塑性力学二单元
弹塑性力学2-Stress-
x yx zx
x x y z x xy xz yx y yz z x z y z
Stress state of a point depends on 9 stress components
i 1
3
3
ai bi ai bi a1b1 a 2b2 a3b3
i 1
应力分析
a ij b j a ij b j a i1b1 a i 2 b2 a i 3 b3
a ij bi c j aijbi c j
i 1 j 1
3
j 1 3
3
a11b1c1 a12b1c2 a13b1c3 a21b2 c1 a22b2 c2 a23b2 c3 a31b3c1 a32b3c2 a33b3c3
弹塑性力学
Chapter 2 Stress Analysis
应力分析
2-1 Volume forces and surface forces
• Force is an action of one body to another
• Volume forces act over body volume • Surface forces act on body surface
In which
应力分析
2-5 Principal stresses and stress invariants
• For every point in a loaded body, we can find 3 planes perpendicular each other, on which there are only normal
弹塑性力学 第二章 应变与几何方程
如：位移分量u、v 、w表示为u1 、u2、u 3，缩写为ui（i=1,2,3） 坐标x、y、z表示为x1、 x2、 x3 ，缩写为xi（i=1,2,3）。 单位矢量i、j、k表示ei（i=1,2,3）。
应力分量：
可表示为：
缩写为： 同理，应变分量可表示为：
z C
A
P
B
O
y
(2) 一点应变状态
z
其中
C
注：
应变无量纲； 应变分量均为位置坐标的函数，即
x
A
P
B
O
z
y
4. 位移
一点的位移 —— 矢量S 量纲：m 或 mm u —— x方向的位移 分量；
O
x
w
S u
P v
位移分量： v —— y方向的位移 分量； w—— z方向的位移 分量。
y
§3-2.几何方程
连续性方程
• 连续性方程是单连体小变形连续的必要和 充分条件。 • 如应变分量满足连续性方程，可保证位移 分量存在。
§3-6.应变率和应变增量
§3-7 位移边界条件
在位移边界问题中，位移分量在边界上还应当满足位移边 界条件 在给定位移的表面Su上
注：在给定某方向的面力后，就不能再给定该方向的位移； 反之亦然。但可某些方向给定位移，其它方向给定面力，即 混合边界条件。
PA=dx C C’ P P’ A A’ B B’ PB=dy PC=dz
研究在oxy平面 内投影的变形，
一点的变形 线段的伸长或缩短； 线段间的相对转动； O 考察P点邻域内线段的变形：
v
变形前 P 变形后
弹塑性力学第二章教学内容
z y
z
技
大
学
力
学
教 研
应力张量：一点的应力状态是一个对称的二阶张量，
室 各应力分量即为应力张量的元素。
ij yxx
xy y
xz yz
,
i, j x,y,z
zx zy z
西 南 科 技
大 二维应力状态与平面问题的平衡方程
学
力 学 教 研 室
二维应力状态与平面问题的平衡方程
一、平面问题
物体所受的面力和体力以及应力都与某一个坐标
Ps在坐标轴x, y, z方向的投影Px, Py, Pz称为P点面力的分量，
指向坐标轴正方向的分量为正，反之为负。
力和应力的概念
2. 内力
西物
南 科
体 在外力作用下
技
大
学
变形
（改变 了质点 间距）
在物体内形成
力
学
当内力场足以和外
教
力平衡时，变形不
研
再继续
室
平衡
附加 的内 力场
二、应力的定义
西 南
科 技 大
化简后可得：xx
yx
y
Fbx
dxdy0
学 力
x
x
yx
y
Fbx
0
学 教 研
同理可求出：
y
y
xy
x
Fby
0
室
二维应力状态的平衡方程
x
x
yx y
Fbx
0
y
y
xy x
Fby
0
x
x
yx y
Fbx
0
西 南
y
y
xy x
塑性力学知识点
《塑性力学及成形原理》知识点汇总第一章绪论1.塑性的基本概念2.了解塑性成形的特点第二章金属塑性变形的物理基础1.塑性和柔软性的区别和联系2.塑性指标的表示方法和测量方法3.磷、硫、氮、氢、氧等杂质元素对金属塑性的影响4.变形温度对塑性的影响；超低温脆区、蓝脆区、热脆区、高温脆区的温度范围补充扩展：1.随着变形程度的增加，金属的强度硬度增加，而塑性韧性降低的现象称为:加工硬化2.塑性指标是以材料开始破坏时的塑性变形量来表示，通过拉伸试验可以的两个塑性指标为:伸长率和断面收缩率3.影响金属塑性的因素主要有:化学成分和组织、变形温度、应变速率、应力状态（变形力学条件）4.晶粒度对于塑性的影响为:晶粒越细小，金属的塑性越好5.应力状态对于塑性的影响可描述为（静水压力越大）：主应力状态下压应力个数越多，数值越大时，金属的塑性越好6.通过试验方法绘制的塑性一一温度曲线，成为塑性图第三章金属塑性变形的力学基础第一节应力分析1.塑性力学的基本假设2.应力的概念和点的应力状态表示方法3.张量的基本性质4.应力张量的分解；应力球张量和应力偏张量的物理意义；应力偏张量与应变的关系5.主应力的概念和计算；主应力简图的画法J =O +O +O公式（3-14）应力张量不变量的计算J =-9 O +o o +O O ）+T 2 +T 2 +T 2 ...................................................... 2兀y y z z兀冲yz小J =OOO + 2T T T - （OT 2 +o T 2 +O T 2 ） 3 兀 y z xy yz zx x yz y zx z xy公式(3-15)应力状态特征方程o 3 - J o 2 - J a -J = 01 2 3(当已知一个面上的应力为主应力时，另外两个主应力可以采用简便计算公式(3-35)・・・・・・・・ 的形式计算)6 .主切应力和最大切应力的概念计算公式(3-25)最大切应力T = 1(o -o ) max 2 max min7 .等效应力的概念、特点和计算主轴坐标系中公式(3-31) o =上T 1 =上 J(o -o )2 + (o -o )2 + (o -o )2 = J3J' ：2 8弋 2 1 2 ............................. 2 3 3 1 ， 2任意坐标系中公式(3-31a) o =工《(o -o )2 + (o -o )2 + (o -o )2 + 6(T 2 +T 2 +T 2) ............................................... 2 2 * 兀 ' ' z z x xy yz. zx8 .单元体应力的标注；应力莫尔圆的基本概念、画法和微分面的标注 9 .应力平衡微分方程 第二节应变分析1 .塑性变形时的应变张量和应变偏张量的关系及其原因2 .应变张量的分解，应变球张量和应变偏张量的物理意义3 .对数应变的定义、计算和特点，对数应变与相对线应变的关系4 .主应变简图的画法5 .体积不变条件公式(3-55)用线应变0=8 +8 +8 = 0 ；用对数应变(主轴坐标系中)e +G +e = 0 xy z ..........................1 (2)36 .小应变几何方程S u1 ,S u S v.8 =—；丫 二Y =-(——+ x S x xy yx2 S y S x 公式(3-66) 8 S v =—；Y 二Y 1 ,S v S 叭 =-(—+ ——)• ••••••• yS y yz zy2 S z S yS w1 ,S w S 8 =-；Y 二Y =一(——z S z zx xz2 S x S z第三节 平面问题和轴对称问题1.平面应变状态的应力特点；纯切应力状态的应力特点、单元体及莫尔圆公式（3-86） o =o =十（o +o ） =o..................... z2213 m第四节屈服准则 1 .四种材料的真实应力应变曲线 2 .屈雷斯加屈服准则 公式（3-96） T =乙=K ・・・・・・・・ - max 2 3.米塞斯屈服准则 公式(3-101) (o —o )2 + (o —o )2 + (o —o )2 + 6(T 2 +T 2 +T 2) = 2o 2 = 6K 2.................................................. 无 y y z z 无盯 yz zxs(o —o )2 + (o —o )2 + (o —o )2 = 2o 2 = 6K 24 .两个屈服准则的相同点和差别点5 . o 1-orBo s ,表达式中的系数p 的取值范围 第五节塑性变形时应力应变关系 1 .塑性变形时应力应变关系特点 2 .应变增量的概念，增量理论 公式（3-125） d £ =o 、d 九• • •••••••IJ IJ公式（3-129） d £ =丝［o - 1（o +o ）］ ； d y =3竺T ........................ x o x 2y zxy2 o xy d £ = =[o - -(o +o)]； y o y 2 x z d yyz 人 d £「1 /d £ = =[o --(o z o z 2x+o y )l ；,3 d £dy = 一 =T zx 2o zx 3.比例加载的定义及比例加载须满足的条件 第六节塑性变形时应力应变关系 1.真实应力应变曲线的类型第四章金属塑性成形中的摩擦1.塑性成形时摩擦的特点和分类；摩擦机理有哪些？影响摩擦系数的主要因素2.两个摩擦条件的表达式3.塑性成形中对润滑剂的要求；塑性成形时常用的润滑方法第五章塑性成形件质量的定性分析1.塑性成形件中的产生裂纹的两个方面2.晶粒度的概念；影响晶粒大小的主要因素及细化晶粒的主要途径3.塑性成形件中折叠的特征第六章滑移线场理论简介1.滑移线与滑移线场的基本概念；滑移线的方向角和正、负号的确定2.平面应变应力莫尔圆中应力的计算；o = o —K sin 23公式（7-1） o =o + K sin23................ y mT = K cos 233.滑移线的主要特性；亨盖应力方程公式（7-5） o —o = ±2K3................ ma mb ab4.塑性区的应力边界条件；滑移线场的建立练习题一、应力-2 0 0 -1、绘制o ij= 0 4 -1的单元体和应力莫尔圆，并标注微分面。
弹塑性力学习题答案
第二章 习题解答2-1解：已知 0,0,===-==y x xy y xf f q τσσ1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂xy y yxx x y yx τστσ23()()⎩⎨⎧++s xy y s yx x l m m l σστστσ 有：lq t x -=代入（*4理、几何方程得：E x u x ==∂∂ε11E y v y ==∂∂ε0==∂∂+∂∂xy yux v γ ()()⇒=+∴0dyy df dx x dg 类似于教材题2-3，可求出 ()()wx v x g wy u y f +=-=00,001;1v wx qy Ev u wy qx Eu ++--=+---=∴υυ从v u ,表达式可见，位移分量是坐标的单值函数，满足位移单值条件。
综合1）～4），。
q xy y x 为问题的正确解答0,=-==τσσ2-2x =σxy τ注意：y x ，代入均满足。
2）验证相容方程：0)(2=+∇y x σσ 亦满足。
3）验证应力边界条件： i) 主要边界：()0,2=±=h y yx yτσ满足ii) 次要边界：()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰-=-=-=222222320)1(0h h lx xy h h l x x h h l x x Pdy ydy dy τσσ （1）、（2）满足，（3）式左=⎰-===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-223332212*41*618218hh P h I P h h I P dy y h I P 右 结论：所列xy y x τσσ,,满足平衡方程、相容方程；在主要边界上严格满足应力边界条件，次要边界近似满足应力边界条件，又为单连体，故在圣维南原理的前提下为问题的正确解。
2-3、证明：1）由,,yVf xV fy x∂∂-=∂∂-=则平衡微分方程为： ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂τ∂+∂-σ∂=∂τ∂+∂-σ∂⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂-∂τ∂+∂σ∂=∂∂-∂τ∂+∂σ∂0x y V 0yx V 0y V x y 0x V y x yx y xyx yx y xy x （*） 类似于题2-10的推证过程，（*）式的通解为：y x x V yV 2xy 22y 22x ∂∂ϕ∂-=τ∂ϕ∂=-σ∂ϕ∂=-σ;;即： yx V xV y2xy 22y 22x ∂∂ϕ∂-=τ+∂ϕ∂=σ+∂ϕ∂=σ;;2） 对于平面应力问题，相容方程为：()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+-=+∇y f x f y x y xυσσ12即：2222 2-4、x, y n l σσ2==2l 应力主向成∴l σn3-3、解： 1由x=0得： 2由 得： Fx Ex Cx Bx Ax y ++++=∴注：公式中已略去ϕ中与应力分量无关的一次项和常数项。
弹塑性力学2
− ω21 0
ω32
− ω31 − ω32 0
′ ω1 ω32 ′ ωi′ = ω2 = ω13 ω ′ ω 3 21
(PQ)= (ds )
2
2
= δ jk dX j dX k
(ds ) − (ds )
* 2
2
= (u j ,k + u k , j + ui,j ui,k )dX j dX k = 2 E jk dX j dX k
1 (u j ,k + u k , j + ui,j ui,k ) 2
Green应变张量(二阶对称)
x X1, x1
第二章 运动与变形
一、固体的运动与变形描述
一点邻域内的变形
刚度分析
强度分析
元线段的相对伸长 两元线段的夹角变化
第二章 运动与变形 一、固体的运动与变形描述
一点邻域内的变形
X3 Q*
P: X
dx
P*
u+du
Q dX P
P*: x=X+u dx=dX+du Q*: x+dx =X+u+dX+du
（3）
等倾面
O
ωε
eicosωε
ωε
eicos(ωε-2π/3)
OP和1 轴之间的夹角， 称为应变形式指数或应 变状态的特征角。
第二章 运动与变形 二、应变张量
应变张量的其它特性和图形表示
（4）
应变星圆
第二章 运动与变形 二、应变张量
转动张量与转动矢量
1 ε = (u∇ + ∇u) 2
弹塑性力学与有限元：2 力学位移和应变分析T
O
x u u dx
x
u
u x
dx
u
dx
u x
PB的正应变：
u
P
dx
v P A
dy
x v v dx
x
y
v
v y
dy
dy
v
v y
P点的剪应变：
y
v v dy y
B
A
B
u u dy
P点两直角线v 段夹v角d的x 变 v化
tan
x dx u dx
xy
v x
u x
u
u
x dy
u
tan
y dy v dy
符号规定：u,v,w与坐标轴正方向一致为正，相反为负。
考虑外力作用下的两种状态： 平衡状态：M点只随位置变化，不随时间变化；位移分量（u,v,w）只随位置变化， 不随时间变化。 运动状态： M点不仅随位置变化，而且随时间变化；位移分量（u,v,w）随位置和 时间变化而变化。
本章仅考虑平衡状态。
根据连续性假设，物体上任一点M，当物体变形后， 都一一对应于相应的点M’；
考察P点邻域内线段的变形：
PA dx dy
y
u
P
dx
x u u dx x
v P A
dy
v v dx x
B
A
变形前 P
A
变形后
P
u v
v v dy y
B
u u dy y
u u dx x
A v v dx B
x
u u dy
B
y v v dy
y
注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。
PA的正应变：
弹塑性力学习题集_很全有答案_
题 2—41 图
题 2—42 图
第三章 弹性变形·塑性变形·本构方程
试证明在弹性变形时，关于一点的应力状态，下式成立。 1 (1) γ 8 = τ 8 ; (2) σ = kε （设ν = 0.5 ） G 3—2* 试以等值拉压应力状态与纯剪切应力状态的关系， 由应变能公式证明 G、 E、 ν之 间的关系为： 1 G= 2(1 + ν ) 1 1 3—3* 证明：如泊松比ν = ，则 G = E ， λ → ∞ ， k → ∞ , e = 0 ，并说明此时上述 2 3 各弹性常数的物理意义。 3—4* 如设材料屈服的原因是形状改变比能（畸形能）达到某一极值时发生，试根据 单向拉伸应力状态和纯剪切应力状态确定屈服极限 σ s 与 τ s 的关系。 3—5 试依据物体单向拉伸侧向不会膨胀，三向受拉体积不会缩小的体积应变规律来 1 证明泊松比ν 的上下限为： 0 < ν < 。 2 2 3—6* 试由物体三向等值压缩的应力状态来推证：K = λ + G 的关系， 并验证是否与 3 E K= 符合。 3(1 − 2v) 3—7 已知钢材弹性常数 E1 = 210Gpa，v1 = 0.3， 橡皮的弹性常数 E 2 =5MPa，v 2 = 0.47， 试比较它们的体积弹性常数（设 K1 为钢材，K2 为橡皮的体积弹性模量） 。 3—8 有一处于二向拉伸应力状态下的微分体（ σ 1 ≠ 0, σ 2 ≠ 0, σ 3 = 0 ） ，其主应变
2—39* 若位移分量 u i 和 u i′ 所对应的应变相同，试说明这两组位移有何差别？ 2—40* 试导出平面问题的平面应变状态（ ε x = γ zx = γ zy = 0 ）的应变分量的不变量及
主应变的表达式。 2—41* 已知如题 2—41 图所示的棱柱形杆在自重作用下的应变分量为： γz νγz εz = , εx =εy = − ; γ xy = γ yz = γ zx = 0; E E 试求位移分量，式中 γ 为杆件单位体积重量，E、ν 为材料的弹性常数。
应用弹塑性力学习题解答
应用弹塑性力学习题解答张宏编写西北工业大学出版社目录第二章习题答案 ..... 错误!未定义书签。
第三章习题答案 ..... 错误!未定义书签。
第四章习题答案 ..... 错误!未定义书签。
第五章习题答案 ..... 错误!未定义书签。
第六章习题答案 ..... 错误!未定义书签。
第七章习题答案 ..... 错误!未定义书签。
第八章习题答案 ..... 错误!未定义书签。
第九章习题答案 ..... 错误!未定义书签。
第十章习题答案 ..... 错误!未定义书签。
第十一章习题答案 ... 错误!未定义书签。
第二章 习题答案设某点应力张量ijσ的分量值已知，求作用在过此点平面ax by cz d ++=上的应力矢量(,,)n nx ny nz p p p p ，并求该应力矢量的法向分量n σ。
解 该平面的法线方向的方向余弦为l a d m b d n c d d ====，，，而应力矢量的三个分量满足关系nx x xy xz ny xy y yz nz xz yz z p l m n p l m n p l m nστττστττσ⎧=++⎪=++⎨⎪=++⎩ 而法向分量n σ满足关系n nx ny nx p l p m p n σ=++最后结果为()()()()22222222222nx x xy xz ny xy y yz nx xz yz z n x y z xy yz zx p a b c d p a b c a p a b c da b c ab bc ca d d a b c στττστττσσσσστττ=++=++=++=+++++=++利用上题结果求应力分量为0,2,1,1,2,0x y z xy xz yz σσστττ======时，过平面31x y z ++=处的应力矢量n p ，及该矢量的法向分量n σ及切向分量n τ。
解求出l m n ===,,nx ny nz p p p 及n σ，再利用关系222222n nx ny nz n np p p p στ=++=+可求得n τ。
弹塑性力学与有限元：2 应变分量与协调方程
由于外部因素（载荷或温度），物体内部 各点空间位置发生变化。各点位置变化量称为 位移。 位移形式 • 刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持
初始状态相对位置不变。 • 变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改变
了物体内部各个点的相对位置。
M(x,y,z)
M’(x’,y’,z’)
x' x u u x, y, z y' y v v x, y, z z' z w w x, y, z
B
'
x
dx
u
u x
dx,
y
v
v x
dx
AB dx
A'B'
dx
u x
dx
2
v x
dx
2
A' B ' AB
x
AB
dx
u x
2
dx
v x
2
dx
dx
dx
1
u x
2
v x
2
1
1
u x
2
1
x轴方向正应变
x
u x
根据小变形假设，u , v
是微量，故
x x
1
u x
v x
y ux 2 1 vx 2 1 1 vx 2 1
vx
v y
y轴方向正应变
y
v y
tan 1
vxdx
1 ux dx
v x
tan2
u y dy 1 vy dy
u y
xy
1
2
tan 1
tan 2
v x
u y
x-y面上切应变
xy
弹塑性力学2
§2.1 体力和面力
物体外力
——分为两类
体力 面力
体力和面力分别为物体单位体积或者单位面 积的载荷。
工学院应用力学与工程系
§2.2
应力与应力张量
内力——外界因素作用下，物体内部各个部 分之间的相互作用力。
附加内力
应力
pn lim
S 0
应力矢量
F S
pn随截面的法线方向n的方向改变而变化
工学院应用力学与工程系
如果 s1=s2=s3
则
l1l2+m1m2+n1n2 l2l3+m2m3+n2n3 l1l3+m1m3+n1n3 均可为零或者不为零。 任何方向都是应力主方向。
•因此问题可证。 •1.若s1≠s2≠s3，应力主轴必然相互垂直； •2.若s1＝s2≠s3，s1和s2必然垂直于s3。而s1 和s2可以是垂直的，也可以不垂直； •3. 若s1=s2=s3，任何方向都是应力主轴。
工学院应用力学与工程系
应力矢量沿坐标分解 ——没有工程意义 正应力和切应力 正应力s n与切应力t n
与结构强度关系密切
根据截面方位不能完全确定切应力
应力分量——应力张量
应力张量可以描述一点应力状态
工学院应用力学与工程系
应力张量
s x t xy t xz s 11 s 12 s 13 s ij t yx s y t yz s 21 s 22 s 23 t t zy s z s 31 s 32 s 33 zx
和
l2+m2+n2=1
工学院应用力学与工程系
则可求应力主方向。
应力不变量性质 不变性
弹塑性力学习题集_很全有答案_
σ y = cx + dy − γy , τ xy = − dx − ay ，其它应力分量为零。试根据
直边及斜边上的边界条件，确定常数 a、b、c、d。 2—16* 已知矩形截面高为 h， 宽为 b 的梁受弯曲时的正 My 12 M 应力 σ z = = y， 试求当非纯弯时横截面上的剪应力公 J bh 3 式。 （利用弹塑性力学平衡微分方程）
题 2—15 图
12 6 0 2—17 已知一点处的应力张量为： σ ij = 6 10 0 MPa ，试求该点的最大主应力及 0 0 0 其主方向。 2—18* 在物体中某一点 σ x = σ y = σ z = τ xy = 0 ，试以 τ yz 和 τ zx 表示主应力。
3—1
为 ε 1 = 1.7 × 10 −4 ， ε 2 = 0.4 × 10 −4 。已知ν = 0.3，试求主应变 ε 3 。
3—9 如题 4—9 图示尺寸为 1×1×1cm 的铝方块，无间隙地嵌入——有槽的钢块中。 设钢块不变形，试求：在压力 P = 6KN 的作用下铝块内一点应力状态的三个主应力及主应 变，铝的弹性常数 E=70Gpa，ν = 0.33。 3—10* 直径 D = 40mm 的铝圆柱体， 无间隙地放入厚度为 δ = 2mm 的钢套中， 圆柱受
v = b0 + b1 x + b2 y + b3 z w = c 0 + c1 x + c 2 y + c3 z
式中 a 0 L , a1 L , a 2 L 为常数，试证各点的应变分量为常数。 2—29 设已知下列位移，试求指定点的应变状态。
(1) u = (3x 2 + 20) × 10 −2 , v = (4 yx) × 10 −2 ，在（0，2）点处。 (2) u = (6 x 2 + 15) × 10 −2 , v = (8 zy ) × 10 −2 , w = (3z 2 − 2 xy) × 10 −2 ，在（1，3，4）点处。 2—30 试证在平面问题中下式成立： εx + εy =ε′ x + ε′ y
塑性力学-第二章
•引入塑性铰的概念
M
Me (3 2 ) 2
P ( x) 3 2 (1 x / L) Pe
1 2
(0 x )
弹塑性区分界线
略
考虑物理方程 和变形相容
静力法
M s 2Rc L PL M s
机动法
静力法
Байду номын сангаас
机动法
一些著名的塑性问题的解 答实际是上限或下限解。
2
2by0 h2 2 M s s b ( y0 ) 3 4 h2 2 2 s b (1 2 ) 4 3 h2 s b (3 2 ) 12 M e (3 2 ) 2
2
EKy s EKy0
s
E
Ke
h h K K Ke / 2 2
曲率与弯 矩关系
K M / Me 3 / 2
梁的塑性本构关系
弹性恢复量
M
Me (3 2 ) 2
练习题
本例分析：（1）梁弯矩沿横轴分布可由平衡方程计算；（2）梁开始进入塑性 的边界ξ可以用屈服条件（M=Me）和（19）式求得；（3）梁的弹塑性段的弹 塑性区边界ζ可以用（20）式求得；（4）各处曲率可以用上节（13）式求得。
塑性力学
第二章
教材：塑性力学引论（修订版），王仁、黄文彬、黄筑平著
广西大学土木建筑工程学院硕士研究生40学时课程
第二章 梁的弹塑性弯曲及梁和刚架的塑性极限分析
M EJK
M e EJKe
弹性阶段
引入参数 0 1
弯矩与塑性区 尺寸的关系
2by0 h2 2 M s s b ( y0 ) 3 4 h2 2 2 s b (1 2 ) 4 3 2 h s b (3 2 ) 12 M e (3 2 ) 2
工程塑性力学
第一章:金属材料的塑性性质○1 弹性与塑性的本质区别不在于应力—应变关系是否线性，而在于卸载后变形是否可恢复1、简单○2 低碳钢屈服阶段很长，铝、铜、某些高强度合金钢没有明显的屈服阶段（此时取0.2%塑性应变对应的应力为条件屈服应力）；0.2一、金属材拉伸试验○3 塑性变形量p / E (E 弹性模量；Et 切线模量)○4 简单拉伸件塑性时d E d(拉伸d 0); d Ed(压缩d 0)t料的○5 塑性变形后反向加载（单晶体：反向也对称强化；多晶体：反向弱化—包辛格效应）塑性○6 高温蠕变：应力不变时应变仍随时间增长的现象性质塑性变形不引起体积变化2 静水压○1 静水压力与材料体积改变之间近似服从线弹性规律金属材料发生大塑性变形时可忽略弹性力试验体积变化○2 材料的塑性变形与静水压力无关1、滑移面：晶体各层原子间发生的相对滑移总是平行于这种原子密排的平面，这种大密度平面称为滑移面。
二、塑2、滑移方向：滑移面内，原子排列最密的方向是最容易发生滑移的，称为滑移方向；性变3、滑移系：每个滑移面和滑移方向构成一滑移系。
（体心立方—12；面心立方—48；密排六方—3）形的物理1、为使晶体发生塑性变形，外加应力至少在一个滑移方向上的剪应力分量达到剪切屈服应力；Y基础位错刃形位错：位错运动方向与F 平行；位错在晶体内的运动是塑性变形的根源；塑性变形时位错型聚集、杂质原则阻碍滑移造成强化。
螺形位错：位错运动方向与F 垂直。
三、轴向拉伸时的塑性失稳采用应变的对数定义的优点：=F / A 1、可以对应变使用加法：名义应力：应力真应力： =F / A2、体积不可压缩条件： 1 2 3 0工程应变： =（l-l ）/l应变拉伸失稳条件：0 0=ln(1+ )=ln(l /l )自然应变/对数应变：d / d (此时d / d 0)1、材料塑1、材料的塑性行为与时间、温度无关——研究常温静载下的材料；2、材料具有无限的韧性；3、变形前材料是初始各向同性的，且拉伸、压缩的真应力—自然应变曲线一致性行为基本假设4、重新加载后的屈服应力（后继屈服应力）=卸载前的应力5、应变可分解为弹性和塑性两部分： =e p6、塑性变形是在体积不变的情况下产生的，静水压力不产生塑性变形；7、应力单调变化时有：E(弹性模量) E（s 割线模量）E（t 切线模量） 0简化模型○1 理想弹性○2 理想刚塑性○3 刚线性强化○4 理想弹塑性○5 弹—线性强化四、材料塑性行为的理想化2、应力、应变曲线的理想化模型经验公式鲁得维克表达式：n=+H (0 n 1)Y修正的鲁得维克式：E (当/ E )Y当(E / )n ( /E )Y Y YY Y Y1）n=0：刚塑性材料；2）0<n≤1：刚线性强化材料1）弹性范围内用Hooke 定律表达；2）塑性范围内用幂函数表达。
应用弹塑性力学习题解答
应用弹塑性力学习题解答目录第二章习题答案 (2)第三章习题答案 (6)第四章习题答案 (9)第五章习题答案 (27)第六章习题答案 (38)第七章习题答案 (50)第八章习题答案 (55)第九章习题答案 (59)第十章习题答案 (60)第十一章习题答案 (63)第二章习题答案2.6设某点应力张量的分量值已知，求作用在过此点平面上的应力矢量，并求该应力矢量的法向分量。
解该平面的法线方向的方向余弦为而应力矢量的三个分量满足关系而法向分量满足关系最后结果为2.7利用上题结果求应力分量为时，过平面处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。
解求出后，可求出及，再利用关系可求得。
最终的结果为2.8已知应力分量为，其特征方程为三次多项式，求。
如设法作变换，把该方程变为形式，求以及及的关系。
解求主方向的应力特征方程为式中：是三个应力不变量，并有公式代入已知量得为了使方程变为形式，可令代入，正好项被抵消，并可得关系代入数据得，，2.9已知应力分量中，求三个主应力。
解在时容易求得三个应力不变量为，，特征方程变为求出三个根，如记，则三个主应力为记2.10已知应力分量，是材料的屈服极限，求及主应力。
解先求平均应力，再求应力偏张量，，，，，。
由此求得然后求得，，解出然后按大小次序排列得到，，2.11已知应力分量中，求三个主应力，以及每个主应力所对应的方向余弦。
解特征方程为记，则其解为，，。
对应于的方向余弦，，应满足下列关系（a）（b）（c）由（a）,(b)式，得，，代入（c）式，得，由此求得对，，代入得对，，代入得对，，代入得2.12当时，证明成立。
解由，移项之得证得第三章习题答案3.5取为弹性常数，，是用应变不变量表示应力不变量。
解：由，可得，由，得3.6物体内部的位移场由坐标的函数给出，为，，，求点处微单元的应变张量、转动张量和转动矢量。
解：首先求出点的位移梯度张量将它分解成对称张量和反对称张量之和转动矢量的分量为，，该点处微单元体的转动角度为3.7电阻应变计是一种量测物体表面一点沿一定方向相对伸长的装置，同常利用它可以量测得到一点的平面应变状态。
弹塑性力学题库与答案（可编辑）
弹塑性力学题库与答案第二章应力理论和应变理论2―3．试求图示单元体斜截面上的σ30°和τ30°（应力单位为MPa）并说明使用材料力学求斜截面应力为公式应用于弹性力学的应力计算时，其符号及正负值应作何修正。
…解：在右图示单元体上建立xoy坐标，则知σx -10 σy -4 τxy -2（以上应力符号均按材力的规定）代入材力有关公式得：代入弹性力学的有关公式得：己知σx -10 σy -4 τxy +2 由以上计算知，材力与弹力在计算某一斜截面上的应力时，所使用的公式是不同的，所得结果剪应力的正负值不同，但都反映了同一客观实事。
2―6. 悬挂的等直杆在自重W作用下（如图所示）。
材料比重为γ弹性模量为 E，横截面面积为A。
试求离固定端z处一点C的应变εz与杆的总伸长量Δl。
解：据题意选点如图所示坐标系xoz，在距下端（原点）为z处的c点取一截面考虑下半段杆的平衡得：c截面的内力：Nz γ??A??z ；c截面上的应力：；所以离下端为z处的任意一点c的线应变εz为：；则距下端（原点）为z的一段杆件在自重作用下，其伸长量为：；显然该杆件的总的伸长量为（也即下端面的位移）：；（W γAl）2―9.己知物体内一点的应力张量为：σij应力单位为kg／cm2 。
试确定外法线为ni｛，，｝（也即三个方向余弦都相等）的微分斜截面上的总应力、正应力σn及剪应力τn 。
解：首先求出该斜截面上全应力在x、y、z三个方向的三个分量：n’ nx ny nzPx n’Py n’Pz n’所以知，该斜截面上的全应力及正应力σn、剪应力τn均为零，也即：Pn σn τn 02―15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。
己求得应力解为：σx ax+by，σy cx+dy-γy ，τxy -dx-ay；试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a、b、c、d。
解：首先列出OA、OB两边的应力边界条件：OA边：l1 -1 ；l2 0 ；Tx γ1y ； Ty 0 则σx -γ1y ；τxy 0代入：σx ax+by；τxy -dx-ay 并注意此时：x 0得：b -γ1；a 0；OB边：l1 cosβ；l2 -sinβ，Tx Ty 0则：………………………………（a）将己知条件：σx -γ1y ；τxy -dx ；σy cx+dy-γy代入（a）式得：化简（b）式得：d γ1ctg2β；化简（c）式得：c γctgβ-2γ 1 ctg3β2―17.己知一点处的应力张量为试求该点的最大主应力及其主方向。
塑性力学二单元
N
O
x1
SN
x2
采用张量下标记号,可简写成
21 22 23 0 33
或
ij ij 0
将这个行列式展开得到
3 J 12 J 2 J 3 0
J 1 11 22 33 kk
其中
J2 11 21 12 22 22 32 23 33 33 13
O z
xz xy y yx y yz x zx zy z
y
yx
zx
yz
x
工程力学的习惯写法
弹性力学的习惯写法
x xy z
xy y yz
xz yz z
xx yx zx
S Ni ijl j
( ij - ij )l j 0
由几何关系可知
l l l 1
2 1 2 2 2 3
即 lili 1
由于l1、l2、l3不能同时为零。对于包含这三个未知量 的线性齐次方程，若有非零解，则此方程组的系数 行列式应当等于零。 即
11 12 31 32 13
1 2 1 2 (S11 S 2 S 2 2S12 2S 2 2S 2 ) S ijS ij 22 33 23 31 2 2 1 J2 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ] 6 1 2 J2 [ 1 2 2 1 2 2 3 3 1 ] 2 3 3 J2
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•
•④等效剪应力 T
•—— 在塑性力学中称为剪应力强度或等效剪应力 •在纯剪时 ：
•⑤八面体上的剪应力 •等斜面：通过某点做平面 ，该平面的法线与三个应 力主轴夹角相等。
•
•设将坐标轴 x、y、z 取与应力主 方向一致，则等斜面法线的三个方 向余弦为
•满足上式的面共有八个，构成一个八面体，如图所示。 •正应力 •应力向量 •剪应力
•
•代入
•
•由几何关系可知
•由于l1、l2、l3不能同时为零。对于包含这三个未知 量的线性齐次方程，若有非零解，则此方程组的系 数行列式应当等于零。
•即
•或
•将这个行列式展开得到
•
•其中
•
•③应力张量的不变量
•当坐标轴方向改变时,应力张量的分量
均将改
变,但主应力的大小不应随坐标轴的选取而改变。因
个空间中的一个点，就确定了用主应力
所
表示的一个应力状态。
•③主应力空间的性质
•L直线：主应力空间中过原点并与坐标轴成等角的直线。
•其方程为 显然，L直线上的点代表 物体中承受静水应力的点 的状态，这样的应力状态 将不产生塑性变形。
•
• 平面：主应力空间中过原点而与L直线垂直的平面。
其方程为 由于 平面上任一点的平 均正应力为零，所以 平 面上的点对应于只有应力 偏张量、不引起体积变形 的应力状态。
•如果假定 相等的两个应力状态的力学效应相同， 那么对一般应力状态可以定义：
•注意：这里的“强度”或“等效”都是在 下衡量的。
意义
•
•等效应力 随应力状态不同而变化，即
•等效应力是衡量材料处于弹性状态或塑性状态的重 要依据，它反映了各主应力的综合作用。 •简单拉伸时
•
•②等效应力 的特点
•ⅰ）与空间坐标轴的选取无关；
•
•
与工程剪应变
相差一半，
即
•
•这样取
的目的是使 构成一个二阶对
称张量， 即应变张量。
•
•注：以下标之间的逗号表示微商 •公式的张量形式：
•
•2、主应变及应变张量的不变量 •类似地，应变张量有三个主应变和三个不变量：
•平均正应变
•
•3、偏应变张量及其不变量
•①偏应变张 •量应变张量也可以分解为应变球张量和应变偏张量，即
时，材料
处于弹性阶段。
•②当应力点 位于曲面之上，即 开始屈服，进入塑性状态。
时，材料
•
•两点假设
•①材料是初始各向同性的，即屈服条件与坐标的取向 无关。可表示为三个主应力的函数： •或用应力不变量来表示：
•②静水应力不影响材料的塑性性质。这时，屈服条 件只与应力偏量有关：
•也可由应力偏张量的不变量表示：
•产生塑性变形的部分
•平均正应力
•
•应力张量可作如下分解：
•用张量符号表示：
•应力球张 量
•应力球张 量
•应力偏张量
•
•其中 ：
•——单位球张 量
•或
•——应力球张量使微分单元体三个方向作用相 同的正应力，这使单元体发生变形时，只能产 生导致体积的均匀膨胀或收缩。因而只能改变 单元体体积，而不能改变单元体形状。
塑性力学二单元
•
•一、前 言 •5个基本假设
•①忽略时间因素对材料变形的影响。（不计蠕变和 松弛）
•②材料是均匀的、连续的。
•③各向均匀的应力状态, 即静水应力状态不影响塑 性变形而只产生弹性体积的变化。
•④稳定材料。 •⑤均匀应力—应变实验的结果，可以用于有应力梯 度的情况。
•
•二、应力分析
•1、应力张量及其不变量
•
•例:设某点的应力张量为
，试求其主
•应力
及主方向，并写出应力偏量，画出应
力状态分析简图。
•解：主应力σ由下式给出
•解三次方程得到 •因此可求得
•
•将求得 的
•代入下式
•可求得•相应于σ1的主方向余弦为 •同理，可求得相应于σ2的主方向余弦为
•同理，可求得相应于σ3的主方向余弦为
•
•又对于应力张量σij •应力偏张量
•
•八面体的剪应力
•说明
•八面体面上的应力向量可分解为两个分量：
•i) 垂直于八面体面的分量，即正应力 与应力球张量有关，或者说与 有关；
，它
•ii) 沿八面体面某一切向的分量，即剪应力 与应力偏张量的第二不变量 有关。
•
•⑥八面体剪应力、等效应力和等效剪应力之间的 •换算关系
•说明 •这些量的引入，使我们有可能把复杂应力状态化作“等 效”（在 意义下等效）的单向应力状态，从而有可 能对不同应力状态的“强度”作出定量的描述和比较。
•用主应力表示的应力状态分析图如下：
•-20
•10
•-
30
•1 •=
0
•+
•10
•40
•10
•3
0
•
•三、应变张量及其不变量 •1、应变张量 •2、主应变及应变张量的不变量 •3、偏应变张量及其不变量
•
•三、应变张量及其不变量
•1、应变张量 •（与应力张量一样，为二阶张量 ）
•设物体内一点(x，y，z)，这一点的三个位移分量 是u，v，w 显然它们是x，y，z 的函数。在小变形 条件下，应变和位移的关系(几何方程)如下：
此,方程
的系数的J1、J2、J3
值与坐标轴的取向无关，称为应力张量的三个不变量
。 •可以证明方程
有三个实根，即
三个主应力
•当用主应力来 表示不变量时
•
•应力张量不变量及其应用
•应力张量是二阶实对称张量，有3个独立的主不变量 。 •利用应力张量的3个主不变量，可以判别应力状态的 •例异：同判。 别以下两个应力张量是否表示同一应力状态？
•ⅱ）各正应力增加或减少同一数值（也就是叠 加一个静水应力状态）时 数值不变，即与 应力球张量无关；
•ⅲ）
全反号时 的数值不变。
•
•③ 空 间 • 空间指的是以 应力空间；
的九个分量为坐标轴的九维偏
• 标志着所考察的偏应力状态与材料未受力（或 只受静水应力）状态的距离或差别的大小。
•可以看出 代表 空间的中的广义距离
多截面上的应力情况的
•z
总和，就显示和表明了
该点的应力状态。考虑
到剪应力互等, 一点的
应力状态用六个应力分
•O
•y
量来表示。
•x
•
•应力张量的概念：
•0阶张量： 30=1
•z
•1阶张量： 31=3
•2阶张量： 32=9
•3阶张量： 33=27
•O
•y
•x
•数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式的九 个数所定义的量，叫做二阶张量。根据这一定义，物 体内一点处的应力状态可用二阶张量的形式来表示， 并称为应力张量，而各应力分量即为应力张量的元素 ，且由剪应力互等定理知，应力张量应是一个对称的 二阶张量，简称为应力张量。
应力球张量有关；而与形状改变有关的塑性变形则是
由应力偏张量引起的，应力张量的这种分解在塑性力
学中有重要意义。
•
•（2）偏应力张量的不变量 •偏应力张量的主轴方向与应力主轴方向一致，而主值 （称为主偏应力）为：
•或
•应力偏张 量也有三 个不变量
•
•其中应力偏张量的第二不变量 今后用得最多。
•再介绍它的其他几个表达式：
•
•（1）一点应力状态的表示方 式•一点的应力状态由一个二阶对称的应力张量表示， 在直角坐标系中由九个应力分量表示。
•x面的应力 ： •y面的应力：
•z面的应力 ： •用矩阵形式写成
•z
•O
•y
•x
•
•工程力学的习惯写法
•弹性力学的习惯写法
•采用张量下标记号的应力写法
•应力张量为对 称张量，有6个 独立分量。
•应变球张量
•它与弹性的体积 改变部分有关
•应变偏张量
•只反映变形中形 状改变的那部分
•
•②偏应变张量的不变量
•其中 和 分别是主应变 和偏应变张量 的主值。
•
•4、引入与I2´有关的几个定义 •①等效应变
•在简单拉伸时，如果材料不可压缩，则
•
•②等效剪应变
•在纯剪 时
•
•四、屈服条件、屈服曲面
•②对于大多数金属材料，初始拉伸和压缩的屈服极限
相等，因此屈服曲线关于
三轴的垂线也对称
。
•
•4、π平面上的几何关系
•①分别在主应力空间的三根坐标轴上截取长度为1的
线段。由于等斜面
与π平面平行，所以角β
为π平面与主应力空间的夹角，也即
的夹
角。
•1
•等斜面
•其中：
•O
•1
•1
•
•②在π平面上取x、y轴，如图。 • 把S投影到π平面上，可得到其（x,y）坐标为 ：
•
•应力偏张量
•——应力偏张量
•应力偏张量sij将不改变微分单元体的体积，仅产 生形状的畸变。它描述的是实际应力状态与平均应
力状态的偏离程度，所以它对描述问题的塑性变形
是十分重要的。
•
•σ
z
•σ
•=
•σ •-
•+
z σm
•σ
•σ
•σ •-
y •σ
m
y σm
•σ
m
•σ •-
x
x σm
•说
明 •材料进入塑性后，单元体的体积变形是弹性的，只与
•（1）一点应力状态的表示方 •式（2）斜截面上的应力与应力张量的关 系•（3）主应力及应力张量的不变 量 •2、偏应力张量及其不变量 •（1）偏应力张量 •（2）偏应力张量的不变量