2006年高考试题_理科数学试卷及答案(重庆卷)

绝密★启用前 解密时间：2006年6月7日17：00 【考试时间：6月7日15:00—17:00】
2006年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学试题卷（理工农医类）
数学试题（理工农医类）共5页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，
用橡
皮擦干净后，再选涂共他答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字后，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+． 如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ⋅=⋅．
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率
k n k k n n P P C k P --=)1()(．
一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分, 共50分．在每小题给出的四个备选项中, 只
有一项是符合题目要求的．
（1）已知集合U ={1，2，3，4，5，6，7}，A = {2，4，5，7}，B = {3，4，5}，则（C U A ）∪（C U B ）=
（A ）{1，6}
（B ）{4，5}
（C ）{2，3，4，5，7}
（D ）{1，2，3，6，7}
（2）在等差数列{a n }中，若a 4+ a 6=12，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 9的值为
（A ）48
（B ）54
（C ）60
（D ）66
（3）过坐标原点且与圆02
5
2422=+
+-+y x y x 相切的直线的方程为 （A ）y =－3x 或x y 31
= （B ）y = 3x 或x y 31
-=
（C ）y =－3x 或x y 3
1
-=
（D ）y = 3x 或x y 3
1
=
（4）对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l
（A ）平行 （B ）相交
（C ）垂直
（D ）互为异面直线
（5）若n
x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-13的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为 （A ）－540 （B ）－162
（C ）162
（D ）540
（6）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－18
岁的男生体重（kg ），得到频率分布直方图如下：
根据上图可得这100名学生中体重在[56.5, 64.5]的学生人数是
（A ）20 （B ）30 （C ）40
（D ）50
（7）与向量⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=27,21,21,27b a 的夹角相等, 且模为1的向量是
（A ）⎪⎭⎫ ⎝
⎛-53,54
（B ）⎪⎭⎫
⎝
⎛-53,54或 ⎪⎭⎫
⎝⎛-53,54
（C ）⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-31,322
（D ）⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-31,322或⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-31
,322
（8）将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配 方案有 （A ）30种 （B ）90种 （C ）180种
（D ）270种
（9）如图所示, 单位圆中弧AB
的长为)(,x f x 表示弧AB 与弦AB 所围 成的弓形面积的2倍，则函数)(x f y =的图象是
（10）若a , b , c > 0且324)(-=+++bc c b a a ,则c b a ++2的最小值为
（A ）13-
（B ）13+
（C ）232+
（D ）232-
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填写在答题卡相应位置上． （11）复数 的值是_______．
（12）=+--+++∞
→12)
12(312
lim n n n n _______．
（13）已知=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+⎪⎭⎫
⎝⎛∈4cos ,13124sin ,53)sin(,,43,παπββαππβα则_______．
（14）在数列{}n a 中, 若32,111+==+n n a a a （n ≥1）, 则该数列的通项=n a _______． （15）设,1,0≠>a a 函数)
32lg(2
)(+-=x x
a x f 有最大值, 则不等式0)75(log 2
>+-x x a
的
⌒ ⌒
1 + 2i 3 + i 3
解集为_______．
（16）已知变量y x ,满足约束条件41≤+≤y x ,22≤-≤-y x , 若目标函数y
ax z +=（其中0>a ）仅在点（3,1）处取得最大值，则a 的取值范围为_______．
三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）(本小题满分13分) 设函数2cos 3)(=
x f ωx + sin ωxcos ωx + a （其中ω> 0, a ∈R ）, 且)(x f 的图象在
y
轴右侧的第一个最高点的横坐标为6
π． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）如果)(x f 在区间⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡-
65,3ππ上的最小值为3, 求a 的值．
（18）(本小题满分13分)
某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠．若该电梯在底层载有5
位乘客, 且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为3
1
, 用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数, 求： （Ⅰ）随机变量ξ的分布列；
（Ⅱ）随机变量ξ的期望．
（19）(本小题满分13分)
如图, 在四棱锥ABCD P -中, ⊥PA 底面ABCD ,
DAB ∠为直角, ,2,//AB CD AD CD AB == E 、F 分
别为PC 、CD 的中点．
（Ⅰ）试证：⊥CD 平面BEF ；
（Ⅱ）设AB k PA ⋅=, 且二面角C BD E --的平面角大于30°, 求k 的取值范围． （
20）(本小题满分13分)
已知函数x
e c bx x x
f )()(2++=, 其中R c b ∈,为常数．
（Ⅰ）若)1(42
->c b , 讨论函数)(x f 的单调性； （Ⅱ）若)1(42-≤c b , 且,4)(lim 0
=-→x
c
x f x 试证：26≤≤-b ．
（21）(本小题满分12分)
已知定义域为R 的函数)(x f 满足x x x f x x x f f +-=+-2
2
)())((． （Ⅰ）若3)2(=f , 求)1(f ； 又若)(,)0(a f a f 求=；
（Ⅱ）设有且仅有一个实数0x , 使得00)(x x f =,求函数)(x f 的解析表达式．
（22）(本小题满分12分)
已知一列椭圆,1:22
2
=+n
n b y x C
10<<n b , n = 1, 2, …, 若椭圆C n 上有一点
P n , 使P n 到右准线l n 的距离d n 是| P n F n |与 | P n G n |的等差中项, 其中F n 、G n 分别是C n 的左、右焦点．
（Ⅰ）试证：2
3
≤
n b （n ≥1）； （Ⅱ）取2
32++=n n b n ,并用S n 表示△P n F n G n 的面积,试证：121+><n n S S S S 且 （n ≥3）．
2006年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学试题卷（理工农医类）答案
一、选择题：每小题5分，满分50分. （1）D （2）B （3）A （4）C （5）A （6）C
（7）B
（8）B
（9）D
（10）D
二、填空题：每小题4分，满分24分. （11）
i 10
7
101+ （12）
2
1
（13）65
56-
（14）321
-+n
（15）（2，3） （16）a >1
三、解答题：满分76分. （17）（本小题13分）
解：（Ⅰ）a x x x f +++=
|2
3
|2sin 212cos 23)(ωω .2
3
)3
2sin(a x ++
+
=π
ω 依题意得 .2
3
6
2π
π
π
ω=
+
⋅
解得.2
1=
ω （Ⅱ）由（Ⅰ）知，.2
3
)3
sin()(a x x f ++
+=π
又当]6
5,3[π
π-∈x 时，]6
7,
0[3
ππ
∈+
x 故1)3
sin(21≤+≤-
π
x ， 从而]65,
3[)(π
π-
在x f 上取得最小值.2
3
21a ++-
因此，由题设知2
1
3 ,32
3
21+==++-a a 故. （18分）（本小题满分13分）
解法一：（Ⅰ）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，5.
由等可能性事件的概率公式得
.24380
3
2)1(,
24332
32)0(5
41
555=⋅=====C P P ξξ
.24340
32)3(,
24380
32)2(5
43
55325=⋅===⋅==C P C P ξξ
.2431
3
1)5(,24310
3
2)4(5
5
45==
==⋅==ξξP C P
从而ξ的分布列为
（Ⅱ）由（Ⅰ）得ξ的期望为
.3
52434052431
5243104243403243802243801243320==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
=ξE
解法二：（Ⅰ）考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验. 故),3
1
,5(B =ξ即
.5,4,3,2,1,0 ,)3
2
()31()(545===-k C k P k k ξ
由此计算ξ的分布列如解法一.
（Ⅱ）.3
5315=⨯
=ξE 解法三：（Ⅰ）同解法一或解法二
（Ⅱ）由对称性与等可能性，在三层的任一层下电梯的人数同分布，故期望值相等.
即,53=ξE 从而.3
5
=
ξE （19）（本小题13分） 解法一：
（Ⅰ）证：由已知AB DF =
//且∠DAB 为直角，故ABFD 是矩形，从而CD ⊥BF .
又P A ⊥底面ABCD , CD ⊥AD , 故由三垂线定理知CD ⊥P D . 在△P DC 中, E 、F
分
别为P C 、CD 的中点，故EF //P D ，从而CD ⊥EF ，由此得CD ⊥面BEF .
（Ⅱ）连接AC 交BF 于G ，易知G 为AC 的中点，连接 EG ，则在△P AC 中易知EG //P A ，又因 P A ⊥底面ABCD ，故EG ⊥底面ABCD . 在底 面ABCD 中，过G 作GH ⊥BD ，垂足为H ，连接 EH ，由三垂线定理知EH ⊥BD . 从而∠EHG 为 二面角E —BD —C 的平面角.
设AB =A ，则在△P AC 中，有
ka PA BG 2
121== 以下计算GH ，考虑底面的平面图（如答（19）图2），连结GD ，
因DF GB GH BD S GBD ⋅=⋅=
∆21
21 故.BD
DF
GB GH ⋅=
在△ABD 中，因AB =a ，AD =2a ，得.5a BD =
而AB DF a AD FB GB ====
,2
1
21，从而得 a a
a a BD AB GB GH 55
5=⋅=⋅=
因此.25
5
5
21
tan k a ka
GH EG EHG === 由k >0知∠EHG 是锐角，故要使∠EHG >30°，必须
,3
330tan 25=︒>k
解之得，k 的取值范围为.15
15
2>
k 解法二：
（Ⅰ）如图，以A 为原点, AB 所在直线为x 轴, AD 所在直线为y 轴, A P 所在直线为z 轴建立 空间直角坐标系，设AB =a ，则易知点A ，B ，C ，D ，F 的坐标分别为
A （0，0，0），
B （a ，0，0），
C （2a ，
2a ，
0），
D （0，2a ，0），F （a ，2a ，0）
从而)0,2,0( ),0,0,2(a a ==，
. ,0⊥=⋅故
设P A =B ，则P （0，0，b ），而E 为P C 中点，故
)2,,(b a a E . 从而).2
,,0(b a =
. ,0⊥=⋅故
由此得CD ⊥面BEF .
（Ⅱ）设E 在xOy 平面上的投影为G , 过G 作为GH ⊥BD 垂足为H , 由三垂线定理知EH ⊥BD . 从而∠EHG 为二面角E —BD —C 的平面角. 由)0,,( ),2
,
,( ),,0,0(a a G ka
a a E ka P AB k PA 得⋅=. 设)0,,(y x H ，则)0,2,(),0,,(a a a y a x -=--=，
由0)(2)(0=-+--=⋅a y a a x a 得，即
a y x -=-2 ① 又因)0,,(y a x BH -=，且与的方向相同，故
a
y
a a x 2=
-，即
a y x 22=+ ②
由①②解得a y a x 5
4
,53==
. 从而a a a 55||),0 ,51 ,52(=
--=.
.25
5
52|
|tan k a ka
GH EHG ===
由k >0知∠EHG 是锐角，由∠EHG >30°，得︒>30tan tan EHG ，即.3325>k
故k 的取值范围为.15
15
2>
k
（20）（本小题13分）
解：（Ⅰ）求导得2
2])2([)(c c b x b x x f ++++='
因0)2(0)( ),1(42
2
=++++='->c b x b x x f c b 即故方程有两根；
2
)1(422
2)1(4222221--+
+-=<---+-=c b b x c b b x 令21 ,0)(x x x x x f ><>'或解得； 又令21 ,0)(x x x x f <<<'解得，
故当)( ,),(1x f x x 时-∞∈是增函数；当)( ,),(2x f x x 时+∞∈是增函数；
但
当)( ,),(21x f x x x 时∈是减函数.
（Ⅱ）易知c b f c f +='=)0( ,)0(，因此 .)0()
0()(lim )(lim 00
c b f x
f x f x c x f n n +='=-=-→→
所以，由已知条件得
⎩
⎨⎧-≤=+),1(4,
42c b c b
因此.01242
≤-+b b
解得26≤≤-b .
（21）（本小题12分）
解：（Ⅰ）因为对任意x x x f x x x f f R x +-=+-∈2
2
)())(( ,有，所以 .22)2()22)2((2
2
+-=+-f f f 又由3)2(=f ，得.1)1( ,223)223(2
2
=+--+-f f 即
若.)( ,00)00( ,)0(2
2
a a f a a f a f =+-=+-=即即
（Ⅱ）因为对任意x x x f x x x f f R x +-=+-∈2
2
)())(( ,有， 又因为有且只有一个实数,)( ,000x x f x =使得
所以对任意,)( ,02
x x x x f R x =+-∈有，
在上式中令,)( ,002000x x x x f x x =+-=有
又因为.10 ,0 ,)(0020000===-=x x x x x x f 或故所以
若0)( ,020=+-=x x x f x 则，即
.)(2x x x f -=
但方程02x x x =-有两个不同实根，与题设条件矛盾，故.00≠x
若0x =1, 则有.1)( .1)(22+-==+-x x x f x x x f 即易验证该函数满足题设条件.
综上，所求函数为
)(1
)(2R x x x x f ∈+-=
（22）（本小题12分）
证：（Ⅰ）由题设及椭圆的几何性质有
1 ,2||||2==+=n n n n n n d C P F P d 故.
设21n n b c -=，则右准线方程为 .1:n
n c x l = 因此，由题意d n 应满足
.1111+≤≤-n
n n c d c 即.121 ,10111<≤⎪⎩
⎪⎨⎧<<≤-n n n c c c 解之得 即,112
12<-≤n b 从而对任意.23 ,1≤
≥n b n （Ⅱ）设点P n 的坐标为1 ),,(=n n n
d y x 则由及椭圆方程易知
,11-=n
n c x ).122(1))11(
1)(1()1(23222222-++-=
---=-=n n n n n
n n n n c c c c c c x b y
因n n n n n n C F P c C P ∆=故 ,2||的面积为||n n n y c S =，从而
)121( 122232<<-++-=n n n n n c c c c S 令122)(23-++-=c c c c f ，由
0226)(2=++-='c c c f 得两根.6
131± 从而易知函数)231 ,21()(+在c f 内是增函数，而在 )6
131(+内是减函数. 现在由题设取n n n n c n n n b c n n b ,211211 ,2322+-=++=-=++=
则是增数列，又易知
3254613143c c =<+<=
， 故由前已证，知S 1<S 2，且)3(1
≥>+n S S n n .。