积分因子思想的一个应用
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Ｋｅ ｒｓ Ｉ ｅ ａ ｉ ｇ Ｆａ ｔ ；Ｅｘ ｃ ｆｅ ｅ ｔａ ｑ ｔｏ ｙ Ｗｏｄ ： ｎｔ ｇｒ ｔｎ ｃ ｏｒ ａ ｔｄｉｆ ｒ ｎ ｉｌｅ ｕａ ｉ ｎ；Ｍ ｅ ｎ ｖ ｌ ａ — ａ ｕｅ Ｔｈｅ ｒ ｍ ． ｏｅ
利 用 中值定 理 证 明 方 程 解 存 在 性 问题 时 的关 键 有关 的一 个 积分 因子 ． 令
则方 程 （ ） 区 间（ ，）内有 解等 价 于方 程 １在 ｎ６
（ ｄ ） ｙ＋ Ｆ（ ｇ（ ｙ ｘ 一 ０ ｘ） ｘ） ｄ （ ） ２
＾（）＝／（） （） （） ＝ ０ ＝ ＋ｇ （） ： ，
故
在 区间 （ ，）内有解 ． ｎ６ 如果存 在 函数 ａ ｘ， （ ）使得
优 化 理论 和 小 波 分 析 的 研 究 ． ｍａ ：ｙ ｈｘ＠ ｈ ｔ．ｄ ． ｎ Ｅ ｉ ｄ ｌｌ ｓｃｅｕ ｃ ； ｌ 刘 晓 玲 （ ９ ４ ） 女 ， 西 吉 安 人 ， 士 ， 师 ， 要 从 事 最 ［］华 东师 范大学 数学 系．数学 分析 （ １７ － ． 江 硕 讲 主 ３ 上册 ）［ ． Ｍ］ ３版．北
Ａｎ Ａ ｐ ｉ ａ ｉ ｎ ｏ ｈｅ Ｉ ａ ｏ ｎｔ ｇ ａ ｉ ｃ ｏ ｐｌｃ ｔｏ ｆｔ ｄｅ ｆ Ｉ ｅ ｒ ｔｎｇ Ｆａ ｔ ｒ
ＹＵ ＡＮ ｕ ，ＬＩ Ｘｉｏ Ｌｉ ｇ，ＹＡ ＮＧ Ｄｅ Ｈ ｉ Ｕ ａ ｎ Ｓｈｅ ｎ ｎｇ Ｙｕ
（ ｐ ｒｍｅ ｔｏ ａｈ ｍａ ｉ ｎ ｎ ｏ ｍａｉｎ Ｔｅ ｈ ｏｏ ｙ Ｄｅ ａ ｔ ｎ ｆＭ ｔ ｅ ｔ ｓ ａ ｄ Ｉ ｆ ｒ ｔ ｃ ｎ ｌｇ ，Ｈａ ｓ ａ ｒ ｌＵｎｖ ｒ ｉ ， ａ ｚ ｏ ，５ １ ４ ，Ｐ Ｃ） ｃ ｏ ｎ ｈ ｎ Ｎｏ ｍａ ｉｅ ｓ ｙ Ｃｈ ｏ ｈ ｕ ２ ０ １ Ｒ ｔ
摘
要 利 用 中值 定 理 证 明方 程 解 存 在性 问 题 时 的 关 键 步 骤 是 构 造 合 适 的 函数 ， 过 一 个 具 体 的 例 题 详 细 阐 通 中 图分 类号 Ｏ１１ ７
释 了 如何 利 用积 分 因 子 思 想 构 造 函 数 以证 明 与 中值 定 理 相 关 的过 程 ． 关键 词 积 分 因子 ； 当方 程 ； 恰 中值 定 理 ．
厂（ ） ｇ 车 厂 ＝ ． ＋ （） （）＝ ：０
分 析 记
ｙ ＝ ，（ ｚ），
口 ｚ ）＝ ｊ Ｊ刚 （， ， ｅ‘
证 明
由以上 分析 ， 虑 函数 考
＾ｚ （ ）一 ｆ ｘ ｅ ‘ （ ）Ｊ
．
例题 中要 证 明的结 论等 价 于方 程
ｄ ｙ＋ ｇ（ ｙｄ 一 ０ ｘ） ｘ （） １
收稿 日期 ： ０ ９ １ ２ ０ — ０一 １ ； 改 日期 ： ０ ０ ０ — １ ． ０修 ２１ — ３ １
京 ：高 等 教 育 出版 社 ， ０ ６ ８ — ９ ． ２ ０ ：９ ５
１ ３７— １ ． ５３
２ Ｍ］ ０ ３ 作 者 简 介 ： 德 辉 （ ９ ３－） 男 ． 西 赣 州 人 ， 士 ， 教 授 ， 要 从 事 ［］毛羽辉．数学分 析选 论［ ．北 京 ：科学 出 版社 ，２ ０ ： 袁 １７ － ， 江 硕 副 主
例 １ 设 厂 ）在 区 间 ［ 上 连 续 ， 开 区 间 （ ， 在
（ ，）内可 导且 口６
厂口 （ ）＝ 厂（）＝ ０ ６ ． 则
， 一
（ 一 ） ， ＝
一 ｅ ‘ ≠ ０ Ｊ曲 ，
（ ）＝ ｅ Ｊ
则 对［ ，］上的任 意 连续 ｇ ）存在 ∈ （ ，） 得 ｎ６ （ ， ｎ６ 使
根 据题 设所 给 （ ）的 性质 知 ， （ 在 区间 ［ ，］上 Ｊ ） Ｉ ｌ ｎ６
连 续 ， 开 区间 （ ， ）内可导 且 在 口ｂ
ｈ（ ）一 ｈ（ ）一 ０ 口 ６ ．
在 区间 （ ，）内有 解． 当 ｚ∈ （ ６ 时 函数 口６ 若 口，）
（ ）≠ ０，
由罗尔 中值 定理 知 ， 在 ∈ （ ６ ， 存 口，） 使得
优 化 理论 与 应 用 研 究 ， ｍａｌ ｉ ｘａ ｌ ｇ ｈ ｔ． ｄ ． ｎ Ｅ ｉ ｕ ｉ ｉ ＠ ｓｅ ｅ ｕ ｃ ． ：ｌ ｏｎ
京 ：高 等 教 育 出 版 社 ，２０ ：４ — １ ４ ０４１６ ５．
wenku.baidu.com
Ｖ０ Ｉ ３ Ｎｏ ３ Ｉ１ ， ． Ｍａ ｙ，２ ０ ０１
高 等 数 学 研 究
Ｓ ＴＵＤＩ Ｓ Ｉ ＣＯＩＩＥ Ｅ Ｎ ＧＥ Ｍ ＡＴＨ Ｅ ＡＴＩ Ｓ Ｍ Ｃ ３ ９
积 分 因子 思 想 的 一个 应 用
袁 德 辉 ，刘 晓玲 ，杨 圣 云
（ 山 师 范 学 院 数 学 与信 息 技 术 系 ， 东 潮州 ，２ ０ １ 韩 广 ５ １４ ）
ｆ ｎ ｔ ｎ ｔ ｏｖ ｙ ｅｏ ｘｓｅ ｃ ｒ ｂｅ ｅａ ｅ ｔ ｈ ａ — ａｕ ｈ ｏ ｅ ｓ ｕ ｃ ｉ ｏ ｓ ｌ ｅ ａ ｔ ｐ ｆｅ ｉ ｔ ｎ ｅ ｐ ｏ ｌ ｍｓ ｒ ｌ ｔ ｄ ｗｉｈ ｔ ｅ ｍｅ ｎ ｖ ｌ ｅ ｔ ｅ ｒ ｍ ． ｏ
步骤是 构 造合 适 的 函数 ， ） 然 而 如何 进 行 构 造 却 （ ． 往 往是 初学 者感 到非 常 头疼 的． 下面 我们 以一 个例 子 来 展示 如何 利用 积分 因子 思 想进 行 这种 构造 ．
Ｍ （ ） ＝ ｇ（ ｙ， ｘ， ｘ）
Ｎ （ ）一 １， ｘ，
ｄ （ ） ＝ （ ｄ ａ ｘ， ｚ） ｙ＋ Ｆ（ ｇ（ ｙ ｘ， ｘ） ｘ） ｄ
／（） （） （） ０． ＋ｇ 厂 ＝
参 考 文 献
证毕．
则 方程 （ ） ２ 是一 个 恰 当方 程 ， ｚ） 方 程 （ ）只与 ｚ （ 是 １
［ ３王 高雄 ， １ 周之 铭 ， 思 铭 ， 朱 等．常微 分方 程 ［ ． Ｍ］ ３版．北
Ａｂｔａ ｔ Ｕｓ ｎ ｈｅ ｉ ｅ ｆｉ ｅ ｒ ｔｎｇ ｆ ｃ ｏ ，ｔ ｓｐａ ｅ ｈ ｓｒ ｃ ： ｉ ｇ ｔ ｄ ａ ｏ ｎｔ ｇ ａ ｉ ａ ｔ ｒ ｈｉ ｐ ｒｓ ｏｗｓｈｏ ｔ ｏ ｔ ｕ ｔａｎ ａ ｅ ａ ｅ ｗ ｏ ｃ ｎｓ ｒ ｃ ｄ ｑｕ ｔ
利 用 中值定 理 证 明 方 程 解 存 在 性 问题 时 的关 键 有关 的一 个 积分 因子 ． 令
则方 程 （ ） 区 间（ ，）内有 解等 价 于方 程 １在 ｎ６
（ ｄ ） ｙ＋ Ｆ（ ｇ（ ｙ ｘ 一 ０ ｘ） ｘ） ｄ （ ） ２
＾（）＝／（） （） （） ＝ ０ ＝ ＋ｇ （） ： ，
故
在 区间 （ ，）内有解 ． ｎ６ 如果存 在 函数 ａ ｘ， （ ）使得
优 化 理论 和 小 波 分 析 的 研 究 ． ｍａ ：ｙ ｈｘ＠ ｈ ｔ．ｄ ． ｎ Ｅ ｉ ｄ ｌｌ ｓｃｅｕ ｃ ； ｌ 刘 晓 玲 （ ９ ４ ） 女 ， 西 吉 安 人 ， 士 ， 师 ， 要 从 事 最 ［］华 东师 范大学 数学 系．数学 分析 （ １７ － ． 江 硕 讲 主 ３ 上册 ）［ ． Ｍ］ ３版．北
Ａｎ Ａ ｐ ｉ ａ ｉ ｎ ｏ ｈｅ Ｉ ａ ｏ ｎｔ ｇ ａ ｉ ｃ ｏ ｐｌｃ ｔｏ ｆｔ ｄｅ ｆ Ｉ ｅ ｒ ｔｎｇ Ｆａ ｔ ｒ
ＹＵ ＡＮ ｕ ，ＬＩ Ｘｉｏ Ｌｉ ｇ，ＹＡ ＮＧ Ｄｅ Ｈ ｉ Ｕ ａ ｎ Ｓｈｅ ｎ ｎｇ Ｙｕ
（ ｐ ｒｍｅ ｔｏ ａｈ ｍａ ｉ ｎ ｎ ｏ ｍａｉｎ Ｔｅ ｈ ｏｏ ｙ Ｄｅ ａ ｔ ｎ ｆＭ ｔ ｅ ｔ ｓ ａ ｄ Ｉ ｆ ｒ ｔ ｃ ｎ ｌｇ ，Ｈａ ｓ ａ ｒ ｌＵｎｖ ｒ ｉ ， ａ ｚ ｏ ，５ １ ４ ，Ｐ Ｃ） ｃ ｏ ｎ ｈ ｎ Ｎｏ ｍａ ｉｅ ｓ ｙ Ｃｈ ｏ ｈ ｕ ２ ０ １ Ｒ ｔ
摘
要 利 用 中值 定 理 证 明方 程 解 存 在性 问 题 时 的 关 键 步 骤 是 构 造 合 适 的 函数 ， 过 一 个 具 体 的 例 题 详 细 阐 通 中 图分 类号 Ｏ１１ ７
释 了 如何 利 用积 分 因 子 思 想 构 造 函 数 以证 明 与 中值 定 理 相 关 的过 程 ． 关键 词 积 分 因子 ； 当方 程 ； 恰 中值 定 理 ．
厂（ ） ｇ 车 厂 ＝ ． ＋ （） （）＝ ：０
分 析 记
ｙ ＝ ，（ ｚ），
口 ｚ ）＝ ｊ Ｊ刚 （， ， ｅ‘
证 明
由以上 分析 ， 虑 函数 考
＾ｚ （ ）一 ｆ ｘ ｅ ‘ （ ）Ｊ
．
例题 中要 证 明的结 论等 价 于方 程
ｄ ｙ＋ ｇ（ ｙｄ 一 ０ ｘ） ｘ （） １
收稿 日期 ： ０ ９ １ ２ ０ — ０一 １ ； 改 日期 ： ０ ０ ０ — １ ． ０修 ２１ — ３ １
京 ：高 等 教 育 出版 社 ， ０ ６ ８ — ９ ． ２ ０ ：９ ５
１ ３７— １ ． ５３
２ Ｍ］ ０ ３ 作 者 简 介 ： 德 辉 （ ９ ３－） 男 ． 西 赣 州 人 ， 士 ， 教 授 ， 要 从 事 ［］毛羽辉．数学分 析选 论［ ．北 京 ：科学 出 版社 ，２ ０ ： 袁 １７ － ， 江 硕 副 主
例 １ 设 厂 ）在 区 间 ［ 上 连 续 ， 开 区 间 （ ， 在
（ ，）内可 导且 口６
厂口 （ ）＝ 厂（）＝ ０ ６ ． 则
， 一
（ 一 ） ， ＝
一 ｅ ‘ ≠ ０ Ｊ曲 ，
（ ）＝ ｅ Ｊ
则 对［ ，］上的任 意 连续 ｇ ）存在 ∈ （ ，） 得 ｎ６ （ ， ｎ６ 使
根 据题 设所 给 （ ）的 性质 知 ， （ 在 区间 ［ ，］上 Ｊ ） Ｉ ｌ ｎ６
连 续 ， 开 区间 （ ， ）内可导 且 在 口ｂ
ｈ（ ）一 ｈ（ ）一 ０ 口 ６ ．
在 区间 （ ，）内有 解． 当 ｚ∈ （ ６ 时 函数 口６ 若 口，）
（ ）≠ ０，
由罗尔 中值 定理 知 ， 在 ∈ （ ６ ， 存 口，） 使得
优 化 理论 与 应 用 研 究 ， ｍａｌ ｉ ｘａ ｌ ｇ ｈ ｔ． ｄ ． ｎ Ｅ ｉ ｕ ｉ ｉ ＠ ｓｅ ｅ ｕ ｃ ． ：ｌ ｏｎ
京 ：高 等 教 育 出 版 社 ，２０ ：４ — １ ４ ０４１６ ５．
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Ｖ０ Ｉ ３ Ｎｏ ３ Ｉ１ ， ． Ｍａ ｙ，２ ０ ０１
高 等 数 学 研 究
Ｓ ＴＵＤＩ Ｓ Ｉ ＣＯＩＩＥ Ｅ Ｎ ＧＥ Ｍ ＡＴＨ Ｅ ＡＴＩ Ｓ Ｍ Ｃ ３ ９
积 分 因子 思 想 的 一个 应 用
袁 德 辉 ，刘 晓玲 ，杨 圣 云
（ 山 师 范 学 院 数 学 与信 息 技 术 系 ， 东 潮州 ，２ ０ １ 韩 广 ５ １４ ）
ｆ ｎ ｔ ｎ ｔ ｏｖ ｙ ｅｏ ｘｓｅ ｃ ｒ ｂｅ ｅａ ｅ ｔ ｈ ａ — ａｕ ｈ ｏ ｅ ｓ ｕ ｃ ｉ ｏ ｓ ｌ ｅ ａ ｔ ｐ ｆｅ ｉ ｔ ｎ ｅ ｐ ｏ ｌ ｍｓ ｒ ｌ ｔ ｄ ｗｉｈ ｔ ｅ ｍｅ ｎ ｖ ｌ ｅ ｔ ｅ ｒ ｍ ． ｏ
步骤是 构 造合 适 的 函数 ， ） 然 而 如何 进 行 构 造 却 （ ． 往 往是 初学 者感 到非 常 头疼 的． 下面 我们 以一 个例 子 来 展示 如何 利用 积分 因子 思 想进 行 这种 构造 ．
Ｍ （ ） ＝ ｇ（ ｙ， ｘ， ｘ）
Ｎ （ ）一 １， ｘ，
ｄ （ ） ＝ （ ｄ ａ ｘ， ｚ） ｙ＋ Ｆ（ ｇ（ ｙ ｘ， ｘ） ｘ） ｄ
／（） （） （） ０． ＋ｇ 厂 ＝
参 考 文 献
证毕．
则 方程 （ ） ２ 是一 个 恰 当方 程 ， ｚ） 方 程 （ ）只与 ｚ （ 是 １
［ ３王 高雄 ， １ 周之 铭 ， 思 铭 ， 朱 等．常微 分方 程 ［ ． Ｍ］ ３版．北
Ａｂｔａ ｔ Ｕｓ ｎ ｈｅ ｉ ｅ ｆｉ ｅ ｒ ｔｎｇ ｆ ｃ ｏ ，ｔ ｓｐａ ｅ ｈ ｓｒ ｃ ： ｉ ｇ ｔ ｄ ａ ｏ ｎｔ ｇ ａ ｉ ａ ｔ ｒ ｈｉ ｐ ｒｓ ｏｗｓｈｏ ｔ ｏ ｔ ｕ ｔａｎ ａ ｅ ａ ｅ ｗ ｏ ｃ ｎｓ ｒ ｃ ｄ ｑｕ ｔ