哈密顿原理的推导

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哈密顿原理

（二）哈密顿原理
质点系的运动是一个客观存在的事实，力学的任务是对运动作出正确的描述。矢量力学的理论是指出一切真实运动所应服从的规律，并以此为依据，去论断各个具体运动的特征。可是分析力学并不这样。分析力学研究约束所允许的一切可能运动，设法在可能运动所构成的集合中把真实运动挑选出来。由此可见，分析力学与矢量力学在思想方法
4. 变分运算的几个法则 A B A B
AB A B B A
A B A A B 2 B B d dA A dx dx
Adx
x1
x2
x2
x1
A dx
A
x
B
z
设质点在某一瞬时速度为v，则滑过ds路程的时间
dt=ds/v
没有摩擦，保守力场机械能守恒
v 2gz
曲线方程
（坐标为z时的质点速度）
z=z(x),
而曲线的元弧长：
2
ds
dz 1 dx dx
ds dt v
1 z dx , 2 gz
'2
T
xB
（一）变分法简介
变分法是研究泛函极值的一种数学理论，它是由力学中最速落径问题的诱导而发展起来的。由伊凡· 贝努力提出来的最速落径问题是这样一个问题.
1. 最速落径问题
不考虑摩擦力和空气阻力，在连接不在同一铅直线上的任意两定点A 和B（B低于A）的所有曲线中，无初速的质点在重力作用下沿哪一条曲线轨道从A滑到B所需时间最短？显然，下滑时间与曲线形状有关。

欧勒方程
如果 f 不显含自变量 x , 则欧勒方程有初积分 : f f - y' 常数. y '

势能最小原理

势能最小原理
势能最小原理，亦称为哈密顿原理，是一种在力学和物理学中广泛应用的原理。

它可以用来推导出物体在特定情况下的运动方程，从而描述系统的动力学行为。

势能最小原理的基本思想是：在给定约束条件下，物体的实际运动路径是使得其势能达到最小值的路径。

这里的势能可以是机械势能、电磁势能或其他类型的势能。

势能最小原理的核心观点是，自然界中的物体总倾向于沿着能量下降的方向运动，从而达到稳定状态。

从数学角度来看，势能最小原理可以通过变分原理来表达。

它要求物体的实际路径使得一个特定的泛函在给定的约束条件下取得极值。

这个泛函通常表示系统的总势能减去动能，并加上一些约束条件。

应用势能最小原理可以推导出许多经典力学问题的运动方程。

例如，可以用于研究自由落体、弹性碰撞、摆动等问题。

此外，势能最小原理还可以扩展到相对论力学、量子力学等更深层次的物理理论中。

总之，势能最小原理是一种重要且广泛应用的原理。

通过运用该原理，我们能够深入理解自然界中各种物体的运动规律，从而揭示出自然界的奥秘。

哈密顿原理的推导

哈密顿原理的推导首先，回顾一下在一定时间间隔内，质点的作用量的定义。

作用量是一个函数，记作S，表示在质点从t1时刻到t2时刻的路径上，系统所做的所有虚功的总和。

虚功可以理解为系统中所有力对质点所做的功的总和。

在一定时间间隔内，虚功可以用力对时间的乘积来表示，即F·dx，其中F是力，dx是位移。

接下来，定义路径上的广义坐标为q(t)和广义速度为dq(t)/dt。

广义坐标q(t)是质点的位置和速度的参数化描述，它是时间的函数。

根据广义坐标的定义，质点的位移可以表示为dq(t) = q'(t)dt，其中q'(t)是广义速度dq(t)/dt。

根据广义坐标和广义速度的定义，质点的虚位移可以表示为dq(t) = εq'(t)dt，其中ε是任意小量。

现在考虑一个包含质点的系统，假设在t1时刻和t2时刻之间有一个固定的路径q(t)，同时也存在其他无限接近路径q(t)+εq'(t)。

根据前面的定义，这两条路径分别对应了质点的虚位移dq(t)和dq(t)+εq'(t)。

根据作用量的定义，这两条路径上的虚功分别可以表示为F·dq(t)和F·(dq(t)+εq'(t))。

接下来，我们需要对作用量进行泰勒展开。

根据泰勒展开的近似，一个函数在其中一点附近可以近似为该点的函数值加上导数与自变量的线性关系。

对于作用量来说，根据前面的推导，我们可以将两个虚功项展开为：F·dq(t) = F·(q'(t)dt) = F·(q'(t) + εq''(t)dt) ≈F(q'(t))dt + εF'(q'(t))q''(t)dtF·(dq(t) + εq'(t)) = F·(q'(t)dt + εq'(t)dt) = F·(q'(t)+ εq'(t))dt = F(q'(t))dt + εF'(q'(t))q'(t)dt其中，F(q'(t))表示力在广义速度q'(t)处的函数值，F'(q'(t))表示力在广义速度q'(t)处的导数。

物理学中的哈密顿原理及其应用

物理学中的哈密顿原理及其应用哈密顿原理是一个重要的物理学原理，它是研究力学和量子力学等理论的基础。

对于一个系统的运动，哈密顿原理提供了一种数学描述的方式，能够给出最小作用量原理，可以通过这个原理得到物理学的解。

在这篇文章中，我们将讨论哈密顿原理的定义、应用以及它如何影响现代物理学。

1、哈密顿原理的定义哈密顿原理的定义是：对于一个系统，在一个确定的时间段内，系统的运动路径是使作用量函数最小的。

在系统运动的过程中，作用量表示为：S = ∫L dt，其中L是系统的拉格朗日函数，dt是时间差。

根据这个定义，哈密顿原理的表述是：对于在一个确定的时间段内运动的一个系统，当其在任何可行运动路径下的动作最小化时，它的实际路径将是真实路径。

2、哈密顿原理的应用哈密顿原理在物理学中的应用领域广泛，例如力学和量子力学等领域。

在力学领域，哈密顿原理可以用来导出量子场论和相对论理论的基础方程。

在量子力学中，哈密顿原理被用来描述粒子运动的描述方法，即“量子哈密顿力学”或“路径积分理论”。

在天体物理中，哈密顿原理也被用来描述星系、银河系、黑洞等天体的运动及其演化过程。

此外，哈密顿原理还被应用于航空、航天工程、自然科学、工程学和材料科学等领域。

3、哈密顿原理的影响哈密顿原理的提出对现代物理学产生了深刻的影响，它预示了一种新的力学理论，即哈密顿力学。

在哈密顿力学中，拉格朗日函数中的变量都可以通过一组可以互相转换的变量来替换，这里的变量包括位置、动量、时间和势能等。

这种方法在物理学研究中已经得到了广泛应用，包括分析旋转、振动和波动等行为。

此外，哈密顿原理还促进了物理学研究的发展，使科学家们更好地理解了物质和能量的性质，包括它们的高度复杂的性质。

这种方法不仅联结了现代理论物理，而且是微积分和变分原理的基础，从而成为许多物理问题的通用解法。

此外，哈密顿原理还为物理学家提供了在研究新现象和探索新原理的道路，有助于进一步扩展人类关于自然的认识面和技术实践。

哈密顿原理的推导

02 03
广义坐标和广义力
在非完整系统中，广义坐标不再完全独立，需要引入广义力来描述系统受到的约束反力。哈密顿原理在形式上仍然保持不变，但需要将广义力纳入考虑。
应用实例
非完整系统广泛存在于实际物理问题中，如滚动摩擦、滑动摩擦等。通过应用非完整系统的哈密顿原理，可以推导出相应的运动方程，进而分析系统的动力学行为。
应用实例
相对论性哈密顿原理在宇宙学、黑洞物理等领域具有广泛应用。例如，通过该原理可以推导出爱因斯坦场方程，描述引力与时空几何的关系。
哈密顿原理在现代物理学中的应用前景
量子力学与量子场论
在量子力学和量子场论中，哈密顿原理提供了从经典到量子的桥梁。通过引入算符和波函数等概念，可以将哈密顿原理应用于微观粒子的运动规律研究。
主函数$S$是拉格朗日函数$L$对时间$t$的积分，即$S=int_{t_1}^{t_2}Ldt$。
通过变分法求解$delta S=0$，可以得到质点系的真实运动方程，即拉格朗日方程 $frac{d}{dt}frac{partial L}{partial dot{q}}-frac{partial L}{partial q}=0$。
广义相对论与宇宙学
广义相对论是描述引力与时空关系的理论框架，而哈密顿原理为广义相对论提供了变分法的基础。在宇宙学中，利用哈密顿原理可以研究宇宙的演化、黑洞的性质等问题。
高能物理与粒子物理
在高能物理和粒子物理领域，哈密顿原理可用于描述基本粒子的相互作用和衰变过程。结合实验数据，可以进一步揭示物质的基本结构和相互作用机制。
在理论物理、应用数学以及工程科学等领域，哈密顿原理都扮演着重要的角色。
哈密顿原理是变分法的一个应用，通过求解最小作用量原理来确定系统的运动方程。

7第5章哈密顿原理

拉格朗日函数为
根据哈密顿原理，
整理后，
又，
代入前式中，得到
在瞬时t0，t1，有r== 0，于是上式中的后四项为零，由于t0，t1是任意的，所以被积函数应为零，且和是彼此独立的，于是我们得到
哈密顿原理可用来推导各种形式的弹性结构（杆及杆系、板、壳）的运动微分方程及求动力响应的近似解。
例5-6试建立二端固定而绷紧的均质弦的微幅振动动力学方程。
(1)
固定时间t，式(1)表示以a为变量（0al）的曲线参数方程，如图18-5中的曲线c，根据不可伸长的约束条件，得到
由此推出
(1)
用分别表示横向位移及其对a和对t的偏导数，并且限于讨论偏离铅垂位置的微振动。若将横向运动量看作一阶小量，则由公式(1)看出，是二阶小量，在略去四阶小量后，式(1)简化为
(2)
系统动能精确到二阶小量为
(3)
式中，是悬链线密度。若以O为零势能位置重力势能为
(4)
式中，xC是链子的质心坐标；xN是集中质量的坐标。根据质心公式，有
而
若以悬链静平衡为零势能状态，则系统的重力势能为
(5)
令
其中，是集中质量与链的质量比，则系统的拉格朗日函数由式(3)和(5)得
哈密顿作用量为
(6)
t
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
0.00
0.29313
0.56900
0.81038
1.00
0.00
0.29401
0.56975
0.81006
1.00
0.00
-0.299
-0.132
+0.0395
0.00
习
5-1如题5-1图所示，半径为r的均质圆球自半径为R的固定球顶端无初速、无滑动地滚下，试求动球的正则方程及球心下降的加速度。

哈密顿原理

§7-4 哈密顿原理人们为了追求自然规律的统一、和谐, 按照科学的审美观点, 总是力图用尽可能少的原理(即公理)去概括尽可能多的规律.牛顿提出的三个定律, 是力学的基本原理. 由这些基本原理出发, 经过严格的逻辑推理和数学演绎, 可以获得经典力学的整个理论框架.哈密顿原理是分析力学的基本原理, 它潜藏着经典力学的全部内容并把这门学科的所有命题统一起来. 也就是说, 由它出发, 亦可得到经典力学的整个框架.哈密顿原理是力学中的积分变分原理. 变分原理提供了一个准则, 使我们能从约束许可条件下的一切可能运动中, 将力学系统的真实运动挑选出来. 变分原理的这一思想, 不仅在力学中, 而且在物理学科的其他领域中, 都具有重要意义.一、变分法简介1. 函数的变分.自变量为x 的函数表示为)(x y y =.函数的微分x y y d d ′=是由自变量x 的变化引起的函数的变化.函数的变分也是函数的微变量, 但它不是因为自变量x 的变化, 而是由于函数形式的变化引起的.这种由于函数形式变化造成的函数的变更称为函数的变分, 记作y δ.与函数y 邻近但形式与y 不同的函数有许多, 这些函数可以表示如下:)()0,(),(*x x y x y εηε+= 其中ε是任意小的参数, ()x η是任意给定的可微函数. 因0=ε时()()x y x y =0,, 所以函数形式的变化决定于上式的第二项. 因此, 函数的变分写成()()()x x y x y y εηε=−=0,,δ*在自由度为1的力学系统中讨论变分的概念. 设广义坐标为q , )(t q q =. 建立以t q ,为轴的二维时空坐标系(又称事件空间), 曲线I 是)(t q q =的函数曲线, 代表了系统的真实运动.q t d d →函数的微分.在曲线I 附近, 存在着许多相邻曲线, 这些曲线都满足力学系统的约束条件, 称为可能运动曲线,它们的方程表示为()()()t t q t q εηε+=0,,*在t 不变的情况下, 函数形式的改变也能引起函数的变化, 这种变化纯粹是由函数形式变化引起的, 它就是函数的变分q δ,()()()t t q t q q εηεδ=−=0,,*与q d 不同, q δ与时间变化无关, 称为等时变分. r δ和αq δ都是等时变分.变分的运算法则在形式上与微分运算法则相同. 下面列出几条变分法则.设1y 和2y 是自变量x 的两个函数, 则()2121δδδy y y y +=+()122121δδδy y y y y y +=22211221δδδy y y y y y y −= 现给出第3式的证明:()22222211122122211121*2121δηεηεηεηεηε+−=−++=− =y y y y y y y y y y y y y y22211221δδδy y y y y y y −= 等时变分还有两个重要性质:(1)变分与微分的运算可以交换, 即δ和d 的运算可交换;(2)变分和微商在运算上可以交换, 即δ和t d /d 的运算可交换.首先证明性质(1):设力学系统的1=s ,q . 曲线 I 表示系统的真实运动, 曲线 II 表示与曲线I 邻近的系统的可能运动.Q Q P ′→→, Q ′点的纵坐标为()q q q q d δd +++. Q P P ′→′→, Q ′点的纵坐标成为()q q q q δd δ+++. 于是 ()()q q q q q q q q δd δd δd +++=+++()()q q δd d δ=证明完毕.下面证明性质(2): 因为()()()()2d d δd d δd d d δt t q q t t q −=由于等时变分, ()()0δd d δ==t t . 所以上式可写成()()q t t q t q δd d d d δd d δ==证明完毕.在变分法中, 除等时变分外, 还有全变分. 全变分是由于函数自变量和函数形式的共同变化引起的, 用q ∆表示.()()0,,*x y x x y y −∆+=∆εx xy y y ∆+=∆d d δ 2. 泛函的变分与泛函取极值的条件---欧拉方程.若变量J 由一组函数()x y y i i =, n i ,,2,1 =的选取而确定, 则变量J 称为函数()t y y i i =的泛函, 记作()()()],,,[21x y x y x y J n .泛函J 由n 个函数的形式确定, 是函数形式的函数.泛函与函数的概念不同, 函数中的自变量是数；而对于泛函, 处于自变量地位的是可以变化的函数的形式.举例说明：Oxy 平面中有B A ,两个固定点, 连接两固定点间的曲线的长度L 由下式确定, ()x x y L AB x x d d /d 12∫+= 显然, L 依赖于函数()x y y =的选取, 若函数()x y 的形式发生变化, 则曲线的形状随之变化, 曲线的长度也跟着改变. 长度L 就是函数()x y的泛函.研究形式最简单的泛函及其变分, 该泛函只依赖一个函数()()[]x x x y x y F J x x d ,,10∫′= 或 ()()()()()[]x x x x y x x y F J x x d ,0,,0,10∫′+′+=ηεεηε 其中()()x x y x y d d =′被积函数()()[]x x y x y F ,,′的形式是已知的, 积分的上下限是固定的. 当函数()x y 在形式上发生变化时, 泛函就会发生变化, 这种由于函数形式的变化引起泛函的变化(线性部分)称为泛函的变分,记作J δ.现将被积函数()()()()[]x x x y x x y F F ,0,,0,ηεεη′+′+=在0=ε处展开(只保留线性部分)()()()()[]x x x y x x y F ,0,,0,ηεεη′+′+()()[]()()x y F x y F x x y x y F ηεεηεε′ ′∂∂+ ∂∂+′===00,, 可见函数的变分为()()()()[]()()[]x x y x y F x x x y x x y F F ,,,0,,0,δ′−′+′+=ηεεη()()x y F x y F ηεεηεε′ ′∂∂+ ∂∂===00 y y F y y F ′ ′∂∂+ ∂∂===δδ00εεF 的变分是在0δ=x 的情况下进行的. 在力学中, x 为时间t , 这种变分是等时变分.现将J δ写成()()()()[]()()[]∫∫′−′+′+=1010d ,,d ,0,,0,δx x x x x x x y x y F x x x x y x x y F J ηεεη ()()()()[]()()[]{}∫′−′+′+=10d ,,,0,,0,x x x x x y x y F x x x y x x y F ηεεη∫=10d δx x x F 上式表明当积分变量与变分无关时, 变分算符和积分算符可以交换.在数学中, 变分法的基本问题是通过求泛函的极值(极大值, 或极小值, 或稳定值)去寻找函数)(x y . 泛函中的函数)(x y 的形式需不断改变, 直到J 达到极值. 当J 为极值时, )(x y 就是我们所要寻找的函数.泛函取极值的必要条件是满足欧拉方程. 推出欧拉方程:与函数极值条件类似, 处于极值的泛函, 其变分一定为零, 即()()[]x x x y x y F J x x d ,,δδ10∫′= ()()[]x x x y x y F x x d ,,δ10∫′= 0d δδ10= ′′∂∂+∂∂=∫x y y F y y F x x 考虑到()y x y δd d δ=′, 并对上式中的第二项采用分部积分法()x y y F x y y F x x y x y F x y y F x x x x x x d δd d δd d d δd d d δ101010∫∫∫ ′∂∂− ′∂∂=′∂∂=′′∂∂ 积分上下限是固定的, 即要求各函数曲线有相同的端点, 0δδ10==x x y y , 所以上式第一项 0δd δd d 1010=′∂∂= ′∂∂∫x x x x y y F x y y F x 故0d δ)d d (10=′∂∂−∂∂∫x y y F x y F x xεη=y δ, 由于η是任意函数, 所以y δ也是任意的. 可见, 要使上式成立, 必须0d d =′∂∂−∂∂y F x y F 这就是欧拉方程.可推广到多个函数为变量的泛函中去, 该泛函取极值的欧拉方程为0d d =′∂∂−∂∂ββy F x y F l ,,2,1 =β l 代表函数的个数.3. 变分问题.凡是与求泛函极值有关的问题都称做变分问题. 下面列举3个曾在变分法的发展中起过重要影响的变分问题.(1) 最速落径问题. 通过求泛函极值, 得知竖直平面内不在同一铅垂线上的两个固定点之间的多条曲线中, 能使质点以最短时间从高位置点到低位置点自由滑下的曲线是旋轮线(又称摆线).(2) 短程线问题. 已知曲面方程, 用求泛函极值的方法, 可得出曲面上两固定点之间长度最短的线.(3) 等周问题. 将泛函求极值, 可得知一平面内, 长度一定的封闭曲线, 所围面积最大的曲线是圆.例题6 最速落径问题.(有兴趣者自学)二、哈密顿原理1. 位形空间、真实运动曲线和可能运动曲线.在分析力学中, 由s 个广义坐标s q q q ,,,21 组成的s 维空间称为位形空间.系统某一时刻的位形(即由广义坐标确定的系统的位置)与该空间中的一点相对应. 当位形随时间变化时(时间t 为参数), 位形点就会发生变化而形成一条曲线.用位形空间研究完整系的运动, 不用顾及约束对系统运动的影响. 因为空间由s 个广义坐标轴组成, 每一个广义坐标都可以自由变化. 位形空间中的任何一条曲线, 都表示系统在完整约束下的一种可能的运动过程.设s t q q ,,2,1),( ==ααα代表系统的真实运动, 则由它们决定的曲线称为真实运动曲线.由于函数)(t q q αα=形式发生变化而在真实曲线邻近出现的曲线称为可能运动曲线.2. 完整有势系统的哈密顿原理.哈密顿原理是分析力学中的积分变分原理, 它巧妙地运用泛函求极值的方法, 将真实运动从约束允许的一切可能运动中挑选出来.哈密顿原理是一条力学公理.首先, 定义一个称为作用量的泛函:()∫=10d ,,t t t t q q L S αα 式中的L 称为拉格朗日函数, 定义为V T L −=T 是力学系统相对惯性系的动能),,(t qq T T αα =; 势能),(t q V V α=. 拉格朗日函数是ααqq ,和t 的函数, ),,(t qq L L αα =. 假定位形空间中有两个固定点A 和B , 与A 点相对应的时刻是0t , 与B 点相对应的时刻是1t .两个固定点之间, 存在着由s t q q ,,2,1),( ==ααα决定的真实运动曲线.两固定点B A ,间还存在许多与真实运动曲线邻近的可能运动曲线, 它们是由q q q δ*+=αα s ,,2,1 =α0δδ10====t t t t q q αα s ,,2,1 =α决定的.作用量是依赖于函数)(t q α的泛函. 在位形空间的两个固定点间有许多可能运动轨道, 其中有一条是真实的. 哈密顿原理就是通过变分法中求泛函(在此指作用量)极值的方法, 将真实运动从这许多的可能运动中挑选出来的.哈密顿原理的内容是: 受完整约束的有势系, 在位形空间中, 相同时间内通过两位形点间的一切可能运动曲线中, 真实运动曲线使作用量取极值. (极值为极小值, 故此原理又称为哈密顿最小作用量原理)在哈密顿原理中, 一切可能运动必须具有以下共同的特点:(1) 都是同一系统在相同的约束条件下的可能运动;(2) 都是在时刻0t 和时刻1t 之间相同时间间隔内完成的运动;(3) 在位形空间中有相同的起点和终点, 即 0δδ10====t t t t q q ααs ,,2,1 =α哈密顿原理的数学表述:在位形空间内, 当s q q t t t t ,,2,1,0δδ10 =====ααα时, 对于受完整约束的有势系, 其真实运动使 ()0,,δδ10==∫t t t q q L S αα 综上所述, 当作用量泛函取极值时, 与该作用量所对应的位形空间曲线就是真实运动的曲线, 描绘该曲线的s 个函数)(t q q αα=就是真实运动的运动学方程.拉格朗日函数V T L −=是力学系统的特征函数.如果确定了系统的拉格朗日函数, 则通过哈密顿原理, 就可导出力学系统的动力学方程.由欧拉方程可以得到分析力学中有势系的普遍方程---拉格朗日方程, 我们将在下一章讨论这个问题.[拉格朗日函数不是惟一确定的. 设f 是一个任意广义坐标和时间的函数, 即),(t q f f α=, 设),(d d t q f tL L α+=′, 则∫∫=′1010d d t t t t t L t L δδ. 证明了在原有拉格朗日函数上加上一项广义坐标和时间的任意函数对时间的全微商, 是不会改变系统的运动方程的. 这种不变性称做规范变换不变性, 它对于现代理论物理的研究有重要意义.]例题 7 质量为m 的质点, 在重力场中以与水平线成α角的初速率v 抛射, 根据哈密顿原理, 求质点的运动微分方程.解在抛射体运动的平面内, 以铅垂方向为y 轴, 建立直角坐标系Oxyz , 以y x ,作为质点的广义坐标. 拉格朗日函数为()mgy y x m L −+=2221 作用量为()t mgy y x m t L S t t t t d 21d 101022∫∫ −+== 根据哈密顿原理, 真实运动使()[]0d δδδδ10=−+=∫t y mg y y m x x m S t t ()∫∫∫−==10101010d δδd δd d d δt t t t t t t t t x x m x x m t x tx m t x x m ()∫∫∫−==10101010d δδd δd d d δt t t t t t t t t y y m y y m t y ty m t y y m 由于在10,t t 时刻, 0δδ==y x , 因此 ()[]∫=+−−=100d δδδt t t y mg y m x x m S 又因x δ和y δ是相互独立的, 所以要使上式成立, 必须0=xm 0=+mg ym 3. 一般完整系的哈密顿原理.对一般完整系, 主动力常含有非有势力, 上述哈密顿原理不再适用, 但可以将有势系的哈密顿原理的表达式经修改后推广到一般完整系中:即在位形空间中, 一般完整系的真实运动使0d δδ101= +∫∑=t q Q T t t S ααα 式中T 是系统的动能, αQ 是与广义坐标αq 对应的广义力.[ααq r F Q i ni i ∂∂⋅=∑= 1] 在下一章里, 我们将会根据一般完整系的哈密顿原理, 推导出一般完整系普遍适用的动力学方程, 即一般形式的拉格朗日方程.在物理学的研究中, 对于我们重要的是有势系的哈密顿原理.哈密顿原理具有统一的、简洁完美的形式, 即具有坐标变换的不变性, 从而使哈密顿原理具有很大的普适性.哈密顿原理——有限自由度——无限自由度.哈密顿原理——物理学其他领域.哈密顿原理还可用于创建新的理论, 根据实验结果和假设构造出拉格朗日函数, 便可用哈密顿原理导出运动方程, 其正确性由实践检验.哈密顿原理是作为公理提出的, 并未推证. 它们的正确性由原理演绎出的推论在实践中的检验而得到证实. ——完全不依赖牛顿定律, 它的适用条件也完全不受牛顿定律适用条件的限制, 其普适性比牛顿的运动定律大得多.。

第十二章弹性力学的哈密顿求解体系

- 323 -第十二章弹性力学的哈密顿求解体系“一切守恒的真实物理过程都能表成适当的哈密顿体系。

”十九世纪英国天文学家哈密顿，在研究牛顿力学时，引进广义坐标和广义动量来表示系统的能量，现在通称为哈密顿函数。

尽管哈密顿体系在许多研究领域得到广泛的应用，但是弹性力学求解一直是使用以半逆解法为主的拉格朗日体系。

由于半逆法是一种凑合法，依赖于具体问题，且缺乏一般性，往往只能找出某些解而不能找到全部解。

使读者感到难于掌握的是，怎样才能凑出这些半逆解法的合适的假定。

二十世纪末，钟万勰提出在弹性力学方程的求解方法中引进哈密顿体系，拓宽了弹性力学的求解方法，使得许多问题可以直接进行求解。

下面将简略介绍采用直接法求解的哈密顿求解体系。

为了便于文献阅读，本章采用矩阵表示方法。

矩阵表示方法也是弹性力学中的一种常用表示方法，它是有限元数值法求解不可或缺的数学工具。

§12-1 哈密顿原理正则方程与勒让德变换1．哈密顿原理设有限自由度n 维的广义位移和它对时间的微商分别为i q 和n) , 1,(i =i q ，则动力系统的拉格朗日函数（动能-势能）为)(n i n i q ,,q ,,q ,q ,,q ,,q 11L （12-1）或简单用其向量表达式表示：) ,(q q L（12-1'）哈密顿原理可表述为：一个保守系统自初始点) ,(00t q 运动到终结点) ,(e t e q ，其真实的运动轨道应使作用量A 成为驻值，即 0=A δ 式中dt A et t ⎰= 0) ,(qq L ，（12-2）对上式作变分展开后，作分部积分有dt et t TT ⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= 0 q q q q A δδδL L dt dt d Tt t eq q q 0δ⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=⎰ L L （12-3）式中，当0t t =时，0 =q δ，当e t t t <<0时，q δ为任意变分；因此，令式（12-3）为零，可导出拉格朗日方程0=∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂qq L L dt d （12-4）这说明哈密顿原理对应于拉格朗日方程。

哈密顿方程的推导

哈密顿方程的推导
哈密顿方程是描述质点系在保守力场中运动的方程，由哈密顿原理推导而来。

下面是哈密顿方程的推导过程：
1. 定义拉格朗日函数：首先，我们定义质点系的拉格朗日函数L，该函数是广义坐标q_i和广义速度v_i的函数，即L =
L(q_i, v_i)。

拉格朗日函数可以通过质点系的动能T和势能V
来定义，即L = T - V。

2. 构建作用量：我们引入作用量S，该作用量定义为在一段时
间t_1到t_2内，拉格朗日函数L在质点的运动路径上的积分，即S = ∫(L dt)。

3. 应用哈密顿原理：根据哈密顿原理，质点实际运动的路径是使作用量S达到极小值的路径，即对任意的变分路径δq_i(t)，作用量的变分δS=0。

4. 构建哈密顿函数：为了推导哈密顿方程，我们首先引入广义动量p_i，定义为p_i = ∂L/∂v_i。

接下来，我们定义哈密顿函
数H为哈密顿函数H = Σ(p_i v_i) - L。

哈密顿函数是广义坐标
q_i和广义动量p_i的函数。

5. 变分行为：对于任意的广义坐标q_k，广义速度v_k和广义
动量p_k，我们可以证明在哈密顿函数H为最小值时满足以下方程：
dH/dp_k = v_k (1)
dH/dq_k = - p_k (2)
这两个方程就是哈密顿方程。

通过上述过程，我们从拉格朗日形式的描述推导出了哈密顿形式的描述，即哈密顿方程。

在哈密顿方程中，广义坐标和广义动量的变化率分别由哈密顿函数对广义动量和广义坐标的偏导数来描述，从而实现了对质点系的运动状态的描述。

哈密顿原理推导运动方程

哈密顿原理推导运动方程引言：物理学中，哈密顿原理是描述系统运动的一种方法。

它通过将系统的运动路径与作用在系统上的力学量相联系，从而推导出系统的运动方程。

本文将以哈密顿原理为基础，推导出运动方程，并对其进行详细的阐述和解释。

一、哈密顿原理的基本概念哈密顿原理是基于变分原理的一种方法，它是由数学家威廉·哈密顿提出的。

它描述了一个力学系统的运动路径应当使作用在系统上的作用量取极值。

作用量是一个函数，描述了系统在其运动过程中所受到的作用力。

根据哈密顿原理，系统的运动路径可以通过使作用量取极值来确定。

二、哈密顿原理的数学表达在哈密顿原理中，作用量可以表示为一个积分形式：S = ∫L(q, q', t) dt其中，S表示作用量，L表示拉格朗日量，q表示广义坐标，q'表示广义速度，t表示时间。

三、推导过程为了推导运动方程，我们需要使用变分法。

变分法是一种数学方法，可以求解函数的极值问题。

我们假设系统的运动路径为q(t)，然后对作用量进行变分，使其取得极值。

我们将作用量进行变分：δS = ∫(∂L/∂q δq + ∂L/∂q' δq') dt根据变分法的定义，我们可以将上式中的δq和δq'看作是独立的变量，因此可以分别对其进行求导：∂S/∂q = ∂L/∂q - d/dt(∂L/∂q')∂S/∂q' = ∂L/∂q'根据哈密顿原理，作用量的变分应当为零，即δS = 0。

因此，我们可以得到以下两个方程：∂S/∂q = 0∂S/∂q' = 0根据以上两个方程，我们可以得到两个重要的运动方程：∂L/∂q - d/dt(∂L/∂q') = 0∂L/∂q' = 0第一个方程又被称为欧拉-拉格朗日方程，它描述了系统的运动轨迹。

第二个方程则是哈密顿原理的直接结果，它描述了广义动量的守恒。

四、运动方程的物理解释欧拉-拉格朗日方程描述了系统在运动过程中的力学行为。

哈密顿原理推导

哈密顿原理推导
嘿，朋友们！今天咱来聊聊哈密顿原理推导这档子事儿。

你们知道吗，哈密顿原理就像是物理学里的一把神奇钥匙，能打开好多知识的大门呢！它就好比是一个超级厉害的向导，带着我们在物理的世界里畅游。

咱就说，哈密顿原理就像是一个隐藏的宝藏，等待着我们去挖掘。

想象一下，我们在一个迷宫里，哈密顿原理就是那根能指引我们走出迷宫的线。

那怎么去推导这个神奇的哈密顿原理呢？这可不是一件容易的事儿，但也别害怕呀！就像我们学走路一样，一开始摇摇晃晃，但慢慢地就稳了。

先从最基本的概念开始，一点一点地去理解。

把那些复杂的式子看成是一个个小拼图，我们一块一块地把它们拼起来。

别着急，慢慢来，总有一天能拼成一幅完整的画面。

比如说，能量这个概念，它可太重要啦！就好像是我们身体里的力量，推动着一切事物的运转。

哈密顿原理就是和能量紧密相关的呀！
在推导的过程中，会遇到很多难题，就像爬山时遇到的陡峭山坡。

但咱不能退缩呀，要鼓起勇气往上爬。

也许会累得气喘吁吁，但当爬到山顶，看到那美丽的风景时，一切都值得了。

而且呀，和小伙伴们一起探讨推导过程，那可有意思多了！大家你一言我一语，说不定就能碰撞出奇妙的火花呢。

你想想，通过自己的努力和思考，一点点地揭开哈密顿原理的神秘面纱，那是多么有成就感的一件事啊！就好像是自己发现了一个新的世界一样。

总之，哈密顿原理推导虽然有难度，但只要我们有耐心、有勇气、有好奇心，就一定能搞定它！相信自己，加油吧！。

5哈密顿原理范文

5哈密顿原理范文哈密顿原理（Hamilton's principle）是类似于欧拉-拉格朗日方程的一个变分原理，它被广泛应用于经典力学和理论物理的研究中。

哈密顿原理是由威廉·哈密顿在19世纪提出的，他认为物理系统的运动路径可以通过使作用量取极值来描述。

为了理解哈密顿原理，我们首先需要明确什么是作用量（action）。

作用量是描述一个物理系统在一段时间内的整体运动的量，它是路径积分的泛函。

在经典力学中，作用量的形式为：S = ∫L(q, q', t) dt其中，S是作用量，L是拉格朗日量，q是广义坐标，q’是广义坐标的导数，t是时间。

拉格朗日量L是描述系统的动力学性质的函数，它是广义坐标和它们的导数的函数。

根据哈密顿原理，路径使作用量取极值的物理系统的运动路径满足以下条件：∂S/∂q=0和∂S/∂t=0这两个条件分别称为广义力学方程和广义运动方程。

从广义力学方程可以得到欧拉-拉格朗日方程：d/dt(∂L/∂q') - ∂L/∂q = 0这是描述系统运动的方程，通过这个方程可以推导得到系统的运动轨迹。

从广义运动方程可以得到哈密顿正则方程：dq/dt = (∂H/∂p)dp/dt = - (∂H/∂q)其中，q和p分别是广义坐标和它们的共轭动量，H是哈密顿量，它是拉格朗日量L通过勒让德变换得到的。

哈密顿正则方程是描述系统运动的另一种形式，它将系统的动力学性质转化为了广义坐标和动量的方程。

哈密顿原理的意义在于它提供了一种处理动力学问题的方法，通过求解作用量取极值问题，我们可以得到系统的运动轨迹。

而哈密顿原理的导出过程则要借助于变分法和勒让德变换等数学工具。

哈密顿原理的应用非常广泛，不仅可以用于经典力学中的运动方程的推导，还可以用于理论物理的研究中。

例如，在量子力学中，路径积分形式的作用量可以用来计算系统的波函数，从而描述了系统的行为。

总而言之，哈密顿原理是描述物理系统运动的一个重要原理，它通过使作用量取极值来确定系统的运动路径。

哈密顿原理的应用

哈密顿原理的应用什么是哈密顿原理？哈密顿原理是经典力学中的一种基本原理，用于描述自然界中物体在运动过程中所遵循的原理。

哈密顿原理可以简单地表述为：物体在运动过程中，其真实路径是使作用量（或称为作用积分）取得极值的路径。

哈密顿原理的数学表述从数学角度上看，哈密顿原理可以通过积分方程来表述。

假设一个运动系统的Lagrange函数为L(q, \dot{q}, t)，其中 q 为广义坐标，\dot{q} 为广义速度，t 为时间。

那么，根据哈密顿原理，系统的状态将会沿着满足以下方程的路径运动：\delta \int L(q, \dot{q}, t) dt = 0这个方程是一个变分问题，通过对方程求驻点来得到系统的真实路径。

其中，\delta 表示变分（即微小变化）。

哈密顿原理的应用哈密顿原理在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。

下面列举几个典型的应用：1.经典力学：哈密顿原理是经典力学中最基本的原理之一。

它可以用来推导出Lagrange方程和Hamilton方程，从而描述物体在运动过程中所遵循的规律。

通过哈密顿原理，我们可以得到物体在势能场中的运动方程，并进一步研究力的作用和能量的变化规律。

2.量子力学：哈密顿原理在量子力学中也有重要的应用。

量子力学中的体系可以使用波函数描述，而波函数的演化过程可以通过哈密顿算符来描述。

哈密顿原理可以用来推导量子力学中的薛定谔方程，从而描述量子体系的演化规律。

3.优化问题：哈密顿原理的变分问题求解方法可以应用于优化问题中。

通过建立适当的Lagrange函数，并使用哈密顿原理进行求解，我们可以得到优化问题的最优解。

这在工程学、经济学等应用中都有重要的作用。

4.控制理论：哈密顿原理在控制理论中有着广泛的应用。

控制理论研究的是如何通过给定系统的模型和特定的控制策略来使系统达到预期的状态。

哈密顿原理可以提供一种优雅的数学框架，用于描述控制系统的演化过程，并求解最优控制问题。

总结哈密顿原理是一种基本的物理原理，在经典力学、量子力学、优化问题和控制理论等领域得到了广泛的应用。

哈密顿原理历史

哈密顿原理历史
哈密顿原理，以杰出的爱尔兰数学家和物理学家威廉·罗恩·哈密顿命名，是经典力学中的一块基石。

这一原理的提出，标志着物理学从牛顿力学向后牛顿时代的跨越，是近现代物理学发展的重要里程碑。

哈密顿原理，又称为最小作用原理，其核心思想是物理系统的运动路径总是使得作用量取得极值。

这里的“作用量”是一个描述物理系统在一段时间内整体运动的物理量，它通过拉格朗日量来确定。

而哈密顿原理实际上就是这个作用量的变分原理。

公元1834年，哈密顿提出了这一具有划时代意义的原理。

在他的理论中，拉格朗日力学与哈密顿力学得以紧密结合，为后来物理学的发展开辟了新的道路。

拉格朗日力学，由法国数学家约瑟夫·路易·拉格朗日发展，通过拉格朗日方程描述物体的运动，这种方法在处理复杂系统问题时显示出其独特的优势。

而哈密顿力学，作为哈密顿原理的另一种表述形式，使用哈密顿方程来描述物体的运动，它在数学上的优美性和广泛的应用领域使得物理学的研究进入了一个新的阶段。

哈密顿原理的提出，不仅深化了我们对物体运动规律的理解，更重要的是，它为物理学的研究提供了一种全新的思路和方法。

通过哈密顿原理，我们可以求解质点在不同力场中的运动轨迹，这对于解决实际问题具有重要意义。

此外，哈密顿原理的广泛应用也推动了其他物理学领域的发展，如电磁学等。

总的来说，哈密顿原理是物理学发展史上的一个重要里程碑。

它的提出不仅标志着物理学从牛顿力学向后牛顿时代的跨越，而且为物理学的研究提供了新的思路和方法，推动了物理学的发展。

哈密顿原理的推导

哈密顿原理的推导
1.系统的自由度确定：首先，需要确定系统的自由度。

自由度是描述系统运动所需要的最少独立坐标数。

一个自由度可以是一个动态变量，如质点的位置或速度，或者是一个静态变量，如角度等。

2.微元及约束条件的选择：根据系统的自由度数目，选择适当的微元变量，并确定系统在这些微元变量下的约束条件。

3.定义微分变量和广义坐标：通过对微元变量中的一部分进行积分，并定义微分变量和广义坐标，以从多个变量函数中得到单个变量函数。

广义坐标可以是位置或速度的函数，也可以是其他描述系统性质的变量。

4.拉格朗日方程的建立：利用约束条件和广义坐标，建立拉格朗日方程。

拉格朗日方程描述了系统的动力学，并包含了系统的所有信息。

5.哈密顿原理的应用：应用哈密顿原理，即使系统在时间上的变化是最小的，从而得到系统的运动方程。

哈密顿原理可以通过微分的形式来表达，即系统的动作路径的变分应该为零。

6.计算哈密顿量：通过拉格朗日方程，可以得到哈密顿量，它由广义坐标和动量构成。

哈密顿量描述了系统在相空间中的运动。

7.求解运动方程：利用得到的哈密顿量，可以求解系统的运动方程。

这些方程可以通过哈密顿正则方程得到，即通过广义坐标和动量的偏导数来表达。

总结起来，哈密顿原理的推导过程主要是通过选择适当的微元变量、约束条件和广义坐标，然后建立拉格朗日方程，并应用哈密顿原理得到系
统的运动方程和哈密顿量。

这一过程是经典力学中求解运动方程的一种重要方法，也为后续的量子力学和统计力学的发展奠定了基础。

哈密顿力学

§5-3 正则方程
1.从拉格朗日方程到正则方程
统计物理、电动力学和量子力学等理论物理学科中对力学的描述更多的是采用哈密顿正则方程的形式。
根据哈密顿函数的定义
d H d L s p q & s(q & a d p a p a d q & a ) d L
1
a 1
d dt q & L q L =0
d dx
f y
'
f y
0
欧勒方程
例：求最速落径方程
解：已知
f
1 y '2 ， 2gy
根据欧勒方程
d f
dx
y
-
f 0. y
f 1 1 y '2 y 3 / 2 ; f 1 (1 y '2 ) 1/ 2 y
y 2 2g
y 2gy
d
dx
1 2gy
(1
y
'2 ) 1/ 2
Q qt1 qt2 0
t1 t2s1qL d dtq & L qdt0
Qq 是任意的
d dt q & L q L 0
(1,2...s)
三. 哈密顿原理的意义
➢哈密顿原理在理论上具有特别重要的意义, 它是建立在描述体系运动总体效果----积分形式的基础之上，与采用什么样的广义坐标（坐标系）无关，因此只要适当引进拉格朗日函数（对相互作用需要建立模型得到势函数或力函数，进而得到拉格朗日函数）,就容易推广应用拉格朗日方程和正则方程,并建立整个分析力学的体系.
T [ y ( x ) ] x2 f ( y , y ', x ) d x 可以证明泛函 T [ y ( x ) ] 取极值的条件是其 x1

哈密顿原理的推导

miai ri
i 1
k d j1 dt
T q j
T q j
q j
(9)
n
n
n
k
Fi ri miai ri 0 (2)
Fi ri Q jq j (3)
i 1
i 1
i 1
j 1
将此成果代入(2)式中得：
k d
j1 dt
T q j
T q j
Q j q j
0
(10a)
当主动力有势力时：式中得：
0
(11a)
V 广义力：Q j q j 代入(11a)式中，而拉格朗日
函数L=T-V(质点系旳动能与势能之差又称为动势)
(11a)式又能够写为：
k
j 1
d dt
L q j
q j
L q j
q
j
0
V q j
0 (11b)
将(11b)式乘以dt，并从t1到t2作定积分，有：
t2 t1
mi ri 2 2
n
miai ri
i 1
n
miai
i1
k j 1
ri q j
q
j
k j 1
n i 1
miai
ri q j
q j
ma ri q j
d dt
q j
mi ri 2 2
q
j
mi ri 22(来自)将此成果代回式(4)，并引入质点系动能
得:
T n mi ri2
i1 2
n
q j
ri
q
2ri q t
k 2ri j1 q q j
q j
另一方面，直接由矢径 ri 对某一广义坐