《幂函数》人教版1
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新人教版高一数学必修1课件2.3幂函数
2.3 幂函数
一、基础知识讲解
观察： y x y x2 y x3
1
y x2 y x1
思考：这些函数是不是 指数函数？
思考2：这些函数的共同 特点是什么？
一、基础知识讲解
1、幂函数的定义：
一般的，函数 y = x α 叫做幂函数，其中 x 是
自变量，α 是常数。
随练：判断下列函数哪些是幂函数？
3.14
1
1
3.142 2
2 (0.38)3与(0.39)3
解：幂函数y x3在,是增函数 0.38 0.39 -0.383 0.393
小结
三、例题分析
31.251与1.221
解：y x1在(, 0)和(0, )上减函数
1.25 1.22 1.251 1.221
4 (1)0.25 与 (1)0.27
1
1 y 0.2x; √2 y x3; 3 y 3x5;
4 y x x; 5 y ( x)2
二、例题分析
例1、已知幂函数的图像过点(2, 2)，试求出此 函数的解析式。
解：由已知，可设幂函数的解析式为 f (x) x
f (x)的图像过点 2, 2
f 2 2, 即 2 2,
解得 1
3
3
解：y
1 3
x
在
,
上是减函数，
0.25 0.27
1
0.25
3
1 3
0.27
四、课堂小结 1、定义：一般地，函数 f(x)=x 叫做幂函数，其
中 x 是自变量， 是常数。
2、注意 ①幂函数的概念及其指数函数表达式的区别 ②常见幂函数及其幂函数的性质
3、幂函数 f(x)=x的性质：
五、课堂作业 课本P82 复习参考题A组 10
一、基础知识讲解
观察： y x y x2 y x3
1
y x2 y x1
思考：这些函数是不是 指数函数？
思考2：这些函数的共同 特点是什么？
一、基础知识讲解
1、幂函数的定义：
一般的，函数 y = x α 叫做幂函数，其中 x 是
自变量，α 是常数。
随练：判断下列函数哪些是幂函数？
3.14
1
1
3.142 2
2 (0.38)3与(0.39)3
解：幂函数y x3在,是增函数 0.38 0.39 -0.383 0.393
小结
三、例题分析
31.251与1.221
解：y x1在(, 0)和(0, )上减函数
1.25 1.22 1.251 1.221
4 (1)0.25 与 (1)0.27
1
1 y 0.2x; √2 y x3; 3 y 3x5;
4 y x x; 5 y ( x)2
二、例题分析
例1、已知幂函数的图像过点(2, 2)，试求出此 函数的解析式。
解：由已知，可设幂函数的解析式为 f (x) x
f (x)的图像过点 2, 2
f 2 2, 即 2 2,
解得 1
3
3
解：y
1 3
x
在
,
上是减函数，
0.25 0.27
1
0.25
3
1 3
0.27
四、课堂小结 1、定义：一般地，函数 f(x)=x 叫做幂函数，其
中 x 是自变量， 是常数。
2、注意 ①幂函数的概念及其指数函数表达式的区别 ②常见幂函数及其幂函数的性质
3、幂函数 f(x)=x的性质：
五、课堂作业 课本P82 复习参考题A组 10
3.3幂函数(课件)人教A版必修第一册
(１)(－1.5)3，(－1.4)3
(２)
1
，
−1.5
1
−1)3<(－1.4)3;
1
(２)
−1.5
>
1
−1.4
3.3 幂函数
思维篇
知识篇
素养篇
1.已知y=(m2+2m-2)
2−2
+3n-6(m,n∈N)是幂函数，
求m，n的值.
逻
辑
推
理
解：由m2+2m-2=1 得 m=-3(舍), 或m=1 ；
这里V是b的函数；
y=x3
(4)如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形
的边长c＝ ，这里c是S的函数；
y=
1
2
(5)如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平
1
均速度v＝
km/s，即v＝t-1，这里v是t的函数．
观察(1)～(5)中的函数解析式，它们有什么共同特征？
y=x-1
1 幂函数
第三章 函数的概念与性质
3.3 幂函数
高中数学/人教A版/必修一
3.3 幂函数
思维篇
素养篇
知识篇
先看几个实例．
(1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜w kg，
那么她需要支付p＝w元，这里p是w的函数；
y=x
(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，
这里S是a的函数；
y=x2
(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V＝b3，
逻
辑
推
理
所以 f(x)= ,且定义域[0,+∞)上为增函数.
由f(2-a)>f(a) 得：2-a > a≥0，
(２)
1
，
−1.5
1
−1)3<(－1.4)3;
1
(２)
−1.5
>
1
−1.4
3.3 幂函数
思维篇
知识篇
素养篇
1.已知y=(m2+2m-2)
2−2
+3n-6(m,n∈N)是幂函数，
求m，n的值.
逻
辑
推
理
解：由m2+2m-2=1 得 m=-3(舍), 或m=1 ；
这里V是b的函数；
y=x3
(4)如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形
的边长c＝ ，这里c是S的函数；
y=
1
2
(5)如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平
1
均速度v＝
km/s，即v＝t-1，这里v是t的函数．
观察(1)～(5)中的函数解析式，它们有什么共同特征？
y=x-1
1 幂函数
第三章 函数的概念与性质
3.3 幂函数
高中数学/人教A版/必修一
3.3 幂函数
思维篇
素养篇
知识篇
先看几个实例．
(1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜w kg，
那么她需要支付p＝w元，这里p是w的函数；
y=x
(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，
这里S是a的函数；
y=x2
(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V＝b3，
逻
辑
推
理
所以 f(x)= ,且定义域[0,+∞)上为增函数.
由f(2-a)>f(a) 得：2-a > a≥0，
高中数学人教A版必修第一册3.3幂函数课件-
4
时，
y
4
x3
是偶函数.综上，实数
m
的值是
4，
故选 A.
C 7.在同一坐标系内，函数 y xa (a 0) 和 y ax 1 的图象可能为( ) a
A.
B.
C.
D.
解析：若 a 0 ，则 y xa 在 (0, ) 上是增函数， y ax 1 在 R 上是增函数且其图象 a
与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上，选项 C 可能，选项 B 不可能；若 a 0 ，则 y xa 在
所以 m 5 ，则 f (x) x5 .
（2）
f
(x)
x5
1 x5
， 要使函数有意义，则 x 0 ，
即定义域为 (,0) (0, ) ，其关于原点对称.
f
(x)
1 (x)5
1 x5
f
(x) ，
该幂函数为奇函数.
当 x 0 时，根据幂函数的性质可知 f (x) x5 在 (0, ) 上为减函数，
1 3
D.2
解析：因为函数 f (x) (m2 5m 7)xm1(m R) 是幂函数，所以 m2 5m 7 1 ，
解得 m 2 或 m 3 .当 m 2 时， f (x) x3 是奇函数，不符合题意，舍去；当 m 3 时，
f (x) x4 是偶函数，符合题意.故由 f (2a 1) f (a) 得， f ( 2a 1) f ( a ) ，又因为
A 5.如图，下列 3 个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是( )
A.①
y
x1
，②
y
1
x2
，③
y
1
x3
C.①
y
1
x3
高中数学《3.3幂函数》课件
的图像都
过点（1,1）
❖ 函数
是奇函数，函数
是偶函数
❖ 在区间
上，函数
是增函数，函数
是减函数
❖ 在第一向限内，函数
的图像向上与y轴无限的
接近，向右与x轴无限的接近。
例. 证明幂函数 f (x) x 在[0,+∞)上是增函数．
证明：任取x1,x2∈ [0,+∞)，且x1＜x2，则
f (x1) f (x2 ) x1 x2
则m的值为
课堂小结
❖ 了解幂函数的概念 ❖ 会画常见幂函数的图象
❖ 结合图像了解幂函数图象的变化情况和简 单性质
❖ 会用幂函数的单调性比较两个底数不同而 指数相同的幂的大小
单 调 性（-∞，0）减
（0，+∞）增
y
y x3
函数 y x3
定义域 R
O
x 值域 R
奇偶性 奇
单调性 增
y
1
y x2
函数
1
y x2
定义域[0,+∞)
O
x 值域 [0,+∞)
奇偶性非奇非偶
单调性 增
幂函数的性质
yx
1
y x2 y x3 y x2
y x1
(1,1)
幂函数的性质
❖ 函数
-1或4
规律 ❖
的系数是1
❖ 底数是单一的x
总结 ❖ 指数是常数
幂函数的定义
幂函数的定义：一般地函数 y x 叫做幂函数
其中x是自变量，α是常数。
对于幂函数，我们先讨论α=1,2,3，1 ,1 时的情景，
2
1
即先讨论函数 y x, y x2 , y x3, y x 2 , y x1
2.3幂函数课件-人教版高中数学必修一
（5） y
1 3x
（6）y x2
（7）y 2x （8）y xx
思考：幂函数y x 与指数函数y a x
有何区分？
例2.已知函数 f x m2 m 5 xm1 是幂函
数，求m 的值
• 解：根据幂函数的定义得
m2 m 5 1
• 得m=3或m=-2
思考：幂函数 y xa与指数函数 y ax 有
幂函数的性质总结：
课本P112
α>1
yy
y=x3
y=x2
y=x (3) 如果α>0，则幂函数
0<α<1
y=x1/2
图象过(0,0)和（1，1）， 并且在区间[0,+∞)上是
增函数；
1
x
O1
（4）当α>1时，若0<x<1,则图像在y=x的下方，
若x>1,则图像在y=x的下方;
当0<α<1时，若0<x<1,则图像在y=x的上方，
y
x 叫作（α次的）幂函
数，其中x为自变量，α是常数.
说明：幂函数 y x 要满足三个特征： (1)幂x前系数为 1； (2)底数只能是自变量 x, 指数是常数； (3)项数只有一项；
典例展示
例1 判断下列函数哪些是幂函数？
（1）y x4
3
（4）y x 4
（2）y x2 1 （3）y 3x2
幂函数的性质
y=x y=x2 y=x-1
1
y x 2 y=x3
y=x-2
图像
定义域 Ｒ
1 -
1
Ｒ
1 1
{x|x≠0}
1 1
[0,+∞)1Fra bibliotek1Ｒ1
高中数学必修一(人教版)《3.3 幂函数》课件
()
(2)幂函数的图象都不过第二、四象限．
()
(3)当幂指数 α 取 1,3，12时，幂函数 y＝xα 是增函数．
()
(4)若幂函数 y＝xα 的图象关于原点对称，则 y＝xα 在定义域内 y 随 x 的增大
而增大．
()
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．已知幂函数的图象过点(2,4)，则其解析式为
(1)幂函数在第一象限内指数的变化规律：在第一象限内直线x＝1的右侧，图 象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的 指数由大变小．
(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至 于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时 出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
[典例 2] 若点( 2，2)在幂函数 f(x)的图象上，点－2，14在幂函数 g(x)的 图象上，问：当 x 为何值时，(1)f(x)＞g(x)？(2)f(x)＝g(x)？(3)f(x)＜g(x)?
[解] 设 f(x)＝xα，因为点( 2，2)在幂函数 f(x)的图 象上，所以将点( 2，2)代入 f(x)＝xα 中，得 2＝( 2)α， 解得 α＝2，则 f(x)＝x2.同理可求得 g(x)＝x－2.
解得 1≤a<32.
故 m 的值为 1，满足条件 f(2－a)>f(a－1)的实数 a 的取值范围为1，32.
[方法技巧] 解决幂函数的综合问题，应注意以下两点
(1)充分利用幂函数的图象、性质解题，如图象所过定点、单调性、奇 偶性等．
(2)注意运用常见的思想方法解题，如分类讨论思想、数形结合思想．
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函 数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远 离x轴(简记为指大图高)．
人教A版数学必修第一册3.3幂函数课件
>1.1，且y＝ 在[0，＋∞)上单调递增，
10
9
1
2
1
2
1
2
1
−2
> 1.1 ，即1.2 > 0.9
> 1.1.
多维探究
把本例的各组数据更换如下，再比较其大小关系：
(1)
2 0.5
1 0.5
与
5
3
(2)
2 −1
−
与
3
3 −1
−
5
幂函数y＝x0.5在[0，＋∞)上单调递增， 幂函数y＝x－1在(－∞，0)上单调递减，
思想分析函数y＝xα(α为常数)同五个函数(y＝x，y＝x2，y＝
x3，y＝x－1，y＝ )图象与性质的关系．
3．幂函数的单调性是比较幂值大小关系的重要根据，要
学会用幂函数的图象及性质处理幂值大小的比较问题.
通过本节课，
你学会了什么？
在1，＋∞上，指数越大，幂函数图象越远离x轴简记为指大图高.
②根据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数
1
2
在第一象限内的图象类似于y＝x－1或y＝ 或y＝x3来判断.
跟踪训练
2. (1)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系
中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是( B )
幂函数
本
节
目
标
1．了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．
1
2
2．结合y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ ，y＝x－1的
图象，了解它们的变化情况．
3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．
课前预习
➢ 预习课本P89～91，思考并完成以下问题
人教版高中数学必修一2.3《幂函数》ppt课件
奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数
R上 增函数
(, 0)减 (0, ) 增
R上 增函数
[0, ) 增
(, 0) 减 (0, ) 减
（1,1）
幂函数性质
y y x3 y x2
4
1
yx
(1)函数 y x, y x2 , y x3, y x 2
3
1
y x1在(0,+∞)上都有定义，
培养学生数形结合、分类讨论的思想，以及分析归纳的 能力，培养学生合作交流的意识.
学习重点
从具体函数归纳认识幂函数的一些性质并简单应用.
学习难点
概括幂函数的性质.
问题情境
问题1：如果张红购买了每千克1元的水果w千克，
a 那么她需要付的钱数p＝ w 元，这里p是w的函数 y x
S 问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积
S= a 2 ， 这里S是a的函数
y x2
问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积
V
aa
S
V= a3 ，这里V是a的函数
y x3
问题4：如果正方形场地面积为S，那么正方形的边 1 1
长a= S 2 ，这里a是S的函数
y x2
问题5：如果某人ts内骑车行进了1km，那么他骑车
的速度 v = t 1 km/s. 这里v是t的函数
y y x3
4
y x2
(2,4)
yx
1
y x2 , y x3
3
1
2
y x2
1
-4
-3
-2
-1
o
(1,1)
1
2
y x1
高中数学人教版必修1课件：2.3幂函数
学习目标:
1.通过实例了解幂函数的概念. 2.结合几个常见幂函数的图象发现幂函数的性质.
难点和重点:
学会数形结合的思想概括出幂函数的性质.
以下的函数解析式具有什么共同特征？
y=x y = x2
y xa
y = x3 y x 1
1
y x2
共同特征：函数解析式是幂的情势，且指数是常数， 底数是自变量。
（1，1）
幂函数的性质：(定义域、奇偶性、单调性，因函数
式中α的不同而各异) 1. 所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图 象都过点(1，1)； 2. 当α为奇数时,幂函数为奇函数, 当α为偶数时,幂函数为偶函数.
3. 当α ＞0时，幂函数在区间(0，+∞)上是增函数； 当α＜0时，幂函数在区间(0，+∞)上是减函数.
1
y x2
y x1
[0，+∞） ，0 （0，+） [0，+∞） ，0 （0，+）
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶
奇函数
在(－∞,0)上 R上是 是减函数，
单调性 增函数在(0, +∞)上 是增函数
R上是 在(0，+∞) 增函数 上是增函数
在( －∞,0) 和(0, +∞)上 是减函数
公共点
练习1.
(1) 1.30.5 ＜ 1.50.5
(2) 5.12 ＜ 5.092
1
1
(3) 0.54 ＞ 0.44
(4)
2
0.7 3
＞
2
0.8 3
2.若m
4
1 2
3
2m
1 2
,则求m的取值范围.
解:
幂函数f
1.通过实例了解幂函数的概念. 2.结合几个常见幂函数的图象发现幂函数的性质.
难点和重点:
学会数形结合的思想概括出幂函数的性质.
以下的函数解析式具有什么共同特征？
y=x y = x2
y xa
y = x3 y x 1
1
y x2
共同特征：函数解析式是幂的情势，且指数是常数， 底数是自变量。
（1，1）
幂函数的性质：(定义域、奇偶性、单调性，因函数
式中α的不同而各异) 1. 所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图 象都过点(1，1)； 2. 当α为奇数时,幂函数为奇函数, 当α为偶数时,幂函数为偶函数.
3. 当α ＞0时，幂函数在区间(0，+∞)上是增函数； 当α＜0时，幂函数在区间(0，+∞)上是减函数.
1
y x2
y x1
[0，+∞） ，0 （0，+） [0，+∞） ，0 （0，+）
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶
奇函数
在(－∞,0)上 R上是 是减函数，
单调性 增函数在(0, +∞)上 是增函数
R上是 在(0，+∞) 增函数 上是增函数
在( －∞,0) 和(0, +∞)上 是减函数
公共点
练习1.
(1) 1.30.5 ＜ 1.50.5
(2) 5.12 ＜ 5.092
1
1
(3) 0.54 ＞ 0.44
(4)
2
0.7 3
＞
2
0.8 3
2.若m
4
1 2
3
2m
1 2
,则求m的取值范围.
解:
幂函数f
人教版数学必修一课件 2.2.3幂函数
而幂函数y=xα 的定义域随α 的不同而不同
3
例1（. 1）下列函数中不是幂函数的是（）
A.y x; B.y x 3 ;C.y 22x ; D.y 1 x
1
(2)函数y (m2 2m 2)x m1是幂函数，则
m的值为（）
(3)已知幂函数y f (x)的图象过点 2,
与(1.9)
3 5
.
10
11
2 2
，
则f (x) （）
导 图
4
幂函数
图象
定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点
y=x
y 1 01 x
y=x2
y 1 01 x
y=x3
y 1 01 x
y=x1/2 y=x-1
y 1 01 x
y 1 01 x
都经过点
5
在直线x=1 的右侧，不 同幂函数的 指数顺着逆 时针方向增 大.
1 y y=x3y=x2 y=x 0 1
1
0
1
y=x1/2 y=x-1
0
x
x=1
6
例2.给出下面函数解析式：1 y
y 1
y 1
3
2
01 x
01 x
01 x
(1) y x 4 ; (2) y x 3 ;
（6） （4） （3）
3
2
(3) y x 2 ; (4) y x 3 ;
3
1
(5) y x 2 ; (6) y x 3 ;
y 1 01 x
（2） y
y 1 01 x
y 1 01 x
（7） （1）
1
(7) y x3
1
01 x（5） 7 Nhomakorabea例3.点( 2,2)与点(2, 1)分别在 2
幂函数人教版高中数学必修一PPT课件
•
所以当x∈[0,3]时，函数f(x)的值域为[0,27]．
39
幂函数 图象
定义域
y＝x R
y＝x2 R
y＝x3 R
3
知识点聚焦：
二、幂函数的图象与性质
4
知识点聚焦：
5
幂函数人教版高中数学必修一PPT课件
探究一 幂函数的概念
• 【例】函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求 f(x)的解析式．
幂函数人教版高中数学必修一PPT课件
•
3
(1)y＝x5 ；
2
(2)y＝x5 ；
8
(3)y＝x5 ；
(4)y＝x−45.
幂函数人教版高中数学必修一PPT课件
13
幂函数人教版高中数学必修一PPT课件
解析：
幂函数人教版高中数学必修一PPT课件
14
解析：
15
解析：
16
解析：
17
方法归纳：
• 作幂函数f(x)＝xα图象的步骤： • (1)判断f(x)在(0，＋∞)的单调性，并作出f(x)在(0，＋∞)上的简图， •
7
幂函数人教版高中数学必修一PPT课件
方法归纳：
• (1)判断幂函数的依据： • 形如y＝xα的函数叫幂函数，它具有三个特点： • ①系数为1. ②指数为一常数(也可以为0)．③后面不加任何项． • (2)幂函数y＝xα与指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的区别：
函数名称 幂函数 指数函数
函数解析式 y＝xα
• (2)把f(x)＝xα转化为无理根式，确定定义域． • (3)若f(x)的定义域不关于原点对称，则f(x)是非奇非偶函数，若f(x)的定义域关于原
人教版高中数学必修第一册3.3幂函数 (课件)
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PPT课件：/kejian/
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英语课件：/kejian/ying yu/ 美术课件：/kejian/me ishu/
科学课件：/kejian/kexue/ 物理课件：/kejian/wul i/
化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/she ngwu/
地理课件：/kejian/dili/
＝xα的形式，故选C.]
A．y＝ x
B．y＝x3
C．y＝3x D．y＝x－1
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7
2．已知 f(x)＝(m＋1)xm2＋2 是幂函
D [由题意可知m＋1＝1，即m
数，则 m＝( A．2
)
B．1
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新课标人教版必修一幂函数课件(共11张PPT)
幂 函 数
代 兵
高中数学必修1同步辅导课程——幂函数
知识要点：
1：幂函数的定义：
一般地,函数y x 叫做幂函数, 其中x是自变量,
是常数.
注： 1 1.对于幂函数，我们重点讨论 =1，2，3， ,-1 2 时的情形。(对照教材，作出上述图像)
2.幂函数不同于指数函数和对数函数，其定义域
1
高中数学必修1同步辅导课程——幂函数
p x (0,1) 变式1： 时，函数 y x 的图像在直线 y x
上方，则P的取值范围是_________.
高中数学必修1同步辅导课程——幂函数
变式2:如果函数 f ( x) (m m 1) x
2
m2 ;∞ ）内是减函数，求满足条件 的实数m的集合。
１.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函 数图象都通过点(1,1);
a>1 0<a<1
２.如果a>0,则幂函数的图象过点 (0,0),(1,1)并在(0,+∞)上为增函数;
a<0
３.如果a<0,则幂函数的图象过点(1,1), 并在(0,+∞)上为减函数; 其它象限的图像可由函数奇偶性对称作出
高中数学必修1同步辅导课程——幂函数
典型题例：
例1：若f(x)=(m2-3m+3)x3为幂函数,求m的值
解析：由题意： m2-3m+3=1 解得：m=1或4
高中数学必修1同步辅导课程——幂函数
例2：如图所示，曲线是幂函数 y = xa 在第一象
1 限内的图象，已知 a分别取 1,1, , 2 2
四个值，则相应图象依次为:________
高中数学必修1同步辅导课程——幂函数
代 兵
高中数学必修1同步辅导课程——幂函数
知识要点：
1：幂函数的定义：
一般地,函数y x 叫做幂函数, 其中x是自变量,
是常数.
注： 1 1.对于幂函数，我们重点讨论 =1，2，3， ,-1 2 时的情形。(对照教材，作出上述图像)
2.幂函数不同于指数函数和对数函数，其定义域
1
高中数学必修1同步辅导课程——幂函数
p x (0,1) 变式1： 时，函数 y x 的图像在直线 y x
上方，则P的取值范围是_________.
高中数学必修1同步辅导课程——幂函数
变式2:如果函数 f ( x) (m m 1) x
2
m2 ;∞ ）内是减函数，求满足条件 的实数m的集合。
１.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函 数图象都通过点(1,1);
a>1 0<a<1
２.如果a>0,则幂函数的图象过点 (0,0),(1,1)并在(0,+∞)上为增函数;
a<0
３.如果a<0,则幂函数的图象过点(1,1), 并在(0,+∞)上为减函数; 其它象限的图像可由函数奇偶性对称作出
高中数学必修1同步辅导课程——幂函数
典型题例：
例1：若f(x)=(m2-3m+3)x3为幂函数,求m的值
解析：由题意： m2-3m+3=1 解得：m=1或4
高中数学必修1同步辅导课程——幂函数
例2：如图所示，曲线是幂函数 y = xa 在第一象
1 限内的图象，已知 a分别取 1,1, , 2 2
四个值，则相应图象依次为:________
高中数学必修1同步辅导课程——幂函数
高中数学人教A版 必修第一册 幂函数 课件
请同学们举出几个体的幂函数？
1
y x2 , y x3 , y x5 等都是幂函数.
探究二 幂函数的图像
自己动手画出以下 5 个函数的图像，并观察图像.
1
幂函数 y x, y x2 , y x3, y x1, y x 2 的图象如下图．
探究三 幂函数的性质
教师引导学生通过观察图像完成系列表格.
3
练一练
3.已知幂函数 f (x) (2n 1)xm2 2m3 ，其中 mN ，若函数 f (x) 在 (0, ) 上是单调递增的，并且在
其定义域上是偶函数，则 m n ( )
√A.2
B.3
C.4
D.5
因为函数 f (x) 为幂函数，所以 2n 11 ，所以 n 1. 因为函数 f (x) 在 (0,) 上是单调递增的， 所以 m2 2m 3 0 ，所以 1 m 3. 又因为 mN ，所以 m 0 ，1，2. 当 m 0 或 m 2 时，函数 f (x) 为奇函数，不合题意，舍去； 当 m 1时， f (x) x4 ，为偶函数，符合题意. 故 m 1.所以 m n 11 2 .故选 A.
综上，实数 m 的值是 4，故选 A.
1.幂函数的定义. 2.幂函数的图像. 3.幂函数的性质.
练一练
m
4.已知幂函数 y m2 3m 3 x 3 是偶函数，则实数 m 的值是( )
√A.4
B.-1
C. 3 21
2
D.4 或-1
m
已知函数 y m2 3m 3 x 3 是幂函数，则 m2 3m 3 1，解得 m 1或 m 4 .
当
m
1时，
y
1
x3
不是偶函数；
4
当 m 4 时， y x3 是偶函数.
1
y x2 , y x3 , y x5 等都是幂函数.
探究二 幂函数的图像
自己动手画出以下 5 个函数的图像，并观察图像.
1
幂函数 y x, y x2 , y x3, y x1, y x 2 的图象如下图．
探究三 幂函数的性质
教师引导学生通过观察图像完成系列表格.
3
练一练
3.已知幂函数 f (x) (2n 1)xm2 2m3 ，其中 mN ，若函数 f (x) 在 (0, ) 上是单调递增的，并且在
其定义域上是偶函数，则 m n ( )
√A.2
B.3
C.4
D.5
因为函数 f (x) 为幂函数，所以 2n 11 ，所以 n 1. 因为函数 f (x) 在 (0,) 上是单调递增的， 所以 m2 2m 3 0 ，所以 1 m 3. 又因为 mN ，所以 m 0 ，1，2. 当 m 0 或 m 2 时，函数 f (x) 为奇函数，不合题意，舍去； 当 m 1时， f (x) x4 ，为偶函数，符合题意. 故 m 1.所以 m n 11 2 .故选 A.
综上，实数 m 的值是 4，故选 A.
1.幂函数的定义. 2.幂函数的图像. 3.幂函数的性质.
练一练
m
4.已知幂函数 y m2 3m 3 x 3 是偶函数，则实数 m 的值是( )
√A.4
B.-1
C. 3 21
2
D.4 或-1
m
已知函数 y m2 3m 3 x 3 是幂函数，则 m2 3m 3 1，解得 m 1或 m 4 .
当
m
1时，
y
1
x3
不是偶函数；
4
当 m 4 时， y x3 是偶函数.
高中数学人教版必修一 3.5幂函数的定义和性质(共19张PPT)
奇偶性 奇
偶 奇 非奇非偶 奇
单调性
↗
［0，+∞)↗
(－ ∞，0) ↘
↗
(0，+∞) ↘ ↗ (－ ∞,0)↘
公共点
(1,1) (0,0)
(1)所有的幂函数y x 均在(0, )上有定义， 过 公 共 点(1, 1)
(2)当 0时，y x的图象过原点(0, 0)， 当 0时，y x的图象不过原点；
【解析】(1)若 f(x)为正比例函数，
则mm22＋ ＋m2m－≠1＝0 1， ⇒m＝1.
(2)若 f(x)为反比例函数，
则mm22＋ ＋m2m－≠1＝0 －1， ⇒m＝－1.
(3)若 f(x)为二次函数，
则mm22＋ ＋m2m－≠1＝0 2，
⇒m＝－1±2
13 .
(4)若 f(x)为幂函数，则 m2＋2m＝1，∴m＝－1± 2.
y y x3
x
O
二、基础知识讲解
y
1
y x2
x
012
3
0 x0.5 1 1.414 1.732
x 456
x0.5 2 2.236 2.45
1
y x2
x
定义域：__[_0_,____)_____ 值 域：__[_0_,____)_____
奇偶性： 既__不__是__奇__函___数__也 不 是 偶 函 数
二、基础知识讲解
关于幂函数，主要学习下列几种函数的图象与性质.
(1) y x
1
(4) y x 2
(2) y x2 (5) y x1
(3) y x3
二、基础知识讲解
y
yx
O
定义域：____R________ 值 域：____R________ 奇偶性：___奇__函__数_________ 单调性：__在__R__上__是__增___函__数__
3.3幂函数课件(新教材人教版必修第一册)
× 2 y 2x2
× 3 y x2 x
× 4 y x 12
× 5 y x
× 6 y 1
√ 7 y x0
√ 8 y 4 x3
注：1.判断一个函数是否是幂函数的标准： 只有形如y=xα 的函数才称为幂函数，即
底数是自变量x，指数α是一个常数，x前面的系数为1
基础知识讲解： 关于幂函数，主要学习下列几种函数的图象与性质.
（2）在第一象限内，函数值 随x的增大而增大，即在
（0，+∞)上是增函数。
（1）图象都过点（1，1）；
（2）在第一象限内，函数值随 x的增大而减小，即在
（0，+∞）上是减函数。
注：2.当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数
例1：证明幂函数 f (x) x 是增函数．
证明：函数的定义域是[0，+∞). 任取x1,x2∈[0，+∞)，且x1＜x2，（取值）
(0,+∞)减
公共点 (1,1) (1,1) (1,1) (1,1) (1,1)
注：2.当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．
幂函数y=xα在第一象限的性质:
y y=x3 y=x2
y y=x－1
y=x－2
y=x－2
1
y=x1/2
1
y=x－1/2
0
1
X
α>0
0
1
X
α<0
（1）图象都过点（0，0）和 点（1，1）；
一、幂函数的定义： 一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量， α是常数.
注意:幂函数中α可以为任意实数.
注：1.判断一个函数是否是幂函数的标准
新教材人教版高中数学必修第一册 3-3 幂函数 教学课件
v是t的函数； 【以上各个函数有什么共同的特征？】
可以发现，这些函数的表达式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，
幂的指数都是常数.分别是1，2，3，0.5，-1；它们都是形如
的函数.
一般地，函数
叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数.
第四页，共二十九页。
1 幂函数的概念
【1】在函数①
⑤
⑥
②
③
题④
第二十五页，共二十九页。
题⑤
第二十六页，共二十九页。
题⑥ 下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.
第二十七页，共二十九页。
题⑥ 下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.
第二十八页，共二十九页。
第二十九页，共二十九页。
新教材人教版高中数学必修第一册 3.3 幂函数 教学课件
科 目：数学 适用版本：新教材人教版 适用范围：【教师教学】
第3章 函数的概念与性质
3.3 幂函数
第一页，共二十九页。
01 幂函数的概念 02 幂函数的特征 03 幂函数的图像
04 幂函数的性质
05
幂函数奇偶性的判断方法
06 幂函数增减性的证明
比较大小用作差法.由的大小，比较自变量的大小.
第十六页，共二十九页。
5
第十七页，共二十九页。
5
奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 非奇非偶函数
第十八页，共二十九页。
6 幂函数增减性的证明
第十九页，共二十九页。
6 幂函数增减性的证明
【例题】证明幂函数
，
，又
两个连续的正整数相乘，其结果必为正偶数，所以
为正奇数，所以函数的定义域为R.
可以发现，这些函数的表达式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，
幂的指数都是常数.分别是1，2，3，0.5，-1；它们都是形如
的函数.
一般地，函数
叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数.
第四页，共二十九页。
1 幂函数的概念
【1】在函数①
⑤
⑥
②
③
题④
第二十五页，共二十九页。
题⑤
第二十六页，共二十九页。
题⑥ 下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.
第二十七页，共二十九页。
题⑥ 下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.
第二十八页，共二十九页。
第二十九页，共二十九页。
新教材人教版高中数学必修第一册 3.3 幂函数 教学课件
科 目：数学 适用版本：新教材人教版 适用范围：【教师教学】
第3章 函数的概念与性质
3.3 幂函数
第一页，共二十九页。
01 幂函数的概念 02 幂函数的特征 03 幂函数的图像
04 幂函数的性质
05
幂函数奇偶性的判断方法
06 幂函数增减性的证明
比较大小用作差法.由的大小，比较自变量的大小.
第十六页，共二十九页。
5
第十七页，共二十九页。
5
奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 非奇非偶函数
第十八页，共二十九页。
6 幂函数增减性的证明
第十九页，共二十九页。
6 幂函数增减性的证明
【例题】证明幂函数
，
，又
两个连续的正整数相乘，其结果必为正偶数，所以
为正奇数，所以函数的定义域为R.
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简单的幂函数
广东仲元中学
y=x , y 1 ( y=x-1 ), y=x2
x
如果一个函数，底数是自变量x, 指数是常量，即
y x
这样的函数称为幂函数.
幂函数 的图像
y=x y=x-1
y=x2
y=x3
1
y x2
图
问题1：观察y=x3的图像，说出它 有哪些特征？ 图像回放
对任意的x，f(-x)=-f(x)
拓展性训练题
2.已知函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3是偶函
数 ，则f(x)在(-∞,0]上是（ A ）
A.增加的 C.先增后减
B .减少的 D.先减后增
3.已知函数y=f(x)是奇函数，在[a,b]上是
减少的，则它在[-b,上是（ B ）
A.增加的 C.先增后减
B .减少的 D.先减后增
(2)g(x) 3x3 4x 2 3x 2
(3)h(x) x 3 1 1 x 3
(4)u(x) ( x )2
拓展性训练题
1x2,x0 1.已知 f(x)0,x0, ，试判断这个函 偶数 性 .
x2 1,x0.
【全国百 强校】 广东省 仲元中 学人教 版高中 数学必 修二课 件：2.3 简单 的幂函 数 共10 张PP
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拓展性训练题
4.已知y=f(x)是定义在（-1，1）上的奇函数， 且在（-1，1）上是单调递减的，则不等
•
4.夕阳将下，余晖照映湖面，金光璀 璨，不 可名状 。一是 苏州光 福的石 壁，也 是太湖 的一角 ，更见 得静止 处，已 不是空 阔浩渺 的光景 。而即 小见大 ，可以 使人有 更多的 推想.
•
5.桃花源里景美人美，没有纷争。虽 然看似 一个似 有似无 ，亦真 亦幻的 所在， 但它是 陶渊明 心灵酿 出的一 杯美酒 ，是他 留给后 世美好 的向往.
图像关于原点对称的函数 叫作奇函数
问题2：观察y=x2的图像，说出它 有哪些特征？ 图像回放
对任意的x，f(-x)=f(x) 图像关于y轴对称的函数 叫作偶函数
示范：判断f(x)=-2x5和f(x)=x4+2 的奇偶性
方法小结
基本训练题
讨论下列函数的奇偶性：
（1） f ( x )
4 x2
x2 6x 9 3
•
6.抓住课文中的主要内容和重点句子 ，引导 学生从 “摇花 乐”中 体会到 作者对 童年生 活的和 对家乡 的怀念 之情。
•
7.桂花是没有区别的，问题是母亲不 是在用 嗅觉区 分桂花 ，而是 用情感 在体味 它们。 一亲一 疏，感 觉自然 就泾渭 分明了 。从中 ，我们 不难看 出，家 乡在母 亲心中 的分量 。
式f(1-x)+f(1-x2)<0的解集是（ ）C
A.(-1,1) B.(0,√2) C.(0,1) D.(1,√2)
【全国百 强校】 广东省 仲元中 学人教 版高中 数学必 修二课 件：2.3 简单 的幂函 数 共10 张PP
【全国百 强校】 广东省 仲元中 学人教 版高中 数学必 修二课 件：2.3 简单 的幂函 数 共10 张PP
•
2.许地山这样说，也是这样做的，他 长大后 埋头苦 干，默 默奉献 ，成为 著名的 教授和 作家， 他也因 此取了 个笔名 叫落花 生，这 就是他 笔名的 由来。
•
3.在伟大庄严的教堂里，从彩色玻璃 窗透进 一股不 很明亮 的光线 ，沉重 的琴声 好像是 把人的 心都洗 淘了一 番似的 ，我感 到了我 自己的 渺小。
•
8.特点就是这件事物不同于其他的地 方，每 种物品 都有自 己明显 的特点 ，比如 外形、 用途等 ，所以 ，如果 要想让 自己的 物品与 众不同 ，就一 定要抓 住它的 特点。
•
9.有的时候，我遇到的字只知道拼音 ，可不 知道它 的写法 ，我就 用音序 查字法 从字典 里寻出 它的芳 踪，有 时候看 到不会 读的字 ，我就 用部首 查字法 在字典 中找到 它的倩 影。
•
1.边塞诗的作者大多一些有切身边塞 生活经 历和军 旅生活 体验的 作家， 以亲历 的见闻 来写作 ；另一 些诗人 用乐府 旧题来 进行翻 新创作 。于是 ，乡村 便改变 成了另 一种模 样。正 是由于 村民们 的到来 ，那些 山山岭 岭、沟 沟坪坪 便也同 时有了 名字， 成为村 民们最 朴素的 方位标 识.
小结：
1.幂函数的概念 2.奇函数，偶函数的概念 3.函数的奇偶性及其判断方法
作业：
P57 A组1（2）2 3（1）（2） 4 B组1
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广东仲元中学
y=x , y 1 ( y=x-1 ), y=x2
x
如果一个函数，底数是自变量x, 指数是常量，即
y x
这样的函数称为幂函数.
幂函数 的图像
y=x y=x-1
y=x2
y=x3
1
y x2
图
问题1：观察y=x3的图像，说出它 有哪些特征？ 图像回放
对任意的x，f(-x)=-f(x)
拓展性训练题
2.已知函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3是偶函
数 ，则f(x)在(-∞,0]上是（ A ）
A.增加的 C.先增后减
B .减少的 D.先减后增
3.已知函数y=f(x)是奇函数，在[a,b]上是
减少的，则它在[-b,上是（ B ）
A.增加的 C.先增后减
B .减少的 D.先减后增
(2)g(x) 3x3 4x 2 3x 2
(3)h(x) x 3 1 1 x 3
(4)u(x) ( x )2
拓展性训练题
1x2,x0 1.已知 f(x)0,x0, ，试判断这个函 偶数 性 .
x2 1,x0.
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拓展性训练题
4.已知y=f(x)是定义在（-1，1）上的奇函数， 且在（-1，1）上是单调递减的，则不等
•
4.夕阳将下，余晖照映湖面，金光璀 璨，不 可名状 。一是 苏州光 福的石 壁，也 是太湖 的一角 ，更见 得静止 处，已 不是空 阔浩渺 的光景 。而即 小见大 ，可以 使人有 更多的 推想.
•
5.桃花源里景美人美，没有纷争。虽 然看似 一个似 有似无 ，亦真 亦幻的 所在， 但它是 陶渊明 心灵酿 出的一 杯美酒 ，是他 留给后 世美好 的向往.
图像关于原点对称的函数 叫作奇函数
问题2：观察y=x2的图像，说出它 有哪些特征？ 图像回放
对任意的x，f(-x)=f(x) 图像关于y轴对称的函数 叫作偶函数
示范：判断f(x)=-2x5和f(x)=x4+2 的奇偶性
方法小结
基本训练题
讨论下列函数的奇偶性：
（1） f ( x )
4 x2
x2 6x 9 3
•
6.抓住课文中的主要内容和重点句子 ，引导 学生从 “摇花 乐”中 体会到 作者对 童年生 活的和 对家乡 的怀念 之情。
•
7.桂花是没有区别的，问题是母亲不 是在用 嗅觉区 分桂花 ，而是 用情感 在体味 它们。 一亲一 疏，感 觉自然 就泾渭 分明了 。从中 ，我们 不难看 出，家 乡在母 亲心中 的分量 。
式f(1-x)+f(1-x2)<0的解集是（ ）C
A.(-1,1) B.(0,√2) C.(0,1) D.(1,√2)
【全国百 强校】 广东省 仲元中 学人教 版高中 数学必 修二课 件：2.3 简单 的幂函 数 共10 张PP
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2.许地山这样说，也是这样做的，他 长大后 埋头苦 干，默 默奉献 ，成为 著名的 教授和 作家， 他也因 此取了 个笔名 叫落花 生，这 就是他 笔名的 由来。
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3.在伟大庄严的教堂里，从彩色玻璃 窗透进 一股不 很明亮 的光线 ，沉重 的琴声 好像是 把人的 心都洗 淘了一 番似的 ，我感 到了我 自己的 渺小。
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8.特点就是这件事物不同于其他的地 方，每 种物品 都有自 己明显 的特点 ，比如 外形、 用途等 ，所以 ，如果 要想让 自己的 物品与 众不同 ，就一 定要抓 住它的 特点。
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9.有的时候，我遇到的字只知道拼音 ，可不 知道它 的写法 ，我就 用音序 查字法 从字典 里寻出 它的芳 踪，有 时候看 到不会 读的字 ，我就 用部首 查字法 在字典 中找到 它的倩 影。
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1.边塞诗的作者大多一些有切身边塞 生活经 历和军 旅生活 体验的 作家， 以亲历 的见闻 来写作 ；另一 些诗人 用乐府 旧题来 进行翻 新创作 。于是 ，乡村 便改变 成了另 一种模 样。正 是由于 村民们 的到来 ，那些 山山岭 岭、沟 沟坪坪 便也同 时有了 名字， 成为村 民们最 朴素的 方位标 识.
小结：
1.幂函数的概念 2.奇函数，偶函数的概念 3.函数的奇偶性及其判断方法
作业：
P57 A组1（2）2 3（1）（2） 4 B组1
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