积分因子思想的一个应用

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浅谈几类积分因子的应用

浅谈几类积分因子的应用摘要本文讨论了几类特殊积分因子存在性的基本准则,并通过实例说明其应用方法,解决了某些一阶常微分方程的求解问题.关键词积分因子;恰当方程;应用.常微分方程是数学科学联系实际的主要桥梁之一,其主要的研究问题是对常微分方程求解.在常微分方程理论中,一阶常微分方程是微分方程的基础,在常微分中占有举足轻重的地位.一阶常微分方程的初等解法主要有两种:一是利用变量代换法,将方程化成变量分离型方程求解;另一种就是找出方程的积分因子,将方程化为全微分方程进行求解.这种利用积分因子将方程化为全微分方程进行求解的方法既灵活又难掌握,所以系统地研究积分因子的求法很有必要且是非常有意义的.本文将根据积分因子的定义及性质,在原有求积分因子方法的基础上,对其进行加深和扩充,给出一些特殊的积分因子,并结合具体问题进行分析讨论,为解决某些特殊的线性微分方程的求解问题提供了更加快捷的工具,避免了某些方程的求解方法的繁琐及盲目.1 预备知识定义1[1] 将一阶方程()y x f dxdy ,= 写成微分的形式()0,=-dy dx y x f 或把y x ,平等看待,写成下面具有对称形式的一阶微分方程()()0,,=+dy y x N dx y x M . (1) 这里假设()()y x Y y x M ,,,在某矩形域内是y x ,的连续函数,具有连续的一阶偏导数. 这样的形式有时便于探求方程的通解.如果方程（1）的左端恰好是某个二元函数()y x u ,的全微分,即()()()dy yu dx x u y x du dy y x N dx y x M ∂∂+∂∂≡≡+ ,,, 则称(1)为恰当微分方程.容易验证方程(1)的通解就是c y x u =),( (c 是任意的常数)定理1 方程(1)是恰当方程的充要条件是xN y M ∂∂=∂∂. 恰当方程容易求解,但并不是所有的对称式方程都是恰当方程,因此能否将一个非恰当方程化为恰当方程具有很大的意义,积分因子就是为了解决这个问题而引进的概念.定义2 如果存在连续可微的函数()0,≠=y x μμ,使得()()()()0,,,,=+dy y x N y x dx y x M y x μμ,为一恰当方程,即存在函数υ,使υμμd Ndy Mdx ≡+, (2) 则称()y x ,μ为(1)的积分因子.这时()c y x =,υ是(2)的通解.因而也就是(1)的通解.注同一个微分方程的积分因子如果存在,不一定是唯一的. 例如,0=-xdy ydx 的积分因子有：22221,1,1,1y x xy x y ±等. 由文[1]知函数()y x ,μ为(1)的积分因子的充要条件是()()xN y M ∂∂=∂∂μμ. （3）定理2 对于方程（1）,当xN y M ∂∂≠∂∂时,()y x ,μ是其积分因子的充要条件是 y M x N x N y M ∂∂-∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂μμμ （4）证明由（3）知()y x ,μ为方程（1）的积分因子的充要条件是()()xN y M ∂∂=∂∂μμ,从而有 xN x N y M y M ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂μμμμ, 即 y M x N x N y M ∂∂-∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂μμμ.2 几类特殊积分因子的存在性定理 3 一阶微分方程()()0,,=+dy y x N dx y x M 具有)(y x +μ积分因子的充要条件是：NM y M x N -∂∂-∂∂是y x +的函数. 证明假设积分因子为),(y x μ,则由定理2可知y M x N x N yM ∂∂-∂∂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂μμμ, 令z y x =+,则有 dz d x z dz d x μμμ=∂∂⋅=∂∂,dzd y μμ=∂∂, 即)()(yM x N dz d N M ∂∂-∂∂=-μμ, 当N M ≠时,进一步整理得到dz NM y M x N d -∂∂-∂∂=μμ, 即方程右端函数NM y M x N -∂∂-∂∂仅与z 有关.从而,方程()()0,,=+dy y x N dx y x M 具有)(y x +μ积分因子的充要条件是：NM y M x N -∂∂-∂∂是y x +的函数,且此时积分因子为⎰=+dz z e y x )()(ϕμ,其中NM y M x N z -∂∂-∂∂=)(ϕ. 定理 4 一阶微分方程()()0,,=+dy y x N dx y x M 具有)(xy μ积分因子的充要条件是：NyMx y M x N -∂∂-∂∂是xy 的函数.定理 5一阶微分方程()()0,,=+dy y x N dx y x M 具有)(22y x +μ积分因子的充要条件是：MyNx x N y M -∂∂-∂∂是22y x +的函数. 定理4,5的证明与定理3的证明类似.3 应用举例例1 求)([]0)(2=+++++dy y x dx y x y x 的积分因子及通解.解 y x y x y x M +++=+2)()(,y x y x N +=+)(,故有[]y x y x y x N M y M x N +-=+++-=-∂∂-∂∂2)(1)(212, 从而有()22)(1)(y x ey x y x d y x +=⎰=++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-μ, 则原方程变为01)11(=++++dy yx dx y x ,其为恰当方程,整理可得 0)(1=+++y x d yx dx , 故方程的通解为C y x x =++ln .例2 求方程0)3()(22=-+-dy x y x dx y xy 的积分因子,并求出方程的通解. 解 y xy y x M -=2),(,x y x y x N 3),(2-=,易知32-=∂∂xy x N ,12-=∂∂xy yM , 故xy x y x y y xy x xy xy Ny Mx y M x N 1)3()()12()32(22-=------=-∂∂-∂∂.从而有积分因子xyexy dxy xy 1)()1(=⎰=-μ, 将积分因子乘到方程两边可得 0)3(1)(122=-+-dy x y x xydx y xy xy , 整理可得031=--+dy ydx x xdy ydx , 即0)ln (3=-xy xy d ,故方程的通解为C xy xy =-3ln .例3 求方程()022=--+ydy dx x y x 的积分因子,并求出方程的通解解因为x y x y x M -+=22),(,y y x N -=),(,从而 222y x My Nx x N y M +-=-∂∂-∂∂, 因此,有积分因子()()222)21(221)(2222y x ey x y x d y x +=⎰=+++-μ,故方程的通解为 x Ce y x 222=+.本文通过对一些特殊积分因子存在性的研究,解决了一些特殊的线性微分方程积分因子的求法,使得难题迎刃而解,求解直观方便,但还存在许多其他的问题难以解决,因此还需对一阶微分方程积分因子的存在性及应用做更深更广泛的研究和探索.参考文献[1] 王高雄,周之铭.常微分方程(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2006:51-57.[2] 吴春絮.微分方程中几种特殊积分因子的求法及其应用[J].铜陵职业技术学院报,2008,5:96-97.[3] 温启军,张丽静.关于积分因子的讨论[J].长春大学学报,2006,5:43-45.[4] 伍军.求解积分因子的几种方法[J].新疆师范大学学报,2006,1:104-108.[5] 米玉珍,孙宏凯.浅谈积分因子的存在条件[J].河北建筑工程学院学报,2002,3:77-79.[6] 刘会民,王新.有关一阶微分方程积分因子的计算[J].辽宁师范大学学报,2003,3:237-239.[7] 刘海浪,赵临龙.一阶线性微分方程的积分因子解法[J].高师理科学刊,2010,2:53-54.。

积分因子法在微积分学中的应用(1)

d
t
∫∫ =
lim
x →+ ∞
(N
(x
)
e
f x 1- N ’(t)
Α N (t)
dt
(x ) ) ’
(N
(x
)
e
) x 1- N ’(t)
Α N (t)
d
t
’
=
∫ lim ∫ ∫ x →+ ∞
(N
’(x ) e
(N (x ) e
+ x 1- N ’(t)
Α N (t)
dt
N
f x 1- N ’(t)
( e x 1- N ’(t) Α N (t)
dt
f
(x )
+
f ’(x ) )
e x 1- N ’(t)
Α N (t)
d
t
=
∫ (N
(x
)e
f x 1- N ’(t)
Α N (t)
d
t
(x ) ) ’
∫ e x 1- N ’(t) Α N (t)
d
t
又由于 lim
∫ = + e x 1- N ’(t) Α N (t)
lim f (x ) = A . x →+ ∞
证明令 N (x ) = k , 显然, N (x ) 在[ Α, + ∞) 上有连续导数. 且
收稿日期: 2005- 09- 13 作者简介: 曾德强 (1979- ) , 男, 四川宜宾人, 内江师范学院助教。
≤ x ≤ b).
例 2 设 f (x ) 在[a, b ] 上连续, 在 (a, b) 内可导, 又 f (a) = 0, f (x ) > 0 (a < x < b). 证明不存在常数M > 0, 使得

积分因子法在求解常微分方程中的应用

积分因子法在求解常微分方程中的应用
积分因子法是常微分方程中的一种重要的解法方法，它可以将一些难以解的非齐次方程转化为等价的齐次方程，从而简化求解过程。

本文将介绍积分因子法的基本原理和应用，包括如何选择积分因子、如何构造齐次方程、如何进行求解等方面的内容。

同时，我们还将通过具体的例子来展示积分因子法的实际应用，帮助读者更好地理解和掌握这一方法。

最后，我们将讨论积分因子法的一些限制和不足之处，以及一些典型的应用场景和扩展。

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积分因子的求法及简单应用[1].doc

积分因子的求法及简单应用数学科学学院摘要：积分因子是常微分方程中一个很基本但却又非常重要的概念，本文在介绍了恰当微分方程与积分因子的概念以及相关定理的基础上，归纳总结了求解微分方程积分因子的几种方法，并利用积分因子理论证明了初等数学体系中的对数公式与指数公式，提供了一种新的解决中学数学问题的途径，体现了积分因子的简单应用价值。

关键词：恰当微分方程；积分因子；对数公式；指数公式1. 恰当微分方程的概念及判定1.1 恰当微分方程的概念我们可以将一阶方程(),dyf x y dx =写成微分形式(),0f x y dx dy -=或把x,y 平等看待，写成下面具有对称形式的一阶微分方程()(),,0M x y dx N x y dy += ⑴这里假设M(x,y)，N(x,y)在某矩形域内是x ，y 的连续函数，且具有连续的一阶偏导数，如果方程⑴的左端恰好是某个二元函数u(x,y)的全微分. 即()()(),,,u uM x y dx N x y dy du x y dx dy x y ∂∂+==+∂∂则称方程⑴为恰当微分方程. []11.2 恰当微分方程的判定定理1[]2 假设函数M(x,y)和N(x,y)在某矩形域内是x ，y 的连续函数且具有连续的一阶偏导数，则方程⑴是恰当微分方程的充分必要条件是在此区域内恒有M Nyx ∂∂=∂∂. 利用定理1我们就可以判定出一个微分方程是否是恰当微分方程.2. 积分因子如果对于方程⑴在某矩形域内M Nyx ∂∂≠∂∂，此时方程⑴就称为非恰当微分方程。

对于非恰当微分方程，如果存在某个连续可微的函数u(x,y)≠0,使得()()()(),,,,0u x y M x y dx u x y N x y dy +=为恰当微分方程，则称u(x,y)为方程⑴的1个积分因子.注[]1 可以证明，只要方程有解存在，则必有积分因子存在，并且不是唯一的.定理2[]2 函数u(x,y)是方程⑴的积分因子的充要条件是u u M N NM u x y y x ⎛⎫∂∂∂∂-=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭3. 积分因子求法举例3.1 观察法对于一些简单的微分方程，用观察法就可以得出积分因子如:⑴ 0ydx xdy +=有积分因子1xy⑵ 0ydx xdy -=有积分因子21x -，21y ，1xy ，221x y +，221x y -例1 找出微分方程()()110xy ydx xy xdy ++-=的一个积分因子. 解将原方程各项重新组合可以写成()()0ydx xdy xy ydx xdy ++-=由于1xy 是ydx xdy +的积分因子，1xy 也是ydx xdy -的积分因子，从而原方程有积分因子()21xy.观察法只运用于求解简单的微分方程的积分因子，有的可以直接看出，有的需要先将原方程重新组合，再运用观察法得出. 3.2 公式法引理1[]3 微分方程⑴存在形如：()u x ，()u y ，()u x y ±，()u xy ，()22u x y ±，y u x ⎛⎫⎪⎝⎭的积分因子的充要条件有：① 方程⑴存在仅与x 有关的积分因子的充要条件：()1M N x N y x ⎛⎫∂∂ψ=- ⎪∂∂⎝⎭，()x ψ是仅与x 有关的函数；② 方程⑴存在仅与y 有关的积分因子的充要条件：()1M N y M y x ⎛⎫∂∂ψ=-- ⎪∂∂⎝⎭，()y ψ是仅与y 有关的函数；③ 方程⑴有形如()u x y ±的积分因子的充要条件：()M Ny xx y N M ∂∂-∂∂ψ+=-，()x y ψ+是仅与x+y 有关的函数，()M N y xx y N M ∂∂-∂∂ψ-=+，()x y ψ-是仅与x-y 有关的函数； ④ 方程⑴有形如()u xy 的积分因子的充要条件：()M N y xxy Ny Mx ∂∂-∂∂ψ=-，()xy ψ是仅与xy 有关的函数； ⑤ 方程⑴有形如()22u x y ±的积分因子的充要条件：()2222M Ny xx y Nx My ∂∂-∂∂ψ+=-，()22x y ψ+是仅与22x y +有关的函数， ()2222M Ny xx y Nx My ∂∂-∂∂ψ-=+，()22x y ψ-是仅与22x y -有关的函数； ⑥ 方程⑴有形如y u x ⎛⎫⎪⎝⎭的积分因子的充要条件：211M Ny y x x Ny Mx x ∂∂-∂∂⎛⎫ψ=-⎪⎝⎭+，y x ⎛⎫ψ ⎪⎝⎭是仅与yx 有关的函数。

用积分因子的思想和分部积分法求解常系数非齐次线性方程

用积分因子的思想和分部积分法求解常系数非齐次线性方程［摘要］用积分因子的思想和分部积分法求解了常系数非齐次线性方程，给出了一般的常系数非齐次线性方程的求解方法．［关键词］常系数非齐次线性方程；积分因子的思想；分部积分法；求解［中图分类号］Ｏ１７５．１［文献标识码］Ｃ［文章编号］１６７２－１４５４（２０１２）０１－０１５９－０３积分因子法的主要思想就是找一个合适的函数，同时乘以方程的两边，使原方程化为恰当方程．一般教材中往往只给出了有只与ｘ有关或只与ｙ有关的积分因子的充分必要条件，混合积分因子比较难求．文献给出有形如μ（ａｘα＋ｂｘｓｙｌ＋ｃｙβ）积分因子的充分必要条件，这是很不错的结果，但也只是一种很特殊的积分因子，能解特殊的一类方程．我们认为，虽然积分因子很难求，但是这种方程两边同乘以一个函数的思想方法，对于解方程很有启发．文献就用这样思想求解了一阶线性方程，较传统的常数变易法更容易记忆．文献则解决了一类特殊的二阶常系数线性方程．而对于常系数非线性方程ｙ（ｎ）＋ａｎ－１ｙ（ｎ－１）＋…＋ａ１ｙ′＋ａ０ｙ＝ｆ（ｘ），（１）一般教材中的求解方法是先求出齐次线性方程的解，然后用常数变易法、比较系数法、Ｌａｐｌａｃｅ变换法等方法来求解．文献介绍了一种新的且非常简洁的求解高阶（ｎ阶）非线性常微分方程初值问题的方法，方程两边分别乘以ｎ个函数，再两边自初值到ｘ积分，化成ｙ，ｙ′，…，ｙ（ｎ－１）的线性方程组，然后求解/这个方程组，即可得到初值的解．这是一种十分精彩的方法．由于教材中往往是首先讲常系数线性方程，再讲线性方程组，所以初学者不容易掌握．这里再介绍一种新的方法，与文献有所不同，并且刚刚学了常系数线性方程的学生可以掌握．具体步骤是：（Ⅰ）先求出（１）对应的齐次线性方程的特征根λ１，λ２，…，λｎ（含重根和虚根）；（Ⅱ）写出函数组ｅ－λ１ｘ，ｅ－λ２ｘ，…，ｅ－λｎｘ；（Ⅲ）取上述函数组中的第一个函数，乘以方程（１）的两边，并自初始值至ｘ积分，用分部积分公式，将方程化为ｎ－１阶方程．依次取函数组中的每一个函数重复上述步骤，即可求得ｙ．可以看出，比较系数法只对某些特殊的ｆ（ｘ）是有效的，上述方法可处理一般函数ｆ（ｘ）．。

积分因子法的一个应用

积分因子法的一个应用作者：冯天祥来源：《教育教学论坛·上旬》2012年第01期摘要：本文给出利用积分因子法求解一阶线性微分方程及贝努利方程的一种简便方法，在探究职业院校数学教学方法方面作了一次有益的尝试。

关键词：积分因子；一阶线性微分方程；贝努利方程中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）01-0193-01如果用常数变易法求解一阶线性微分方程，过程比较繁琐；如果用公式法求解一阶线性微分方程又需要记忆该公式。

对于可化为一阶线性微分方程的贝努利方程，需要作一个变换之后化为一阶线性微分方程，其求解过程更加繁琐。

我们在这里介绍一种利用积分因子求解一阶线性微分方程的简便方法。

一、基本理论如果微分方程P（x，y）dx+Q（x，y）dy=0不是全微分方程，而存在连续可微函数?滋（x，y）≠0使?滋P（x，y）dx+?滋Q（x，y）dy=0为全微分方程，则称函数?滋（x，y）为此微分方程的一个积分因子。

并且有如下结果：定理[1][2]微分方程P（x，y）dx+Q（x，y）dy=0有一个仅依赖于x的积分因子的充要条件是■是一个仅与x有关的函数?鬃（x），此时微分方程P（x，y）dx+Q（x，y）dy=0有一个积分因子为?滋（x）=e■。

微分方程P（x，y）dx+Q（x，y）dy=0有一个仅依赖于y的积分因子的充要条件是■是一个仅与y有关的函数φ（y），此时微分方程P（x，y）dx+Q（x，y）dy=0有一个积分因子为?滋（y）=e■。

二、一阶线性微分方程y'+p（x）y=q（x）的解法先将方程y'+p（x）y=q（x）变形成[p（x）y-q（x）]dx+dy=0，于是P（x，y）=p（x）y-q（x），Q（x，y）=1，?滋=■=p（x）是一个仅与x有关的函数，所以方程[p（x）y-q （x）]dx+dy=0有一个积分因子?滋（x）=e■。

在方程[p（x）y-q（x）]dx+dy=0的两边同乘以?滋（x）=e■得到p（x）ye■dx+e■dy=q（x）e■dx即d（e■y）=q（x）e■dx所以有e■y=■q（x）e■dx从而得到一阶线性微分方程y'+p（x）y=q（x）的通解为y=（■q（x）e■dx+c）e■。

积分因子的存在性定理及其应用

积分因子的存在性定理及其应用
积分因子的存在性定理是由一位美国统计学家莱恩斯特（John Tukey）提出的。

它表明，对于任意回归拟合模型，只要满足一定条件，就能够证明该模型有一个或多个积分因子的存在。

这一定理可以帮助统计学家们从数据中找出有用的积分因子，并且提供了一种发掘和量化隐含变量的方法，也就是通过检测哪些因子对数据有显著影响来确定它们，从而更好地理解数据和其表现出来的现象。

积分因子的存在性定理的应用非常广泛，在工程、生物学、经济学和社会学等许多领域都有应用。

在工程中，它可以用来帮助开发者研究和改进产品的设计，找出影响产品质量的重要
因素，并针对性地对它们进行改进。

在生物学中，它可以用来研究基因表达的调控机制，从而更好地了解植物和动物的生长发育。

在经济学中，它可以用来了解经济活动中不同市场变量之间的关系，从而更好地预测未来走势，帮助决策者做出更明智的投资决策。

在社会学中，它可以用来理解社会现象和社会变化，帮助社会科学家和政策制定者分析和理解不同社会现象之间的关系，并用此作出更有效的政策决策。

总之，积分因子的存在性定理是一种重要的统计学概念，它为统计分析奠定了基础，同时它也为解决各种社会科学问题提供了重要的概念框架，值得大家重视和研究。

面积,行列式,积分因子和green公式

面积,行列式,积分因子和green公式面积、行列式、积分因子和Green式是数学术语，也是高等数学中应用最广泛的概念。

在本文中将会对这些术语进行详细的阐释和分析，以及它们被应用于实际问题的实例。

面积可以被定义为某一个几何图形的内部的面积。

这个几何图形可以是任意的多边形，如三角形、正方形或圆形图形等。

计算几何图形的面积时，通常需要用到特殊的公式来计算。

它的应用有很多，比如计算几何图形的体积、求解三角形的边长，以及用于物理学中的力学等等。

行列式是按行列顺序排列系数组成的方阵，它在线性代数和矩阵理论中被广泛使用。

它的主要用途是用于用线性代数方法求解非线性方程组，也可以用来表示线性变换的增长率。

行列式的其它用途还有确定矩阵的性质和逆，在几何学中求解距离，以及求解线性解等等。

积分因子是一种特殊的数学函数，它在积分中被广泛应用，它可以用来将许多不同形式的积分变化为更容易计算的积分公式。

积分因子还可以用来计算定积分，以及各种不同形式的积分之间的函数关系等。

Green公式是一种简化算术计算的方法，它用于快速计算多项式中的系数。

该公式的结果由一个多项式的值和它的派生数的值相结合而得。

Green式可以应用于多个领域，包括概率论、代数学、分析几何、统计学等。

面积、行列式、积分因子和Green公式都是数学的基本概念，它们都被应用于各种不同的数学问题中。

比如，可以使用面积来计算椭圆面积和三角形面积，使用行列式来求解线性方程组，使用积分因子求解积分，使用Green公式快速计算多项式中的系数等等。

此外，它们也被广泛应用于概率计算、连续性函数求解等等。

总之，面积、行列式、积分因子和Green公式，是数学中重要的概念，它们在数学的日常运用中发挥着重要的作用。

因此，了解这些概念和它们的应用至关重要，也是深入研究数学的基础。

数学分析论文：积分的思想及其应用

积分的思想及其应用院系：数学科学学院专业：信息与计算科学年级： 2011级日期： 2012年5月摘要本论文概述了积分思想的产生和发展过程.根据积分区域的不同，积分可分为：定积分，二重积分，三重积分等.本论文正是讨论这前三种积分的定义及求解.利用积分可以解决求物体运动的路程，变力做功以及由曲线围成的面积和由曲面围成的体积等问题.关键词：积分思想；定积分；二重积分；三重积分AbstractThis paper summarizes the production and the development of the integral thought process.According to the difference of integral area,integral can be divided into:the integral,the double integral,the triple integral,etc.This paper is to discuss the first three integral definition and solving,Use of integral can solve for the motion of distance,become force work by curve and surrounded by the surface area and surrounded the volume.Keywords: the integral thought ; the integral ; the double integral ; the triple integral目录摘要 (Ⅰ)关键词 (Ⅰ)Abstract (Ⅱ)Keywords (Ⅱ)前言 (1)1.积分思想的产生与发展 (2)2.积分思想的理解 (2)定积分的定义 (2)决定函数可积的因素 (2)多重积分 (4)积分的应用 (5)3.再述重积分 (5)3.1积分与微分 (5)3.2积分思想的理解 (6)4.积分的计算 (6)4.1二重积分的计算 (6)4.2三重积分的计算 (9)参考文献 (12)前言本论文主要借鉴数学分析教材中的理论，参考《积分思想基础》一书总结了积分的产生和发展历程，认识到积分思想是经过历代数学家的努力与积累才逐渐产生的.具体来说是为了解决求物体运动的路程，变力做功以及由曲线围成的面积和由曲面围成的体积等问题,才导致了积分的产生.论文中例1是采用定积分思想中无限分割的方法，来求取解侧面积，先利用替换再采用分割的方法，即在区间[]0,?,T T 中插入无穷多个分点，利用定积分定义求取极限最后采用莱布尼茨（Leibnitz ）公式求解定积分.例2则是定积分性质的一个简单证明，充分体现了积分与极限的关系.例3、例4、例5、例6直接简单的验证了多重积分的计算和应用.第1章积分思想的产生与发展积分思想的萌芽，可以追溯到古代.在古代希腊、中国和印度数学家们的著述中,有不少是用无穷的过程计算特殊形状的面积、体积和曲线长.例如：古希腊德谟克利特（Democritus）的“数学原子论”，阿基米德（Archimedes）的“穷竭法”，刘徽的“割圆术”均有积分思想的雏形.在这些方法中都可以清楚的看到无穷小分析的原理.随着数学科学的发展，开普勒（Kepler）的“同维无穷小方法”，卡瓦列利（Cavalieri）的“不可分量法”，费马（Fermat）的“分割求方法”（Newton）和莱布尼兹（Leibniz）揭示了微分与积分的内在联系——微积分基本定理，从而产生了微积分，开创了数学发展的新纪元.第2章积分思想的理解1.定积分的定义设ƒ(x )是定义在区间[],a b 点012311i i n n x a x x x x x x x --=<<<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<b =将区间[,]a b 任意分成n 个子区间[]1,i i x x - (1,2,3,4,)i n =⋅⋅⋅这些子区间及其长度均记作1i i i x x x -∆=- (1,2,3,4,)i n =⋅⋅⋅在每个子区间i x ∆上任取一点i ξ作n 个乘积()i i f x ξ∆的和式()1niii f x ξ=∆∑如果当最大的子区间长度{}1max 0i i nx λ≤≤=∆→时,和式()1niii f x ξ=∆∑的极限存在，并且其极限值与[],a b 的分法及i ξ的取法无关，则称()f x 在区间[],a b 上可积，此极限值称为()f x 在区间[],a b 的定积分，记作 ()baI f x dx=⎰即()baf x dx ⎰=01lim ()ni i i f x λξ→=∆∑.2. 决定函数可积的因素函数()f x 在区间[],a b 上的和式1()niii f x ξ=∆∑的值，一般依赖于四个因素：a .函数()f x ；b .区间[],a b ；c .区间[],a b 的分法；d .[]-1,i i i x x ξ∈的取法.但当()f x 在区间[],a b 上可积，即01lim ()ni i i f x λξ→=∆∑存在时，则不依赖于区间[],a b 的分法与i ξ的取法，因此只与函数()f x 和区间[],a b 两个因素有关.例1：已知一母线平行于z 轴的柱面介于曲线0(),(),()()x x t y y t z z t T t T ===≤≤与xoy 面之间，其中'''(),(),()x t y t z t 在[]0,T T 上连续，且()22''()+()0,0.x t y t z t ⎡⎤⎡⎤≠≥⎣⎦⎣⎦证明该柱面的侧面积为s=.TT z ⎰ 证明: 设空间曲线0(),(),()()x x t y y t z z t T t T ===≤≤在xoy 面上的投影曲线为L ,则L 的方程可写为{0=x(t),=(t)().x y y T t T ≤≤在区间 0[,]T T 内任意插入-1n 个分点0012-1=<<<<<=,n n T t t t t t T 将区间[]0,T T 分成n个小区间[]()-1,t =1,2,,,k k t k n 并记-1=-(=1,2,,),k k k t t t k n ∆则曲线L 在每个小区间[]-1,t k k t 上对应曲线段的长度k s ∆为,=kk t k k t s t ∆⎰其中[]()-1,t =1,2,,,k k k T t k n ∈并且该小曲面的面积'k s ∆为()'(=1,2,,k k k s z T t k n ∆≈.又因为z 在[]0,T T 上连续，所以由定积分的定义可得00=1=lim (=nT k k T k s z T t z λ→∑⎰其中1=max k k nt λ≤≤∆.例2：若(),()f x g x 在[,]a b 可积，证明(()())baf xg x dx +⎰也在[,]a b 可积，并且(()())()()bb baaaf xg x dx f x dx g x dx +=+⎰⎰⎰.证明：因(),()f x g x 在[,]a b 可积，即()baf x dx ⎰与()bag x dx ⎰存在，故对任意分法∆：012n a x x x x b =<<<⋅⋅⋅<=以及1[,]i i x x -中任意i ξ，有()01lim ()()nbi i ai f x f x dx λξ∆→=∑∆=⎰由分法∆及i ξ的任意性，得()g x 在此任意分法下，对上述1[,]i i x x -中的i ξ，也有()01lim ()()nbi i ai g x g x dx λξ∆→=∑∆=⎰，于是有()01()01()01()()lim ()lim ()lim (()())n n nbbi i i i i i i aai i i f x dx g x dx f x g x f g x λλλξξξξ∆→=∆→=∆→=+=∑∆+∑∆=∑+∆=⎰⎰(()())baf xg x dx +⎰从而(()())baf xg x dx +⎰也在[,]a b 上可积，并且(()())()()bb baaaf xg x dx f x dx g x dx +=+⎰⎰⎰.3.多重积分定义：设Ω为一几何形体（它或者是直线段，或者是曲线段，或者是一曲面图形、一块曲面、一块空间区域等）这个几何形体是可以度量的（也就是它是可以求长的，或者是求面积的、可以求体积的等等）.在这个几何形体Ω上定义了一个函数()f M （M ∈Ω），将此几何形体Ω分为若干可以度量的小块123,,,n ∆Ω∆Ω∆Ω⋅⋅⋅⋅∆Ω，既然每一小块都可度量，故它们皆有度量大小可言.同样的，把它们的度量大小记为i ∆Ω()1,2,3i n =⋅⋅⋅⋅并令{}1max i i nd ≤≤=∆Ω的直径在每一块∆Ω中任取一点i M ，作下列和式1()ni i i f M =∆Ω∑，如果这个和式不论对于Ω怎样划分以及i M 在i ∆Ω上如何选取，只要当0d →时恒有同一极限I ，则称此极限为()f M 在几何形体Ω上的黎曼积分，记为()I f M d Ω=Ω⎰，也就是()01lim ()ni id i I f M d f M Ω===Ω=∆Ω∑⎰4.积分的应用a.若几何形体Ω是一块可求面积的平面图形σ，那么σ上的积分就称为二重积分，在直角坐标下记为(),f x y dxdy σ⎰⎰.b.若几何形体Ω是一块可求体积的平面图形ν，那么ν上的积分就称为三重积分，在直角坐标下记为(),,Vf x y z dxdydz ⎰⎰⎰.c.若几何形体Ω是一可求长的空间曲线段l ，那么l 上的积分就称为第一类曲线积分，记为(),,lf x y z ds ⎰.d.若几何形体Ω是一可求面积的曲面s ，那么s 上的积分就称为第一类曲面积分，记为(,,)Sf x y z ds ⎰⎰.1.积分与微分积分与微分是相对的统一.微分学从微观角度研究问题，而积分从宏观角度.客观世界的认知活动，遵循自然法则，由简单到复杂，由规则到不规则，由均匀到不均匀.对简单的，规则的，均匀的，我们都是建立所有人都认可的标准，从而建立简单的认识.而对复杂的认识，我们必须基于极限这种思想去处理.可以这么说，极限是联系理想世界与客观世界的桥梁.2.积分思想的理解积分学只是极限的一个简单应用.但其可以帮助我们解决生活中的许多问题.在此，谈论的是我们对积分思想的理解.一重积分，即定积分，通过莱布尼茨（Leibniz）公式处理，关键是确定原函数，即不定积分.二重积分，基于平行截面面积已知的体积可求性问题，可以将二重积分转换成两个一次积分，分别基于X型Y型区域去处理.XY型区域的特征是嵌套特征，或者是递推特征，整个计算问题的关键就是积分区域的嵌套表示.“画图投影作直线”是所有积分计算过程的缩影.只不过不同的对象可能有所区别，需要具体问题具体分析.三重积分，可以转换成三次积分，其思想还是遵循嵌套表示.将三次积分化简，可遵循先积分一次再两次积分，或者先两次积分再一次积分的思想，其本质是积分区域的不同表现形式.其实，引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反应，三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出的，但事实上三重积分的概念也是某些现实过程的反应，例如可以看作是确定具有变化密度的物体的质量的过程.必须强调指出的是，确定出这些重积分的过程也反映着很多其他的现实过程.1.二重积分的计算解决二重积分时可以将复杂的区域分割为若干简单区域，即将二重积分转换成两个一次积分，分别基于X 型Y 型区域去处理.通俗来说就是首先考虑一个变量的取值范围，对其积分；然后用第一个变量或其它常数作为第二个变量的取值范围，最后运用莱布尼茨（Leibniz ）公式求解即可.例3：解二重积分{}22(),(,)1,1Dx y d x y x y σ+≤≤⎰⎰其中D= 解：积分区域如下图所示22()Dx y d σ+⎰⎰112211123111121311()13223223383dx x y dyx y y dx x dxx x ------=+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰例4：解二重积分2,Dxy dxdy ⎰⎰其中D 是由抛物线()220y px p =>和直线()02ax a =>所围成的区域.解：由方程组22,2px y a x ==⎧⎨⎩解得两个交点分别为,,.22a a ⎛⎛ ⎝⎝故由题意可知，积分区域D 可表示为(),0,,2a D x y x y ⎧=≤≤≤≤⎨⎩于是2220aDxy dxdy dx xy dy =⎰⎰⎰3205207220327a a y x dx x dxx ⎛⎫= ⎪⎝⎭=⎫=⎪⎪⎝⎭=⎰2.三重积分的计算三重积分的先一次再两次积分是常用的方法.可以向任何一个平面投影,但我们一般向XOY 面投影.先两次再一次积分适合于某一个变量,如z 具有明确上下限,而由z 所确定的z D 平面区域可以很容易处理,例如:用于球体,半球体,锥体,椭球体等.关于平面极坐标,空间柱面坐标,极坐标.我们可以看作是重积分的换元法.换元后微元都发生了改变,其他过程则跟直角坐标系下一致.（1）平面极坐标主要适用于积分的区域有:圆域,环域,扇形域等.（2）柱面坐标本质是对某一个变量,如z ,用直角坐标系表示,对XY XY 用极坐标表示后, z 也要用半径跟角度表示.其主要适用于:圆柱,圆锥,球体,半球体等.（3）关于空间极坐标,其主要适用于圆锥,球体,半球体.例5：求()vI x y z dxdydz =++⎰⎰⎰，V 是平面1x y z ++=和三个坐标所围成的区域.解：因为这区域对三个变量是对称的，并且被积函数也是对称的，因此有等式,VVVxdxdydz ydxdydz zdxdydz ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰计算其中一个积分10xyx yvxdxdydz dxdy xdzσ--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()()()110012201201230(1)(1)112121221,24xy xx x y dxdyx x y dy dxx x x x dx x x dx x x x dx σ-=--=--⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦=-=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 所以 ()113.248Vx y z dxdydz ++=⨯=⎰⎰⎰一些三重积分求解问题用柱面坐标会比较简单.例6：求,VI zdxdydz =⎰⎰⎰V 是球面2224x y z ++=与抛物面223x y z +=所围部分.解：用柱面坐标作变换，上面两个方程分别变换为224r z +=及23r z =. 它们的交线是{1,z r =因此V 在(),r θ平面的投影r θσ为r =()=在z 0平面上的一个圆，于是213r r I rdrd zdz θσθ=⎰⎰⎰221313.4r d πθπ==⎰⎰总之,所有计算方法,都基于积分区域在不同坐标系下的表示,主要注意在不同坐标系下的微元即可.参考文献：【1】欧阳光中，朱学炎，金福临，陈传璋.数学分析（下），高等教育出版社，2007年4月，第三版【2】朴志会，冯良贵，廖基定.积分思想基础，国防科技大学出版社，2004年6月【3】刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义（下），高等教育出版社，2003年6月，第四版。

积分因子的存在性定理及其应用

积分因子的存在性定理及其应用积分因子的存在性定理是1920年由著名数学家威廉勒贝格发现的，是复数函数正好是一个正定的分部多项式的重要定理。

该定理的发现使人们能够将更复杂的函数准确地表达为有限的多项式，为函数分析之研究带来了巨大的便利。

定理的精确形式如下：令f(z)是一个在复平面上连续的函数，其中z=x+iy，x和y分别是实部和虚部，那么如果该函数满足以下条件：(1)于复数z的实部和虚部的偶函数，即当z=x+iy时，则f(z)=f(x-iy)；(2) 任意z1和z2，则有：f(z1+z2)=f(z1)+f(z2)，那么就有f(z)=f(x)+if(y)，其中f(x)和f(y)分别是关于x和y 的复数定义的实函数和虚函数，它们正好是一个正定的分部多项式。

它的证明由一步步展开，主要分为三步：第一步：将积分因子用递归式表达出来；第二步：对该递归式进行矩阵化，用矩阵乘法表达出简便的形式；第三步：用正定矩阵定理证明矩阵正定。

经过这三步，就能推出积分因子的存在性定理。

积分因子的存在性定理具有重要的实际意义，主要表现在以下几个方面：（1）它可以将函数的值由直观的形式转换成有限的分部多项式，从而对函数的性质有更深入的了解；（2）它可以加快传统的数值计算方法，减少数值计算的时间；（3）它可以帮助进行定义域内的极值计算，从而更容易地解决复杂函数分析的问题；（4）它为复数函数分析提供了新的思路，使原有的数学分析模型有了新的拓展。

综上所述，积分因子的存在性定理不仅给函数分析带来了新的思路，而且可以大大提高数值计算的效率，使复数函数分析更加便利。

可见，积分因子的存在性定理对于自然科学及其他领域都有重要的实际意义。

因此，当今的数学领域的研究者们要对威廉勒贝格发现的积分因子的存在性定理有充分的认识，并且要深入利用此定理，实现实际应用。

积分因子及其应用

第２卷第２４期２１００年３月
湖
南
工
业
大
学
学
报
Ｖｏ．４ＮＯ２１．２Ｍａ．２０ｒ０１
ＪｕａｆＨｕａｉｅｓｔｆｃｎｌｇｏｒｌｎｎＵｎｖｒｉｏｈｏｏｙｎｏｙＴｅ
积分因子及其应用
存在唯一的连续解（，＝定义在区间一，＋］）【ｈ０ｈ，ｘ
且满足初始条件，这里
定理４设函数Ｙ＝满足如下微分不等式：（）
Ｙ＋（）０（０，口ｘ）
（）２
＝ｎ击，Ｉ，ｍ口１＞ｉ，Ｍｆ。
分必要条件是（，）Ｙ满足一阶偏微分方程：
Ⅳ 一＝
此形式称为一阶对称形式的微分方程。
ｆ一
如果对称形式的方程（１）的左端恰好是某个二元函数ｕｘＹ的全微分，则称该方程为恰当方程。（，）
定理３１）方程（）有只与有关的积分因子的１充分必要条件是：
Ｅｍａ１ｉ８８８＠ｖｌｏｃｍ．ｎ．ｌ：ｃｍ８８８８ａ１．ｏｃｏ
１４
湖
பைடு நூலகம்
南
工
业
大
学
学报
２１００钽
此时，积分因子为：
（）ｅ ‘ 。＝
｛ｆｙ貔（ｘ
ｏ
）Ｙ＝ｏ
㈩
３积分因子的应用
３１证明微分不等式．

积分因子的应用

・
７８・
九江学院学报
２００８年第６期
＝ｃ由定理１，＝（一），是一个，知，ｅ）
通过对积分因子理论和参考文献¨ 的研究，我们得出了一个具有应用价值的定理，并用于证明数学分析某些等式和不等式命题．首先我们经研究
得到：
ｘｙｃ－
（）在区间Ｆ（内）；０；
（总第１９期）４
（ｕＮ４）ＳｍＯ１９
积分因子的应用
刘文军孟京华程晓琴
（九江学院理学院江西九江３２０）３００
摘要：应用常微分方程中的积分因子理论证明某些指数公式与对数公式，研究积分因
子理论得到一个定理并用于证明某些等式和不等式命题．
关键词：积分因子；微分方程；通解；不等式
中图分类号：０１５１文献标识码：Ａ文章编号：１７ — ５０（０８６０７一（３．７６３４８２０）０ — ０７０）
预备知识：《在常微分方程》】 ¨ 中，有
定义１：若一阶微分方程Ｍ（，）ｘ＋Ｎ（，）＝０ … …… ……… … （）ｘ）ｃ，ｌｘＹ１的左端恰好为某函数ｕｘ）（，）的全微分，Ｍ（，，即ｘＹｄ）ｘ＋Ｎ（，）ｒ＝ｄ（，）则称该方程为全微ｘ，ｄ，ｕｘ），，分方程或者恰当方程，时易证该方程的通解是此
j亭e一口口使得厂手人手gf0从而证得厂f26ff0本文研究了如何把常微分方程中的积分因子理论应用用于证明某些对数公式与指数公式以及把积分因子理论应用于证明等式与不等式命题对于积分因子是否在其他方面还有更广泛的应用还有待于日后去作进一步的研究与完善

积分因子法在数学分析中的应用

一
ｌＶｆ — Ａｖ＝０，
，ｆ） ∈ Ｒ × （ｏ，＋ ∞ ）
Ｉｖ（ｘ，０）＝（）， ∈ Ｒ
利用傅里叶变换可解得
１一咝
Ｌ
—
）：ｌｉｍ
＋∞ ｅ－
：ｌｉｍ
十∞ ｅ
＿Ｋ。
Ｉ￣ｅ＇ｄ孚成立，
＝０
＋∞
注１上述证明虽然简单明了，但是要求大
是显然成立的，因此可得ｌｉｍ）＝Ｋ。
收稿日期：２０１６ — ０１ — １０基金项目：安徽省教育厅一般研究项目（ＡＱＫＪ２０１４Ｂ０１１）。
由ｌｉｍ［ｆ（）（）］知，
一十田
ｐ（ｘ）ｅＪ
以及乘积求导法则，方程两端若同乘
，这样就可求
以ｅＪ，则方程左端变为【，，ｅ』
厂（）ｔ（）＝Ｋ＋０（１），
（１）
出结果了。把ｅｆ称为积分因子，这种求解方
法称为积分因子法。下面将这种思想应用到一些
问题的证明中。
其中０（１）（＋ ∞），即Ｖ８＞０，３Ｘ＞０，
当 ≥ 时，有１０（１）Ｉ＜；由（１）式知［ｅ）］＝
，
１积分因子法在极限理论中的应用
例１设（）在＋ ∞）可导，且
ｌｉｍ［ｆ（）（）］。
［Ｋ＋０（１）］，即ｅＴ￣ｘ）一ｅ）＝Ｊｅ ‘ ［＋ｏ（１）］出＝

常数变易法与积分因子法

常数变易法与积分因子法
常数变易法与积分因子法是相互关联的数学方法，它们各自都有它们独特的优势。

这些方法通常用来求解积分式，因为它们可以消除大量的积分中间步骤，从而节省时间。

常数变易法又叫比例变换法，是求解积分最重要的方法之一。

这种方法的基本思想是用一个常数变量替换微积分中出现的变量，从而简化积分式。

举个例子来说，在求解$f（x）=\sinx$的积分时，可以将一个常数变量t代入积分式，然后对x进行比例转换，最后求得积分结果。

这样一来，就可以省却繁琐的积分步骤，从而大大简化求积过程。

另外一种求解积分的方法是积分因子法，它与常数变易法相似，都是用一个常数变量来替换掉原变量，但是它表示的意义完全不同。

积分因子法的基本思想是将原本要积分的函数分解成几个乘积项，这样一来，就可以通过计算每一项的积分，将积分式转换成另一个同样有结果的积分式。

这样就可以免去大量的繁琐计算，非常节省时间。

总之，常数变易法和积分因子法都是求解积分式的有效数学方法，它们都有各自独特的优势，能有效减少积分中间步骤，进而节考求解时间。

利用定积分思想解决实际问题的例子.

利用定积分思想解决实际问题的例子.
利用定积分思想解决实际问题
定积分分（Definite Integral）是一门求解定义函数在确定区间上实际问题
的一种数学方法。

它可以用来解决实际问题，以测定物体的内部特征，如质量、体积、重力等物理量。

它的优势是简单明了，推导简单，使用范围广泛。

定积分的概念源于古希腊数学家艾略特所提出的差分学，是一种非常重要的数学计算手段，利用它可以根据实际问题所需精度和结构，正确计算出相应的结果。

定积分的原理是把一个确定的函数的在某一段区间的定积分拆分为多个小的积分，然后把每个积分累加，由此得到最终的积分值。

在实践中，可以用计算机模拟这种拆分的过程，有效地估算出在确定的区域上各种函数的积分。

由于定积分的优势，有不少实际问题可从它中获得结果，其中最重要的是求解
物体重量和体积，定积分可以根据不断变化的重力场对对象来计算重量和体积。

在空间抛物线的研究中，定积分在计算抛物线在特定时刻速度和位移的关系时发挥作用，并在不同时刻下计算抛物线的积分，从而找到物体抛物线运动的总路程和总时间。

此外，定积分还可以求解电束流和电压的变化情况，计算储能器的能量变化，
求解氦气的温度和压缩分量，对密度较大的液体流动情况进行分析，以及评估环境污染的程度等。

从上面可以看出，定积分在解决实际问题中有着不可替代的作用，它的关键在
于根据实际问题求解函数的过程，得出了易于理解和实用的解决方案。

积分因子法的应用

积分因子法的应用
李德新
【期刊名称】《福建农林大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2004(033)002
【摘要】给出了积分因子法的基本原理,及其在求解等式和不等式问题中的应用.【总页数】3页(P269-271)
【作者】李德新
【作者单位】福建农林大学计算机与信息学院,福建,福州,350002
【正文语种】中文
【中图分类】O172.1
【相关文献】
1.积分因子法在求解常微分方程中的应用 [J], 祁玉海;普瓜才让;
2.积分因子法在两类微分方程求解中的应用 [J], 唐晓;刘翠萍;周恺
3.积分因子法的一个应用 [J], 冯天祥
4.积分因子法在数学分析中的应用 [J], 马宗立;岳素芳
5.1阶线性非齐次常微分方程积分因子法及其应用（英文） [J], 冯大雨
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