物理光学-2光波的叠加与分析201

讨论
2 A2 = a12 + a2 + 2a1a2 cos(α 2 − α1 )
1. 设两单色光波在P点的振幅相等：a1 = a2 = a，则合振动的强度为 I = A2 = a 2 + a 2 + 2aa cos(α 2 − α1 ) = 4a 2 cos 2 式中 I 0 = a 2，是单个光波的光强度；
§2.1 两个频率相同、振动方向相同的单色光波的叠加
1. 代数加法 两光波在P点的振动可用波函数表示为： E1 = a1 cos(kr1 − ω t ) E2 = a2 cos(kr2 − ω t ) a1 , a2分别是两光波在P点的振幅。
S1 r1
y P
S2
r2
由叠加原理， P点的合振动应为两振动 的叠加： E = E1 + E 2 = a1 cos(kr1 − ω t ) + a 2 cos(kr2 − ω t ) 令α 1 = kr1，α 2 = kr2，可将上式化简为 E = a1 cos(α 1 − ω t ) + a 2 cos(α 2 − ω t )
2 E x2 + E y = a 2
即合矢量的运动轨迹是一个圆，这种光称为圆 偏振光。
δ=0
π/4
π/2
3π/4
δ= π
5π/4
3π/2
7π/4
3. 左旋和右旋 由合振动矢量旋转方向的不同，可以把椭圆（圆）偏振光分为左旋、右 旋两类。区分原则是：对着光的传播方向观察，合矢量向逆时针方向旋转时 为左旋偏振光；合矢量向顺时针方向旋转时为右旋偏振光。 左旋偏振光：sinδ＞0； 右旋偏振光：sinδ＜0
入射波和反射波的波函数为： E1 = a cos ( kz +ω t ) E1′ = a cos ( kz −ω t+δ )
两波叠加后的合成波波函数为 : E = E1 + E1′ = a cos ( kz + ω t ) + a cos ( kz − ω t +δ ) 可以化为如下形式
δ δ E =2acos kz+ cos wt − 2 2
E1 = a1 exp[i (α1 − ω t )]
A exp(iα )＝a1 exp(iα1 ) + a2 exp(iα 2 ) = a1 cos α1 + a2 cos α 2
设中括号内两复数之和仍为复数，设 ⇒ E = A exp(iα ) exp(− iω t ) = A exp[i (α − ω t )] P点的合振动的振幅A由复数运算求出： A exp(iα )＝a1 exp(iα1 ) + a2 exp(iα 2 )
z2
令α1 = kz1，α 2 = kz2，
Ex = a1 cos (α1 − ω t ) E y = a2 cos (α 2 − ω t )
Ex = cos α1 cos ω t + sin α1 sin ω t a1 Ey a2 = cos α 2 cos ω t + sin α 2 sin ω t
(1) × cos α 2 − (2) × cos α1 Ey Ex cos α 2 − cos α1 = sin ωt sin (α1 − α 2 ) a1 a2 (1) × sin α 2 − ( 2) × sin α1 Ey Ex sin α 2 − sin α1 = cos ωt sin (α 2 − α1 ) a1 a2
E B
§2.2 两个频率相同、振动方向相互垂直的光波的叠加
1. 椭圆偏振光
当两波到达 Z轴上 P点时，振动方程为 E x = a1 cos (kz1 − ω t ) E y = a 2 cos (kz 2 − ω t )
x
S1 S2 z1
y
z
P
两波在P点处叠加后的合振动 E = x0 E x + y0 E y = x0 a1 cos(kz1 − ω t ) + y0 a2 cos(kz 2 − ω t )
2 = a12 + a2 + a1 a2 exp i (α 2 − α1 ) + exp −i (α 2 − α1 ) 2 = a12 + a2 + 2a1a2 cos (α 2 − α1 )
{
}
3. 相幅矢量加法
a2 α1 α
A a1 α1 x
•相幅矢量加法
4. 驻波 一束单色光波垂直入射到两种介质的界面上时，入射光波和反射光波成 为两个频率相同、振动方向相同、传播方向相反的单色波，它们的叠加将形 成驻波。
2 2 Ex E y Ex E y + 2 −2 cos(α 2 − α1 ) = sin 2 (α 2 − α1 ) a12 a2 a1a2
Ex = cos α1 cos ω t + sin α1 sin ω t a1 Ey a2 = cos α 2 cos ω t + sin α 2 sin ω t
3. 位相差的表达式 δ 可写为：
δ = α 2 − α1 = k (r2 − r1 ) =
2π
λ
(r2 − r1 ) = 2π n(r2 − r1 )
λ0
定义式中的 n(r2 − r1 ) = ∆，称为光程差。有了位 相差和光程差的关系 后，可以将 2中的结论转而表述为： 当 ∆＝n(r2 − r1 ) = ± mλ时，I = 4 I 02 1 当 ∆＝n(r2 − r1 ) = ± m + λ时，I = 0 2
这个结果表明：椭圆偏振光的强度等于参与叠加的两个振动方 向相互垂直的单色光波的强度之和。 和两个叠加波的位相差无关 不仅适用于椭圆偏振光，也适用于圆偏振光和自然光 不再发生干涉现象
+ (a1 sin α1 + a2 sin α 2 )sin ω t a1 cos α1 + a2 cos α 2 = A cos α a1 sin α1 + a2 sin α 2 = A sin α
合振动的初位相为 a sin α1 + a2 sin α 2 tgα = 1 a1 cos α1 + a2 cos α 2 P点的合振动可以表示为: E = A cos(α − ω t )
π π E y = a2 cos α 1 − ω t0 − + = a2 2 2
为左旋偏振
4 椭圆偏振光的强度 由第一章关于辐射能的讨论已知，相对光强度即辐射强度的平 均值为
I = E2 对于椭圆偏振光， 即 I = Ix + Iy
2 2 I = (x0 Ex + y0 E y ) ⋅ (x0 Ex + y0 E y ) = Ex + E y
此式表明，形成该波的合振动为频率不变的简谐振动。该振动的特点分 析如下：
(1)
δ 振动 的 振幅 为 A = 2 a cos kz + ， 振幅 随传 播 时的 位置 坐 2 标 z而 变， 将出 现一 系列 的 振幅 为零 的点 — 波节
和一 系 列振 幅为 最大 值 的 点— 波 腹。
经数学运算整理后，得出合振动 的振幅为 :
2 A2 = a12 + a2 + 2a1a2 cos(α 2 − α1 )
= a1 cos ω t cos α1 + a1 sin ω t sin α1 = (a1 cos α1 + a2 cos α 2 ) cos ω t + a2 cos ω t cos α 2 + a2 sin ω t sin α 2
2. 几种特殊情况
（ ） 当δ = ±2 jπ时, 1 a E y = 2 Ex a1
2 2 Ex E y Ex E y + 2 −2 cos(α 2 − α1 ) = sin 2 (α 2 − α1 ) a12 a2 a1a2
( j = 0,1,2,⋯)
椭圆方程变为
δ = α 2 − α1
即合矢量末端的轨迹为一经过坐标原点的直线。 （2） 当δ = ±(2 j + 1)π时, a E y = − 2 Ex a1
例如 δ =α 2 − α 1 =
π
E x = a1 cos (α1 − ω t )
2
时
π E y = a2 cos α 1 − ω t + 2
若在t=t0时刻， 1 − wt0 ) = 0, 则E x = a1 , 而E y = 0 (α
当 t = t0 + T ( T为周期 )时 4 π E x = a1 cos α 1 − ω t0 − = 0 2
(2)
δ 合成波的位相 cos ω t - 与坐标z无关， 2 它的意义是：波不在z方向传播，故称为驻波。
波节
波腹
δ A＝2a cos( kz＋节的位置：kz + = ( m－ )π 2 2 波腹的位置：kz +
振幅为零的点
• 维纳实验证明了 ♠驻波的存在 ♠相邻波腹的间 隔为λ/2 λ ♠对乳胶起作用 的是电矢量而不是磁矢量
y
(1) ( 2)
x
S1
z
P
S2 z1
z2
Ey
一般说来，这是一个椭 圆方程式，表示 合矢量末端的轨迹为一 椭圆。这椭圆内结于 一长方形，长方形各边 与坐标平行，边长为 2a1和2a2。
2a2
o
Ex
2a1
结论：两个在同一方向传播的、频率相同的、振动方向互相垂直的单色光波 叠加时，一般将形成椭圆偏振光。
( j = 0,1,2,⋯)
椭圆方程变为
即合矢量末端的轨迹为一经过坐标原点的直线。 （3） 当j = ±(2 j + 1)(π / 2 )时,
2 2 Ex E y + 2 =1 2 a1 a2
( j = 0,1,2,⋯)椭圆方程变为
合矢量的运动轨迹是一个正椭圆，
若此时又有a1 = a2 = a, 则轨迹方程为
第二章
光波的叠加与分析
§2.1 两个频率相同、振动方向相同的单色光波的叠加
两个或多个光波在空间相遇时产生光的叠加问题。任意光波之间的叠加 结果是很复杂的，本章仅限于讨论频率相同或频率相差很小的单色光波的叠 加问题，而实际光波可以理解为一组由余弦函数表示的单色波的合成。 波的叠加原理：几个光波在空间一点相遇时，相遇点处的合振 动是各个 波单独产生的振动的矢量和。 波的叠加原理实质上是表示波传播的独立性，即各个波独立地产生作用， 不会因为其他波的存在而受到影响，保持自身原有的波动特性。 以下分别讨论三种不同情形的单色光波的叠加，以最简单的两个光波的 叠加为例。
λ0是真空中的波长，通常 仍简写为 λ；
4. 无论位相差表达式还是光程差表达式，都只适用于两光波的初位相相同的 情况。若非如此，还应加上两光波的初位相差。 5. 由光程差的表达式可知，两光波叠加区域内不同位置处将有不同的光程 由光程差的表达式可知， 因而会有不同的光强度， 差，因而会有不同的光强度，整个叠加区域内将出现稳定的光强度的周期 干涉现象， 相干叠加， 性变化，这就是光的干涉现象 这种叠加称为相干叠加 性变化，这就是光的干涉现象，这种叠加称为相干叠加，叠加的光波称为 相干光波。 相干光波。
+ i (a1 sin α1 + a2 sin α 2 ) a1 sin α1 + a2 sin α 2 a1 cos α1 + a2 cos α 2
A2 = A exp ( iα ) A exp ( iα )
*
tan α =
*
= a1 exp ( iα1 ) + a2 exp ( iα 2 ) a1 exp ( iα1 ) + a2 exp ( iα 2 )
2. 复数方法
E1 = a1 cos(α1 − ω t ) E2 = a2 cos(α 2 − ω t ) 光源S1、S2发出的单色光波在P点的复数形式的波函数为：
E2 = a2 exp[i (α 2 − ω t )]
两者叠加的合振动为 : E = E1 + E2 = a1 exp[i(α1 − ω t )] + a2 exp[i(α 2 − ω t )] = [a1 exp(iα1 ) + a2 exp(iα 2 )]exp(− iω t )
δ
2
= 4 I 02 cos 2
δ
2
δ = α 2 − α1，是两光波在P点的位相差。
2. 由 1的结果可知， P点的光强度取决于位相 差δ 当 δ = ±2mπ 时， I = 4 I 02，为最大值； 1 1， ⋯ 当 δ = ± m + 2π 时， I = 0，为最小值。 (m = 0，2， )； 2 当δ 介于以上两种情况之间 时， ≤ I ≤ 4 I 02。 0