金融数学课件--(5)债务偿还

显然，第一年偿还的总金额736.69元还不足以支付当年的 利息1000元，故第一年偿还的本金为负 P1 = R1 – I1 = 736.69 – 1000 = –263.31（元） 所以第一年末的未偿还本金余额将会增加，即增加为 L1 = L0 – P1 = 10000 + 263.31 = 10263.31（元）
r = i + 0.5(i – j)
偿债基金法的贷 款利率 借款人在偿债基金中损失的利 率。
在上例中，近似的等价利率为 r = 6% + 0.5(6% – 5%) = 6.5%
真实利率 r = 6.552%
25
等额分期偿还与等额偿债基金的比较
相同点：定期、等额。
不同点：已偿还本金的计息方式不同。
等额分期偿还法：已经偿还的本金按贷款利率 i 计息。
所以P8/ P4 = v–4 = (1 + i)4，即
P8 = P4 (1 + i)4 = 2000(1.01467)4 = 2120（元）
12
二、等额偿债基金
含义：借款人分期偿还贷款利息(service payment of the loan, generally equals the amount of interest due)，同时积累一笔偿 债基金，用于贷款到期时一次性清偿贷款本金。 例：假设某人从银行获得10000元的贷款，期限为５年，年利 率为６%。双方约定： （１）借款人每年末向银行支付600元利息； （２）借款人在银行开设一个存款帐户，每年末向该帐户存 入1791.76元，该帐户按5.5％的利率计算利息。到第５年末， 该帐户的累计余额正好是10000元，用于偿还贷款本金。 借款人在银行开设的该帐户就是偿债基金（sinking fund）。
假设借款人每年末向偿债基金的储蓄额为D，则
D s n j L0
D
L0 sn
j
因此，借款人在每年末的付款总金额为
I D
iL 0
L0 sn
j
1 L0 i sn j

17
每年末的贷款净额：
偿债基金在第 k 年末的累积值为
D s k |j
第 k 年末的贷款净额为
•
包括：等额，变额
2
一、等额分期偿还(level installment payments)
在等额分期偿还法中，需要解决的问题包括： （1）每次偿还的金额(loan payments)是多少？ （2）未偿还的本金余额（loan balance，loan outstanding, principal outstanding）是多少？ （3）在每次偿还的金额中，利息和本金分别是多少？
(1 i ) R a n | i R s k | i
k
n k 1 v (1 i ) 1 k R (1 i ) i i
R
1 v i
nk
R a n k |i
（将来法）
8
3、每期偿还的本金和利息 基本原理：在分期付款中，首先偿还利息，然后偿还本金。 设第 k次的还款额为 R ，利息部分为 Ik，本金部分为Pk， 记 Lk为第k次还款后的未偿还贷款余额，则有
L k L 0 (1 i ) R s k
k i
等额偿债基金法：已经偿还的本金（即存入偿债基金的 金额）按利率 j 计息。 关系：当贷款利率 = 偿债基金的利率时，等额偿债基金法 = 等额分期偿还法。
26
四、变额分期偿还
假设原始贷款金额为L0，每期末偿还的金额为Rt（t = 1，
2，…，n）则有
2
…
v
2
ia1|i 1 v
v
0
n
n a n |i
递减
a n |i
几何递增 将来法
10
例：30年贷款，贷款利率6％，每年还款30000元，本息图示如下：
本金和利息分离图 35000 30000 25000
金额
20000 15000 10000 5000 0 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 时期
将来法（prospective method）
过去法（retrospective method）
5
方法一：将来法（prospective method） 把将来需要偿还的金额折算成计算日（k 时）的现值， 即得未偿还本金余额。
Loan balance=PV (future loan payments)
0
1 2 3 4 5 2000 2000 2000 2000 2000
10000
8000 6000 4000 2000 0 500 400 300 200 100 2500 2400 2300 2200 2100
28
例（偿还额按算术级数变化）：假设某人从银行获得一笔 贷款，期限为5年，年实际利率为6%。借款人在每年末分 期偿还，每年末的偿还金额依次为2000元，1800元，1600
10000 a5 r
令此式等于2409.75，则有
a5 r
10000 2 4 0 9 .7 5
4 .1 4 9 8
r = 6.552%
注：在两种方法等价的情况下，等额分期偿还法的贷款利率 （6.552%）大于偿债基金法中的贷款利率（6%）。
24
等价利率的一种近似解法（了解）：
与偿债基金法等价的分期偿还利率 r 可近似 表示为
13
偿债基金的性质
名义上：偿债基金归借款人所有，供借款人在贷款到期时 一次性清偿贷款本金。 实际上：由银行掌握，借款人不能动用这笔资金。偿债基 金的积累过程，也就是本金的偿还过程。因此，从原始贷 款金额中减去偿债基金的累积值，就是 “贷款净额”(net amount of loan)。
14
等额偿债基金法需要解决的问题
L 0 (1 i ) ，所以未偿
k
L0 = R a n| i 已经偿还的款项到时刻k的累积值等于
还本金余额为
R sk
i
L k L 0 (1 i ) R s k
k
i
7
命题：将来法与过去法等价。
证明：
L k L 0 (1 i ) R s k | i

（过去法, 第k年末 ）
I k iL k 1 iR a n k 1 i R (1 v
n k 1
)
k 的减函数
Pk R I k R v
n k 1
k 的增函数
9
分析：利息，本金，余额，一般公式
时间 k 0 1 2 …
还款额
利息 Ik
本金 Pk
未偿还贷款余额
a n| i
1 1 … 1 … 1 1
因此第三年支付的利息为 I3 = iL2 = 0.06×3762.97 = 225.78（元） 第三年末偿还的本金为 P3 = R3 – I3 = 1600 – 225.78 = 1374.21（元）
30
例（偿还额按几何级数变化）：一笔10000元的贷款，年实
际利率为10%，期限为6年，每年末偿还一次，每次的偿还 金额以50%的速度递增。试构造分期偿还表。 解：假设第一年末的偿还金额为R1，则有
3
1．每次偿还的金额 贷款的本金是 L0 期限为 n 年 年实际利率为 i 每年末等额偿还R 则每次偿还的金额 R 可表示为（level loan payment）
R L0 a n |i
4
2．未偿还本金余额
问题：假设贷款的本金是L0，期限为n年，年实际利率为i。 每次偿还的金额R。确定 t 时刻尚未偿还的贷款。 方法：
第k期末，将来还需偿还(n – k)次，故未偿还本金余额
为
Lk = R a n k | i
L0 a n| i ank| i
6
方法二：过去法（retrospective method） 从原始贷款本金的累积值中减去过去已付款项的累积值。 Loan balance=AV(loan) - AV(loan payments made to date) 原始贷款本金为 ，累积到时刻k的值为
1 0 0 0 0 R1 1 1 r a n j R1 1 1 0 .5 a6
j
=1 3 .5 7 4 2 8 R1
其中
j=
i- r 1+ r
=
10% - 50% 1 + 50%
= - 0 .2 6 6 7
所以 R1 = 736.69元。
31
第一年末应该支付的利息为
I1 = 10000×0.1 = 1000（元）
元，1400元，1200元。试计算
（1）贷款本金为多少？ （2）第三年末偿还的利息和本金分别为多少？
29
贷款本金L0应该等于上述年金的现值，因此有
L 0 = 1 0 0 0 a 5| + 2 0 0 ( D a ) 5| = 6 8 3 7 .8 2
第三年初（即第二年末）未偿还的本金为（将来法）
L 2 = 1 0 0 0 a 3| + 2 0 0 ( D a ) 3| 3 7 6 2 .9 7
i
结论：当 j = i 时，等额分期偿还法 = 等额偿债基金法
20
问题：对借款人而言，下列哪种方法更加有利？
分期偿还法：贷款利率为 i
偿债基金法：贷款利率为 i，偿债基金利率为 j，i > j
答案：等额分期偿还更加有利。
21
例
假设：两笔贷款的本金均为10000元，期限均为5年，但偿 还方式不同： 第一笔：采用偿债基金方法偿还，贷款利率为6%，偿 债基金利率为5%。 第二笔：采用等额分期方法偿还。 问题：当第二笔贷款的利率为多少时，两笔贷款对借款人 而言是等价的。