相似原理和量纲分析概论

相似条件系指保证流动相似的必要和充分条 件：.
1) 相似的流动 都属于同一类的流动,它们都应为 相同的微分方程组所描述.
2) 单值条件相似.
几何条件 边界条件 物性条件
初始条件
3)由单值条件中的物理量所组成的相似准则数 相等.
量纲分析方法是与相似原理密 切相关的另一通过试验去探索流动 规律的重要方法，特别是对那些很 难从理论上进行分析的复杂流动， 更能显示出该方法的优越性。
令
F
l 2v2
Ne
（4-18）
Ne称为牛顿（I.New ton）数,它是作用力与惯性力 的比值，是无量纲数。
模型与原型的流场动力相似，它们的牛 顿数必定相等即 Ne Ne ;反之亦然。这便是 由牛顿第二定律引出的牛顿相似准则。
不论是何种性质的力，要保证两种流场 的动力相似，它们都要服从牛顿相似准则，于 是，可得：
40）
v 2l We
（4-
令
（4-
41） We We
We 称为 韦伯（M.Weber)数，它是惯性力与张力的
比值。二流动的表面张力作用相似，它们的韦伯数必
定相等，即
；反之亦然。这便是表面张力相
上述的牛顿数、弗劳德数、雷诺数、欧拉数、 斯特劳哈尔数、柯西数、马赫数、韦伯数统称为相似 准则数。
我们知道，牛顿第二定律所表述的是形式最简 单的最基本的运动微分方程。根据该方程可导出在各 种性质单项力作用下的相似准则。在实际流动中，作 用在流体微团上的力往往不是单项力，而是多项力， 这时牛顿第二定律中的力代表的便是多项力的合力。
性力之比可以表示为
kF
Fit Fit
V vx V vx
t t
k
kl3kv kt1
代入式（4-16），得
kl 1 kv kt
也可以写成
l l vt v t
（4-30） （4-31）
令
l Sr
（4-32）
vt
Sr称为斯特劳哈尔（V.Strouhar）数，也称谐时数。
它是当地惯性力与迁移惯性力的比值。二非定常流动
相似的概念首先出现在几何学里，如两个三角形相似时，对应边 的比例相等。流体力学相似是几何相似概念在流体力学中的推广和发 展，它指的是两个流场的力学相似，即在流动空间的各对应点上和各 对应时刻，表征流动过程的所有物理量各自互成一定的比例。表征流 动过程的物理量按其性质主要有三类，即表征流场几何形状的，表征 流体微团运动状态的和表征流体微团动力性质的，因此，流体的力学
由此可知，粘滞力作用相似的流场，有关物理量 的比例尺要受雷诺准则的制约，不能全部任意选择。 例如，当模型与原型用同一种流体
时，k k 1
，故有
kv
1 kl
压力相似准则
kF
Fp Fp
pA pA
k pkl2
kp k kv2
1
p p
v2 v2
p
v 2
Eu
Eu称为欧拉（L.Euler）数,它是总压力与惯性力的比
dvx
dyA
d y A k kvkl
kF 1
k
kl2
k
2 v
k kvkl 1 k
kvkl 1 k
vl vl
vl vl
vl vl Re
Re称为雷诺（O.Reynolds）数,它是惯性力与粘滞力 的比值。
二流动的粘滞力作用相似，它们的雷诺数必定 相等，即 Re Re ；反之亦然。这便是粘滞力相似准 则，又称雷诺准则。
一、重力相似准则
二、粘滞力相似准则
三、压力相似准则
四、非定常性相似准则
五、弹性力相似准则
六、表面张力相似准则
重力相似准则
kF
Fg Fg
V g Vg
k kl3kg
代入牛顿相似准则，
kF k kl2kv2
1
kv
kl k g
12
1
v
v
gl1 2 gl1 2
v
gl 1 2
Fr
Fr称为弗劳德（W.Froude）数,它是惯性力与重力 的比值。
相似主要包括流场的几何相似、运动相似和动力相似。
源自文库
动力相似准则
律
F
任 何ma系 统.对的模机型械与运原动型都流必场须中服的从流牛体顿微第团二应定用
牛顿第二定律，再按照动力相似，各种力大小的比例
相等，可得
F V dv dt F Vdv dt
kF k kl2kv2
1
F F
l2v2 l 2v2
相似，它们的斯特劳哈尔数必定相等，即 Sr Sr ；
反之亦然。这便是非定常性相似准则，又称斯特劳哈
尔准则或谐时性准则。
倘若非定常流是流体的波动或振荡，其频率为f ,
则
斯特劳哈尔数 32a）
斯特劳哈尔准则
Sr lf v
lf lf
v
v
（4(4-
31a)
弹性力相似准则
kF
Fe Fe
dpA dpA
对于气体，宜将柯西准则转换为马赫准则。由于
K c2（c为声速），故弹性力的比例尺又可表示
为 kF kc2kkl2，代入式（4-16），
kv 1 kc
v v c c
v Ma c
Ma称为马赫（L.Mach）数,它仍是惯性力与弹性力的 比值。二流动的弹性力作用相似，它们的马赫数必定
相等，即Ma Ma ；反之亦然。这仍是弹性力相似
二流动的重力作用相似，它们的弗劳德数必定
相等，即 Fr Fr ；反之亦然。这便是重力相似准则。 又称弗劳德准则。由此可知，重力作用相似的流场，
有关物理量的比例尺要受式（4-19）的制约，不能全
部任意选择。由于在重力场中
g
g,kg
，故有
1
（a）
kv kl1 2
粘滞力相似准则
kF
F F
dvx
准则，又称马赫准则。
表面张力相似准则
在表面张力作用下相似的流动，其表面张力分布
必须相似。作用在二流场流体微团上的张力之比可以
表示为
kF
F F
l l
k kl
式中 为表面张力，k 为表面张力比例尺。将上式
代入式（4-16），得 k kl kv2 1
k
（4-
39） 也可写成
v2l v2l
KAd V V KAd V V
kK kl2
式中K为体积模量，kK 为体积模量比例尺。
k
k
2 v
1
kK
v2 v2
K K
v2 Ca
K
Ca称为柯西（B.A.L.Cauchy）数,它是惯性力与弹性 力的比值。二流动的弹性力作用相似，它们的柯西数 必相等。反之亦然。这便是弹性力相似准则，又称柯 西准则。
值。二流动的压力作用相似，它们的欧拉数必定相等，
即
Eu ；Eu反之亦然。这便是压力相似准则，又
称欧拉准则。
欧拉数中的压强p也可用压差p 来代替，
这时 欧拉数
p
Eu v2
（4-28）
欧拉相似准则
p p
v2 v2
（4-29）
非定常性相似准则
对于非定常流动的模型试验，必须保证模型与原
型的流动随时间的变化相似。由当地加速度引起的惯