傅里叶光学期末复习

−∞ −∞
−∞
交换积分顺序,先对x求积分:
∫ ∫ ∫ =
+∞
+∞
G(
f
)G∗ (
f
')dfdf
'⋅
+∞
exp[
j2π (
f
−
f
') x]dx
−∞ −∞
−∞
利用复指函数的F.T.
∫ ∫ =
+∞
+∞
G( f
)G∗ (
f
')δ ( f
−
f
')dfdf
'
−∞ −∞
利用δ 函数的筛选性质
∫= +∞ G( f )G∗ ( f )df −∞
sinc(x)δ (x-1) = 0
1
sinc(x)*δ (x-1) = sinc(x-1)
2
x
1
0
1
tri(x)δ (x + 0.5) = 0.5 δ (x + 0.5)
0.5
x
-1 -0.5 0 1
tri(x) * δ (x + 0.5) = tri(x + 0.5)
1
x
-1.5 -0.5 0 0.5
+∞ −∞
f
(ξ ′)h(x
− (x0
+ ξ ′))dξ
∫=
+∞ −∞
f
(ξ ′)h((x
−
x0 )
− ξ ′)dξ
= f (x) * h(x − x0 ) = g(x − x0 )
利用包含脉冲函数的卷积表示下图所示 双圆孔屏的透过率。若在其中任一圆孔
上嵌入π位相板，透过率怎样变化？（
y
x
l
d
(透 过率=输出/输入)
证明:r ff
(x, y) =
f (x, y)★f (x, y) =
f
∗(−x, − y)★f ∗(−x, − y) = rf∗f (−x, − y)
∫ rff (x, y) = f (x, y)★f (x, y) =
+∞ f (ξ ,η) f *(ξ − x,η − y)dξ dη
−∞
∫ = ( +∞ f *(ξ ,η) f (ξ − x,η − y)dξ dη)* −∞
0
|x|≤π/2 其它
求 f(-x/2+π/4)
a ∧ ( x − x0 ) L
a ∧ ( x − x0 ) L
a ∧ ( x − x0 ) L
arect( x ) − (a − b) ∧ ( x )
2L
L
arect( x )sgn(x) 2L
rect( x ) cos x 2L
证明：卷积的位移不变性
∫ g(x) = f (x) * h(x) = +∞ f (ξ )h(x − ξ )dξ −∞
∫ f (x − x0 ) * h(x) =
+∞ −∞
f
(ξ
−
x0 )h(x
−ξ )dξ
设ξ − x0 = ξ ′,则ξ = x0 + ξ ′, dξ = dξ ′
∫ 则f (x − x0 ) * h(x) =
sin(2πnx) πn
1/ 4 −1/ 4
=
sinc
n 2
∫ bn
=2
τ
τ
2 −τ 2
g
(
x)
sin(2πnf0
x)dx
=
0
∑ g(x)
=
a0 2
+
∞ n=1
(an
cos 2π nf0 x
+ bn
sin
2π nf0 x)
=
1 2
+
2
π
cos(2π
x)
−
2
3π
cos(6π
x)
+ ...
证明
F[g ∗ h] = G ⋅ H
∞
F[g ∗ h] = F[∫ ∫ g(α, β )h(x − α, y − β )dαdβ ]
−∞
−∞
证明：实函数的自相关函数是实的 偶函数
∫ rff (x, y) =
f (x, y)★f (x, y) =
+∞ f (ξ ,η) f *(ξ − x,η − y)dξ dη
−∞
∫= +∞ f (ξ,η) f (ξ − x,η − y)dξdη −∞
令ξ − x = ξ ′,η − y =η′;则ξ = x +ξ′,η = y +η′;dξ = dξ′, dη = dη′
fx (−x) +
f y (− y)))dfxdf y
= g(−x, − y)
帕色伐定理 Parseval
∫ ∫ +∞
证明：
g(x)
2dx
=
+∞ g(x)g∗ (x)dx
−∞
−∞
∫ (∫ ∫ ) +∞
=
+∞
G(
f
) exp(
j2π
fx)df
⋅
+∞ G∗( f ') exp(− j2π f ' x)df ' dx
ℑℑ{ f (x, y)} = ℑ−1ℑ−1 { f (x, y)} = f (−x, − y)
{ } ∫ ℑℑ{ f (x, y)} = ℑ
G( fx, fy )
=
+∞
G(
−∞
fx,
f y ) exp(−
j2π (
fxx +
f y y))dfxdf y
∫=
+∞
G(
−∞
fx,
f y ) exp(
j2π (
傅里叶光学总结
常用函数——变形举例
f(x)={
x, 0<x<1 0 其它
f(x) 0 1x
求 f(-2x+4)
解： f(-2x+4)= f[-2(x-2)]，包含折叠、缩放、平移
先折叠
再缩放
最后平移
f(-x)
f(-2x)
f[-2(x-2)]
-1 0
x
-1/2 0 x
0 3/2 x
练习：f(x)={cos(x),
求函数
g(x)=rect(2x) * comb(x)
的傅里叶级数展开系数
∫ ∫ a0
=
2
τ
τ
1
2 −τ 2
g ( x)dx
=
2
4 dx
−
1 4
=1
宽度 =1/2 周期 τ =1
频率 f0 =1
∫ ∫ an
=
2
τ
τ 2
−τ 2
g(x) cos(2πnx)dx
=2
1
4 cos(2πnx)dx
− 14
=
令ξ − x = ξ ′,η − y = η′;则ξ = x + ξ ′,η = y +η′; dξ = dξ ′, dη = dη′
∫ rff
(x,
y)
=(
+∞ −∞
f
*(x + ξ ′, y +η′) f
(ξ ′,η′)dξ ′dη′)*
∫ = ( +∞ f (ξ ′,η′) f *(x + ξ ′, y +η′)dξ ′dη′)* −∞
∫ = ( +∞ f (ξ ′,η′) f *(ξ ′ − (−x),η′ − (− y))dξ ′dη′)* −∞
= r* ff (−x, − y)
证明:r fh
Fra Baidu bibliotek
(
x)
=
f
(x)★h(x) =
f
(x) ∗ h∗(−x)
∫ ∫ f (x)★h(x) = +∞ f (ξ )h*(ξ − x)dξ = +∞ f (ξ )h*(−(x −ξ ))dξ = f (x) ∗ h∗(−x)
∫ rff (x, y) =
+∞ f (x + ξ′, y +η′) f (ξ′,η′)dξ′dη′
−∞
∫= +∞ f (ξ′,η′) f (x + ξ′, y +η′)dξ′dη′ −∞
∫= +∞ f (ξ′,η′) f (ξ′ − (−x),η′ − (− y))dξ ′dη′ −∞
= rff (−x, − y)