地下水溶质运移第二章

3） 集中参数型水质模型
如果只关心污染物随时间的变化而不是不同位置上污染程度的差别， 可考虑用黑箱模型或一个单元的模型来处理。此时浓度只是时间的函数， 与空间位置无关。
模型选择：
首先考虑的是模型是用的目的。如研究污染物的浓度分布，模 首先考虑的是模型是用的目的 如研究污染物的浓度分布 模 拟锋面推移过程，则浓度随空间位置的变化必须考虑，只能用分布 参数模型，以给出浓度的时空变化。集中参数模型比较粗糙，求出 的浓度不代表某一口井的溶质浓度，只是一个全局平均意义下的值。 其次考虑能够取得的数据的数量和质量。如资料不够，只能用 一个简单的模型。 第三要考虑计算工作量。 絶大部分水质问题采用分布参数模型。应尽量用对流 絶大部分水质问题采用分布参数模型 应尽量用对流—弥散模 型，因它比较符合实际。纯对流模型虽然回避了确定弥散系数的困 难，但损失了解的精度。且纯对流模型在计算量上的减少并不明显， 对现在的计算机来说也不重要 所以现在使用对流—弥散模型是 对现在的计算机来说也不重要。 必然趋势，实际情况也是如此。
g 3 ( xi , t )
溶质浓度很低时：
密度和粘度可视为常数，看成均质液体。对流—弥散方程、
连续性方程、运动方程和状态方程无关，可以不要联立求解了。 可分解为两个独立的子问题：第一步先由连续性方程、运动方程 解出速度分布，第二步再代入对流 解出速度分布，第 步再代入对流—弥散方程，便得浓度分布。
连续性方程
i, j 1,2,3
( vi ) ( ) 0 t xi
或
x 3 p k i , j p [ ( g )] ( ) 0 xi x j xi t
运动方程 状态方程
k i , j p x3 ui ( g ) x j xi
k i , j H H c { 0 g[ ( 1)e j ]} 0 ( S s q) xi x j 0 t t 0
把( (3.45) )代 代入，考虑 考虑
K i, j
得
gk i , j
(3.51)
H c H [ K i, j ( q ce j )] S s xi x j t 0 t
密度耦合系数
(3.46)


cs
定义参考水头，即淡水水头 定义参考水头
H
p
0g p h x3 g
x3
——实测水头
(3.47)
有
p H 0g 0g ge j x j x j
p H 0g t t
(3.48) ( )
(3.49)
把（3.46) 3 46)、(3.48) (3 48)、(3.49) (3 49)代入(3.44) (3 44)，有 有
c ni Di , j x j
B2
0
潜水面
( Di , j
c h cn3 u i c)ni Wc ' n3 x j t ↑
如代入(3.58), (3 58) 则
降水中该组分的浓 度 (3.65) ( )
c W Di , j n i ( c c ' ) n3 x j
2、饱和带溶质运移模型 2.1 地下水水质和污染问题
对流——弥散方程中含有u，浓度分布依赖于流速的分布，而溶质 的浓度变化要影响液体的密度 粘度 密度和粘度的变化又影响u的分 的浓度变化要影响液体的密度、粘度。密度和粘度的变化又影响 布。都是未知函数。只能联立求解。
对流—弥散方程（运移方程）
c c ( Di , j ) (cui ) N t xi x j xi
(3.40)
渗流连续性方程
e j —重力方向单位矢量第j 个分量， e1 e2 0, e3 1
[ ( vi ) q ]x1 x 2 x3 ( x1 x 2 x3 ) xi t
i 1,2,3
流量q 的抽水井位于点P (x 0 )， 则q 变为
q （x- x0
S s g ( )
代入上式，得
p p [ x 3 (1 ) x 3 ] ( x1 x 2 x 3 ) { x 3 t t t c x 3 }x1 x 2 c t S s p c （3.43) ( ) x1 x 2 x 3 g t c t

—多孔介质压縮系数；

—液体体积压縮系数。
把（3.43) 代入（3.42)式，并考虑 小，可从方程两端约去，得
x1 x 2 x3
无限
S s p k i , j p c [ ( ge j )] q xi x j g t c t
(3.44)
各向同性介质 水流方程 承压水
H H (K ) Ss xi xi t
H H H ( Kh ) ( Kh ) x x y y t
或
潜水
解出水头（一般的渗流计算）
运动方程
K H ui xi
解出速度分布 水动力弥散方程
c c ( Di , j ) (u i c) t xi x j x
边界条件：
如
c( x, y, z , t ) s1 f 1 ( x, y, z , t ) Di , j ( Di , j c ni x j
s2
( x, y, z ) s1 ( xi ) s 2 ( xi ) s 3
g 2 ( xi , t )
s3
c u i c ) ni x j
(c, p ) (c , p )

低浓度液体可用它的一阶近似
0 (c c 0 ) 0 (c c 0 )
, —由实验确定的常数 七个方程，七个未知数。
相应的初始条件： 条件
c ( x , y , z , t ) t 0 0 ( x, y , z )
如过渡带很窄，可忽略弥散作用采用纯对流型模型，从而避免 确定弥散系数的困难 确定弥散系数的困难。一类只用水流方程，根据水流方程和达西定律计 类只用水流方程 根据水流方程和达西定律计 算锋面上各点的速度，由此确定不同时刻锋面的平均位置（不是示踪剂 的实际位置）； 另一类水流方程和与水质方程（不考虑弥散作用，可能一种按单元建 立的简单的溶质质量均衡方程）耦合。
密度对粘滞性系数的影响；
忽略液体压强对密度的影响； 假设密度随浓度线性变化的基础上导出的。对海岸带含水层来说， 第一、二个假设合理。第三个假设是近似的，以便简化计算。 用 p 参考水头 ；
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0 g
x3
不用实际水头 （随密度改变而不断变化）
p h x3 g
10th
多了两项：
ce j
—表示垂向上由于各点密度不同，在重力作用下 所引起的自然对流；
c —表示浓度随时间变化，即密度随时间变化所引 t 起的质量变化
对应的初始条件和边界条件，
H ( xi ,0) H 0 ( xi ) H ( xi , t ) 1 H 1 ( xi , t ) v i ni
2
xi xi 1 xi 2
(3.53) (3.54) ( ) (3.55) (3.56)
v n ( x i , t )
对潜水含水层来说 对潜水面来说还要满足 对潜水含水层来说：对潜水面来说还要满足
h ( xi , t ) 2 1 x3 [ vi ni 0Wn3 ]2 1
h n3 t
初始条件，边界条件：
组分浓度
(3 59) (3.59)
注入（抽出）液体中该
c ( xi ,0) c0 ( xi ) ←浓度初值 c ( xi , t ) Di , j
B1
(3.60) (3.61) (3.62)
c1 ( xi , t )
B2
c ni x j
q D←弥散通量，流入为正
隔水边界
承压含水层 只要(3.60)----(3.62) 承压含水层，只要 (3 60) (3 62)
(3.51),(3.59)要通过运动方程耦合起来，由
H
得
代入(3.40)得
p
0g
x3
p H 0 g 0 ge j x j x j
vi k i , j
将(3.45)代入，得
(x3 ) p ( x1 x 2 x3 ) [ ( x3 x3 ) t p p t t c x3 ]x1 x 2 c t
应用地下水动力学公式
d (x3 ) x3p
p
及贮水率定义
(1 ) p
解出浓度分布。对大多数实际溶质运移问题，如地下水
污染，因溶质浓度较小，都可认为属于这种情况。
2 2 海水入侵问题 2.2
海水和淡水很容易混合，它们之间的接触带由于水动力弥散 形成一个由咸水、高矿化水、逐步变为低矿化水的过渡带。如 过渡带的宽度很窄，和整个含水层厚度相比可忽略不计时，可 近似认为海水、淡水间存在 个突变界面；如过渡带很宽，则 近似认为海水、淡水间存在一个突变界面；如过渡带很宽，则 不能做突变界面处理。我国至今未发现这种过渡带很窄可以作 为突变界面处理的情况。 可混溶的对流—弥散模型
)
运动方程代入上式，得
k i, j p [ ( ge j )]x1x2 x3 ( x1x2 x3 ) qx1x2 x3 xi x j t
(3.42)
考虑到
( p, c )
c 为溶液中某种组分的浓度。
为常量， 右端展开，有
假设 x1 x 2
设
0
0 g H 0 ( ej ) x j 0
(3.67)
vi k i , j
或
0 g H H 0 ( ce j ) K i , j ( ce j ) 0 x j ↑ x j
参考条件下（淡水）的渗透系数
K i0, j H ui ( ce j ) x j
二、
溶质运移模型
1、地下水水质模型的类型 1.1 模型的分类 1.2 模型的选择 2、饱和带溶质运移模型 2.1 地下水水质和污染模型 2 2 海水入侵问题 2.2 2.3 海水入侵过程中的阳离子交换问题 2 4 咸水、卤水入侵问题 2.4 3、饱和—非饱带溶质运移模型
1、地下水水质模型的类型 模型的类型 1.1 模型的分类 1）对流—弥散型水质模型 2）纯对流水质模型
两个方程： 1，水流方程， 描述密度不断改变的液体（海水和淡水 的混合物）的流动；
溶质浓度变化，导致液体密度改变，影响流场。，传统 水流方程不适用 2，对流—弥散方程，描述地下水中溶质的运移。
8th
各向异性介质中非均质流体在忽略局部加速度条件下的运动方程
k i , j p k i , j p x3 vi ( ) ( ge j ) g x j x j x j
(3.57)
(3.57)可简化为
v i ni
2 1
h (W ) n3 t
(3.58)
对承压含水层来说仅需(3.53)----(3.55)式
对流—弥散方程：描述盐份运移
c c c q ( Di , j ) ui (c c ) xi x j xi t ↑
(3 68) (3.68)
与一般运动方程不同之处： 多了一项反映由浓度差引起的自然对流。只有同时考虑： 水头梯度引起的流动； 由浓度差引起的自然对流 才能反映地下水的真实流向和海水迴流现象。单纯实际（实测） 水头等值线不反映地下水流向 为此，由 水头等值线不反映地下水流向。 为此 由(3.67) (3 67)定义转换水头


在海水入侵范围内，变化小，可视为常数，并等于淡水的 假设为浓度c 的线性函数
ss
c 0 (1 ) cs
0
(3 45) (3.45)
c 0 —参考密度即淡水密度
c s —与最大密度 s 对应的该组分浓度 s 0 密度差率 0 0 0 c cs