二项式定理复习课讲解

例3 求 x 3 x 9展开式中的有理项
解:
Tr1
C9r
(
x
1 2
)9r
(
x
1 3
)r
(1)r
C9r
x
27r 6
令 27 r Z即4 3 r Z(r 0,1 9)
6
6
r 3或r 9
r 3
27 r 4 6
T4 (1)3C93x4 84x4
原r式 9的有27理6项r 为 3:T4T10 (841)x9C4 9T91x03
复习旧知
二项式定理
a b n Cn0an Cn1an-1b Cn2an-2b2
Cnn-1abn-1 Cnnbn
二项式展开的通项
Tr 1
C
r n
a
n-r
b
r
第
r 1 项
性质复习
性质1:在二项展开式中，与首末两端等距离 的任意两项的二项式系数相等.
性质2:如果二项式的幂指数是偶数，中间一 项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数 是奇数，中间两项的二项式系数最大；
2
)
n
C
0 n
Cn1
2 Cn2 (
2)2
Cn3( 2)3 Cnn ( 2)n
bn
C奇n0
Cn2
(
2
偶
)2Cn4
(
偶
2
)4
所以 bn 为奇数 故选(A)
思考 能用特殊值法吗?
例题点评
熟记二项式定理,是解答与二 项式定理有关问题的前提条件,对 比较复杂的二项式,有时先化简再 展开更便于计算.
题型二利用通项求符合要求的项或项的系数
例题点评
求复杂的代数式的展开式 中某项(某项的系数),可以逐项 分析求解,常常对所给代数式进 行化简,可以减小计算量
题型四 求乘积二项式展开式中特定的项(特
定项的系数)
例题 8:求( x 1)6(2x 1)5 的展开式中x6 项
的系数.
解(
x 1)6 的通项是 C6r (
x )6r
C xr
6r 2
解法2 运用等比数列求和公式得
原式 (x 1)[1 (x 1)5] (x 1) (x 1)6
1 (x 1)
x
在(x 1)6的展开式中,含有 x3 项的系数为
C63 20 所以 x2 的系数为-20
例7．求 x (1 x)4 x2(1 2x)8 x3(1 3x)12 展开式中
x 4的系数。
和第四项的系数 .
分析：第 k+1 项的二项式系数 ---cnk
第 k+1 项的系数--具体数值的积。
解：因为T4 T31 (1)3 c130 (
x)7 ( 2 )3, x
所以第四项的二项式系数是c130 120.
第四项的系数是- c130 8 960.
例题点评
求二项展开式的某一项,或者求满 足某种条件的项,或者求某种性质的3项, 如含有x项的系数,有理项,常数项等, 通常要用到二项式的通项求解.
6
(2x 1)5 的通项是
C5s (2x)5s (1)s C5s (1)s 25s x5s
( x 1)6(2x 1)5 的通项是
C C (1) 2 x s r 56
s
5s
16r2 s 2
由题意知 16r2 s
2
6
r 2s 4 (r 0 6, s 0 5)
r 0 r 2 解得 s 2 s 1
x )2 (
1 )2 x
C43 (3
x )( 1 )3 x
C44 (
1 )4 x
81x2
108 x
54
12 x
1 x2
题型一 利用 a b n的二项展开式解题
例1
求
3
x
1 4 x 的展开式
解法2
3
x
1 x
4
3x 14
x2
1 x2
[C40 (3x)4
化 简 后 再
C41(3x)3C42(3x)2 C43(3x)C44 ]
性质3：C
0 n
Cn1
Cn2
Cnk
C
n n
2n
性质4:(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式 系数的和等于偶数项的二项式系数和.
题型一 利用 a b n的二项展开式解题
例1
求
3
x
1 4 x 的展开式
解法1
3
x
1 x
4
Cபைடு நூலகம்0
3
x 4C41 3
31 x
x
式直 定接 理用 展二 开项
C42 (3
( x 1 1 )8 [( x 1 ) 1]8
x
x
C80(
x
1 x
)8
C81
(
x
1 x
)7
C87
(
x
1 x
)
C88
再利用二项式定理逐项分析常数项得
C80C84 C82C63 C84C42 C86C21 C88
x3
x3
例4(04全国卷) (x
1 )8 x
的展开式中 x5的
系数为__________
解: 设第 r 1项为所求
Tr 1
C8r
x8r
(
x
1 2
)r
(1)r
C8r
x8r
x
r 2
(1)r
C8r
x8
3 2
r
由8 3r 5可得r 2
2
x5 的系数为 (1)2C82 28
例5.求( x 2 )10的展开式中第四项的二 项式系数 x
1 x2
(81x4
108x3
54x2
12 x
1)
展 开
81x2 108x 54 12 1 x x2
例题2 若 n N ,( 2 1)n 2an bn,
(an ,bn Z ) ,则 bn 的值(A )
A 一定为奇数 B 与n的奇偶性相反
C 一定为偶数 D 与n的奇偶性相同
解:
2an bn (1
所以 x6 的系数为:
r 4 s 0
C52C60 (1)2 23 C51C62 (1)24 C50C64 (1)0 25
640
例题点评
对于较为复杂的二项式与二项式乘积
利用两个通项之积比较方便运算
题型五 三项式转化为二项式
例9 求( x 1 1 )8展开式中的常数项 x
解：三项式不能用二项式定理,必须转化为二项式
解:可逐项求得 x 4 的系数
(1 x)4 的展开式通项为 C4r (x)r 当r 3时
系数为-4
(1 2x)8的展开式通项为C8s (2x)s 当s 2 时
系数为 4C82 112
(1 3x)12的展开式通项为 C1t2 (3x)t 当 t 1时 系数为3C112 36
所以 x(1 x)4 x2 (1 2x)8 x3 (1 3x)12 展开式中的 系数为 4 112 36 144
注意(1)二项式系数与系数的区别.
(2)Tr1 Cnranrbr 表示第 r 1项.
题型三 求多项式的展开式中特定的项(系数)
例6 (x 1) (x 1)2 (x 1)3 (x 1)4 (x 1)5
的展开式中,x2 的系数等于___________
解:仔细观察所给已知条件可直接求得 x2的系 数是 C20(1)C31 (1)2C42 (1)3C53 20