相似原理和量纲分析概论
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第2章 相似原理与量纲分析
(Re)p = (Re)m
这表明，原型与模型的雷诺数相等，两流动的黏滞力相似。
（2）弗汝德准则
考虑原型与模型之间重力与惯性力的关系 FIp FGp FIp FIm = = 或 FGp FGm FGm FIm 根据两个力的特征量表示 FI ρl 2 v 2 v 2 = = = Fr 3 FG gl ρgl v2 称为弗汝德数（Froude Number）。 无量纲数 Fr = gl 于是原型与模型重力与惯性力之比可表示为
（1）几何相似(geometric similarity)
几何相似—模型与原型流场的几何形状相似，即相应线 段的长度成比例、夹角相等，即
Hale Waihona Puke lp1 lm1=lp 2 lm 2
=…=
= lr = λ−1 = cons tan t θ = θ p m lm
lp
式中 lr 称为长度比尺(length scale ratio)，λ则 2 称为模型比尺。 Ap lp Ar = = 2 = lr2 面积比尺 Am lm 体积比尺
FVp FVm = FGp FGm = FPp FPm = FIp FIm = cons tan t
或
FVr = FGr = FPr = FIr
2.1.2 相似准则 (similarity criteria) 几何相似是流动相似的基础，而动力相似则是流动相似 的保证。模型与原型动力相似的条件为两流动相似准数相等， 这样一个条件称为相似准则（similarity criterion）。 由于不同流动条件下有不同力的作用，因此也就存在着 不同力的相似准数，以及不同的相似准则。
原型流量
Qp = vp (Bp − bp )hp = 2.3 × (90 − 4.3)× 8.2 = 1616 m 3 / s
流体力学第三章(相似原理与量纲分析)概论
cg g2 / g1
c cv ct
1
w1 t1
c cv2 cl
1 u1
c cg 1g1
cp cl
p1 z1
c cv cl 2
1
2w1 x12
2w1 y12
2w1 z12
21
原型流场的运动方程
1
w1 t1
1 u1
w1 x1
v1
w1 y1
w1
w1 z1
对于原型流动，考虑运动方程在z方向的分量形式
1
w1 t1
1 u1
w1 x1
v1
w1 y1
w1
w1 z1
1 g1
p1 z1
1
2w1 x12
2w1 y12
2w1 z12
以上方程反映实际流场的动力性质和过程
20
模型流场，同样遵循流体的运动方程，即：
2
w2 t2
2 u2
w2 x2
v2
w2 y2
C Cv Ct
CCv2 Cl
CCg
Cp Cl
CCv Cl 2
22
c cv ct
c cv2 cl
ccg
cp cl
c cv cl 2
模型流场中其运动方程的各项（各动力学变量）跟原型 流场相比较必须成相同的常数比例，它是动力相似的充 分必要条件。
23
c cv ct
c cv2 cl
ccg
cp cl
特征Re数定义：
Re UL/ =特征惯性力/特征粘性力
42
以垂直运动方程为例:
w u w v w w w 1 p 2w g t x y z z
惯性力项： V •
w
U2
c cv ct
1
w1 t1
c cv2 cl
1 u1
c cg 1g1
cp cl
p1 z1
c cv cl 2
1
2w1 x12
2w1 y12
2w1 z12
21
原型流场的运动方程
1
w1 t1
1 u1
w1 x1
v1
w1 y1
w1
w1 z1
对于原型流动，考虑运动方程在z方向的分量形式
1
w1 t1
1 u1
w1 x1
v1
w1 y1
w1
w1 z1
1 g1
p1 z1
1
2w1 x12
2w1 y12
2w1 z12
以上方程反映实际流场的动力性质和过程
20
模型流场，同样遵循流体的运动方程，即：
2
w2 t2
2 u2
w2 x2
v2
w2 y2
C Cv Ct
CCv2 Cl
CCg
Cp Cl
CCv Cl 2
22
c cv ct
c cv2 cl
ccg
cp cl
c cv cl 2
模型流场中其运动方程的各项（各动力学变量）跟原型 流场相比较必须成相同的常数比例，它是动力相似的充 分必要条件。
23
c cv ct
c cv2 cl
ccg
cp cl
特征Re数定义：
Re UL/ =特征惯性力/特征粘性力
42
以垂直运动方程为例:
w u w v w w w 1 p 2w g t x y z z
惯性力项： V •
w
U2
四章相似原理与量纲分析ppt课件
但Fr准则要求 Cu CL
二者不能同时满足
而Re准则要求 Cu 1 / CL
解决的办法是采用不同的流体进行实验，同时满足Fr和Re准则
则有： 则：
Cu2 1 和
CgCL
Cu2 CgCL
CL2Cu2 C2
CLCu 1 C
(Cg 1)
C
C
3/ L
2
§4-3相似原理的应用
p m
CL3/ 2
m
L：1 1 3 1 1 0
1 2
T： 1 2 0
1 1
M： 1 0
1 0
1
V
2bg
bg V2
§4-7 量纲分析法之二 ----π定律
2 L1T 1M 0 2 L1T 0M 0 2 L3T 0M 1 2 L1T 1M 1
L：2 2 3 2 1 0
2 1
C
p
m
雷诺数：Re
uL
Re p Re m
雷诺数反映了惯性力与粘性力之比。
§4-2相似准则
三、佛汝德相似准则（重力相似准则）
CG
Gp Gm
M pgp Mmgm
pVp g p mVm gm
CCL3Cg
CG CF 重力与惯性力之比值为同一常数
则： CCL3Cg CCL2Cu2
得：
Cu2 1 也可写成
由量纲和谐原则得：
M 0 1 2
L
1 31 2 3
1 1
2 1
T 1 2
3 1
：
代入原函数：
Vc
K 1d 1
K
d
K Vcd Vcd
即：
Re
Vc d
§4-7 量纲分析法之二 ----π定律
第五章量纲分析和相似原理
Ρ ρ,ρ rho 电阻系数（小写）
∑ ζ,s sigma 总和（大写），表面密度；跨导（小写） Φ φ phi 磁通；角 Ψ ψ psi 角速；介质电通量（静电力线）；角 Ω ω omega 欧姆（大写）；角速（小写）；角
补充资料
A α 阿尔法 B β 贝塔 Γ γ 伽玛 Δ δ 德尔塔 Ε ε 伊普西隆 Ζ δ 泽塔 Μ κ 米欧 Νλ纽 Ξ μ 克西 Ο ν 欧米克隆 ∏π派 Ρξ柔 ∑ ζ 西格玛 Τη陶
对于不可压缩流体运动，则选取M、L、T三个基本量纲，其 他物理量量纲均为导出量纲。 速度 dimv=LT-1； 力 dimF=MLT-2； 加速度 dima=LT-2 动力粘度 dimκ=ML-1T-1
综合以上各量纲式，可得任一物理量q的量纲dimq都可用3
个基本量纲的指数乘积形式表示。
补充资料
1
2
n
据量纲和谐原理 [L]: 有: [T]: [M]: a = a1 1 ＋ a2 2 +……+an n b = b1 1 ＋ b2 2 +……+bn n c = c1 1 ＋ c2 2 +……+cn n
解出： 1 ， 2 ， 3 ， …….. n
（4）举例：已知影响水泵输入功率的物理量有：水的
2、量纲的分类：
（1）基本量纲（独立量纲） ——不能用其它量纲导出的、互相独立的量纲。 长度量纲： [L] 如： 质量量纲： [M] 时间量纲： [T] 温度量纲： [Θ] （2）导出量纲（非独立量纲）
如： 速度量纲： [ L T –1] ； 流量量纲： [ L3 T –1] 。
——可由基本量纲导出的量纲。
2
1 =1
量纲分析和相似理论
模型试验的理论基础——结构相似理论
整理ppt
一、结构相似定理
相似第一定理——牛顿（1786）
彼此相似的现象，单值条件相同，其相似准数相同。
单值条件： ➢几何相似 ➢物理参数相似 ➢边界条件相似 ➢初始条件相似
整理ppt
以牛顿第二定律为例来说明第一相似定理性质
牛顿第二定律，即作用力F等于质量m与加 速度a的乘积，其方向与加速度方向相同，即：
应该指出我们在叙述上面三个相似定理时，为了简便起 见，没有采用微积分运算方程式，但此三个定理对微积分
方程同样适用，例如：对于微分符号 dx，我们可以看成 x2-x1，因此 dx 与 x 具有同样的物理意义，在确定相似系
数与相似判据时可不考虑微积分符号。
V F p M q R r
整理ppt
这几个物理量的量纲是
VLT 1 RL MM FM L 2T
故有
L 1T M 2p L M q L r T M p q L p r T 2 p
根据量纲齐次原则，必须使
p q 0 ,p r 1 , 2 p 1
解得 所以 从而
Cp、 C l、 C 、 C W 、 CA 为相似系数
整理ppt
将式（c）代入(b)式得到
1C CpC Cw l PWlCC C pAPA
将上式与(a)相比较可知，若要两现象相似，必须使
CpCl 1 CCW
Cp 1 CCA
或者
Pl Pl 常数
W W
P P 常数
A
整理ppt
写成一般形式得：
K1PWl，K2 PA
在两个相似现象中，除了具有相同的基本方程外，还要 求模型与原型在与外界接触的区域内的各种条件（支承条 件、约束条件和边界上的受力情况等）保持相似。例如四 周固支的板与四周简支的板，其处理方法是不同的。
整理ppt
一、结构相似定理
相似第一定理——牛顿（1786）
彼此相似的现象，单值条件相同，其相似准数相同。
单值条件： ➢几何相似 ➢物理参数相似 ➢边界条件相似 ➢初始条件相似
整理ppt
以牛顿第二定律为例来说明第一相似定理性质
牛顿第二定律，即作用力F等于质量m与加 速度a的乘积，其方向与加速度方向相同，即：
应该指出我们在叙述上面三个相似定理时，为了简便起 见，没有采用微积分运算方程式，但此三个定理对微积分
方程同样适用，例如：对于微分符号 dx，我们可以看成 x2-x1，因此 dx 与 x 具有同样的物理意义，在确定相似系
数与相似判据时可不考虑微积分符号。
V F p M q R r
整理ppt
这几个物理量的量纲是
VLT 1 RL MM FM L 2T
故有
L 1T M 2p L M q L r T M p q L p r T 2 p
根据量纲齐次原则，必须使
p q 0 ,p r 1 , 2 p 1
解得 所以 从而
Cp、 C l、 C 、 C W 、 CA 为相似系数
整理ppt
将式（c）代入(b)式得到
1C CpC Cw l PWlCC C pAPA
将上式与(a)相比较可知，若要两现象相似，必须使
CpCl 1 CCW
Cp 1 CCA
或者
Pl Pl 常数
W W
P P 常数
A
整理ppt
写成一般形式得：
K1PWl，K2 PA
在两个相似现象中，除了具有相同的基本方程外，还要 求模型与原型在与外界接触的区域内的各种条件（支承条 件、约束条件和边界上的受力情况等）保持相似。例如四 周固支的板与四周简支的板，其处理方法是不同的。
(完整版)相似原理及量纲分析
第十三章相似原理及量纲分析实际工程中，有时流动现象极为复杂，即使经过简化，也难以通过解析的方法求解。
在这种情况下，就必须通过实验的方法来解决。
而工程原型有时尺寸巨大，在工程原型上进行实验，会耗费大量的人力与物力，有时则完全是不可能的(例如：水坝，水工建筑物中抗特大洪水的试验)。
所以，通常利用缩小的模型进行实验。
当然，如果原型尺寸很小，也可利用放大的模型进行实验。
而进行模型实验，首先必须解决两类问题。
(1) 如何正确地设计和布置模型实验，例如，模型形状与尺寸的确定，介质的选取。
(2) 如何整理模型实验所得的结果，例如，实验数据的整理，以及如何将实验的结果推广到与实验相似的流动现象上。
相似原理就是解决上述问题的基础。
本节的内容也适用于叶轮机械的模型研究、热力设备的模型研究以及工程传热学等有关学科。
§13-1 相似的概念相似的概念最早出现在几何学中，如两个相似三角形，应具有对应夹角相等，对应边互成比例，那么，这两个三角形便是几何相似的。
在流体力学的研究中，所谓相似，主要是指流动的力学相似，而构成力学相似的两个流动，一个是指实际的流动现象，称为原型；另一个是在实验室中进行重演或预演的流动现象，称为模型。
所谓力学相似是指原型流动与模型流动在对应物理量之间应互应平行(指矢量物理量如力，加速度等)并保持一定的比例关系(指矢量与标量物理量的数值，如力的数值，时间与压力的数值等)。
对一般的流体运动，力学相似应包括以下三个方面。
一、几何相似几何相似又叫空间相似。
即要求模型的边界形状与原型的边界形状相似，且对应的线性尺寸成相同的比例。
如果以下标1表示原型流动，下标2表示模型流动，则几何相似包括：线性比例尺：常数==21L L L δ (1)面积比例尺：常数====2222121L A L L A A δδ(2)体积比例尺：常数====3L 323121δυυδL L V(3)严格地说，几何相似还包括原型与模型表面的粗糙度相似，但这一点一般情况下不易做到，只有在流体阻力实验，边界层实验等情况下才考虑物体表面的粗糙相似，一般情况下不予考虑。
相似原理与量纲分析
相似原理与量纲分析相似原理和量纲分析是科学研究和工程设计中常用的两种方法，它们在不同领域有着广泛的应用。
相似原理是指在某些条件下，两个或多个对象在某些方面具有相似性的原理，而量纲分析则是一种通过对物理量的量纲进行分析，来确定物理现象之间关系的方法。
本文将分别介绍相似原理和量纲分析的基本概念和应用，以期帮助读者更好地理解和应用这两种方法。
首先，我们来介绍相似原理。
相似原理是指在某些条件下，两个或多个对象在某些方面具有相似性的原理。
在流体力学中，相似原理是研究流体流动时的一种重要方法。
根据相似原理，如果两个流体流动问题在某些方面具有相似性，那么它们的流动规律也应该是相似的。
通过建立相似模型，可以通过对模型进行实验来研究真实流体流动问题，这为工程设计和科学研究提供了重要的手段。
在工程设计中，相似原理也有着广泛的应用。
例如，在飞机设计中，通过建立风洞模型来研究飞机在空气中的飞行性能；在建筑设计中，通过建立模型来研究建筑物在风力作用下的受力情况。
相似原理的应用不仅可以帮助工程师更好地理解和预测真实系统的行为，还可以降低实验成本和风险。
接下来，我们来介绍量纲分析。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析，来确定物理现象之间关系的方法。
在物理学和工程学中，很多物理现象可以通过物理量之间的关系来描述。
通过对这些物理量的量纲进行分析，可以得到物理现象之间的关系，从而简化问题的分析和求解。
在工程设计中，量纲分析也有着重要的应用。
例如，在流体力学中，通过对流体流动中的速度、密度、长度等物理量的量纲进行分析，可以得到无量纲参数，从而简化流体流动问题的分析和求解。
在热力学中，通过对热量、温度、热容等物理量的量纲进行分析，可以得到无量纲参数，从而简化热力学问题的分析和求解。
总之，相似原理和量纲分析是科学研究和工程设计中常用的两种方法，它们在不同领域有着广泛的应用。
通过对相似原理和量纲分析的理解和应用，可以帮助工程师和科研人员更好地理解和解决实际问题，从而推动科学技术的发展和进步。
相似理论和量纲分析
b
两机翼几何相似
3
只要模型与原型的全部对应线性长度的比例相 等，则它们的夹角必相等。
由于几何相似，模型与原型的对应面积、对应 体积也分别互成一定比例，即
• 面积比尺
kA
A A
l2 l2
kl2
• 体积比尺
kV
V V
l3 l3
kl3
4
正态模型：长、宽、高比尺均一致的模型。在 流体力学模型实验中，一般采用正态模型。 变态模型：分别采用不同的长度比尺、高度比 尺和宽度比尺，如天然河道的模型。
14
模型与原型的流场动力相似，它们的牛顿
数必定相等即 Ne Ne;反之亦然。这便是由
牛顿第二定律引出的牛顿相似准则。 不论是何种性质的力，要保证两种流场的
动力相似，它们都要服从牛顿相似准则，于是， 可得：
一、重力相似准则
二、粘性力相似准则 三、压力相似准则 四、非定常性相似准则 五、弹性力相似准则 六、表面张力相似准则
kv 1/ kl
要求相矛盾，即使采用不同的流体介质也很难实现。 31
相似准则数越多，模型实验的设计越困难，甚至根 本无法进行。
近似的模型实验方法，即在设计模型和组织模型实 验时，在与流动有关的相似准则中考虑那些对流动过程
起主导作用的相似准则（决定性准则），而忽略那些对 流动过程影响较小的相似准则（非决定性准则），达到
力的比值。二流动的表面张力作用相似，它们的韦伯
数必定相等，即 We We ；反之亦然。这便是表 面张力相似准则，又称韦伯相似准则。
26
上述的牛顿数、弗劳德数、雷诺数、欧拉 数、斯特劳哈尔数、柯西数、马赫数、韦伯 数等统称为相似准数。
牛顿第二定律所表述的是形式最简单、最 基本的运动微分方程。根据该方程可导出在 各种性质单项力作用下的相似准则。在实际 流动中，作用在流体微团上的力往往不是单 项力，而是多项力，这时牛顿第二定律中的 力代表的便是多项力的合力。
量纲分析与相似原理
量纲分析与相似原理量纲分析与相似原理是一种在工程领域常用的分析方法，用于研究物理量之间的关系和相似性。
通过量纲分析，可以确定物理量之间的依赖关系，从而简化问题的求解过程，提高工程设计的效率。
相似原理则是利用量纲分析的结果，通过建立相似模型来研究实际问题，从而获得与实际情况相似的结果。
在进行量纲分析时，首先需要明确问题中涉及的物理量，包括基本物理量和派生物理量。
基本物理量是不可再分的物理量，例如长度、质量、时间等。
派生物理量是由基本物理量组合而成的物理量，例如速度、加速度、力等。
在量纲分析中，我们通常使用方程式来表示物理量之间的关系，例如 F = ma，其中 F 表示力，m 表示质量，a 表示加速度。
接下来，我们需要确定问题中的基本物理量及其单位。
单位是表示物理量大小的标准，例如长度的单位可以是米，质量的单位可以是千克。
在量纲分析中，我们通常使用方括号 [] 表示物理量的量纲，例如 [F] 表示力的量纲。
根据国际单位制的规定，基本物理量的量纲可以表示为 [L] 表示长度的量纲，[M] 表示质量的量纲，[T] 表示时间的量纲。
在进行量纲分析时，我们需要根据物理量之间的关系，确定它们的量纲式。
量纲式是表示物理量之间关系的方程式，其中物理量的量纲用方括号表示。
例如在力学中，根据牛顿第二定律 F = ma，我们可以得到 [F] = [M][L][T]^-2，表示力的量纲是质量乘以长度再除以时间的平方。
通过量纲分析，我们可以确定物理量之间的依赖关系。
在确定依赖关系时，我们需要注意量纲式中的常数，例如在牛顿定律中的常数就是 1。
通过分析量纲式中的常数，我们可以确定物理量之间的比例关系，从而简化问题的求解过程。
相似原理是在量纲分析的基础上建立的。
在研究实际问题时，我们通常无法直接进行实验或观测，而是通过建立相似模型来模拟实际情况。
相似模型是在尺寸、速度、时间等方面与实际情况相似的模型。
通过量纲分析，我们可以确定相似模型与实际情况之间的比例关系，从而将实际问题转化为相似模型的求解。
第7章 量纲分析与相似原理
c1=1 a1+b1－3c1＝－1 －b1=－2
12
解得 a1=0，b1=2，c1=1
π1 =
τ0
ρv 2
同理：a2=1，b2=1，c2=1 可取 π 2 = Re = vR ν a3=1，b3=0，c3=0 得
π2 =
μ ν 1 （Re 雷诺数） = = Rvρ vR Re
（相对粗糙度）
τ0与沿程水头损失hf的关系(见第6章):
Rep = Rem
而 粘滞力（内摩擦力） T = μA
du du = ρνA dy dy
2 = λ ρ λ2 l λu
→
−1 λT = λ μ λ2 l λ u λl = λ ρ λ ν λ u λl
λQ = λ ν λl ，等
λQ = λl 等
粘滞力作用相似的比尺关系为： λ ν = λ u λl
v = C gh
（理论公式为 v = 2gh
9
10
例：已知一维恒定总流的壁面平均切应力τ0与 μ、R、v、ρ和壁面 粗糙高度ks有关，欲通过试验确定其关系式。 分析：τ0与5个参数有关，试验工作量很大（若每个参数只取10 个值，就总共至少有105个试验组合）。可以设法用π定理减少3 个独立参数。 解：总共六个物理量，基本量纲3个，可以构造3个无量纲量， 得到关系式 F(π1, π2, π3) = 0 步骤：（1）从（ τ0, μ, ks, R, v, ρ）中选3个作为基本物理量 要求几何学量、运动学量和动力学量各一 本例选R、v、ρ （2） 用余下的3个量与R、v、ρ一起构造3个无量纲量
= dimτ • T = ML−1T −1
例：面积A， dim A = ( dim d 2 ) = L2 体积V， dim V = L 3， 都是几何学量
12
解得 a1=0，b1=2，c1=1
π1 =
τ0
ρv 2
同理：a2=1，b2=1，c2=1 可取 π 2 = Re = vR ν a3=1，b3=0，c3=0 得
π2 =
μ ν 1 （Re 雷诺数） = = Rvρ vR Re
（相对粗糙度）
τ0与沿程水头损失hf的关系(见第6章):
Rep = Rem
而 粘滞力（内摩擦力） T = μA
du du = ρνA dy dy
2 = λ ρ λ2 l λu
→
−1 λT = λ μ λ2 l λ u λl = λ ρ λ ν λ u λl
λQ = λ ν λl ，等
λQ = λl 等
粘滞力作用相似的比尺关系为： λ ν = λ u λl
v = C gh
（理论公式为 v = 2gh
9
10
例：已知一维恒定总流的壁面平均切应力τ0与 μ、R、v、ρ和壁面 粗糙高度ks有关，欲通过试验确定其关系式。 分析：τ0与5个参数有关，试验工作量很大（若每个参数只取10 个值，就总共至少有105个试验组合）。可以设法用π定理减少3 个独立参数。 解：总共六个物理量，基本量纲3个，可以构造3个无量纲量， 得到关系式 F(π1, π2, π3) = 0 步骤：（1）从（ τ0, μ, ks, R, v, ρ）中选3个作为基本物理量 要求几何学量、运动学量和动力学量各一 本例选R、v、ρ （2） 用余下的3个量与R、v、ρ一起构造3个无量纲量
= dimτ • T = ML−1T −1
例：面积A， dim A = ( dim d 2 ) = L2 体积V， dim V = L 3， 都是几何学量
相似性原理和量纲分析
相似性原理在算法设计和优化中发挥 着重要作用，有助于提高算法的性能 和效率。
拓展应用领域
随着相似性原理研究的不断深入，其 应用领域也将不断拓展，为更多领域 提供新的思路和方法。
02
量纲分析基本原理
量纲的定义与作用
量纲的定义
量纲是描述物理量性质的一种分类， 表示物理量所属的种类，如长度、时 间、质量等。
03
关注新兴技术的发展 与应用
关注计算机模拟、人工智能等新兴技 术的发展动态，及时将其应用于相似 性原理和量纲分析的研究中，提高其 研究水平和实用性。
THANKS
感谢观看
成为制约其应用的瓶颈之一。
发展趋势与前景展望
多学科交叉融合
随着学科交叉的深入发展，相似性原理和量纲分析有望在更多领域发挥作用，如生物医学、环境科学、社会科学等。
高精度数值模拟与实验技术的结合
随着计算机技术的进步，高精度数值模拟方法将为相似性原理和量纲分析提供更准确、更全面的数据支持，同时与实 验技术的结合将进一步提高其预测能力和实用性。
02
指导实验设计
03
促进模型建立
通过相似性原理，可以指导实验 设计，使得实验结果具有可比性 和可预测性。
相似性原理有助于建立数学模型， 从而更深入地理解物理现象的本 质。
Hale Waihona Puke 量纲分析在相似性原理中的应用
确定相似准则
01
通过量纲分析，可以确定影响物理现象的相似准则，进而建立
相似模型。
推导相似关系
02
利用量纲分析，可以推导出不同物理量之间的相似关系，为实
根据物理量的定义和性质，列出其对应的量 纲表达式。
验证结果
通过比较运算结果与已知物理量的量纲是否 一致，验证分析的准确性。
拓展应用领域
随着相似性原理研究的不断深入，其 应用领域也将不断拓展，为更多领域 提供新的思路和方法。
02
量纲分析基本原理
量纲的定义与作用
量纲的定义
量纲是描述物理量性质的一种分类， 表示物理量所属的种类，如长度、时 间、质量等。
03
关注新兴技术的发展 与应用
关注计算机模拟、人工智能等新兴技 术的发展动态，及时将其应用于相似 性原理和量纲分析的研究中，提高其 研究水平和实用性。
THANKS
感谢观看
成为制约其应用的瓶颈之一。
发展趋势与前景展望
多学科交叉融合
随着学科交叉的深入发展，相似性原理和量纲分析有望在更多领域发挥作用，如生物医学、环境科学、社会科学等。
高精度数值模拟与实验技术的结合
随着计算机技术的进步，高精度数值模拟方法将为相似性原理和量纲分析提供更准确、更全面的数据支持，同时与实 验技术的结合将进一步提高其预测能力和实用性。
02
指导实验设计
03
促进模型建立
通过相似性原理，可以指导实验 设计，使得实验结果具有可比性 和可预测性。
相似性原理有助于建立数学模型， 从而更深入地理解物理现象的本 质。
Hale Waihona Puke 量纲分析在相似性原理中的应用
确定相似准则
01
通过量纲分析，可以确定影响物理现象的相似准则，进而建立
相似模型。
推导相似关系
02
利用量纲分析，可以推导出不同物理量之间的相似关系，为实
根据物理量的定义和性质，列出其对应的量 纲表达式。
验证结果
通过比较运算结果与已知物理量的量纲是否 一致，验证分析的准确性。
第六章 量纲分析和相似原理_图文
（2）普适性。
第六章 量纲分析和相似原理——量纲分析
5
（二）量纲和谐原理
1、量纲和谐原理（Theory of Dimensional Homogeneity）
凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都必须是一致的，
即：只有方程两边的量具有相同的量纲，方程才能成立。这称为量纲和
谐原理。
2、 量纲和谐原理的重要性
1 ( , ) D Re
可见：量纲分析可以建立各物理量间的关系，要确定 数量关系还要通过实验以确定公式中的系数。 同时，量纲分析还给出了试验途径。
第六章 量纲分析和相似原理——量纲分析
10
2、布金汉（Buckingham）定理
（1）定理：对于某个物理现象，如果存在n个变量互为函数，即
解：函数式为：
p f ( , Q , D1 , , D2 , L, )
y1 z1
选取 、Q、D1为基本变量，则存在8-3=5个 数
1 p /( Q D1 )
x1
2 /( Q D1 )
x2 y2 z2
3 D2 /( Q D1 )
x3 y3 z3
f ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ Lp , u, D, , , , g ) 0
p / L 1 x1 y1 z 1 u D
的个数N()=n-m=7-3=4。取u， D， 为基本量，则与⊿p/L的π 1 为：
1= ⊿p/L /(u x1Dy1 z1 )= [ML-2T-2]/{[L T-1 ] x1 [L ]y1 [ML-3 ]z1 }
3、基本量纲（Primary Dimension）：具有独立性的，不 能由其他量纲推导出来的量纲叫做基本量纲。一般取长度 [L]、时间[T]、质量[M]。 4、导出量纲（Derived Dimension）:是指由基本量纲导出的量 纲。
量纲分析和相似理论
1 + a = 0,−1 − 3a + b + c = 0,−1 − b = 0 a = −1, b = −1, c = −1, π 2 =
µ ρVd
这两个独立的无量纲数的关系是
FD ρVd ) = f( 2 2 ρV d µ
流动相似原理
原型：天然水流和实际建筑物等。 原型：天然水流和实际建筑物等。 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物。 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物。 几何相似：即是要求模型和原型所对应线段之比等于一常数。 几何相似：即是要求模型和原型所对应线段之比等于一常数。
相似准则
常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比， 常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比， 组成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数） 组成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数）在相 似流动中应该是相等的。 似流动中应该是相等的。
流动相似原理
雷诺准则——粘性力是主要的力 粘性力是主要的力 雷诺准则
[解]
本问题的物理量共有5个 本问题的物理量共有 个：FD、d 、V 、ρ 、µ ，即n=5，基本量 ， 个独立无量量纲。 纲M、L、T，即m=3，故应该有 个独立无量量纲。则有： [V ] = [ LT −1 ] 、 、 ， ，故应该有2个独立无量量纲 则有：
为循环量， 组合成无量纲数π 选ρ、V、d为循环量，与余下的 D、µ组合成无量纲数 1、π2。 、 、 为循环量 与余下的F 组合成无量纲数
Fp Fm = λ F ——力的比尺 力的比尺
流动相似原理
流动相似的含义： 流动相似的含义：
几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素； 动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。
µ ρVd
这两个独立的无量纲数的关系是
FD ρVd ) = f( 2 2 ρV d µ
流动相似原理
原型：天然水流和实际建筑物等。 原型：天然水流和实际建筑物等。 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物。 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物。 几何相似：即是要求模型和原型所对应线段之比等于一常数。 几何相似：即是要求模型和原型所对应线段之比等于一常数。
相似准则
常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比， 常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比， 组成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数） 组成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数）在相 似流动中应该是相等的。 似流动中应该是相等的。
流动相似原理
雷诺准则——粘性力是主要的力 粘性力是主要的力 雷诺准则
[解]
本问题的物理量共有5个 本问题的物理量共有 个：FD、d 、V 、ρ 、µ ，即n=5，基本量 ， 个独立无量量纲。 纲M、L、T，即m=3，故应该有 个独立无量量纲。则有： [V ] = [ LT −1 ] 、 、 ， ，故应该有2个独立无量量纲 则有：
为循环量， 组合成无量纲数π 选ρ、V、d为循环量，与余下的 D、µ组合成无量纲数 1、π2。 、 、 为循环量 与余下的F 组合成无量纲数
Fp Fm = λ F ——力的比尺 力的比尺
流动相似原理
流动相似的含义： 流动相似的含义：
几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素； 动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。
相似理论与量纲分析
• 在无粘性圆柱绕流中
前后驻点
上下侧点
其他点
• 以上结果对任何大小的来流速度，任何大小的圆柱都适用。
柱面上：
柱面外：
流场中 还与无量纲半径 有关
·
C
·
D
A
B
a
量纲分析法
对于复杂的流动,常用量纲分析法和实验相结合进行研究。
01
量纲分析法是根据量纲齐次性原理寻求物理量之间函数关系的一种方法，也可以得出相似准则。
02
01
03
04
水力学中任何物理量C的量纲可写成
当α、β、γ不全为0时，C称为有量纲量。
=[ M ][ L ][ T ]
当α、β、γ全部为0时，C称为无量纲量或无量纲数。
9.4.2 有量纲量和无量纲量
有量纲量
水力学中的有量纲量可分为三类： 几何学的量，α＝γ＝0，β≠0； 运动学的量， α＝0， γ ≠0； 动力学的量， α ≠0。
粘性力比尺
02
要满足惯性力相似，必须满足CT=CI，即
01
即
02
雷诺数Re反映了惯性力与粘性力之比：
01
要满足重力相似，必须满足CG=CI，即
02
即
佛汝德数Fr反映了惯性力与重力之比：
01
要满足动水总压力相似，必须满足CP=CI，即
02
即
欧拉数的物理意义
欧拉数Eu反映了动水总压力与惯性力之比：
例 经初步分析知道，在水平等直径圆管道内流体流动的压降p与下列因素有关：管径d、管长l、管壁粗糙度 、管内流体密度、流体的动力粘度 ，以及断面平均流速v有关。试用定理推出压降p的表达形式。 解： 所求解问题的原隐函数关系式为 f(p, d, l, , , , v)=0 有量纲的物理量个数n=7，此问题的基本量纲有L、M 、T三个，m=3，按定理，这n个变量转换成有n-m=4个无量纲量的函数关系式 F(1, 2, 3, 4)=0 从7个物理量中选出基本物理量3个，如取、d、v，而 其余物理量用基本物理量的幂次乘积形式表示
前后驻点
上下侧点
其他点
• 以上结果对任何大小的来流速度，任何大小的圆柱都适用。
柱面上：
柱面外：
流场中 还与无量纲半径 有关
·
C
·
D
A
B
a
量纲分析法
对于复杂的流动,常用量纲分析法和实验相结合进行研究。
01
量纲分析法是根据量纲齐次性原理寻求物理量之间函数关系的一种方法，也可以得出相似准则。
02
01
03
04
水力学中任何物理量C的量纲可写成
当α、β、γ不全为0时，C称为有量纲量。
=[ M ][ L ][ T ]
当α、β、γ全部为0时，C称为无量纲量或无量纲数。
9.4.2 有量纲量和无量纲量
有量纲量
水力学中的有量纲量可分为三类： 几何学的量，α＝γ＝0，β≠0； 运动学的量， α＝0， γ ≠0； 动力学的量， α ≠0。
粘性力比尺
02
要满足惯性力相似，必须满足CT=CI，即
01
即
02
雷诺数Re反映了惯性力与粘性力之比：
01
要满足重力相似，必须满足CG=CI，即
02
即
佛汝德数Fr反映了惯性力与重力之比：
01
要满足动水总压力相似，必须满足CP=CI，即
02
即
欧拉数的物理意义
欧拉数Eu反映了动水总压力与惯性力之比：
例 经初步分析知道，在水平等直径圆管道内流体流动的压降p与下列因素有关：管径d、管长l、管壁粗糙度 、管内流体密度、流体的动力粘度 ，以及断面平均流速v有关。试用定理推出压降p的表达形式。 解： 所求解问题的原隐函数关系式为 f(p, d, l, , , , v)=0 有量纲的物理量个数n=7，此问题的基本量纲有L、M 、T三个，m=3，按定理，这n个变量转换成有n-m=4个无量纲量的函数关系式 F(1, 2, 3, 4)=0 从7个物理量中选出基本物理量3个，如取、d、v，而 其余物理量用基本物理量的幂次乘积形式表示
(4)量纲分析和相似原理
φ(π1, π 2, π 3,……, π n-m)=0
π定理的解题步骤： （1）确定关系式：根据对所研究现象的认识，确 定影响这个现象的各个物理量及其关系式: F(q1,q2,q3,……,qn)=0
（2）确定基本量：从n个物理量中选取所包含的 m个基本物理量作为基本量纲的代表，一般取m=3。 在管流中，一般选d，v，ρ三个作基本变量，而在明 渠流中，则常选用H，v，ρ。 （3）确定π数的个数N(π)=(n-m)，并写出其余 物理量与基本物理量组成的π表达式
1 Re
2
d
0
p
V
2
据π定理有：
1 p l k f 2 1 , 2 , 3 , 4 f 2 , , , 2 Re V d d
改写为 p
V
2
l k F , , Re d d
或
l k F , , Re 2 V d d l k 2 p V F , , Re d d
1 1 1 1 1 0
L : 2
2 3 2 1 0 2 0
2
T : 2 M :
L : 3
2 1 0
3 3 3 1 0 0
2 2 2 0 2 1
3 0 3 1 3 0
1 x1 x 2 x 3 x 4 2 x1 x 2 x 3 x 5
所求的物理方程为
2 2 2
1
1
2
f 2 1 , 2 0
[例]：有压管流中的压强损失。 根据实验，压强损失与流速V，管长 l ,管径d，管壁 粗糙度k，流体运动粘滞系数υ ，密度ρ有关，即试用 π定理法求该物理方程。 p f l , d , k , , , V 解： 这7个量中，基本物理量有3个，令管径、平均 流速、密度为基本量，量纲依次为
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性力之比可以表示为
kF
Fit Fit
V vx V vx
t t
k
kl3kv kt1
代入式（4-16），得
kl 1 kv kt
也可以写成
l l vt v t
（4-30） （4-31）
令
l Sr
（4-32）
vt
Sr称为斯特劳哈尔（V.Strouhar）数，也称谐时数。
它是当地惯性力与迁移惯性力的比值。二非定常流动
40）
v 2l We
（4-
令
（4-
41） We We
We 称为 韦伯（M.Weber)数，它是惯性力与张力的
比值。二流动的表面张力作用相似，它们的韦伯数必
定相等，即
；反之亦然。这便是表面张力相
上述的牛顿数、弗劳德数、雷诺数、欧拉数、 斯特劳哈尔数、柯西数、马赫数、韦伯数统称为相似 准则数。
我们知道，牛顿第二定律所表述的是形式最简 单的最基本的运动微分方程。根据该方程可导出在各 种性质单项力作用下的相似准则。在实际流动中，作 用在流体微团上的力往往不是单项力，而是多项力， 这时牛顿第二定律中的力代表的便是多项力的合力。
对于气体，宜将柯西准则转换为马赫准则。由于
K c2（c为声速），故弹性力的比例尺又可表示
为 kF kc2kkl2，代入式（4-16），
kv 1 kc
Hale Waihona Puke v v c cv Ma c
Ma称为马赫（L.Mach）数,它仍是惯性力与弹性力的 比值。二流动的弹性力作用相似，它们的马赫数必定
相等，即Ma Ma ；反之亦然。这仍是弹性力相似
相似主要包括流场的几何相似、运动相似和动力相似。
动力相似准则
律
F
任 何ma系 统.对的模机型械与运原动型都流必场须中服的从流牛体顿微第团二应定用
牛顿第二定律，再按照动力相似，各种力大小的比例
相等，可得
F V dv dt F Vdv dt
kF k kl2kv2
1
F F
l2v2 l 2v2
相似条件系指保证流动相似的必要和充分条 件：.
1) 相似的流动 都属于同一类的流动,它们都应为 相同的微分方程组所描述.
2) 单值条件相似.
几何条件 边界条件 物性条件
初始条件
3)由单值条件中的物理量所组成的相似准则数 相等.
量纲分析方法是与相似原理密 切相关的另一通过试验去探索流动 规律的重要方法，特别是对那些很 难从理论上进行分析的复杂流动， 更能显示出该方法的优越性。
令
F
l 2v2
Ne
（4-18）
Ne称为牛顿（I.New ton）数,它是作用力与惯性力 的比值，是无量纲数。
模型与原型的流场动力相似，它们的牛 顿数必定相等即 Ne Ne ;反之亦然。这便是 由牛顿第二定律引出的牛顿相似准则。
不论是何种性质的力，要保证两种流场 的动力相似，它们都要服从牛顿相似准则，于 是，可得：
准则，又称马赫准则。
表面张力相似准则
在表面张力作用下相似的流动，其表面张力分布
必须相似。作用在二流场流体微团上的张力之比可以
表示为
kF
F F
l l
k kl
式中 为表面张力，k 为表面张力比例尺。将上式
代入式（4-16），得 k kl kv2 1
k
（4-
39） 也可写成
v2l v2l
相似，它们的斯特劳哈尔数必定相等，即 Sr Sr ；
反之亦然。这便是非定常性相似准则，又称斯特劳哈
尔准则或谐时性准则。
倘若非定常流是流体的波动或振荡，其频率为f ,
则
斯特劳哈尔数 32a）
斯特劳哈尔准则
Sr lf v
lf lf
v
v
（4(4-
31a)
弹性力相似准则
kF
Fe Fe
dpA dpA
dvx
dyA
d y A k kvkl
kF 1
k
kl2
k
2 v
k kvkl 1 k
kvkl 1 k
vl vl
vl vl
vl vl Re
Re称为雷诺（O.Reynolds）数,它是惯性力与粘滞力 的比值。
二流动的粘滞力作用相似，它们的雷诺数必定 相等，即 Re Re ；反之亦然。这便是粘滞力相似准 则，又称雷诺准则。
由此可知，粘滞力作用相似的流场，有关物理量 的比例尺要受雷诺准则的制约，不能全部任意选择。 例如，当模型与原型用同一种流体
时，k k 1
，故有
kv
1 kl
压力相似准则
kF
Fp Fp
pA pA
k pkl2
kp k kv2
1
p p
v2 v2
p
v 2
Eu
Eu称为欧拉（L.Euler）数,它是总压力与惯性力的比
相似的概念首先出现在几何学里，如两个三角形相似时，对应边 的比例相等。流体力学相似是几何相似概念在流体力学中的推广和发 展，它指的是两个流场的力学相似，即在流动空间的各对应点上和各 对应时刻，表征流动过程的所有物理量各自互成一定的比例。表征流 动过程的物理量按其性质主要有三类，即表征流场几何形状的，表征 流体微团运动状态的和表征流体微团动力性质的，因此，流体的力学
KAd V V KAd V V
kK kl2
式中K为体积模量，kK 为体积模量比例尺。
k
k
2 v
1
kK
v2 v2
K K
v2 Ca
K
Ca称为柯西（B.A.L.Cauchy）数,它是惯性力与弹性 力的比值。二流动的弹性力作用相似，它们的柯西数 必相等。反之亦然。这便是弹性力相似准则，又称柯 西准则。
一、重力相似准则
二、粘滞力相似准则
三、压力相似准则
四、非定常性相似准则
五、弹性力相似准则
六、表面张力相似准则
重力相似准则
kF
Fg Fg
V g Vg
k kl3kg
代入牛顿相似准则，
kF k kl2kv2
1
kv
kl k g
12
1
v
v
gl1 2 gl1 2
v
gl 1 2
Fr
Fr称为弗劳德（W.Froude）数,它是惯性力与重力 的比值。
值。二流动的压力作用相似，它们的欧拉数必定相等，
即
Eu ；Eu反之亦然。这便是压力相似准则，又
称欧拉准则。
欧拉数中的压强p也可用压差p 来代替，
这时 欧拉数
p
Eu v2
（4-28）
欧拉相似准则
p p
v2 v2
（4-29）
非定常性相似准则
对于非定常流动的模型试验，必须保证模型与原
型的流动随时间的变化相似。由当地加速度引起的惯
二流动的重力作用相似，它们的弗劳德数必定
相等，即 Fr Fr ；反之亦然。这便是重力相似准则。 又称弗劳德准则。由此可知，重力作用相似的流场，
有关物理量的比例尺要受式（4-19）的制约，不能全
部任意选择。由于在重力场中
g
g,kg
，故有
1
（a）
kv kl1 2
粘滞力相似准则
kF
F F
dvx