03多项式插值方法(工程数学)

20
几何上 y = p2 ( x ) 为过平面上已知三点 ( xi , yi ) , i = 0,1, 2 的 二次曲线（抛物线） 。
我们利用线性插值基函数思想，利用三个插值结点
x 0 , x1 , x 2 构造二次插值基函数，使得：
l j ( xi ) =
{
1 0
j=i j≠i
i , j = 0,1, 2 .
n n
定理 满足插值条件 pn ( x k ) = yk (k = 0, , n) 的如上式的 n次插值多项式唯一。
28
w( x ) pn ( x ) = ∑ lk ( x ) yk = ∑ yk k =0 k =0 ( x − xk ) w′ ( xk )
n n
定义 (3.7)称作为 Lagrange 插值多项式,并记为
x − x0 x − x1 P 1 ( x) = y0 + y1 x0 − x1 x1 − x0
17
记：
x − x1 l 0 ( x) = , x 0 − x1
x − x0 ， l1 ( x ) = x1 − x 0
称为一次插值基函数。
该基函数的特点如下： 基函数的思想使得插值多项式形
式简洁和易于推广
, xn 中除 xk 外,均为 lk ( x ) 的零点:
( x − xk −1 )( x − xk +1 ) ( x − xn )
1 .
其中 c 为常数， 而
lk ( xk ) = 1 ，即:
c=
所以:
( xk − x0 ) ( xk − xk −1 )( xk − xk +1 ) ( xk − xn )
(3.3)
11
根据(3.3)，线性方程组(3.2)的系数矩阵的秩数为n+1。 所以， (1)当m>n时, (3.2)的解是不唯一的，即插值问题(3.1) 的解不唯一。 (2)当m<n时,矩阵A的行数大于列数。按照(3.3)式,线性 方程组(3.2)是无解的，除非右端全为零。 (3)取m=n是最为适宜的(适定问题)。
21
因为 l 0 ( x1 ) = 0, l 0 ( x 2 ) = 0 ,故可设：
l0 ( x ) = A ( x − x1 )( x − x2 )
而： l0 ( x0 ) = A ( x0 − x1 )( x0 − x2 ) = 1
所以： A =
( x0 − x1 )( x0 − x2 )
1
( x − x1 )( x − x2 ) . l0 ( x ) = ( x0 − x1 )( x0 − x2 )
, x n 互异时矩阵 A 的秩数为 n + 1 .
因为 A 的前 n + 1 列所组成的行列式为(称为 Vandermonde 行列式)
1 V ( x0 , .xn −1 , xn ) = 1 1
x0 x1 xn
2 x0
m x0
x12
2 xn
x1m
m xn
= ∏ ( x j − xi ) ≠ 0
j >i
它是三个二次插值基函数多项式的线性组合,因而其是次数不超 过二次的多项式。
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例 1 设 f (− 1) = 2, f (1) = 1, f (2) = 1 ，求 f (x ) 的二次插值多项式。
解 依公式有 (x0 = −1, x1 = 1, x 2 = 2)
(x − x1 )(x − x2 ) 1 ( 2 = x − 3 x + 2), (x0 − x1 )(x0 − x2 ) 6 (x − x0 )(x − x2 ) 1 = − (x 2 − x − 2 ), l1 (x ) = (x1 − x0 )(x1 − x2 ) 2 (x − x0 )(x − x1 ) 1 2 = (x − 1). l 2 (x ) = (x2 − x0 )(x2 − x1 ) 3
y0 = p1 ( x0 ) , y1 = p1 ( x1 ) 。
x0
x1
16
y = p1 ( x ) 其几何意义是已知平面上两点 ( x 0 , y 0 ) , ( x1 , y1 ) 的一
条直线，由直线的两点式公式可知：
y1 − y 0 P 1( x) = y0 + ( x − x0 ) 。 x1 − x 0
19
1.3 二次插值(抛物线插值)问题
已 知 函 数 y = f ( x ) 在 三 点 x 0 , x1 , x 2 处 的 函 数 值
y0 = f ( x0 ) ， y1 = f ( x1 ) ， y2 = f ( x2 ) 。求一个次数不超过二次的
多项式 p2 ( x ) ,使其满足：
P ( xi ) = yi , i = 0,1, 2. 2
,n
(3.4)
（3.4）称为 , x n 为插值节点， pn ( x ) 为插值多项式，
13
y= pn(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
14
严格的说,插值方法一词只用于 x 落在给定点 x0 , x1 ,
Leabharlann Baidu
, xn 之间的情形,所以也称它为内插法。
如果 x 落在给定点 x0 , x1 ,
, x n 之外,并且仍以插值
( x − xn ) ，则
w( x) lk ( x ) = . ( x − xk ) w′ ( xk )
因此插值表达式为
w( x ) pn ( x ) = ∑ lk ( x ) yk = ∑ yk k =0 k =0 ( x − xk ) w′ ( xk )
n n
(3.7)
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w( x ) yk pn ( x ) = ∑ lk ( x ) yk = ∑ k =0 ( x − xk ) w′ ( xk ) k =0
12
1.1 多项式插值问题
给定 n + 1 个互异点 x 0 , x1 ,
, x n ,对任意一组数 y 0 , y1 ,
, yn ， 求
次数不大于 n 的多项式 pn ( x ) ∈ Pn ，使其满足如下插值条件
pn ( xi ) = yi , i = 0,1,
称 x 0 , x1 , 插值条件。
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同理可得
( x − x0 ) ( x − x2 ) l1 ( x ) = ( x1 − x0 ) ( x1 − x2 )
于是有二次插值多项式：
( x − x0 ) ( x − x1 ) l2 ( x ) = ( x2 − x0 ) ( x2 − x1 )
P2 ( x ) = y 0 l0 ( x ) + y1l1 ( x ) + y 2 l 2 ( x ) ,
2
下面仅以近似计算函数值为例来说明 :
设已知某个函数关系 y = f (x ) 的列表函数值
x y x0 y0 x1 y1 xn yn
而 x ≠ xi (i = 0,1,
n ) ，问应该如何估值 y = f ( x ) ？
3
g(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
4
y= f(x)
g(x) ≈ f(x)
x0
l j ( xi ) = δ ij =
{
1 0
j =i j≠i
i , j = 0,1.
18
从而有：
P ( x ) = y0l0 ( x ) + y1l1 ( x ) , 1
称此形式的公式为拉格朗日型插值多项式。
注：插值基函数与 y0 、 y1 无关，仅由插值结点 x0 、 x1 决定。
一次插值多项式是插值基函数的线性组合,相应的组合系数是 函数值 y0、 y1 。
( x − x0 ) ( x − xk −1 )( x − xk +1 ) ( x − xn ) lk ( x ) = ( xk − x0 ) ( xk − xk −1 )( xk − xk +1 ) ( xk − xn )
26
记 wn +1 ( x ) = w ( x ) = ( x − x0 )
7
1. 多项式插值问题
设 y = f ( x ) 是实变量 x 的单值函数，且已知 f ( x ) 在给定 的 n + 1 个互异点 x0 , x1 ,
, xn 处的值 y 0 , y1 ,
, n.
, y n ,即
yi = f ( xi ) , i = 0,1,
插值的基本问题是:寻求多项式 p(x ) ,使得
第3章
多项式插值
1
插值方法是数学分析中很古老的一个分支。等距 结点内插公式是由我国隋朝数学家刘焯(公元544-610 年)首先提出的;而不等距结点内插公式是由唐朝数学 家张遂(公元683—727年)提出的。这比西欧学者相应 结果早一千年。 插值方法在数值分析的许多分支(例如, 数值积 分, 数值微分, 微分方程数值解,曲线曲面拟合,函数 值近似计算等等)均有应用.
析表达式的简单函数,所以它在 x
= x 处的值可以按表达式精
确地计算出来。这样我们就可以将 g ( x ) 看成 y = f ( x ) 的近似 值了。
6
本章只研究多项式插值，亦即g(x)是x的多项式的 情形。这不仅仅因为多项式是最简单的函数，而且因 为在许多场合，函数容易用多项式近似地表示出来。 此外，用多项式作插值函数可满意地解决一系列有应 用价值的重要问题。特别是数值积分与数值微分的问 题。
⎧0, lk ( xi ) = ⎨ ⎩1,
n
k ≠i , k =i
k , i = 0,
,n
（3.5）
多项式：
p ( x ) = ∑ lk ( x ) y k
k =0
（3.6）
为满足 pn ( xi ) = yi , i = 0,
n 的插值多项式。
25
基函数的条件(3.5)表明 x0 ,
lk ( x ) = c ( x − x0 )
(3.2)
线性方程组的系数矩阵为
⎡1 ⎢ ⎢1 A= ⎢ ⎢ ⎢1 ⎣
x0 x1 xn
2 x0 x 12
x
2 n
m x0 ⎤ m ⎥ x1 ⎥ ⎥ m ⎥ xn ⎥ ⎦
10
上述矩阵是一个 ( n + 1) × ( m + 1) 矩阵.当 m > n 时， A 的列数大 于行数.不难证明，点 x 0 , x1 ,
函数 pn ( x ) 在 x 处近似地代替 f ( x ) ,则一般称这种近似 计算函数的方法为外插法。
15
1.2 线性插值（一次插值）问题
已知函数 f ( x ) 在区间 [ x0 , x1 ] 的端点上的函数值或给定数据 点 y0 = f ( x0 ) , y1 = f ( x1 ) ，求一个一次多项式 y = p1 ( x ) ，使得
x1
x2
x
x3
x4
有时f(x)过于复杂而难以运算, 要用近似函数g(x)来逼近f(x)。
5
插值方法的目的是寻求简单的连续函数 g ( x ) ,使它在 n + 1 个 点 x 0 , x1 ,
, x n 处取给定值 g ( xi ) = yi = f ( xi ) (i = 0,1,
, n) ,
而在别处希望它也能近似地代表函数 f (x ) 。 因为 g ( x ) 已是有解
n
(3.1)
9
该问题等价于求解下列的线性方程组:
2 ⎧ a0 + a1 x0 + a2 x0 + ⎪ 2 ⎪ a0 + a1 x1 + a2 x1 + ⎨ ⎪ 2 ⎪ a0 + a1 xn + a2 xn + ⎩
m + am x0 = y0 ,
+ am x1m = y1 ,
m + am xn = yn ,
l0 (x ) =
从而：
1 1 ⎡ 2 ( x 2 − 3 x + 2 ) − 3 ( x 2 − x − 2 ) + 2 ( x 2 − 1) ⎤ = ( x 2 − 3 x + 8 ) . p2 ( x ) = ⎣ ⎦ 6 6
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2. Lagrange插值多项式
利用插值基函数想法，只要求有如下性质的 n 次多项式 lk ( x ) ，
Ln ( x ) = ∑ lk ( x ) yk
k =0
n
(3.8)。
特点 Lagrange插值公式（3.8）具有结构清晰、紧凑的特点， 因而适合于作理论分析和应用.也非常适合于利用计算机 编程计算。
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例 2 设 f ( x ) = e x ,则 f (−1) = 0.367 87, f (1) = 2.718 28, f (2) =
p ( xi ) = yi , i = 0, 1, n (3.1)
8
设 p ( x ) 是一个 m 次多项式
p ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 +
则插值问题是：
如何确定 p ( x ) 中的系数 a0 , a1 ,
+ am x m
, am ,使得多项式满足:
p ( xi ) = yi , i = 0,1,
7.389 06 ,求 f ( x ) 的 2 次近似多项式。
解
依 Lagrange 插值公式，有
l0 ( x ) = x0 = −1, x1 = 1, x2 = 2,
e x ≈ p 2 ( x ) = 1.165 19 x 2 + 1.175 20 x + 0.377 88 。