 2)1(1sec 2ln 2)1(tan 2ln 2)2(221tan 21tan 1tan1tanxx x x x y x x xx-⋅⋅='='⋅='='12．3122312322)13(4)13()13(32])13[(--+='+⋅+='+='x x x x x y13．4)sin(=++xy e y x解：方程两边同时对x 求导xyxy xy xy xy xy xe y x ye y x y ye y x xe y x y y x y e y y x xy e y x y x ++++-='∴++-=++'='+⋅+'+⋅+='⋅+'+⋅+)cos()cos( ])[cos(])[cos( 0)()1()cos( 0)()()cos(14．（与13同）三、确定下列函数的单调区间： 1．7186223---=x x x y函数在]1,(--∞、),3[+∞内单调递增，在]3,1[-内单调递减。
一元函数微分学典型例题
一元函数微分学典型例题1. 有关左右极限题求极限⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++→x x sin e e lim x x x 41012 ● 根据左右极限求极限，● 极限xx e lim 1→，x x sin lim x 0→，x tan lim x 2π→，x cot lim x 0→，x cot arc lim x 0→，x arctan lim x 10→都不存在， ●A )x (f lim A )x (f lim )x (f lim x x x =⇔==∞→-∞→+∞→● 【 1 】2. 利用两个重要极限公式求1∞型极限xsin x )x (lim 2031+→● 0→)x (ϕ，e ))x (lim()x (=+ϕϕ11●A )x (f lim =0→)x (ϕ，A )x (f )x (e ]))x (lim[(=+ϕϕ11● 【6e 】3. 等价无穷小量及利用等价代换求极限 当0x +→(A)1-(B) ln(C) 1.(D) 1-.● 等价无穷小定义：如果1=αβlim，则称β与α失等价无穷小，记为α∽β， ● 0→x 时，（1）nx x ax a xx x x x x x xx e x x x x x nx x ≈-+≈-≈-+≈-≈---+≈-≈+≈≈≈≈1111121161111123ln )(cos sin )ln(arctan tan sin αα● 当0→)x (ϕ时，)x (sin ϕ∽)x (ϕ，11-+n)x (ϕ∽n)x (ϕ∽∽● 【 B 】4. 利用单调有界准则求极限设数列{}n x 满足n n x sin x ,x =<<+110π。
证明：极限n n x lim ∞→存在，计算11nxn n n x x lim ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→● 利用单调有界准则球数列或者函数极限的步骤：1。
证明数列或函数单调；2。
证明数列或函数是有界；3。
等式取极限求出极限。
● 定理单调有界数列必有极限还可以叙述为单调递减有下界数列必有极限，或单调递增有上界数列必有极限。
考研数学二(一元函数微分学)历年真题试卷汇编12(题后含答案及解析)
考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编12(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(87年)设f(x)在x=a处可导，则等于A．f’(a)B．2f’(a)C．0D．f’(2a)正确答案：B解析：知识模块：一元函数微分学2．(88年)f(x)=+6x+1的图形在点(0，1)处切线与x轴交点坐标是A．B．(一1，0)C．D．(1，0)正确答案：A解析：f’(x)=x2+x+6，f’(0)=6，(0，1)点切线方程为y—1=6x，令y=0得x=即此切线与x轴的交点坐标为知识模块：一元函数微分学3．(88年)若函数y=f(x)，有f’(x0)=则当△x→0时，该函数在x=x0处的微分dy是A．与△x等价无穷小．B．与△x同阶无穷小．C．比△x低阶的无穷小．D．比△x高阶的无穷小．正确答案：B解析：dy=f’(x0)△x=则当△x→0时，dy与△x是同阶无穷小．知识模块：一元函数微分学4．(88年)设函数y=f(x)是微分方程y”一2y’+4y=0的一个解，且f(x0)＞0，f’(x0)=0，则f(x)在x0处A．有极大值．B．有极小值．C．某邻域内单调增加．D．某邻域内单调减少．正确答案：A解析：由题设知f”(x)一2f’(x)+4f(x)≡0，令x=x0得f”(x0)一2f’(x0)+4f(x0)=0，即f”(x0)+4f(x0)=0又f(x0)＞0，则f”(x0)＜0．故f(x)在x0处取得极大值．知识模块：一元函数微分学5．(89年)当x＞0时，曲线A．有且仅有水平渐近线．B．有且仅有铅直渐近线。
C．既有水平渐近线，也有铅直渐近线．D．既无水平渐近线，也无铅直渐近线．正确答案：A解析：由于又则原曲线有且仅有水平渐近线y=1 知识模块：一元函数微分学6．(89年)若3a2一5b＜0．则方程x3+2ax3+3bx+4c=0A．无实根．B．有唯一实根．C．有三个不同实根．D．有五个不同实根．正确答案：B解析：由于x5+2ax3+3bx+4c=0为5次方程，则该方程至少有一个实根(奇次方程至少有一实根)．令f(x)=x5+2ax3+3bx+4c，f’(x)=5x4+6ax2+3b而△=(6a)2一60b=12(3a2一5b)＜0，则f’(x)≠0因此,原方程最多一个实根，故原方程有唯一实根．知识模块：一元函数微分学7．(89年)设两函数f(x)和g(x)都在x=a处取得极大值，则函数F(x)=f(x)g(x)在x=a处A．必取极大值．B．必取极小值．C．不可能取极值．D．是否取极值不能确定．正确答案：D解析：本题的关键在于由题设可知在x=a的某邻域内有f(a)≥f(x)，g(a)≥g(x)，由此能否得到g(a).f(a)≥g(x)f(x)或g(a)f(a)≤g(x)f(x)，这在一般情况下是得不到此结论的．若取f(x)=一(x一a)2，g(x)=-(x—a)2，显然f(x)和g(x)在x=a处取极大值0，但f(x)g(x)=(x一a)4在x=a处取极小值．则(A)(C)都不正确：若取f(x)=1一(x—a)2，g(x)=1一(x一a)2，则f(x)和g(x)都有极大值1，而f(x)g(x)=[1一(x—a)2]2在x=a仍有极大值1，则(B)也不正确，从而只有(D)对．知识模块：一元函数微分学8．(89年)设d(x)在x=a的某个邻域内有定义，则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是A．B．C．D．正确答案：D解析：由于h→+∞时存在只能得出f(x)在a点的右导数存在，不能得出a点导数存在，(B)(C)明显不对，因为f(x)在a点如果没定义，(B)(C)中的两个极限都可能存在，但函数若在a点无定义，则在该点肯定不可导．则应选(D)．知识模块：一元函数微分学9．(90年)已知函数f(x)具有任意阶导数，且f’(x)=[f(x)]2．则当n为大于2的正整数时,f(x)的n阶导数f(n)(x)是A．n![f(x)]n+1B．n[f(x)]n+1C．[f(x)]2nD．n![f(x)]2n正确答案：A解析：等式f’(x)=[f(x)]2两边对x求导得f”(x)=2f(x)f’(x)=2[f(x)]2 f”‘(x)=2×3[f(x)]2f’(x)=2×3[f(x)]4…f(n)(x)=[f(x)]n-1n! 知识模块：一元函数微分学10．(90年)设F(x)=其中f(x)在x=0处可导,f’(0)≠0，f(0)=0，则x=0是F(x)的A．连续点．B．第一类间断点．C．第二类间断点．D．连续点或间断点不能由此确定．正确答案：B解析：由于f(0)=0，f(x)在x=0处可导，则而F(0)=f(0)=0，则极限存在但不等于F(0)，故x=0为F(x)的第一类间断点．知识模块：一元函数微分学11．(91年)若曲线y=x2+ax+b和2y=一1+xy3在点(1，-1)处相切．其中a，b是常数．则A．a=0，b=一2B．a=1，b=一3C．a=-3，b=1D．a=-1，b=一1正确答案：D解析：由于曲线y=x2+ax+b和2y=-1+xy3在点(1，一1)处相切，则在点(1．一1)处两曲线切线斜率相等，且两曲线同时过点(1．一1)．y’=2x+a．y’|c=1=2+a2y’=y3+3xy2y’，y’|x=1=1则2+a=1，a=一1又一1=1+a+b=1一1+b=b，b=一1所以应选(D)．知识模块：一元函数微分学12．(91年)设函数f(x)在(一∞，+∞)内有定义．x0≠0是函数f(x)的极大点，则A．x0必是f(x)的驻点．B．一x0必是一f(一x)的极小点．C．一x0必是-f(x)的极小点．D．对一切x都有f(x)≤f(x0)．正确答案：B 涉及知识点：一元函数微分学填空题13．(87年)设yln(1+ax)，则y’=______，y”=______．正确答案：解析：由y=ln(1+ax)知，知识模块：一元函数微分学14．(87年)曲线y=arctanx在横坐标为1的点处的切线方程是_______；法线方程是_______．正确答案：解析：则x=1处切线方程为，法线方程为=一2(x一1)．知识模块：一元函数微分学15．(88年)设f(t)=则f’(t)=______．正确答案：(1+2t)e2t．解析：则f’(t)=e2t+2te2t=(1+2t)e2t 知识模块：一元函数微分学16．(88年)正确答案：1解析：知识模块：一元函数微分学17．(89年)设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n)．则f’(0)=______．正确答案：n!．解析：∵f’(x)=(x+1)(x+2)…(x+n)+x(x+2)(x+3)…(x+n) +…+x(x+1)(x+2)…(x+n-1)∴f’(0)=n! 知识模块：一元函数微分学18．(89年)设tany=x+y．则dy=_____。
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考研数学一-一元函数微分学(总分：146.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：60，分数：60.00)1.下列结论正确的是1.00）A.B.C.D.2. 1.00）A.B.C.D.3. 1.00）A.B.C.D.4.下列命题①若f(x)，g(x)在x=x0同时可导，且f(x0)=g(x0)，则f'(x0)=g'(x0)②若x∈(x0-δ，x0+δ，x≠x0时f(x)=g(x)，则f(x)与g(x)在x=x0有相同的可导性(x0-δ，x0+δ)，当x∈(x0-δ，x0+δ)时f(x)=g(x)，则f(x)与g(x)在x=x0有相同的可导性．若可导，则f'(x0)=g'(x0)④设函数f(x)在[x0，x0+δ]上连续，在(x0，x0+δ内可导(δ＞0)1.00）A.B.C.D.5.下列命题①f(x)在x0的微分是一个雨数②设f(x)在(a，b)可微，则f(x)的微分随x及△x的变化而变化③du与△u一定相等④函数y=f(x)的微分dy=f'(x)△x中的△x一定要绝对值很小中正确的是(A) ①、②． (B) ①、③． (C) ②、④． (D) ③、④．（分数：1.00）A.B.C.D.6.设u=φ(x)在(a，b)可微，则φ(x)=C1x+C2 (c1，c2 1.00）A.B.C.D.7.下列命题正确的是(A) 若导函数有不连续点，则只可能是第二类间断点．(B) 若函数f(x)在(a，+∞)(C) 设函数f(x) 1.00）A.B.C.D.8.下列命题正确的是(A) 若函数f(x)在(-∞，+∞)内处处可微，则其导函数f'(x)必处处连续．(B) 若函数f(x)在点x0可微，则当△x→0时，△y与dy是同阶无穷小．(C) 设函数y=f(u)二阶可导，则由dy=f'(u)du知d2y=d[f'(u)du]=[f'(u)du]'du=f"(u)(du)2．(D) 若函数f(x)在点x0可导，则f(x)在点x0可微分．（分数：1.00）A.B.C.D.9.设k为常数，函数y=f(x)在点x=x0 1.00）A.B.C.D.10.若函数f(x)在其可导点x处自变量有增量△x=0.2时，对应的函数值增量的线性主部等于0.8，则f'(x)等于(A) 0.4． (B) 0.16． (C) 4． (D) 1.6．（分数：1.00）A.B.C.D.11.若函数y=f(x)在x0处的导数不为0.1，则当△x→0时，该函数在x=x0处的微分dy是(A) 与△x等价的无穷小． (B) 与△x同阶但非等价的无穷小．(C) 比△x低阶的无穷小． (D) 比△x高阶的无穷小．（分数：1.00）A.B.C.D.12.设f(x)，g(x)定义在(-1，1)上，且都在x=0 1.00）A.B.C.D.13. 1.00）A.B.C.D.14. 1.00）A.B.C.D.15.设函数f(x)在x=0处连续可导，则f(|x|)在x=0处(A) 连续且可导． (B) 连续但不一定可导．(C) 一定不可导． (D) 不一定连续．（分数：1.00）A.B.C.D.16.设f(x)在x=0的一个邻域内有定义，f(0)=0，且当x→0时，f(x)是x2的同阶无穷小，则f(x)在x=0处(A) 不连续． (B) 连续但不可导．(C) 可导且f'(0)=0． (D) 可导且f'(0)≠0．（分数：1.00）A.B.C.D.17.设函数f(x)在区间(a-δ，a+δ)内连续，其中常数δ＞0，又f(a)=0，则函数g(x)=|z-a|f(x)在x=a 处(A) 不连续． (B) 连续但不可导．(C) 可导但g'(a)≠0 (D) 连续且g'(a)=0．（分数：1.00）B.C.D.18.设f(x)在x0处存在左、右导数，则f(x)在点x0处(A) 可导． (B) 连续． (C) 不可导． (D) 不一定连续．（分数：1.00）A.B.C.D.19.(B) f(x)在x=x0处必连续，但未必可导．1.00）A.B.C.D.20.函数f(x)=(x2-1)|x3-x|不可导点的个数是(A) 3． (B) 2． (C) 1． (D) 0．（分数：1.00）A.B.C.D.21. 1.00）A.B.C.D.22.设f(x)在x=x0 1.00）A.B.C.D.23.设f(x)在x=0的一个邻域内有定义，且f(0)=0，则f(x)在x=0可导等价于1.00）A.B.C.24.设F(x)=g(x)φ(x)，φ(x)在x=a连续，但不可导，又g'(a)存在，则g(a)=0是F(x)在x=a处可导的(A) 充要条件． (B) 充分非必要条件．(C) 必要非充分条件． (D) 既非充分又非必要条件．（分数：1.00）A.B.C.D.25.设f(x)在x0处可导，g(x)在x0处不连续，则f(x)g(x)在x0处(A) 必不连续． (B) 可能连续必不可导．(C) 可能可导但导数必不连续． (D) 可能存在任意阶导数．（分数：1.00）A.B.C.D.26.下列说法正确的是(A) 设u=φ(x)在x=x0处可导，而y=f(u)在u0=φ(x0)处不可导，则复合函数f[φ(x)]在x=x0处一定不可导．(B) 设u=φ(x)在x=x0处不可导，而y=f(u)在u0=φ(x0)处可导，则复合函数f[φ(x)]在x=x0处一定不可导．(C) 设u=φ(x)在x=x0处不可导，而y=f(u)在u0=φ(x0)处也不可导，则复合函数f[φ(x)]x=x0处一定不可导．(D) 函数u=φ(x)在x=x0处或函数y=f(u)在u0=φ(x0)处不可导时，复合函数f[φ(x)]在x=x0处未必不可导．（分数：1.00）A.B.C.D.27. 1.00）A.B.C.D.28.设α 1.00）A.B.C.D.29.设函数f(x)处处有定义，在x=0处可导，且f'(0)=1，并对任何实数x和h，恒有f(x+h)=f(x)+f(h)+2hx，则f'(x)等于(A) 2x+1． (B) x+1． (C) x． (D) e x．（分数：1.00）A.B.C.D.30.设f(x) 1.00）A.B.C.D.31.设f(x) 1.00）A.B.C.D.32.下列命题①设函数f(x)在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则至少有一点ξ∈(a，b)，使f'(ξ)=0②设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且有一点ξ∈(a，b)，使f'(ξ)=O，则必存在x1，ξ∈(a，b)，使得f(x1)=f-(x2)③设函数f(x)在(a，b)ξ∈(a，b)，使f'(ξ)=0④设函数f(x)在[a，+∞)上连续，在(a，+∞) 1.00）A.B.C.D.33.下列结论正确的是(A) 若函数f(x)在(a，b)内可导，则至少有一点ξ∈(a，b)(B) 若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则对任意的ξ∈(a，b)，必存在不同的x1，x2∈(a，b)，使f(x2)-f(x1)=f'(ξ)(x2-x1)成立．(C) 设不恒为常数的函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则在(a，b)内至少存在一点ξ，使f'(ξ)＞0．(D) 1.00）A.B.C.D.34.下列结论正确的是(A) 若f'(x0)＞0，则在x0的某一邻域内，函数f(x)必为单调增加函数．(B) 若函数f(x)为(a，b)内的严格单调增加函数，且f(x)在(a，b)内可导，则必有f'(x)＞0．(C) 若f'(x0)＞0，则函数f(x)在x0的某一邻域内必有f(x)＞0成立．(D) 若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f'(x)在(a，b)内只有有限个点的值为零，其余为正，则f(x)在[a，b]上一定是严格单调增加的．（分数：1.00）A.B.C.D.35.设y=f(x)二阶可导，f'(x0)=0，f"(x)＜0，并设△y=f(x1+△x)=f(x1)，dy=f'(x1)dx，x1＜x0，△x=dx＜0，则(A) dy＞△y＞0． (B) dy＞△y＞0． (C) △y＜dy＜0． (D) △y＞dy＞0．（分数：1.00）A.B.C.D.36.设f(x)在x0可导且f'(x0)＞0，则存在δ＞0，使得(A) f(x)在(x0-δ，x0+δ)内单调上升．(B) f(x)＞f(x0)，x∈(x0-δ，x0+δ)，x≠x0．(C) d(x)＞f(x0)，x∈(x0，x0+δ)．(D) f(x)＜f(x0)，x∈(x0，x0+δ)．（分数：1.00）A.B.C.D.37.设f(0)=0，f'(x)在[0，+∞) 1.00）A.B.C.D.38.下列结论正确的是(A) 若x0是函数f(x)的极小值点，则在x0的某一邻域内，f(x)在x0的左侧单调减少，而在右侧单调增加．(B) 若x0为函数f(x)的极值点，则必有f'(x0)=0．(C) 若偶函数f(x)具有连续的二阶导数，且f"(0)＞0，则点x=0一定是f(x)的极小值点．(D) 若f'(x0)=0，但f"(x0)不存在，则点x=x0不可能为函数f(x)的极值点．（分数：1.00）A.B.C.D.39.下列结论不正确的是(A) 设f(x)在[a，b]可导，f'+(a)＞0，f'-(b)＞0，f(b)≥f'(b)，则f'(x)在(a，b)至少有两个零点．(B) 设f(x)在区间(a，b)二阶可导，且f"(x)＞0(＜0)，又x0∈(a，b)，使得f'(x0)=0，则f(x0)是f(x)在(a，b)上的最小(大)值．(C) 设f(x)在(a，b)连续，又f(x)在(a，b)有唯一的极值点x=x0．若x=x0是极小值(极大值)点，则f(x0)是f(x)在(a，b)的最小值(最大值)．(D) 设函数f(x)在[a，b]上连续，且f(a)=f(b)，但f(x)≠C(常数)，则f(x)在(a，b)既有最大值又有最小值．（分数：1.00）A.B.C.D.40.若f(x)在点x0处取得极小值，则下列结论正确的是(A) 存在小正数δ，f(x)在(x0-δ，x0)内单调减少，在(x0，x0+δ)内单调增加．(B) 存在小正数δ，在(x0-δ，x0)内f'(x)＜0，在(x0，x0+δ)内f'(x)＞0．(C) f'(x0)=0，且f"(x0)＞0．(D) 存在小正数δ，对任意的x∈(x0-δ，x0)∪(x0，x0+δ)，恒有f(x)＞f(x0)．（分数：1.00）A.B.C.D.41.下列命题中正确的是(A) 设x0∈(a，b)，函数f'(x)满足f'(x)＞0(a＜x＜x0)和f'(x)＜0(x0＜x＜b0)，则f(x)在点x=x0处取得它在(a，b)上的最大值．(B) 设f(x)在点x=x0处取得极大值，则存在正数δ＞0，使函数在(x0-δ，x0)中单调增加，在(x0，x0+δ)中单调减少．(C) 设f(x)在区间(-a，a)内为偶函数(其中a为大于零的常数)，则x=0必是f(x)的一个极值点．(D) 设f(x)在区间(-a，a)内可导且为偶函数(其中a为大于零的常数)，则f'(0)=0．（分数：1.00）A.B.C.D.42.设f(x)在x=0的某邻域内有二阶连续导数，且f'(0)=0 1.00）A.B.C.D.43.下列命题不正确的是(A) 设(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点，又f"(x0)存在，则f"(x0)=0．(B) 设f"(x0)=0 1.00）A.B.C.D.44.设函数f(x)，g(x)在x=0 1.00）A.B.C.D.45.设f(x) 1.00）A.B.C.D.46. 1.00）A.B.C.D.47.设偶函数f(x)具有二阶连续导数，且f"(0)≠0，则x=0(A) 不是f(x)的极值点．(B) 一定是f(x)的极值点．(C) 不是f(x)的驻点．(D) 是否为f(x)的极值点由题没的条件还不能确定．（分数：1.00）A.B.C.D.48.设f(x)在x=0处3阶可导，且f'(0)=f"(0)=0 1.00）A.B.C.D.49.设ab＜0，且f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内除x=0外f'(x) 1.00）A.B.C.D.50.设函数f(x)=(x-x0)nφ(x)(n∈N)，其中φ(x)在点x0处连续，且φ(x0)＞0，则(A) f(x)在x0处必取极值．(B) f(x)在x0处必无极值．(C) 当n为偶数时，f(x)在x0处必取极小值．(D) 当n为奇数时，f(x)在x0处必取极大值．（分数：1.00）A.B.C.D.51.设f(x)在[a，b]有连续导数，x0∈(a，b)是f(x)在(a，b)的唯一驻点，又f'(a)＞0，f'(b)＜0，则点x=x0是(A) f(x)的极小值点． (B) f(x)在[a，b]的最小值点．(C) f(x)在[a，b]的最大值点． (D) f(x)的极大值点，但不是f(x)在[a，b]的最大值点．（分数：1.00）A.B.C.D.52.设-f(x0)=0，f"(x0)＞0，则必定存在一个正数δ，使得(A) 曲线y=f(x)在区间(x0-δ，x0+δ)内是凹的．(B) 曲线y=f(x)在区间(x0-δ，x0+δ)内是凸的．(C) 曲线y=f(x)在(x0-δ，x0]上单调减少，在[x0，x0+δ)上单调增加．(D) 曲线y=f(x)在(x0-δ，x0]上单调增加，在[x0，x0+δ)上单调减少．（分数：1.00）A.B.C.D.53.下列命题正确的是(A) 如果f(x)在x0处可微，则存在δ＞0，f(x)在x0的δ邻域内连续．(B) 如果f'(x)在x0处连续，则存在δ＞0，f(x)在x0的δ邻域内可导．(C) 如果x0是f(x)的极值点，则f'(x0)=0．(D) 如果f"(x0)＞0，则存在δ＞0，曲线y=f(x)在x0的δ邻域内是凹的．（分数：1.00）A.B.C.D.54.下列命题正确的是(A) 如果f(x)在x0点不可微，则f(x)在x0处不连续．(B) 如果f(x)在x0点有f"(x0)≠0，则x0是f(x)的极值点．(C) 如果f"(x0)＞0，则在x0点的附近曲线y=f(x)是凹的．(D) 如果f(x)在x0点可微，且f'(x0)≠0，则x0不是f(x)的极值点．（分数：1.00）A.B.C.D.55.设y=f(x)是过原点的一条曲线，且f'(0)，f"(0)存在，又知有一条抛物线y=g(x)与曲线y=f(x)在原点相交，在该点处有相同的切线和曲率，且在该点邻近此二曲线有相同的凹向，则必有1.00）A.B.C.D.56.设f(x)有连续的二阶导数，其导函数y=f'(x)的图像如右图所示，令函数y=f(x)的驻点的个数为p，极值点的个数为q，曲线y=f(x)拐点的个数为r，则1.00）A.B.C.D.57.方程3xe x+1=0在(-∞，+∞)上实根的个数为(A) 0． (B) 1．(C) 2． (D) 不少于3．（分数：1.00）A.B.C.D.58. 1.00）A.B.C.D.59.设f(x)在(-∞，+∞)内可导，且f'(x)+f(x)＞0，则下列命题正确的是(A) f(x)=0必有实根． (B) f(x)=0必无实根．(C) f(x)=0若有实根必唯一． (D) f(x)=0若有实根，则不止一个．（分数：1.00）A.B.C.D.60.设f(x)一阶可导，则下述结论正确的是(A) 若f(x)只有一个零点，则f'(x)必定没有零点．(B) 若f'(x)至少有一个零点，则至少f(x)有两个零点．(C) 若f(x)没有零点，则f'(x)至多有一个零点．(D) 若f'(x)没有零点，则f(x)至多有一个零点．（分数：1.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：19，分数：19.00)61.设函数f(x)在x=00＜|x|＜δ 1.00）填空项1:__________________62.函数y=f(x)和y=g(x)的图形如2-1图所示，则复合函数f[g(x)]在z=1处的导数等于______．1.00）填空项1:__________________63. 1.00）填空项1:__________________64.设f(x)在x=1 1.00）填空项1:__________________65. 1.00）填空项1:__________________66.试说明下列事实的几何意义：(1) 看函数f(x)，g(x)在x0可导且f(x0)=g(x0)，f'(x0)=g'(x0)，则其几何意义是______；(2) 若函数f(x)在x0存在f'+(x0)，f'-(x0)，但f'+(x0)≠f'-(x0)，则其几何意义是______；(3) 若函数f(x)在x=x0 1.00）填空项1:__________________67.设函数f(x)在x=2 1.00）填空项1:__________________68.若函数)y=y(x)南方程(sinx)y=(cosy)x 1.00）填空项1:__________________69.设函数f(x)有反函数g(x)，且f(a)=3，f'(a)=1，f"(a)=2，则g"(3)=______．（分数：1.00）填空项1:__________________70. 1.00）填空项1:__________________71. 1.00）填空项1:__________________72.设y=arctanx，则y(99)(0)=______．（分数：1.00）填空项1:__________________73.溶液白深18cm，顶直径12cm的正网锥形漏斗中漏入一直径为10cm的圆柱形筒中，开始时漏斗中盛满了溶液，已知当溶液在漏斗中深为12cm时，其表面下降的速率为1cm/min，则此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为______．（分数：1.00）填空项1:__________________74. 1.00）填空项1:__________________75. 1.00）填空项1:__________________76. 1.00）填空项1:__________________77.如果曲线y=ax6+bx4+cx2在拐点(1，1)处有水平切线，则a=______，b=______，c=______．（分数：1.00）填空项1:__________________78. 1.00）填空项1:__________________79.心形线r=a(1+cosθ)(a＞0) 1.00）填空项1:__________________三、解答题(总题数：67，分数：67.00)80.设对任意x恒有f(x+1)=f2(x)，且f(0)=f'(0)=1，求f'(1)．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________81.设f(x) 1.00）__________________________________________________________________________________________82.设 1.00）__________________________________________________________________________________________83.设f(x)在x=1 1.00）__________________________________________________________________________________________84.设函数f(x)在x=0 1.00）__________________________________________________________________________________________ 85.设f(x)在(-∞，+∞)内有定义，且对任意x，y满足f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)，其中g(x)=e sinx-xcosx 1.00）__________________________________________________________________________________________86.已知函数f(x)在x=0 1.00）__________________________________________________________________________________________87.设f(x)=minsinx，cosx(-∞＜x＜+∞) 1.00）__________________________________________________________________________________________88. 1.00）__________________________________________________________________________________________89.设函数f(x)具有二阶导数，且f'≠0，求由方程x2e y=e f(y)确定的隐函数y=y(x)的一阶、二阶导数．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 90.求下列函数的n阶导数(n≥1)：(Ⅰ) y=ln(6x2+7x-3)； (Ⅱ) y=xcos4x．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________91. 1.00）__________________________________________________________________________________________92.a，b为常数．问a，b为何值时，f(x)连续且可导，并求出f'(x)．-(1)=2，所以f'(1)=2．1.00）__________________________________________________________________________________________ 93.设f(x)=arcsinx，(Ⅰ) 写出f(x)在区间[0，b](0＜b＜1)上的拉格朗日中值公式；(Ⅱ) 证明公式中的ξ由b唯一确定；(Ⅲ) 1.00）__________________________________________________________________________________________94.设函数f(x)在(-∞，+∞) 1.00）__________________________________________________________________________________________ 95.设f(x)与g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，求证：存在ξ∈(a，b)，使得f'(ξ)+g(ξ)f(ξ)=0．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 96.设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且1.00）__________________________________________________________________________________________97.设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)·f(b)＞0 1.00）__________________________________________________________________________________________ 98.设0＜a＜b，f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，证明：在(a，b)内至少存在一点ξ，使得1.00）__________________________________________________________________________________________ 99.已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(1)=0，证明：存在ξ∈(0，1)，使得1.00）__________________________________________________________________________________________100.设f(x)在[0，1]可导，f(0)=0，f'(1)=0，求证：存在ξ∈(0，1)，使得f'(ξ)=f(ξ)．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 101.设f(x)在[0，1]上有二阶导数，且f(1)=f(0)=f'(1)=f'(0)=0，证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)=f(ξ)．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 102.设f(x)在[a，b]上可微，且f'(a)＜f'(b)，证明：对任一适合．f'(a)＜c＜f'(b)的c，存在ξ∈(a，b)，使f'(ξ)=c．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 103.设a＞0，f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，又f(a)=0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得1.00）__________________________________________________________________________________________104.设函数f(x)在闭区间[0，1]上可微，证明：在(0，1)内至少存在一点ξ，（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________105.设f(x)在[0，1](Ⅰ) 在(0，1)内至少有一点ξ 1.00）__________________________________________________________________________________________106.设g(x)在区间[a，b](Ⅰ) f(x)在点a处右连续，在点b处左连续；(Ⅱ) 在(a，b)内至少有一点ξ 1.00）__________________________________________________________________________________________ 107.设f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=1，证明：在(a，b)内存在两点ξ，η，使得(e2a+e a+b+e2b)[f(ξ)+f'(ξ)]=3e3η-ξ．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 108.设函数f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)，证明：对任何0＜C＜1，存在ξ，η满足0＜ξ＜η＜1，使得cf'(ξ)+(1-c)f'(η)=0．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________109.设函数f(x)在[0，π] 1.00）__________________________________________________________________________________________ 110.设函数f(x)在[a，b]上可微，f'(a)＜0，f'(b)＞0，求证：在区间(a，b)内必有一点ξ，使得f'(ξ)=0．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________111.若函数f(x)在[0，+∞)上连续，在(0，+∞) 1.00）__________________________________________________________________________________________ 112.设f'(x)在[a，b]上一阶可导，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)，f'(a)f'(b)＞0，证明：至少存在一点ξ∈(a，b)，使f"(ξ)=0．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 113.设a＜c＜b，f(x)，g(x)都在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，f(C)=g(C)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=g"(ξ)．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 114.设f(x)在[a，b]上有二阶导数，且f(a)=f(b)，证明：至少存在一点ξ∈(a，b)，使得1.00）__________________________________________________________________________________________115.若f(x) 1.00）__________________________________________________________________________________________ 116.已知函数g(x)在[a，b]上连续，函数f(x)在[a，b]上满足_f"(x)+g(x)f'(x)-f(x)=0，又f(a)=f(b)=0，证明：f(x)在[a，b]上恒为常数．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________117.确定常数a与b 1.00）__________________________________________________________________________________________118.确定常数A与B的值，使得f(x)=x-(A+Bcosx)sinz当x→0时是x数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 119.设f'(-x)=x[f'(x)-1]且f(0)=0，求f(x)的极值．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 120.设函数f'(x)=x+acosx(a＞1)在区间(0，2π)内有极小值，且极小值为0，求函数在区间(0，2π)内的极大值．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________121. 1.00）__________________________________________________________________________________________122. 1.00）__________________________________________________________________________________________123.设曲线y=ax2+bx+c 1.00）__________________________________________________________________________________________124.试求通过点(1，1)的A线y=f(x) 1.00）__________________________________________________________________________________________125. 1.00）__________________________________________________________________________________________ 126.证明：当x＞0时，(x2-1)lnx≥2(x-1)2．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________127. 1.00）__________________________________________________________________________________________128.证明：当x＞0 1.00）__________________________________________________________________________________________ 129.证明：当x∈(-∞，+∞)日时e x+e-x≤2+x(e x-e-x)．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________130.设a＞1，n≥1, 1.00）__________________________________________________________________________________________131.设1＜a＜b 1.00）__________________________________________________________________________________________132.设b＞a＞0 1.00）__________________________________________________________________________________________ 133.证明：(a+b)e a+b＜ae2a+be2b当a≥0，b≥0，且a+b＞0，a≠b时成立．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________134. 1.00）__________________________________________________________________________________________135.设函数f(x)在(-∞，+∞)上有界并具有连续导数，且存在常数M＞0有|f(x)+f'(x)|≤M 1.00）__________________________________________________________________________________________ 136.设x∈[0，2]时，有|f(x)|≤1，|f"(x)|≤1，证明：对于x∈[0，2]，有|f'(x)|≤2．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________137.设f(x)在区间[0，1]上二阶可导且有f(0)=f(1)=0，minf(x)=-1，证明：1.00）__________________________________________________________________________________________ 138.设不恒为常数的函数f(x)在闭区问[a，b]上连续，在开区问(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，证明：在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)＜0．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________139. 1.00）__________________________________________________________________________________________ 140.设a为常数，讨论方程x2=ae x的实根的个数及每个根所在的范围．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________141. 1.00）__________________________________________________________________________________________142.设f(x)在(-∞，a) 1.00）__________________________________________________________________________________________143.设f(x)在x≥a时连续，在x＞a 1.00）__________________________________________________________________________________________144.设f(x)在[0，1]上连续，且(x)＜1 1.00）__________________________________________________________________________________________ 145.证明：e x+e-x+2cosx=5恰有两个实根．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 146.设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内二阶可导，f(0)=f(1)=0，对任意的x∈(0，1)，f"(x)＜0，且f(x)在[0，1]上的最大值为M＞0，证明：对任何常数0＜k＜1，存在唯一的ξ∈(0，1)，使得f'(ξ)=kM．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________。
一元函数与微分方程
一元函数与微分方程当然可以！以下是根据“一元函数与微分方程”主题的20道试题，包括选择题和填空题，并且每道题目都有详细的序号介绍：1. 选择题：下列哪个不是一元函数的例子？A. \( y = 2x + 3 \)B. \( y = \sin(x) \)C. \( x^2 + y^2 = 1 \)D. \( y = |x| \)2. 填空题：函数 \( y = e^x \) 的导数是 \_\_\_\_。
3. 选择题：微分方程 \( \frac{dy}{dx} = 2x \) 的解是？A. \( y = x^2 \)B. \( y = 2x + C \)C. \( y = e^{2x} \)D. \( y = \ln(2x) \)4. 填空题：微分方程 \( \frac{dy}{dx} = \cos(x) \) 的通解是 \_\_\_\_。
5. 选择题：函数 \( y = \frac{1}{x} \) 的定义域是？A. \( (-\infty, 0) \)B. \( (0, \infty) \)C. \( (-\infty, 0) \cup (0, \infty) \)D. \( [0, \infty) \)6. 填空题：微分方程 \( y' - 3y = 0 \) 的通解是\_\_\_\_。
7. 选择题：函数 \( y = \ln(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的导数是？A. \( 1 \)B. \( \frac{1}{x} \)C. \( 0 \)D. \( \infty \)8. 填空题：微分方程 \( \frac{dy}{dx} = 4x^3 \) 的特解满足初始条件 \( y(0) = 2 \)，则特解是 \_\_\_\_。
9. 选择题：函数 \( y = \sqrt{x} \) 的导数是？A. \( \frac{1}{\sqrt{x}} \)B. \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \)C. \( \frac{1}{2x} \)D. \( \sqrt{x} \)10. 填空题：微分方程 \( \frac{dy}{dx} = e^x \) 的特解是 \_\_\_\_。
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第二章一元函数微分学 历年试题1. 利用导数的定义求函数在某点的导数值1994——2012年共考了8次，考到的概率P=42.1%（1）（0119）设函数f(x)在x=0处可导，且.x)0(f )x 3(f lim,1)0(f 0x -='→求（2）（0222）设函数f(x)在x=1处可导，且.x)1(f )x 21(f lim,1)1(f 0x -+='→求（3）（0303）函数f(x)在x 0处可导，且h)x (f )h 2x (f lim,2)x (f 000h 0-+='→则= （ ）A.0B.1C.2D. 4（4）（0702）已知.x)1(f )x 21(f lim,2)1(f 0x ）（则=∆-∆+='→∆A.-2B.0C.2D. 4 （5）（0802）已知f(x)在x=1处可导，且).(h)1(f )h 1(f lim,3)1(f 0h =-+='→则A.0B.1C.3D. 62. 利用四则运算法则求函数的导数或在某点的导数值和微分1994——2012年共考了19次，考到的概率P=100%（1）（0122）设函数.y ,1x xcos y 2'-=则 （2）（0210）设函数.y ,x cos 11y ='+=则（3）（0310）设函数.)0(f ,ex)x (f x ='=则（4）（0419）设函数.y ,x ln x y '=求 （5）（0522）设函数.dy ,x cos x y 3求= （6）（0622）设函数.dy ,x sin x y 4求=（7）（0705）设函数).(d y ),1x sin(y 2=-=求A. dx )1x cos(2-B. dx )1x cos(2--C. dx )1x cos(x 22-D. dx )1x cos(x 22-- （8）（0822）设函数.y ,3x sin x y 3'++=求 （9）（0903）设函数).()1(f ,3x ln e )x (f x ='+=则A.0B.1C. eD. 2e（10）（1022）设函数.dy ,xcos x y 3则=（11）（1122）设函数.y ,xsin 1x y '+=求 （12）（1222）设函数.,cos )(⎪⎭⎫⎝⎛'=2πf x x f 则=（ ）A.-1B. 21- C.0 D. 13. 复合函数的导数1994——2012年共考了16次，考到的概率P=84.2%（1）（0107）设函数.dy ,x 1y 2=+=则（2）（0109）设函数.)x (f ,x sin )x (f ='=则（3）（0217）设函数.y x1x y 2'+=求（4）（0211）设函数.)x (f ,x ln )x 2(f ='=则（5）（0223）设函数.dxdy,(x)]g f[y .x sin )x (g ,e )x (f x 求且'=== （6）（0318）设函数.y ,x x y '+=求（7）（0418）设函数).0(f ,x 2sin 1)x (f '+=求（8）（0420）设函数).x (f ,x cos 1)x (cos f 3'+=求（9）（0503）设函数.)0(f ,x 2cos )x (f ）（则='= A.-2 B.-1 C.0 D. 2（10）（0602）设函数.,52）（则='+=y e y x A. x e 2 B. x e 22 C. 522+x e D. 52+x e （11）（0722）设函数y x x y '++=求),1ln( （12）（0922）设函数.d ,sin y e y x 求=（13）（1003）设函数.)(,2cos )(）（则='=x f x x fA. x 2sin 2B. x 2sin 2-C. x 2sinD. x 2sin - （14）（1222）设函数dy x y 求),ln(12+=4. 二阶导数和高阶导数1994——2012年共考了18次，考到的概率P=94.7%（1）（0108）设函数.)1(,ln )(3=''=f x x x f 则 （2）（0212）设函数.)0(,)(=''=f xe x f x 则（3）（0311）设函数.50,5022=+=）（阶导数的则y y e x y x（4）（0421）设函数.,11y xy ''+=求 （5）（0514）设函数.)0(,2=''=y e y x 则（6）（0615）设函数.,2sin =''=y x y 则（7）（0714）设函数.,='''=-y e y x 则 （8）（0814）设函数.,5=''=y x y 则（9）（0915）设函数.,sin =''=y x x y 则 （10）（1015）设函数.),1ln(=''+=y x y 则（11）（1114）设函数.,sin ='''=y x y 则（12）（1215）设函数.)(,cos )(=''=x f x x f 则5. 不定式极限的求法1994——2012年共考了12次，考到的概率P=63.2%（1）（0217）求.xe e limxx 0x -→- （2）（0317）求.xsin x xcos 1lim0x +-→（3）（0417）求.x e x 1lim2x0x -+→ （4）（0721）求.1x xln lim1x -→ （5）（0801）求).(4x 31x 2limx =-+∞→A. 41-B.0C. 32D. 1（6）（0921）求.1x xln x 1lim31x -+-→（6）（1221）求.limxe x x 10-→ 6.曲线在某点处的切线方程和法线方程1994——2012年共考了10次，考到的概率P=52.6%（1）（0320）求曲线x 2e y -=在点M （0，1）处的曲线方程 （2）（0411）求曲线x e y -=在点（0，1）处的切线斜率=k . （3）（0515）求曲线x e x y +=在点（0，1）处的切线斜率=k .（4）（0616）求曲线x x y 3-=在点（0，1）处的切线方程 =y .（5）（0914）已知3ax y =在x=1处的切线平行于直线1x 2y -=，则=a .（6）（1016）设曲线x axe y =在x=0处的切线斜率为2，则=a . （7）（1113）曲线2x 2y =在点（1，2）处的切线方程 =y .（8）（1216）曲线)sin(1+=x y 在点（-1，0）处的切线斜率为7.函数特性的研究11994——2012年共考了22次，考到的概率P=100%，为必考题.（1）（0110）设函数2x e y =，则其单调递增区间为.（2）（0321）求曲线x 6x x y 23+-=的拐点。
（3）（0405）函数)x (f y =在点x=0处的二阶导数存在，且0)0(f ,0)0(f >''='，则下列结论正确的是（ ）A. x=0不是函数f(x)的驻点B. x=0不是函数f(x)的极值点C. x=0不是函数f(x)的极小值点D. x=0不是函数f(x)的极大值点（4）（0504）曲线3x y =的拐点坐标是（ ）A. （-1，-1）B.（0，0）C.（1，1）D. （2，8） （5）（0513）函数)x 1ln(y 2+=的拐点为=x . （6）（0614）函数2x e y =的极值点为=x .（7）（0704）设函数)x (f 在点x=0处连续，当x<0时0)x (f <'，当x>0时0)x (f >'则（ ）A. )0(f 是极小值B. )0(f 是极大值C.)0(f 不是极值.D. )0(f 既是极小值又是极大值 （8）（0715）函数x ln x y =的单调增加区间是.（9）（0804）已知)x (f 在区间),(+∞-∞内为单调减函数，且)1(f )x (f >，则x 的取值范围是（ ）A. )1,(--∞B. )1,(-∞C. ),1(+∞D. ),(+∞-∞（10）（0815）曲线1x x 31y 23+-=的拐点坐标=)y ,x (00. （11）（0916）曲线8x 10x y 25+-=的拐点坐标=)y ,x (00.（12）（0904）函数)x (f 在区间[0,2]上连续，且在（0，2）内0)x (f >'则下列不等式成立的是（ ）A. )0(f >f(1)>f(2)B. )0(f <f(1)<f(2)C.)0(f <f(2) <f(1)D. )0(f >f(2) >f(1)（13）（1004）下列函数在区间),0(+∞内单调减少的是（ ） A. x y = B.x e y = C. x ln y = D. x1y = （14）（1004）曲线1x 3x y 23++=的拐点坐标为.（15）（1104）已知函数)x (f 在区间),(+∞-∞内为单调增加，则使)2(f )x (f >，成立的取值范围是（ ）A. ),2(+∞B. )0,(-∞C. )2,(-∞D. （0，2）（16）（1115）函数x 2x y 2-=的单调增加区间是.（17）（1204）下列区间为函数x x f sin )(=的单调增加区间的是（ ）A. ⎪⎭⎫⎝⎛20π, B.⎪⎭⎫⎝⎛ππ,2 C. ⎪⎭⎫⎝⎛232ππ, D. ()π20, 8.函数特性的研究21994——2012年共考了11次，考到的概率P=57.9%.（1）（0226）求函数1x 3x y 23--=的单调区间、极值及曲线的凹凸区间和拐点. （2）（0426）求函数x xe y -=的单调区间和极值. （3）（0526）求函数3)1x (y 32+-=的单调区间和极值. （4）（0626）求函数1x 3x y 3+-=的单调区间和极值.（5）（0828）设函数x b x ax )x (f 33++=在x=1处取得极大值5. （1）求常数a 和b ；（2）求函数f(x)的极小值. （6）（0926）求函数x2x y 2-=的单调区间、极值、凹凸区间和拐点. （7）（1126）求函数1x 43x )x (f 3+-=的单调区间、极值和曲线)x (f y =的凹凸区间.（8）（1226）求函数233--=x x y 的单调区间和极值.9.证明不等式1994——2012年共考了3次，考到的概率P=15.8%.（1）（0328）证明：当x>0时，x )x 1ln(2x x 2<+<- （2）（1027）证明：当x>1时，x ln 1x +>10.应用题1994——2012年共考了5次，考到的概率P=26.3%.（1）（0128）将边长为a 的正三角形铁皮剪去三个全等的四边形，然后将其虚线折起，做成一个无盖的正三棱柱的盒子.问图中的x 取何值时，该盒子的容积最大？ （2）（0726）上半部为等边三角形，下半部为矩形的窗户，其周长为12m ，为使窗户的面积A 达到最大，矩形的宽l 应为多少m?（3）（0826）设抛物线2x 1y -=与x 轴的交点为A,B.在它们所围成的平面区域内，以线段AB 为下底作内接等腰梯形ABCD ，设梯形的上底CD 为2x ，面积为S(x)(1)写出S(x)的表达式； (2)求S(x)的最大值. （4）（1026）在半径为R 的半圆内作一内接矩形，其中的一边在直径上，另外两个顶点在圆周上，当矩形的长和宽各为多少时矩形面积最大？最大值是多少？（5）（1127）在抛物线2x 1y -=与x 轴所围成的平面区域内作一内接矩形ABCD,其一边AB 在x 轴上.设AB=2x,矩形面积为S(x)(1)写出S(x)的表达式；(2)求S(x)的最大值.。