江苏省高数历年竞赛本一组试题(整理)

2010年江苏省高等数学竞赛试题（本科一级）

一.填空（每题4分，共32分） 1.()

()

3

sin sin lim

sin x x x x →-=

2.设函数,f ϕ可导，()()arctan tan y f x x ϕ=+，则y '=

3. 2cos y x =，则()n y =

4.21x

x

dx x e +=⎰

5. 4

211dx x +∞=-⎰

6.圆222

222042219x y z x y z x y z +-+=⎧

⎨++--+≤⎩的面积为 7.设2,,x f x y f y ⎛⎫

- ⎪⎝

⎭可微，()()123,22,3,23f f ''==，则()()

,2,1x y dz

==

8.级数()()1

111!

2!

n

n n n n ∞

=+--∑

的和为

二．（10分）设()f x 在[]0,c 上二阶可导，证明：存在()0,c ξ∈， 使得()()()()()3

0212

c

c c f x dx f f c f ξ''=+-⎰

三．（10分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积.

四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。

五（12分）求二重积分()22cos sin D

x y dxdy +⎰⎰，其中22:1D x y +≤

六．（12分）应用高斯公式计算()222ax by cz dS ∑

++⎰⎰，（,,a b c 为常数）

其中222:2x y y z ∑++=.

七.（12分）已知数列{}n a ，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====- ()2,3,,n =

记1

n n x a =，判别级数1

n n x ∞

=∑的敛散性.

2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）

一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )

lim

sin x x x x

→-=

2.2

ln(1x y x

=+，/

y = 3.2cos y x =，()()n y x =

4.21x

x e dx x

-=⎰ 5.4

2

1

1dx x

+∞

=-⎰

6.圆222

222042219

x y z x y z x y z +-+=⎧⎪

⎨++--+≤⎪⎩的面积为 7.(2,)x

z f x y y =-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz

==

8.级数1

1(1)!

2!n n

n n n ∞

=+-∑的和为 . 二.（10分）

设()f x 在[],a b 上连续，且()()b

b

a

a

b f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点(),a b ξ∈，使

得()0a

f x dx ξ

=⎰.

三．（10分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积.

四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的

长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。

五（12分）求二重积分()22cos sin D

x y dxdy +⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥

六、（12分）求()()21x

x y e dx x y dy Γ

++++⎰，其中Γ为曲线22

201

212x x x y x x ⎧≤≤⎨+=≤≤⎩

从()0,0O 到()1,1A -.

七.（12分）已知数列{}n a 单调增加，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-

()2,3,,n = 记1

n n x a =，判别级数1

n n x ∞

=∑的敛散性

2008年江苏省高数竞赛（本科一级）

一．填空题（每题5分，共40分）

1.a = ，b = 时，2lim

arctan 2

x ax x x bx x

p

+=-

-

2. a = ，b = 时()ln(1)1x

f x ax bx

=-++在0x ®时关于x 的无穷小的阶数最高。

3.242

0sin cos x xdx p

=ò

4.通过点()1,1,1-与直线,2,2x t y z t ===+的平面方程为

5.设22

2,x

z x y

=-则(2,1)

n n

z y ¶¶=

6.设D 为,0,1y x x y ===围成区域，则arctan D

ydxdy =蝌

7.设G 为222(0)x y x y += 上从(0,0)O 到(2,0)A 的一段弧，则

()()x x ye x dx e xy dy G

++-ò

=

8.幂级数1

n n nx ¥

=å的和函数为 ，收敛域为 。

二．（8分）设数列{}n x 为122,1,2,)n x x x n +=

=

=

=L L

证明：数列{}n x 收敛，并求其极限

三．（8分）设()f x 在[],a b 上具有连续的导数，求证

/1max ()()()b b a x b

a

a

f x f x dx

f x dx b a

＃?

-蝌

四．（8分）1）证明曲面:(cos )cos ,sin ,(cos )sin x b a y a z b a q j q q j S =+==+

()02,02q p j p ＃＃()0a b <<为旋转曲面