高中数学椭圆的焦点三角形

则SPF1F2
_b_2__ta_n____
2
，设F1PF2
yP
，
.
.
F1 0
F2
x
7
例题、
设椭圆 x2
9
y2 4
1的左右焦点为 F1 和 F2 ，点 P 在椭圆上，
且 F1PF2 600 ，求△PF1F2 的面积. 4 3
3
变式
1、已知 F1 、 F2 是椭圆
x2 9
y2 4
1的两个焦点，P
1(a b 0)
3.椭圆中a,b,c的关系是: a2=b2+c2
2
新课引入
以椭圆上一点P和两焦点F1、F2为顶点的三角形 叫做椭圆的焦点三角形。
3
关于椭圆焦点三角形的常见问题：
1 焦点三角形的周长问题 2 焦点三角形的面积问题 3 焦点三角形的顶角问题
4
1 焦点三角形的周长问题
例题、
设椭圆 x2
椭圆的焦点三角形
1
复习回顾
1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的动点
的轨迹叫做椭圆。
| PF1 | | PF2 | 2a(2a | F1F2 |)
2.椭圆的标准方程是：
当焦点在x轴上时
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
当焦点在y轴上时
y2 a2
x2 b2
F1，F2是椭圆
x2 a2
y2 b2
1 a
b
0的两个焦点，
P是椭圆上一点 (长轴端点除外) ，设F1PF2 ，
则当点P在短轴端点时， 最大。
椭圆
9
例题、若 P 在椭圆
x2 9
y2 b2
1(0 b 3) 上的一点， F1, F2 为左右焦点，
若
F1PF2
的最大值为
2
，则
b
的值为
32 2
.
变式
作业：完成导学案《基础训练》
探究、
设椭圆 x2
9
y2 4
1的左右焦点为 F1 和 F2 ，点 P 是椭圆
· 的一个动点，求
uuur PF1
uuur PF2
的最大值和最小值;
12
y
.
F1
O
x2 y2 1
y
94
.x F2
.
F1
O
.x F2
返回
13
y
x2 y2 1
y
94
F1
O
y
x F2
F1
O
9
y2 4
1的左右焦点为 F1 和 F2 ，点 P 在椭圆上，
求 △PF1F2 的周长
y
.
F1 0
周长：2a 2c
P
.
F2 x
5
变式 1、
设椭圆 x2
a2
y2 b2
1
(a b 0) 的焦点为 F1 （-2,0）
和 F2 （2,0），点 P 在椭圆上，且 △PF1F2 的周长为 10，
求椭圆的方程。
1、（2004
湖南）已知
F1
和
F2
是椭圆
x2
89
y2 4
1上的两个焦点，
4 椭圆上一点 P 满足 PF1 PF2 。则满足要求的 P 点有
个
变式
2、（2000
全国）已知
F1
和
F2
是椭圆
x2 9
y2 4
1的两个
焦点，P 为椭圆上一点，当 F1PF2 为钝角时，P 点的横坐标
的取值范围是
-
3
5 5
x2 y2 1
84
y
F2
x
..
F1 O F2
x
..
F1 O
F2
返回
14
为椭圆上
一点，且 F1PF2 600 ，则点 P 到 x 轴的距离是 4 15 ．
PF1 . PF2 =？
15
变式
2、（2003
北京）点
F1
、
F2
是椭圆
x2 a2
y2 b2
1的两个焦点，
点 P 在椭圆上，△POF2 是面积为 3 的正三角形，
则 b2 的值是 2 3
8
3 焦点三角形的顶角问题
已知
，3
5 5
．
链接1 链接2
10
例题、若 P 在椭圆
x2 9
y2 b2
1(0 b
3) 上的一点， F1, F2 为左右焦点，
若
F1PF2
的最大值为
2
，则
b
的值为
32 2
.
变式
1、（2004
湖南）已知
F1
和
F2
是椭圆
x2
89
y2 4
1上的两个焦点，
椭圆上一点 P 满足 PF1 PF2 。则满足要求的 P 点有 2 个
x2 y2 1
95
变式 2、
设椭圆 x2
9
y2 4
1的左右焦点为 F1 和 F2 ，已知直线
过 F1 ，且交椭圆于 A, B 两点，求△ABF2 的周长。
y B
周长为4a
.
A F1 0
.
F2 x
6
2 焦点三角形的面积问题
已知
F1，F2是椭圆
x a
2 2
y2 b2
1 a
b 0的两个焦点，
. P是椭圆上一点 (长轴端点除外)
变式
2、（2000
全国）已知
F1
和
F2
是椭圆
x2 9
y2 4
1的两个
焦点，P 为椭圆上一点，当 F1PF2 为钝角时，P 点的横坐标
的取值范围是
-
3
5 5
，3
5 5
．
11
课堂小结
1.本节课学习了关于椭圆焦点三角形的周长，面积， 顶角等问题。要学会相关公式，定理的应用。
2.椭圆焦点三角形的问题经常综了椭圆的定义， 正（余）弦定理，勾股定理，面积公式， 向量（数量积），三角函数等内容。