北理工 概率论 田第3讲(2012)
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§1.7
全概率公式与Bayes公式
一.
全概率公式
在概率论中常常会遇到一些较复杂的事件。这 就提出如下问题：复杂事件A的概率如何求？
A3
A1 A2
A5
A6 A8
B A4 A7
定义
设S为试验E的样本空间，A1,…An为E
的一组事件。若
（1） A1,…An互不相容，i=1,…,n
n
（2）
Ai S
i 1
A2
例2 发报机发出“.”的概率为0.60，发出“—”的
概率为0.40；收报机将“.”收为“.”的概率为0.99，
将“—”收为“.”的概率为0.02。求收报机将任一
信号收为“.”的概率
解：记 B ={收报机收到“.”} A1={发报机发出“.”}, A2={发报机发出“—”}, 且B= BA1+BA2，BA1与BA2两两互斥
原来认为作案可能性较小的某甲， 现在可能变成了重点嫌疑犯.
例6. 对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好 时，产品的合格品率为98%。当机器发生某种故障 时，产品的合格品率为55%。根据以往经验，每天 早上机器开动时，机器调整良好的概率为95%。这 一日早上生产了一件产品，发现是合格品，问该日 机器调整良好的概率是多少？ 解：记 A ={生产了一件合格品} B1={机器调整良好}, B2={机器发生某种故障},
P( Aj ) P( B | Aj )
P( A ) P( B | A )
i 1 i i
n
, j 1, 2, ,n
证明： 由条件概率的定义和全概率公式，有
P( Aj | B)
P( Aj B) P( B)
P( Aj ) P( B | Aj )
P( A ) P( B | A )
i 1 i i
阳性的概率为P(A|B1)=0.99，无病者错检为阳性的概
率为P(A|B2)=0.05。现设某人已检出阳性，问他患病
的概率是多少？(求P(B1 |A))
例7 . P(B1)=0.0004 , P(B2)=0.9996。P (A|B1)=0.99，
P(A|B2)=0.05。求P(B1 |A)
P( B1 A) P( B1 ) P( A | B1 ) P( B1 | A) P( A) P( B1 ) P( A | B1 ) P( B2 ) P( A | B2 )
P( B1 A) P( B1 ) P( A | B1 ) P( B1 | A) P( A) P( B1 ) P( A | B1 ) P( B2 ) P( A | B2 )
0.98 0.95 0.97 0.98 0.95 0.55 0.05
例7. 据调查某地区居民患某种疾病的概率为0.0004，
A1={发报机发出“.”}, A2={发报机发出““—”},
P( B) P( A1 ) P( B｜A1 ) P( A2 ) P( B｜A2 ) 0.6 0.99 0.4 0.02 0.602
例 3. 在调查家庭暴力所占家庭的比例 p 时, 被调查 者往往不愿回答真相. 为得到实际的 p 同时又不侵犯 个人隐私, 调查人员将袋中放入比例是 p0 的红球和比 例是q0=1p0的白球. 被调查者在袋中任取一球窥视后 放回, 并承诺取得红球就讲真话, 取到白球就讲假话. 被调查者只需在匿名调查表中选“是”(有家庭暴力) 或“否”，然后将表放入投票箱. 如果声称有家庭暴 力的家庭比例是p1, 求 p. 解： 对任选的一个家庭, 用 B 表示回答“是”, 用 A 表示实际“是”。 利用全概率公式得到
n
, ,n
j 1, 2,
Byesian公式可以做如下推广: A1,…,An互不相容, 且
P(Ai)>0, i=1,…, n, P(B)>0
n
B
则有
Aj
j 1
P( Aj | B)
P( Aj B) P( B)
P( Aj ) P( B | Aj )
P( A ) P( B | A )
i 1 i i
P(B)=P( BA1)+P(BA2)
P( A1 )P(B｜A1 ) P( A2 )P(B｜A2 )
例2 发报机发出“.”的概率为0.6，发出“—”的
概率为0.40；收报机将“.”收为“.”的概率为0.99， 将“—”收为“.”的概率为0.02。求收报机将任一 信号收为“.”的概率 记 B ={收报机收到“.”}
i 1
3
对求和中的每一项 运用乘法公式得
代入数据计算得：P(B)=8/15
可以形象地把全概率公式看成为“由原因推
结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”
，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小
有关. 全概率公式表达了它们之间的关系 .
A3 A1 B A4 A7
A5 A6 A8
诸Ai是原因 B是结果
B BS B( A1 A2 An ) BA1 BA2 BAn 又 BA1，BA2， ，BAn互不相容
P( B) P( BAi ) P( Ai ) P( B | Ai )
i 1 i 1 n n
全概率公式可以做如下推广: A1,…,An互不相容, 且
P( B1 A) P( B1 ) P( A | B1 ) P( B1 | A) P( A) P( B1 ) P( A | B1 ) P( B2 ) P( A | B2 )
例6. 对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好 时，产品的合格品率为98%。当机器发生某种故障 时，产品的合格品率为55%。根据以往经验，每天 早上机器开动时，机器调整良好的概率为95%。这 一日早上生产了一件产品，发现是合格品，问该日 机器调整良好的概率是多少？
p1 P( B) P( A) P( B ｜A) P( A) P( B ｜A)
p0 P( A) q0 [1 P( A)] q0 ( p0 q0 ) P( A)
p1 q0 ( p0 q0 ) P( A)
于是只要 p0 q0 ，则
p1 q0 p P( A) p0 q0
人群中的肺癌发病率. 解: 设 A=有肺癌, B=吸烟, 则 P(A)=10-4, P(B|A)=99.7%, P( B | A) 95.8%
P ( A1 ) P ( B | A1 )
P ( A ) P ( B｜A )
k 1 k k
将这里得到的公式一般化，就得到
二. 贝叶斯公式
定理
设 S 为试验 E 的样本空间， B 为 E 的事件，
A1,…An为S的一个划分，且P(Ai)>0, i=1,…, n,
P(B)>0，则有
P( Aj | B)
P(Ai)>0, i=1,…, n,
B
则有
n
Aj
j 1
P ( B ) P ( Ai ) P ( B | Ai )
i 1
n
一个经常使用的全概率公式: 设0&( B | A) P( A) P( B | A)
例1 有三个箱子，分别编号为1, 2, 3，1号箱装有1个 红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红 球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球， 求取得红球的概率. 解：记 B ={取得红球} Ai={球取自i 号箱},
n
, ,n
j 1, 2,
一个经常使用的全概率公式: 设0<P(A)<1, P(B)>0,
则有
P ( AB) P( A | B) P( B) P ( A) P( B | A) P ( A) P( B | A) P ( A) P ( B | A)
贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以 帮助人们确定某结果（事件 B）发生的最可能原 因.
记“一居民患该种疾病”为事件B1 , 并记 B2 B1，
且有P(B1)=0.0004 , P(B2)=0.9996。现用一方法检查该
种疾病，若呈阴性，表明不患病；若呈阳性，表明患 病。由于技术和操作不完善等原因，有病者未必检出 阳性，无病者也有可能呈阳性反应。设事件A表示 “一居民检验出阳性”，根据经验，已知有病者检出
则称 A1,…, An为样本空间S的一个划分，也称 A1,…, An 是完备事件组。
定理
设S为试验E的样本空间， B 为E的事件，
A1,…,An为S的一个划分，且P(Ai)>0, i=1,…, n, 则
P( B) P( Ai ) P( B | Ai )
i 1
n
上式称为全概率公式
证明：
0.99 0.0004 0.00786 0.99 0.0004 0.05 0.9996
例 8 (吸烟与肺癌问题) 1950年某地区曾对50-60岁
的男性公民进行调查. 肺癌病人中吸烟的比例是99.7,
无肺癌人中吸烟的比例是95.8. 如果整个人群的发病
率是 p=10-4. 求吸烟人群中的肺癌发病率和不吸烟
在实际问题中，p1是未知的, 需要经过调查得到. 假定 调查了n个家庭, 其中有k个家庭回答“是”, 则可以 用 近似 p1。由此
ˆ1 k / n p
ˆ1 q0 p p p0 q0
ˆ1 q0 p p p0 q0
如果袋中装有30个红球，50个白球，调查了320 个家庭，其中有195个家庭回答“是”，则 p0 =3/8 q0 =5/8
代入数据有
0.001 0.20 0.004 0.80 P( A | B )
0.001 0.20 0.004 0.80 P( A | B )
于是
P( A | B ) 0.00025
实际中还有如下一类问题
例5. 某人从任一箱中任意摸
出一球，发现是红球,求该 球是取自1号箱的概率. 1红 4 白
i=1, 2, 3; B= BA1+BA2+BA3， 且 BA1、BA2、BA3 两两互斥 P(B)=P( BA1)+P(BA2)+P(BA3)
运用加法公式得
1
2
3
记 B ={取得红球} Ai={球取自i 号箱} ，i=1, 2, 3
1
2
3
P(B)=P( BA1)+P(BA2)+P(BA3)
P( B) P( Ai ) P( B｜Ai )
p1 P (B ) P (A )P (B ｜ A) P (A ) P( B A ｜ )
例 3. 在调查家庭暴力所占家庭的比例 p 时, 被调查 者往往不愿回答真相. 为得到实际的 p 同时又不侵犯 个人隐私, 调查人员将袋中放入比例是 p0 的红球和比 例是q0=1p0的白球. 被调查者在袋中任取一球窥视后 放回, 并承诺取得红球就讲真话, 取到白球就讲假话. 被调查者只需在匿名调查表中选“是”(有家庭暴力) 或“否”，然后将表放入投票箱. 如果声称有家庭暴 力的家庭比例是p1, 求 p. （B 表示回答“是”, A 表 示实际“是”. ）
的概率是0.1%，在人群中有20%是吸烟者，他们患
肺癌的概率约为0.4%. 求不吸烟者患肺癌的概率. 解: 设 A=有肺癌, B=吸烟, 则
P(A)=0.001, P(B)=0.20, P(A|B)=0.004,
由全概率公式有
P( A) P( B) P( A | B) P( B ) P( A | B )
ˆ1 195 / 320 p
于是
195 / 320 5 / 8 q0 p 6.25% 3/8 5/8
ˆ1 q0 p p p0 q0
可以证明 |p0-q0| 越大, 得到的结论越可靠. 但是
|p0-q0| 越大, 调查方案越不易被被调查者接受。
例 4. 据美国一份资料报导，在美国总的来说患肺癌
例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有 甲、乙、丙三人.
在不了解案情细节(事件A) 之前，侦破人员根据过去 的前科，对他们作案的可能性 丙 乙 甲 有一个估计，设为 P(B1) P(B2) P(B3) 但在知道案情细 节后, 这个估计 就有了变化. 偏小
知道A 发生后 P(B1 | A) P(B2 | A) P(B3 | A) 最大
1
2
3
这一类问题在实际中更为常见，它所求的是 条件概率，即已知结果发生的条件下，求某原因 发生可能性的大小.
记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3;
B ={取得红球} 1红 4白 求P(A1|B)
?
1
3
2
3
P ( A1 B) P ( A1 | B) P ( B)
运用全概率公式 计算P(B)
全概率公式与Bayes公式
一.
全概率公式
在概率论中常常会遇到一些较复杂的事件。这 就提出如下问题：复杂事件A的概率如何求？
A3
A1 A2
A5
A6 A8
B A4 A7
定义
设S为试验E的样本空间，A1,…An为E
的一组事件。若
（1） A1,…An互不相容，i=1,…,n
n
（2）
Ai S
i 1
A2
例2 发报机发出“.”的概率为0.60，发出“—”的
概率为0.40；收报机将“.”收为“.”的概率为0.99，
将“—”收为“.”的概率为0.02。求收报机将任一
信号收为“.”的概率
解：记 B ={收报机收到“.”} A1={发报机发出“.”}, A2={发报机发出“—”}, 且B= BA1+BA2，BA1与BA2两两互斥
原来认为作案可能性较小的某甲， 现在可能变成了重点嫌疑犯.
例6. 对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好 时，产品的合格品率为98%。当机器发生某种故障 时，产品的合格品率为55%。根据以往经验，每天 早上机器开动时，机器调整良好的概率为95%。这 一日早上生产了一件产品，发现是合格品，问该日 机器调整良好的概率是多少？ 解：记 A ={生产了一件合格品} B1={机器调整良好}, B2={机器发生某种故障},
P( Aj ) P( B | Aj )
P( A ) P( B | A )
i 1 i i
n
, j 1, 2, ,n
证明： 由条件概率的定义和全概率公式，有
P( Aj | B)
P( Aj B) P( B)
P( Aj ) P( B | Aj )
P( A ) P( B | A )
i 1 i i
阳性的概率为P(A|B1)=0.99，无病者错检为阳性的概
率为P(A|B2)=0.05。现设某人已检出阳性，问他患病
的概率是多少？(求P(B1 |A))
例7 . P(B1)=0.0004 , P(B2)=0.9996。P (A|B1)=0.99，
P(A|B2)=0.05。求P(B1 |A)
P( B1 A) P( B1 ) P( A | B1 ) P( B1 | A) P( A) P( B1 ) P( A | B1 ) P( B2 ) P( A | B2 )
P( B1 A) P( B1 ) P( A | B1 ) P( B1 | A) P( A) P( B1 ) P( A | B1 ) P( B2 ) P( A | B2 )
0.98 0.95 0.97 0.98 0.95 0.55 0.05
例7. 据调查某地区居民患某种疾病的概率为0.0004，
A1={发报机发出“.”}, A2={发报机发出““—”},
P( B) P( A1 ) P( B｜A1 ) P( A2 ) P( B｜A2 ) 0.6 0.99 0.4 0.02 0.602
例 3. 在调查家庭暴力所占家庭的比例 p 时, 被调查 者往往不愿回答真相. 为得到实际的 p 同时又不侵犯 个人隐私, 调查人员将袋中放入比例是 p0 的红球和比 例是q0=1p0的白球. 被调查者在袋中任取一球窥视后 放回, 并承诺取得红球就讲真话, 取到白球就讲假话. 被调查者只需在匿名调查表中选“是”(有家庭暴力) 或“否”，然后将表放入投票箱. 如果声称有家庭暴 力的家庭比例是p1, 求 p. 解： 对任选的一个家庭, 用 B 表示回答“是”, 用 A 表示实际“是”。 利用全概率公式得到
n
, ,n
j 1, 2,
Byesian公式可以做如下推广: A1,…,An互不相容, 且
P(Ai)>0, i=1,…, n, P(B)>0
n
B
则有
Aj
j 1
P( Aj | B)
P( Aj B) P( B)
P( Aj ) P( B | Aj )
P( A ) P( B | A )
i 1 i i
P(B)=P( BA1)+P(BA2)
P( A1 )P(B｜A1 ) P( A2 )P(B｜A2 )
例2 发报机发出“.”的概率为0.6，发出“—”的
概率为0.40；收报机将“.”收为“.”的概率为0.99， 将“—”收为“.”的概率为0.02。求收报机将任一 信号收为“.”的概率 记 B ={收报机收到“.”}
i 1
3
对求和中的每一项 运用乘法公式得
代入数据计算得：P(B)=8/15
可以形象地把全概率公式看成为“由原因推
结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”
，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小
有关. 全概率公式表达了它们之间的关系 .
A3 A1 B A4 A7
A5 A6 A8
诸Ai是原因 B是结果
B BS B( A1 A2 An ) BA1 BA2 BAn 又 BA1，BA2， ，BAn互不相容
P( B) P( BAi ) P( Ai ) P( B | Ai )
i 1 i 1 n n
全概率公式可以做如下推广: A1,…,An互不相容, 且
P( B1 A) P( B1 ) P( A | B1 ) P( B1 | A) P( A) P( B1 ) P( A | B1 ) P( B2 ) P( A | B2 )
例6. 对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好 时，产品的合格品率为98%。当机器发生某种故障 时，产品的合格品率为55%。根据以往经验，每天 早上机器开动时，机器调整良好的概率为95%。这 一日早上生产了一件产品，发现是合格品，问该日 机器调整良好的概率是多少？
p1 P( B) P( A) P( B ｜A) P( A) P( B ｜A)
p0 P( A) q0 [1 P( A)] q0 ( p0 q0 ) P( A)
p1 q0 ( p0 q0 ) P( A)
于是只要 p0 q0 ，则
p1 q0 p P( A) p0 q0
人群中的肺癌发病率. 解: 设 A=有肺癌, B=吸烟, 则 P(A)=10-4, P(B|A)=99.7%, P( B | A) 95.8%
P ( A1 ) P ( B | A1 )
P ( A ) P ( B｜A )
k 1 k k
将这里得到的公式一般化，就得到
二. 贝叶斯公式
定理
设 S 为试验 E 的样本空间， B 为 E 的事件，
A1,…An为S的一个划分，且P(Ai)>0, i=1,…, n,
P(B)>0，则有
P( Aj | B)
P(Ai)>0, i=1,…, n,
B
则有
n
Aj
j 1
P ( B ) P ( Ai ) P ( B | Ai )
i 1
n
一个经常使用的全概率公式: 设0&( B | A) P( A) P( B | A)
例1 有三个箱子，分别编号为1, 2, 3，1号箱装有1个 红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红 球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球， 求取得红球的概率. 解：记 B ={取得红球} Ai={球取自i 号箱},
n
, ,n
j 1, 2,
一个经常使用的全概率公式: 设0<P(A)<1, P(B)>0,
则有
P ( AB) P( A | B) P( B) P ( A) P( B | A) P ( A) P( B | A) P ( A) P ( B | A)
贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以 帮助人们确定某结果（事件 B）发生的最可能原 因.
记“一居民患该种疾病”为事件B1 , 并记 B2 B1，
且有P(B1)=0.0004 , P(B2)=0.9996。现用一方法检查该
种疾病，若呈阴性，表明不患病；若呈阳性，表明患 病。由于技术和操作不完善等原因，有病者未必检出 阳性，无病者也有可能呈阳性反应。设事件A表示 “一居民检验出阳性”，根据经验，已知有病者检出
则称 A1,…, An为样本空间S的一个划分，也称 A1,…, An 是完备事件组。
定理
设S为试验E的样本空间， B 为E的事件，
A1,…,An为S的一个划分，且P(Ai)>0, i=1,…, n, 则
P( B) P( Ai ) P( B | Ai )
i 1
n
上式称为全概率公式
证明：
0.99 0.0004 0.00786 0.99 0.0004 0.05 0.9996
例 8 (吸烟与肺癌问题) 1950年某地区曾对50-60岁
的男性公民进行调查. 肺癌病人中吸烟的比例是99.7,
无肺癌人中吸烟的比例是95.8. 如果整个人群的发病
率是 p=10-4. 求吸烟人群中的肺癌发病率和不吸烟
在实际问题中，p1是未知的, 需要经过调查得到. 假定 调查了n个家庭, 其中有k个家庭回答“是”, 则可以 用 近似 p1。由此
ˆ1 k / n p
ˆ1 q0 p p p0 q0
ˆ1 q0 p p p0 q0
如果袋中装有30个红球，50个白球，调查了320 个家庭，其中有195个家庭回答“是”，则 p0 =3/8 q0 =5/8
代入数据有
0.001 0.20 0.004 0.80 P( A | B )
0.001 0.20 0.004 0.80 P( A | B )
于是
P( A | B ) 0.00025
实际中还有如下一类问题
例5. 某人从任一箱中任意摸
出一球，发现是红球,求该 球是取自1号箱的概率. 1红 4 白
i=1, 2, 3; B= BA1+BA2+BA3， 且 BA1、BA2、BA3 两两互斥 P(B)=P( BA1)+P(BA2)+P(BA3)
运用加法公式得
1
2
3
记 B ={取得红球} Ai={球取自i 号箱} ，i=1, 2, 3
1
2
3
P(B)=P( BA1)+P(BA2)+P(BA3)
P( B) P( Ai ) P( B｜Ai )
p1 P (B ) P (A )P (B ｜ A) P (A ) P( B A ｜ )
例 3. 在调查家庭暴力所占家庭的比例 p 时, 被调查 者往往不愿回答真相. 为得到实际的 p 同时又不侵犯 个人隐私, 调查人员将袋中放入比例是 p0 的红球和比 例是q0=1p0的白球. 被调查者在袋中任取一球窥视后 放回, 并承诺取得红球就讲真话, 取到白球就讲假话. 被调查者只需在匿名调查表中选“是”(有家庭暴力) 或“否”，然后将表放入投票箱. 如果声称有家庭暴 力的家庭比例是p1, 求 p. （B 表示回答“是”, A 表 示实际“是”. ）
的概率是0.1%，在人群中有20%是吸烟者，他们患
肺癌的概率约为0.4%. 求不吸烟者患肺癌的概率. 解: 设 A=有肺癌, B=吸烟, 则
P(A)=0.001, P(B)=0.20, P(A|B)=0.004,
由全概率公式有
P( A) P( B) P( A | B) P( B ) P( A | B )
ˆ1 195 / 320 p
于是
195 / 320 5 / 8 q0 p 6.25% 3/8 5/8
ˆ1 q0 p p p0 q0
可以证明 |p0-q0| 越大, 得到的结论越可靠. 但是
|p0-q0| 越大, 调查方案越不易被被调查者接受。
例 4. 据美国一份资料报导，在美国总的来说患肺癌
例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有 甲、乙、丙三人.
在不了解案情细节(事件A) 之前，侦破人员根据过去 的前科，对他们作案的可能性 丙 乙 甲 有一个估计，设为 P(B1) P(B2) P(B3) 但在知道案情细 节后, 这个估计 就有了变化. 偏小
知道A 发生后 P(B1 | A) P(B2 | A) P(B3 | A) 最大
1
2
3
这一类问题在实际中更为常见，它所求的是 条件概率，即已知结果发生的条件下，求某原因 发生可能性的大小.
记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3;
B ={取得红球} 1红 4白 求P(A1|B)
?
1
3
2
3
P ( A1 B) P ( A1 | B) P ( B)
运用全概率公式 计算P(B)