哈密顿原理的推导

d L dt q j 1 j
k
L q j qj 0 q j
(11a)
V Qj 广义力： 代入(11a)式中，而拉格朗日 q j
函数L=T-V(质点系的动能与势能之差又称为动势)
(11a)式又可以写为：
i 2 d mi r j 2 q j dt q
k k n r ri i mi ai ri mi ai q j mi ai j 1 i 1 q j i 1 i 1 j 1 q j n n
d ri mi r i dt q j
(5)
将(7)式和(8)式代入(5)式中得：
i ri r d i ma mi r j q j dt q i r mi r i q j mi r i 2 2
2 k 2
k i r 2 ri 2 ri j q q q t j 1 q q j
另一方面，直接由矢径
标 q 求偏导数后，再对时间t求导数，得：
ri
对某一广义坐
由此，可得另外一个关系式：
d ri dt q
2 k 2 ri ri q j q t j 1 q q j
m a r
i 1 i i i i 1 k
n
n
ri mi ai q j j 1 i 1
q j
(4)
为简化(4)式括号中的式子，可将其改写为：
ri r d i i mi ai mi r q j dt q j
M (q j+δqj,t ) A
,
δq j M(qj ,t)
B
(k+1)维空间
④ 质点系的真实运动：
如上图中(k+1)维空间中的实曲线 AMB 表示；
AMB 称为质点系的真实路径，又叫正路。
M (q j+δqj,t ) A
,
δq j M(qj ,t)
B
(k+1)维空间
⑤ 质点系的可能运动：
质点系在真实运动邻近为约束所允许的任意一个
M (q j+δqj,t ) A
,
δq j M(qj ,t)
B
(k+1)维空间
b)哈密顿原理的推导：
非定常约束的概念：
即约束可随 t 变化，是 t 的函数 一、拉格朗日方程 ——以广义坐标表示的动力学普遍方程
设有一理想、完整约束的非自由质点系，具
有k个自由度，用k个广义坐标q1，q2，…，qk表示
Hamilton原理
(1) 变分的概念 微分：设有一连续函数q=q(t)，其中t为自变 量，q为因变量；
q 当t有微增量dt时，引起函数的微增量 dq，称 , q=q(t)+εη(t) p 为该函数的微分， δq
且：dq
或:
q' (t )dt
o
p dt t
dq
q=q(t)
dq q ' (t ) dt
关系式：
j q
求偏导数，可得
i r ri j q q j
(7)
k ri ri i j (ri ri (q1 , q2 , , t ) r q t j 1 q j
(6)
将(6)式对任一广义坐标qα求偏导数得：
i r ri ri j q q q t j 1 q q j
n
k
j
(3)
将此结果代入(2)式中得： k T d T (10a) Q j q j 0 j q j 1 dt q j
(10a)
V Qj 当主动力有势力时： q j
代入
d T 式中得： dt q j 1 j
k L t2 q j Ldt t1 q j 1 j t1
t2
(18)
根据题设，在t1和t2时刻，系统的真实运动
r d i mi r i dt q j
(5)
为推导拉氏方程，先证明 ri 与 d ri 之间 的两个关系式:
q j
dt q j
k ri ri i j (ri ri (q1 , q2 ,, t ) q (1) r t j 1 q j
的区分准则。
① 研究对象：具有k个自由度的理想、完整约
束下的质点系的运动
② 广义坐标：q1，q2，……qk
③ 质点系的位置： 1) 若在平面上运动的质点，其坐标可选x,y，
2) 一般地，用由q和t组成的(k+1)维空间内的
一点的运动表示，若在某一瞬时t，q1，q2，…
…qk均有确定的值，则可在(k+1)维空间中找到 一个点，该点表示一质点在t时的位置
质点系的位置，作一直角坐标系oxyz，用矢径
ri(xi,yi,zi) 表示质点系
中任一质点Mi的位置，
显然，如果约束是非
定常的，则矢径ri是
广义坐标和时间的矢
量函数：
ri ri (q1 , q2 ,, qk , t )
(i 1,2,n)
(1)
n为质点的数目，为了将质点系中质点Mi 的 虚位移δri表示为广义坐标的变分 q j ( j 1,2,, k ) ， 求(1)式的变分：
t t+dt
变分：假设自变量t不变，改变函数q=q(t)的
形式，得到一个与原函数稍有差别的新函数
~ q(t ) (t ) q
式中：
q p
,
q=q(t)+εη(t) δq dq q=q(t) t

是一个微小系数，
o
p dt t
(t ) 是t的任意连续函数。
则：
t+dt
对于自变量的某一指定值，函数 q=q(t)
q j
i mi r i ri d mi r ma j 2 q j 2 q j dt q 将此结果代回式(4)，并引入质点系动能
2 2
(4)
得:
i mi r T 2 i 1
n k
n
d L j 1 dt q j
k
L q j qj 0 q j
V (11b) 0 q j
将(11b)式乘以dt，并从t1到t2作定积分，有：

t2
t1
d L j dt q j 1
k
T V qj 0 q q j j
d T q dt j 1 j
k
T V qj 0 q q j j
引入拉格朗日函数L=T-V(质点系动能与势 能之差，称为动势)，则上式可表示为：
i r r d i q j dt q j

(8)
i r ri j q j q
(7)
i r ri d q j dt q j
(8)
ri ri d i mi ai mi r q j dt q j
ri ri q j j 1 q j
k
(i 1,2,, n)
已知动力学普遍方程为：
( F m a ) r 0
i 1 i i i i
n
将其展开后得：
n n i 1 i i i 1
F r m a
i
i
ri 0
(2)
(2)式中第一项表示主动力系在质点系虚位移中的
dq d ( ) (q) dt dt
(b) 在积分的上、下限不变的条件下，函数对
自变量的积分的变分，等于该函数的变分对该自
变量的积分。 即：
qdt qdt
t1 t1
t2
t2
(2) Hamilton原理：
a)作用：提出了质点系的真实运动与在质点系真实
运动邻近，且为约束所能允许的可能运动
元功的和，可以写为广义坐标的形式为：
F r Q q
i 1 i i j 1 j
n
k
j
(3)
(2)式中左边第二项表示惯性力系在质点系虚位移 中元功的和，将(1)式代入(2)式中的左边第二项得：
k r mi ai i q j q j 1 j n
百度文库
由于它的形式的微小改变而得到的改变量，称 q
(2) 变分与微分的区别
变分：自变量不变，仅由于函数本身形式 的微小改变而得到的函数的改变；
微分：由于自变量的
微增量而引起
q p
,
q=q(t)+εη(t) δq dq q=q(t) t
的函数的微增量。
o
p dt t
t+dt
(3) 变分的运算性质：
(a) 任一连续函数 q=q(t)的变分与微分可以 交换：即
k
L q j q j dt 0 q j

t2
t1
d L q j dt j 1
k
L q j q j dt 0 q j
(12)
因为： d L d L L d q j qj qj dt q dt q q j j j dt 故(12)式中第一项为
(13)
L L d L d q j j qj q q q dt q dt j j j
代入(12)式中得：
d L L L j dt 0 qj qj q t1 q q j 1 dt q j j j k t2 k L t2 L L j dt q j qj q t1 d t1 j 1 q q j 1 q j j j
6)
j 称为广义速度，为广义坐标对时间的变化率， q
因 ri 和 ri 仅是广义坐标和时间的函数，与广义 q j t
j 无关， 速度 q
k ri ri i j (ri ri (q1 , q2 , , t ) r q t j 1 q j
(6)
将(6)式对广义速度
t2 k
(15)
或：
1 , q 2 , q k ) (16) L L(t; q1 , q2 ,, qk ; q
L L j， L qj q j q j 1 q j
k
拉格朗日函数
所以L的一阶变分为：
代入(16)式，并将等式的左端进行积分后得：
可能运动，用 AM ' B表示。 AM ' B 称为质点系的可能
路径，或旁路(弯路)。 运动始末位置上， 正路和弯路的位置相同 (显然，可能运动的曲 线有无数条)。
M (q j+δqj,t ) A (k+1)维空间
,
δq j M(qj ,t)
B
⑥ 虚位移(变分)： q j
表示在同一瞬时，旁路对正路的偏离 MM ' 。
2
d T T mi ai ri j q j i 1 j 1 dt q
q j
(9)
F r m a r 0
i 1 i i i 1 i i i
n
n
(2)
F r Q q
i 1 i i j 1 j