高考数学玩转压轴题专题2_11已知不等恒成立,分离参数定最值1

专题2.11 已知不等恒成立，分离参数定最值
【题型综述】
不等式恒成立的转化策略一般有以下几种：①分离参数＋函数最值；②直接化为最值＋分类讨论；③缩小范围＋证明不等式；④分离函数＋数形结合。

分类参数的优势在于所得函数不含参数，缺点在于函数结构复杂，一般是函数的积与商，因为结构复杂，导函数可能也是超越函数，则需要多次求导，也有可能不存在最值，故需要求极限，会用到传说中的洛必达法则求极限（超出教学大纲要求）；直接化为最值的优点是函数结构简单，是不等式恒成立的同性通法，高考参考答案一般都是以这种解法给出，缺点是一般需要分类讨论，解题过程较长，解题层级数较多，不易掌握分类标准。

缩小参数范围优点是函数结构简单，分类范围较小，分类情况较少，难点在于寻找特殊值，并且这种解法并不流行，容易被误判。

分离函数主要针对选择填空题。

因为图形难以从微观层面解释清楚图像的交点以及图像的高低，这要涉及到图像的连续性以及凸凹性。

还有在构作函数图像时，实际上是从特殊到一般，由特殊几点到整个函数图像，实际是一种猜测。

俗话说，形缺数时难入微。

【典例指引】
例1 己知函数()()ln x x f x e ax b e x =+-.
（1）若函数()f x 在1x =处取得极值，且1b =，求a ；
（2）若b a =-，且函数()f x 在[)1,+∞上单调递増，求a 的取值范围.
法二（直接化为最值＋分类讨论）：令()1
ln g x ax x x
=--，()22
1ax x g x x -+'=.令
()()211h x ax x x =-+≥，
①当 0a =时，1(0)h x x -+<=，所以()0g x '≤，即()g x 在[)1,+∞上单调递减.而()1110g a =-=-<，与()0g x ≥在[)1,x ∈+∞上恒成立相矛盾.
②当0a >时，则开口向上
(方案一）：Ⅰ.若 140a ∆=-≤，即1
4
a ≥
时，()0h x >,即()[)0,1,g x x '>∈+∞，所以()g x 在[)1,+∞上递增，所以()()min
110g x g a ==-≥，即1a ≥.
Ⅱ.若0∆>，即1
04
a <<
时，此时()110g a =-<，不合题意.
法三（缩小范围＋证明不等式）：令()1
ln g x ax x x
=--
，则()10101g a a ≥⇒-≥⇒≥. 另一方面，当1a ≥时，则有()222
111
ax x g x a x x x
-+'=-+=，令2 ()1h x ax x =-+，开口向上，对称轴110,22x a ⎛⎤
=
∈ ⎥⎝⎦，故()h x 在[)1,+∞上为增函数，所以()()()100h x h a g x '≥=>⇒>⇒()g x 在[)1,+∞上为增函数，则()()110g x g a >=-≥，故
1a ≥适合题意.
例2. (2016全国新课标Ⅱ文20)己知函数()()()1ln 1f x x x a x =+--. （Ⅰ）当4a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()0f x >，求a 的取值范围.
法二（直接化为最值）：()()()1ln 10f x x x a x =+-->在[)1,+∞恒成立，则
()1
ln x f x x a x
+'=+- (导函数为超越函数）；()221110x f x x x x -''=
-=>()1
ln 1f x x a x
'⇒=++-在[)1,+∞为增函数，则()()12f x f a ''≥=-（1）当20a -≥即2a ≤时，则()()20f x f x a ''≥=-≥(当且仅当
1,2x a ==时，取“=”)，故()f x 在[)1,+∞为增函数，则有()()10f x f ≥=，故()()()1ln 10f x x x a x =+-->在[)1,+∞恒成立，故2a ≤适合题意.
（2）当 20a -<即2a > 时，则()10(2)f x f a '='≥-<，且()
10a a f e e -'=+>，故()0f x '=在[)1,+∞有唯一实根0x ，则()f x 在[)01,x 为减函数，在[)0,x +∞增函数，又有()10f =，则存在[)01,x ∈+∞,使得()00f x <，故2a >不适合题意.综上，实数a 的取值范围为2a ≤.
法三（分离参数）：()()()1ln 10f x x x a x =+-->在[)1,+∞恒成立()1ln 1
x x a x +⇔<
-在
()
1,+∞恒成立（端点1x =自动成立），则设()()()()
21
2ln 1ln 1
1x x x x
x g x g x x x -
-+'=
⇒=
--，令()()21122ln 1h x x x h x x x x
'=--⇒=+-()2221
102ln x x h x x x x x -+=>⇒=--在[)1,+∞为增函数，则()(1)0h x h >=()()1ln 0()1x x g x g x x +'⇒>⇒=-在()
1,+∞为增函数，又因
()()1
1
11ln 1lim lim lim 1ln 21
x x x x x
g x x x x ++
+→→→+⎛⎫
==++= ⎪-⎝⎭
，故实数a 的取值范围为2a ≤ 法四（缩小范围）：()()()1ln 10f x x x a x =+-->在[)1,+∞恒成立，且()10f =，则存在1m >，使得()f x 在[]1,m 上为增函数()1
ln 0x f x x a x
+'⇒=+-≥在[]1,m 上恒成立，令()110 2x f a '=⇒≥⇒≤.
又当2a ≤时，()221110x f x x x x -''=
-=>()1
ln 1f x x a x
'⇒=++-在[)1,+∞为增函数，则()()120f x f a ''≥=-≥(当且仅当(当且仅当1,2x a ==时，取“=”)，故()f x 在[)1,+∞为
增函数，则有()()10f x f ≥=，故()()()1ln 10f x x x a x =+-->在[)1,+∞恒成立，故2a ≤适合题意.
综上，实数a 的取值范围为2a ≤.
点评：当端点刚好适合题意时，则分离参数法一般会用到传说中的洛必达法则，缩小范围则可利用端点值导数符号来求出参数范围。

这两种转化方式都有超出教学大纲要求的嫌疑。

2.(重庆市2015届一诊理20)已知曲线()()2
1ln f x a x b x =-+在点()()1,1f 处的切线的斜率
为1；
（1）若函数()f x 在[)2,+∞上为减函数，求a 的取值范围； （2）当[)1,x ∈+∞时，不等式()1f x x ≤-恒成立，求a 的取值范围.
当1
2
1
a
>时，()
g x在
1
1,
2
a
⎡⎫
⎪
⎢⎣⎭上单减，
1
,
2a
⎛⎫
+∞
⎪
⎝⎭
上单增，而
11
110
g ln
a a
⎛⎫
++>
⎪
⎝
⎫
=
⎪
⎝⎭
⎛
⎭
，矛盾；综上，0
a≤.
法二（分离参数）()
()2
1ln
10
1
x x
f x x a
x
--
-+≤⇔≤
-
在()
1,+∞上恒成立（端点1
x=自动成立）
设()
()
()
()
23
1
2ln
1ln
11
x x
x x x
g x g x
x x
-+
--
'
=⇒=
--
，令
()12ln
h x x x
x
=-+⇒()
()2
22
1
12
10
x
h x
x x x
-
'=--+=-<
()12ln
h x x x
x
⇒=-+在[)
1,+∞上为减函数，则()()()
10
h x h g x
'
<=⇒<0⇒()
g x在()
1,+∞
上为减函数，又因()
()2
1ln1
lim lim lim0
2
1
x x x
x x
g x
x
x
→+∞→+∞→+∞
--
===
-
，故实数a的取值范围为0
a≤
（2）若102a <≤
时，则121a >，故()g x 在11,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单减，1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单增，而11110g ln a a ⎛⎫
++> ⎪⎝⎫=⎪⎝⎭
⎛ ⎭，矛盾；
综上，实数a 的取值范围为0a ≤
点评：（1)在端点处恰好适合题意，分离参数所得函数却在x →+∞时得到下确界，值得留意.
（2）缩小范围所得参数范围不一定恰好具有充分性，则需要分类讨论，这时可以减少分类的层级数，缩短解题步骤。

（3）构造反例，寻找合适的特殊值，具有很强的技巧性。

因函数()()2
11ln g x a x x x =--++分解为二次函数与对数函数之和，故构造特殊值的反例时可以分别考虑二次函数与对数函数的零点，对数函数的零点为1x =，而二次函数的零点为1x =及11x a =
+，又知当1
02
a <≤
时，零点111x a =
+>，故易得11110g ln a a ⎛⎫
++> ⎪⎝⎫=⎪⎝⎭
⎛ ⎭，从而导出矛盾。

【扩展链接】
洛必达法则简介：
法则1 若函数()f x 和()g x 满足下列条件：（1) ()lim 0x a
f x →=及()lim 0x a
g x →=；（2）在点a
的去心邻域内，()f x 与()g x 可导，且()0g x '≠；（3）()
()
lim
x a
f x l
g x →'='，那么()()
()
()
lim
lim
x a
x a
f x f x l
g x g x →→'=='.
法则2 若函数()f x 和()g x 满足下列条件：（1) ()lim 0x f x →∞
=及()lim 0x g x →∞
=；（2）0A ∃>，
()f x 和()g x 在(),A -∞与(),A +∞上可导，且()0g x '≠；（3）()
()
lim
x f x l g x →∞
'='，那么()()
()
()
lim
lim
x x f x f x l g x g x →∞
→∞
'=='. 法则3 若函数()f x 和()g x 满足下列条件：（1) ()lim 0x a
f x →=及()lim 0x a
g x →=；（2）在点a
的去心邻域内，()f x 与()g x 可导且()0g x '≠；（3）()
()
lim
x a
f x l
g x →'='，那么()()
()
()
lim
lim
x a
x a
f x f x l
g x g x →→'=='. 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：
①将上面公式中的,x a x →→∞换成,,,x x x a x a +-→+∞→-∞→→洛必达法则也成立。

②洛必达法则可处理000,,0,1,,0,0∞∞
⋅∞∞∞-∞∞
型。

③在着手求极限以前，首先要检查是否满足000,,0,1,,0,0∞∞
⋅∞∞∞-∞∞型定式，否则滥用洛
必达法则会
出错。

当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。

④若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

【同步训练】
1．已知函数()ln x a f x e x -=+.
（1）若1a =，求证：当1x >时，()21f x x >-；
（2）若存在0x e ≥，使()02ln f x x <，求实数a 的取值范围. 【思路引导】
(1)由题意对函数求导，然后构造函数()1
ln 21x g x e x x -=+-+，结合函数的性质即可证得
题中的结论；
(2)结合题意构造函数()ln x
e h x x
=，结合其导函数的性质可得实数a 的取值范围是a e >.
设h （x ）=x
e lnx （x ≥e ），则h ’（x ）=x 2e 1lnx ln x x -（）
u =lnx -1x ，u ’ =2111
0u lnx x x x
+=-＞，在[e ，+∞）递增。

x =e 时，u =1-1
e
＞0，所以u ＞0在[e ,+00）恒成立，
h ’（x ）＞0，在[e ,+00）恒成立，所以h （x ）[e ,+∞）递增 x ≥e ，时h （x ）min =h （e ）=e e
需e a ＞e e
⇒a ＞e
2．已知()2
x
f x e ax =-， ()
g x 是()f x 的导函数．
（Ⅰ）求()g x 的极值；
（Ⅱ）若()1f x x ≥+在0x ≥时恒成立，求实数a 的取值范围． 【思路引导】
（Ⅰ）求函数f （x ）的导数g （x ）,再对g(x)进行求导g’(x),即可求出()g x 的极值；（Ⅱ）讨论12a ≤
以及1
2
a >时，对应函数f （x ）的单调性，求出满足()1f x x ≥+在0x ≥时恒成立时a 的取值范围．
【详细解析】
当1
2
a >
时，由1x e x >+（0x ≠）可得1x e x ->-（0x ≠）. ()()()()
'12112x x x x x h x e a e e e e a --<-+-=--，
故当()()
0,ln 2x a ∈时， ()'0h x <，
于是当()()
0,ln 2x a ∈时， ()()00h x h <=， ()1f x x ≥+不成立. 综上， a 的取值范围为1,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
．
3．已知函数()()1ln (0)a
f x x a x a x
=+
+-<． （Ⅰ）若2a =-，求曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅲ）设函数()a
g x x
=．若对于任意(]1,x e ∈，都有()()f x g x >成立，求实数a 的取值范围．
【思路引导】
(Ⅰ) 求出()'f x ，可得切线斜率()10f '=，根据点斜式可得切线方程；（Ⅱ）讨论三种情况，分别令()'0f x >得增区间， ()'0f x <得减区间； （Ⅲ）对于任意(]
1,x e ∈，都有
()()f x g x >成立等价于1ln x a x -->
恒成立，利用导数研究函数()ln x F x x
-=的单调性，求出其最大值，进而可得结果. 【详细解析】
（3）当1a -=，即1a =-时， ()()2
222
1210x x x f x x x -='-+=≥在()0,+∞上恒成立，
所以函数()f x 的增区间为()0,+∞，无减区间. 综上所述：
当10a -<<时，函数()f x 的增区间为()0,a -， ()1,+∞，减区间为(),1a -； 当1a <-时，函数()f x 的增区间为()0,1， (),a -+∞，减区间为()1,a -； 当1a =-时，函数()f x 的增区间为()0,+∞，无减区间. （Ⅲ）因为对于任意(]
1,x e ∈，都有()()f x g x >成立， 则()1ln 0x a x +->，等价于1ln x
a x
-->. 令()ln x
F x x
-=
，则当(]1,x e ∈时， ()max 1a F x ->. ()()
2
1ln ln x
F x x '-=
.
因为当(]1,e x ∈时， ()0F x '≥，所以()F x 在[]
1,e 上单调递增. 所以()()max F x F e e ==-. 所以1a e >-. 所以10e a -<<. 4．已知函数，.
(Ⅰ)当时，求证：过点有三条直线与曲线
相切；
(Ⅱ)当
时，
，求实数的取值范围.
【思路引导】
(1)，设直线与曲线相切，其切点为，求出切线方程，且切线过点，可得，判断方程有三个不的根，则结论易得；
(2) 易得当时，，设，则，
设，则，分、两种情况讨论函数的单调性并求出最小值，即可得出结论；
法二：
(1)同法一得，设，求导判断函数的单调性，判断函数的零点个数，即可得出结论；
(2)同法一.
【详细解析】
(Ⅱ)当时，，即当时，
当时，，
设，则，
设，则.
(1)当时，，从而(当且仅当时，等号成立)
在上单调递增，
又当时，，从而当时，，
在上单调递减，又，
从而当时，，即
于是当时，，
在上单调递增，又，
从而当时，，即
于是当时，
，
综合得的取值范围为
.
当变化时，
变化情况如下表：
x
7,12⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭
7
12
- 77,1212⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
7
12
7,12⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
()g x '
+
-
+
()g x
极大值
287
1312
+
极小值
287
1312
-
+
恰有三个根，
故过点
有三条直线与曲线相切.
(Ⅱ)同解法一.
5．已知函数（）.
（1）当曲线在点处的切线的斜率大于时，求函数的单调区间；
（2）若对恒成立，求的取值范围.（提示：）
【思路引导】
(1)考查函数的定义域，且，由，得.分类讨论：当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递减区间为.
(2)构造新函数，令，，
则，，分类讨论：
①当时，可得.
②当时，.
综上所述，.
【详细解析】
②当时，令，得.
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
所以当时，取得最大值.
故只需，即，
化简得，
令，得（）.
令（），则，
令，，
所以在上单调递增，又，，所以，，所以在上单调递减，在上递增，
而，，所以上恒有，
即当时，
.
综上所述，
.
6．已知函数()e (0)ax
f x bx a =+<在点()()
0,0f 处的切线方程为51y x =+,且
()()1112f f ='+.
(Ⅰ)求函数()y f x =的极值；
(Ⅱ)若()2
3f x x >+在[]
1,x m ∈上恒成立，求正整数m 的最大值.
【思路引导】
(Ⅰ)由函数的解析式可得()e
6x
f x x -=+，结合导函数与极值的关系可得
()()ln6ln6e 6ln666ln6f x f =-=-=-极小值，无极大值.
(Ⅱ)由题意结合恒成立的条件可得正整数m 的最大值是5. 【详细解析】
()'0g x <.∴()y g x =在区间[]
01,x 上递增，在区间()0,x m 上递减， 又∵()()()1
2
3
1e 20,2e 50,3e 60,g g g ---=+>=+>=+>
()()()4564e 50,5e 20,6e 30.g g g ---=+>=+>=-<
∴当15x ≤≤时，恒有()0g x >；当6x ≥时，恒有()0g x <； ∴使命题成立的正整数m 的最大值为5.
7．已知函数()2
1
x a f x x -=
+， ()3
g x x kx =-，其中a ， R k ∈. （1）若()f x 的一个极值点为1
2
，求()f x 的单调区间与极小值；
（2）当0a =时， []
10,2x ∀∈， []21,2x ∈， ()()12f x g x ≠，且()g x 在[]
1,2上有极值，求k 的取值范围. 【思路引导】 （1）求导,由题意102f ⎛⎫
= ⎪⎭
'⎝,可得34a =-,下来按照求函数的单调区间与极值的一般步骤求解即可;
（2）当0a =时， ()21x f x x =+，求导,酒红色的单调性可得()()max
1
12
f x f ∴==,进而得到()10,2
f x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
.
又()2
3g x x k ='-， []1,2x ∈，分类讨论,可得3k ≤或12k ≥时， ()g x 在[]
1,2上无极
值.
若312k <<，通过讨论()g x 的单调性，可得()min
g x g = 32
12=>，或(){}max max 82,1g x k k =-- 0<，可得k 的取值范围.
【详细解析】
()f x ∴的单调递增区间为12,2⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
，单调递减区间为(),2-∞， 1,2
⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
.
()f x ∴的极小值为()1
24
f -=-.
8．已知函数()()sin cos 0f x x x x x =-≥. (1)求函数()f x 的图象在π,12⎛⎫
⎪⎝⎭
处的切线方程； (2)若任意()0,x ∞∈+，不等式()3
f x ax <恒成立，求实数a 的取值范围；
(3)设()π
2
d m f x x =⎰
， ()()()2
64πm
g x f x x =
-，
证明： ][2111111333n g g g ⎡⎤⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪
⎪
⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦⎣⎦
【思路引导】
(1) 求导,易得结果为ππ122y x ⎛⎫
=
-+ ⎪⎝⎭
; (2) 原不等
式
等价
于
3sin cos 0
x x x ax --≤,令()3sin cos g x x x x ax =--,
()()
sin 3g x x x ax =-',
令
()()sin 3,cos 3h x x ax h x x a =='--,分13a ≤-, 13a ≥,11
33
a -<<三种情况讨论函数
的单调性,则可得结论;
(3) 利用定积分求出m 的值,由(2)知,当13a =
时, ()31
3
f x x ≤,则()
g x x ≤, 令()()ln 1x x x μ=+-, 0x >,求导并判断函数()u x 的单调性,求出()()00u x u <=, 即
()ln 1x x +<在()0,∞+上恒成立, 令111
ln 1333
n n n x ⎛⎫=
+< ⎪⎝⎭得,则结论易得. 【详细解析】
且()00,x x ∈时， ()()00h x g x >⇒'>'，∴()g x 递增，∴()()00g x g >= (不符合题意) 综上： 13
a ≥
.
9．已知函数()2
f x x x =-， ()e 1(e x
g x ax =--为自然对数的底数).
(1)讨论函数()g x 的单调性；
(2)当0x >时， ()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围. 【思路引导】
(1) ()e x
g x a '=-，分0a ≤、0a >两种情况讨论()g x '的符号，
则可得结论；(2) 当0x >时，原不等式可化为e 11x a x x x ≤--+，令()e 1
1(0)x h x x x x x =--+>，则()()22
e 11
x x x h x x
'--+=
，令()()2e
11(0)x
x x x x ϕ=--+>，则()()e 2x x x ϕ'=-，进
而判断函数()h x 的单调性，并且求出最小值，则可得结论. 【详细解析】 (1) ()e x
g x a '=-
①若a 0≤， ()0g x '>， ()g x 在(),∞∞-+上单调递增；
②若0a >，当(]
,ln x a ∞∈-时， ()0g x '<， ()g x 单调递减； 当()ln ,x a ∞∈+时， ()0g x '>， ()g x 单调递增
10．设函数.
（1）当
时,求函数
在点处的切线方程； （2）对任意的函数
恒成立，求实数的取值范围.
【思路引导】
（1）把0a =代入函数解析式，求导后得到函数在点()()
,P e f e 处的切线的斜率，然后利用直线方程的点斜式得答案；（2）由()0f x ≥，得()2
ln 2110ax x x a x a ---+-≥，求
出函数的导函数，导函数在1x =处，的导数为零，然后由导函数的导函数在[
)1,+∞上大于零求得a 的范围，就是满足函数()0f x ≥恒成立的实数a 的取值范围. 【详细解析】 （1）当时,
由，则
函数
在点
处的切线方程 为
即
11．设函数()ln x
f x ae x x =-，其中R a ∈， e 是自然对数的底数.
（Ⅰ）若()f x 是()0,+∞上的增函数，求a 的取值范围； （Ⅱ）若22
e
a ≥
，证明： ()0f x >. 【思路引导】
（I ）由于函数单调递增，故导函数恒为非负数，分离常数后利用导数求得a 的最小值，由
此得到a 的取值范围；（II ）将原不等式()0f x >，转化为e ln 0x
a x x
->，令
()e ln x
a F x x x
=-，求出()F x 的导数，对x 分成01,1x x ≤两类，讨论函数的最小值，
由此证得()0F x >，由此证得()0f x >. 【详细解析】
（Ⅱ）()0f x >⇔ e ln 0x
a x x
->. 令()e ln x a F x x x =-（0x >），以下证明当22
e
a ≥时， ()F x 的最小值大于0. 求导得()()2
1e 1x
a x F x x x =
'-- ()21
1e x a x x x
⎡⎤=--⎣⎦. ①当01x <≤时， ()0F x '<， ()()1F x F ≥ e 0a =>；
②当1x >时， ()()21a x F x x ='- ()e 1x x a x ⎡⎤-⎢⎥
-⎢⎥⎣⎦
，令()()e 1x
x G x a x =--， 则()e x
G x '= ()
2
101a x +
>-，又()2
2
2e G a
=- 2e 20a a -=≥， 取()1,2m ∈且使()2e 1m a m >-，即22e 1e 1
a m a <<-，则()()e 1m
m G m a m =--
22
<-=，
e e0
12．已知函数（）与函数有公共切线．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）若不等式对于的一切值恒成立，求的取值范围．
【思路引导】
（1）函数与有公共切线，函数与的图象相切或无交点，所以找到两曲线相切时的临界值，就可求出参数的取值范围。

（2）等价于在上恒成立，令，x>0,继续求导，令，得。

可知
的最小值为>0,把上式看成解关于a的不等式，利用函数导数解决。

【详细解析】
（Ⅰ），．
∵函数与有公共切线，∴函数与的图象相切或无交点．
当两函数图象相切时，设切点的横坐标为（），则，
（Ⅱ）等价于在上恒成立，
令，
因为，令，得，
极小值
所以的最小值为，
令，因为，
令，得，且
极大值
所以当时，的最小值，
当时，的最小值为，
所以．
综上得的取值范围为．
13．已知函数，.
（1）求证：（）；
（2）设，若时，，求实数的取值范围.
【思路引导】
（1）即证恒成立，令求导可证；（2）
，．又，因为时，恒成立，所以，所以只需考虑。

又，所以下证符
合。

【详细解析】
②当时，。