第二节 复化求积公式和龙贝格求积公式
复化辛普森公式及龙贝格方法求解积分
一、实验目的及题目1. 实验目的：（1） 学习用复化辛普森公式及龙贝格方法求解积分并掌握这种方法。
（2）了解这些辛普森公式及龙贝格方法的概念，参考课本写出用复化辛普森算法以及龙贝格方法计算目标题目的程序，在matlab 中实现，并用matlab 内置的函数计算出结果，并提出存在的问题。
2. 题目：利用复化辛普森公式和龙贝格方法计算下列积分：（1）dx e x ⎰-5.002（2）dx x x ⎰202sin )2sin(cos π二、实验用仪器设备、器材或软件环境计算机、matlab 软件。
三、实验原理、程序框图、程序代码1.实验原理：根据微积分学基本定理，若被积函数f(x)在区间[a,b]上连续，只要能找到f(x)的一个原函数F(x)，便可利用牛顿-莱布尼茨公式求得积分值。
但会经常遇到如下问题：找不到用初等函数，找到了原函数，但因表达式过于复杂而不便计算等等。
此时则不能用牛顿-莱布尼茨公式，因此有必要研究如下公式。
1）复化求积公式及原理由于高阶插值的不稳定性，为了提高计算积分的精度，可把积分区间分为若干个小区间，将()I f 写成这些小区间上的积分之和，然后对每一个小区间上的积分应用到辛普森公式，或柯特斯公式，并把每个小区间上的结果累加，所得到的求积公式就称为复化求积公式。
辛普森公式的数值积分公式为：⎰+++-≈ba b f b a f a f a b dx x f )]()2(4)([6)(它的集合意义为用通过三点))(,()),2(,2()),(,(b f b b a f b a a f a =+的抛物线围城的曲边形面积来代替给定函数的积分。
同梯形公式一样，也有复化辛普森公式：)()(),()()]()(4)([6)(010121b f x f a f x f x f x x f h dx x f n n k k k k ba ==++≈∑⎰-=++ 其中 n ab h x x xk k k -=+=++,2121。
数值分析(18)复化求积法
1 2
h2
b
4
a
,
直到 T2n Tn 为止,将T2n作为积分的近似值。
数值分析
数值分析
下面推导由n到2n的复化梯形公式
给出误差限，将[a,b]n等分，步长hn
b
a n
,
用复化梯形公式：
在[xk , xk1 ]上，T1k
hn 2
(
f
( xk )
f ( xk1 ))
在[a, b]上，
T (hn ) Tn
理查逊外推算法流程 1,0
1,1 2,0
1,2 2,1 3,0
M
M
MO
1,n 2,n1 3,n2 L n1,0
数值分析
数值分析
二、龙贝格(Romberg)方法
龙贝格(Romberg)算法是将理查逊(Richardson)外推法应 用于数值积分，由低精度求积公式推出高精度求积公式的算法。
h
ba 2k
数值分析
数值分析
变步长复化梯形公式的递推公式： （由n到2n）
T2n
1 2 Tn
Hn 2
其中Tn
hn 2
(
f (a)
n1
f (b)) hn
k 1
f ( xk )
n1
H n
hn
k0
f
(
x
k
1
)
2
实际计算中的递推公式为
ba
T1
[ f (a) f (b)] 2
1
b a n1
ba
T2n 2 Tn
复 化 梯 形 公 式 的 截 断 误差 有 展 开 式
b a
f ( x)dx Tn
C2h2
龙贝格算法
龙贝格积分1. 算法原理采用复化求积公式计算时，为使截断误差不超过ε，需要估计被积函数高阶导数的最大值，从而确定把积分区间[]b a ,分成等长子区间的个数n 。
首先在整个区间[]b a ,上应用梯形公式，算出积分近似值T1；然后将[]b a ,分半，对 应用复化梯形公式算出T2；再将每个小区间分半，一般地，每次总是在前一次的基础上再将小区间分半，然后利用递推公式进行计算，直至相邻两个值之差小于允许误差为止。
实际计算中，常用ε≤-n n T T 2作为判别计算终止的条件。
若满足，则取n T f I 2][≈；否则将区间再分半进行计算，知道满足精度要求为止。
又经过推导可知，∑=-++=ni i i n n x x f h T T 112)2(221，在实际计算中，取kn 2=，则k a b h 2-=，112)1*2(2++--+=+k i i ab i a x x 。
所以，上式可以写为∑=++--+-+=+kk i k k ab i a f a b T T 211122)2)12((2211k开始计算时，取())()(21b f a f ab T +-=龙贝格算法是由递推算法得来的。
由梯形公式得出辛普森公式得出柯特斯公式最后得到龙贝格公式。
根据梯形法的误差公式，积分值n T 的截断误差大致与2h 成正比，因此步长减半后误差将减至四分之一，即有21114n n T T -≈-将上式移项整理，知2211()3n n n T T T -≈-由此可见，只要二分前后两个积分值n T 和2n T 相当接近，就可以保证计算保证结果计算结果2n T 的误差很小，这种直接用计算结果来估计误差的方法称作误差的事后估计法。
按上式，积分值2n T 的误差大致等于21()3n n T T -，如果用这个误差值作为2n T 的一种补偿，可以期望，所得的()222141333n n n n n T T T T T T =+-=-应当是更好的结果。
龙贝格求 积分---精品管理资料
龙贝格(Romberg ）求积法1。
算法理论Romberg 求积方法是以复化梯形公式为基础，应用Richardson 外推法导出的数值求积方法.由复化梯形公式 )]()(2)([2222b f h a f a f h T +++=可以化为)]()]()([2[212112h a f h b f a f hT +++=＝)]([21211h a f h T ++一般地，把区间［a,b]逐次分半k －1次，（k ＝1，2，……,n)区间长度（步长）为kk m a b h -=，其中mk ＝2k －1。
记k T ＝)1(k T 由)1(k T ＝]))12(([21211)1(1∑=---++km j k k k h j a f h T 从而⎰badxx f )(＝)1(kT－)(''122k f h a b ξ- (1)按Richardson 外推思想，可将（1）看成关于k h ,误差为)(2k h O 的一个近似公式,因而,复化梯形公式的误差公式为⎰badxx f )(－)1(k T ＝......4221++k k h K h K ＝∑∞=12i i k i h K （2）取1+k h ＝k h 21有 ⎰ba dx x f )(－)1(1+k T ＝∑∞=+121221i ik ii hK （3）误差为)(2jh O 的误差公式 )(j kT＝)1(-j kT＋141)1(1)1(------j j k j k T T2.误差及收敛性分析(1)误差，对复化梯形公式误差估计时，是估计出每个子区间上的误差，然后将n 个子区间上的误差相加作为整个积分区间上的误差。
(2）收敛性，记h x i =∆,由于∑=++=ni i i n x f x f h f T 01))]()([2)(＝))()((21101∑∑-==∆+∆n i ni i i i i x x f x x f上面两个累加式都是积分和，由于)(x f 在区间],[b a 上可积可知,只要],[b a 的分划的最大子区间的长度0→λ时，也即∞→n 时,它们的极限都等于积分值)(f I 。
4.4龙贝格求积公式
4 1 T1 ( k 1) T0 ( k ) T0 ( k 1) 3 3 16 1 T2 ( k 1) T1 ( k ) T1 ( k 1) 15 15 64 1 T3 ( k 1) T2 ( k ) T2 ( k 1) 63 63
k 1, 2 ,
1 h n1 Tn f ( x 1 ) j 2 2 j 0 2 1 b a n 1 1 Tn f (a ( j )h) 2 2n j 0 2 1 b a n 1 ba Tn f ( a ( 2 j 1) ) 2 2 n j 0 2n
Romberg算法的代 数精度为m的两倍 Romberg算法的收敛 阶高达m+1的两倍
T0 (0 ) T0 (1) T0 ( 2 ) T0 ( 3) T1 (0 ) T1 (1) T1 ( 2 ) T2 (0 ) T2 (1)
T3 (0 )
龙贝格积分
例：计算
I T2n 1 I Tn 4
令
--------(7)
即 当然
Cn C2 k 1 T2 (k 1) C 2 n T2 (k )
--------(8)
同样由复合Cotes公式的余项
I C2 n 1 (C2 n Cn ) 63
64 1 64 1 得 I C2 n Cn T2 ( k ) T2 ( k 1) 63 63 63 63
43 C 2n C n Rn 3 4 1
Romberg
T1 = T0( 0 )
T2 = T0( 1 )
<?
算法： T4 = T0( 2 )
T8 = T0
(3)
S1 = T1( 0 ) S2 = T1
龙贝格(Romberg)求积法
龙贝格（Romberg）求积法
复化求积方法对于提高计算精度是行之有效的 方法，但复化公式的一个主要缺点在于要先估计出 步长。若步长太大，则难以保证计算精度，若步长 太小，则计算量太大，并且积累误差也会增大。在 实际计算中通常采用变步长的方法，即把步长逐次 分半，直至达到某种精度为止。
1.1变步长的梯形公式 变步长复化求积法的基本思想是在求积过程中，
)
0.9397933
进一步二分求积区间,并计算新分点上的函数值
f
(
1 4
)
0.9896158
,
f
(
3 4
)
0.9088516
有
T4
1 2 T2
1 4
f
(
1 4
)
f
(
3 4
)
0.9445135
这样不断二分下去，计算结果如P139列表所 示。积分的准确值为0.9460831，从表中可
看出用变步长二分10次可得此结果。
的考积察分T值与nS等n 。份辛卜生公式 S n之间的关系。将
复化梯形公式
Tn
h 2
f
(a)
2
n1 k 1
f
(xk ) f (b)
梯形变步长公式
T2 n
Tn 2
h n1
2 k 0
f (xk1 ) 2
代入(6.9) T 表达式得
h
n1
n1
T
6 f (a) 4k0
f
(
x k
1
)
2
（
2
输入 a,b,ε
）
变
b-ah,
h 2
f(a)+f(b)T1
6b复合求积公式龙贝格算法
步长折半：[xi , xi+1/2] ， [xi +1/2 , xi+1]
n1
xi xi +1/2 xi +1
h T2 n f ( xi ) f ( xi 1 2 ) f ( xi 1 2 ) f ( xi 1 ) i 0 4 n1 h f ( xi ) 2 f ( xi 1 2 ) f ( xi 1 ) i 0 4 h n1 h n1 1 h n1 f ( xi ) f ( xi 1 ) f ( xi 1 2 ) Tn f ( xi 1 2 ) 4 i 0 2 i 0 2 2 i 0 13
1 I T2 n (T2 n Tn ) 3
I Tn 4( I T2n )
3I 4T2n Tn
1 3
验后误差估计式 I T2 n (T2 n Tn )
当
T2n Tn 时，T2n即为所求的近似值。
1 (T2 n Tn ) 3
是T2n 的修正项，它与T2n 之和比T2n 、 Tn更接近与真值，即它是一种补偿。
|| T T2-T|< 2-T1|<
输出T2
16
举例
计算精度满足 | T2n Tn | 107
I [ f ]=0.946083070367
例：用梯形法的递推公式计算定积分 解：
1
0
sin( x ) dx , 要求 x
k
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
T (k)
梯形法递推公式
1 h n1 1 h n1 T2 n Tn f ( xi 1 2 ) Tn f ( a ih 0.5h) 2 2 i 0 2 2 i 0
chap4第2节 复化求积公式
1
1 4 4 4 2 2 2 1 4 6 1 1 9 9
3.1230
4 )3
而梯形公式的结果为
1 x
0
1
4
2
dx
1 0 2
(
4
1 0 11
例 4.4 用复化梯形公式计算积分 I 0 e dx ，应将区间 [0,1]多少等分，才可以使其截断误差不超过 1 10 4
2
dx
0
1 3
2 3
1
0
解：四点复化梯形公式就是将区间[0，1]三等分，如图， 于是
n 1 h I dx f (a ) f (b) 2 f ( xk ) 2 0 1 x 2 k 1 1 1 1 2 f ( 0) f (1) 2 f 2 f 2 3 3 3
这时，做近似计算用：
n n 1 h S n f (a ) 4 f ( x 1 ) 2 f ( xk ) f (b) k 6 k 1 k 1 2
做误差限估计用：
Rn [ f ]
(b a ) 2880n
5 4
M4
四点公式(n=3)的节点如： a
x1
2
n
由介值定理，若
Rn [ f ] h
5 n
f(x)∈C4[a, b] ,
f
( 4)
则有
4
2880
k 1
( k )
( b a )h 2880
f
( 4)
( ), (a , b)
设
M 4 max f
a x b
4
x 有估计式
(4)
数值计算方法 复化求积公式 - 复化求积公式
nn
(t
0 j0
j )dt
jk
柯
特点： 插值型的、节点等距
特 斯
存在问题： 节点较多时，高次插值的不稳定导致高阶N-
公
K
式
解决办法公：式的复不化稳求定积。
复化求积法：区间分成若干子区间,在每个子区间上用低 阶求积公式。
N=1时的牛-柯公式
1
梯 形 公 式 T b a f a f b
牛 顿 －
xk1 xk
f
( x )dx
h[ 2
f
(xk )
f
(
xk
1
)]
h3 12
f ''(k )
k [ xk , xk1]
求和可得
I
b
n1
f (x)dx
xk1 f ( x )dx
a
k0 xk
h 2
n1
[
k0
f
(
xk
)
f ( xk1)]
Rn ( f )
2
记
Tn
h 2
n1 k0
[
f
(
xk
)
f ( xk1)]
b
lim
n
T
n
a
f ( x)dx,
复 化
事实上
h n1
Tn
2
[
k0
f
(
xk
)
Hale Waihona Puke f ( xk1 )]梯 形 公
1 b a n1
ba n
2 n
f (xk )
k0
n
f ( xk ).
k 1
式 的 收
lim
第二节复化求积公式和龙贝格求积公式
Tn )
对于复化辛蒲生公式、柯特斯公式可以类似得到
I
S2n
1 42 1(S2n
Sn )
1 I C2n 43 1 (C2n Cn )
不足
收敛速度慢
应用步长逐次减半得到的复化梯形值、复化 辛蒲生值、复化柯特斯值与精确值的比较
I
T2n
1 4 1(T2n
Tn )
n1
Sn (
f
)
6
f
(a)
4
k0
f
(
x
k
1 2
)
2
k
1
f
( xk )
f
(b)
复化梯形公式(n
=
8)，h
1 8
0.946083070367
T8 (
f
)
1
2
8
f
(0)
2
f
1 (
)
8
f
(
1 )
4
3 f( )
8
f
(1) 2
f (5) 8
f
(3) 4
f
(
7 8
)
f
(1)
0.945692
复化辛蒲生公式(n
=
4)，h
1 4
S4 (
f
)
1 64
f
(0)
4
f (1) 8
f
(3) 8
f
(5) 8
数值分析6.3 复化求积公式、龙贝格求积公式讲解
精度不够可将步长逐次分半. 设将区间 [a, b]分为n等
分，共有n+1个分点，如果将求积区间再分一次，则
分点增至2n+1个，我们将二分前后两个积分值联系
起来加以考虑. 注意到每个子区间[xk, xk+1]经过二分
只增加了一个分点
x k 1/ 2
1 ( x k xk 1 ) 2
设hn=(ba)/n, xk=a+khn (k=0,1,,n),在[xk, xk+1]
I f ( x )dx
b a k 0 n 1 xk 1 xk
f ( x )dx
每个子区间[xk, xk+1]上的积分用梯形公式, 得
xk 1 xk
h f ( x )dx [ f ( xk ) f ( xk 1 )] 2
xk 1 xk
I
k 0
6.3 复化求积公式
从求积公式的余项的讨论中我们看到，被积函数
所用的插值多项式次数越高，对函数光滑性的要求也
越高.另一方面，插值节点的增多(n的增大)，在使用
牛顿-柯特斯公式时将导致求积系数出现负数(当n≥8
时, 牛顿-柯特斯求积系数会出现负数)，即牛顿-柯特
斯公式是不稳定的，不可能通过提高阶的方法来提高 求积精度.
b n 1 xk 1 xk a
I f ( x )dx
k 0
f ( x )dx
h n 1 I [ f ( xk ) 4 f ( xk 1/2 ) f ( xk 1 )] 6 k 0
n 1 n 1 h [ f (a ) 4 f ( xk 1/2 ) 2 f ( xk ) f ( b)] 6 k 0 k 1
Romberg算法
上例说明{Tn}收敛慢，求T128 要计算64个新增的函 数值，而将T8与T4重新组合可构造S8。
1 4 1 T23 (T23 T2 2 ) T8 T4 S 4 3 3 3
K
T2k
S2k-1 0.9461459 0.9460869 0.9460833 …
m
C2k-2
R2k-3
因此计算梯形序列{T2m}可按：
T2m hm ( f (a) f (b) 2 f (a khm )) 2 k 1
2m1
注意到每个子区间 xk , xk 1 经过等分只增加了一个分点： 1 x 1 ( xk xk 1 ) 用复化梯形公式可求得 xk , xk 1 上的积分值为 k 2 2
1 ~ 4 如, 当n 1 时， T T2 T1 3 3 4ba ab 1ba [ f (a) 2 f ( ) f ( b )] [ f ( a ) f ( b )] 3 4 2 3 2 ba ab [ f (a) 4 f ( ) f ( b )]. 6 2 4 1 即 S1 T2 T1 . 3 3
3、加密一次区间 ( 再分半)h2
ba ba , xk a kh2 a k, k 0,1, 2, 3,4 4 4 3 3 ba 1 1 h2 T4 ( f ( a ) ( f ( a kh2 ) f ( b )) ( f ( a ) f ( b ) 2 f ( a kh2 ) k 1 k 1 4 2 2 2
1 h n1 T2n Tn f ( xk 1 ) 2 2 2 k 0
此为复化梯形公式的递推公式
例2 利用变步长的梯形法求I dx 的近似值. x 1 T1 [ f (0) f (1)] 0.9207355 . 2 1 1 1 T2 T1 f ( ) 0.9397933 . 2 2 2 1 1 1 3 T4 T2 [ f ( ) f ( )] 0.9445135 . 2 4 4 4 1 1 1 3 5 7 T8 T4 [ f ( ) f ( ) f ( ) f ( )] 0.956909 . 2 8 8 8 8 8
计算方法-龙贝格资料
f
(2n )
若f ( x)在[a, b]变 化 不 大 ， 即f (n ) f (2n )， 则
b
a
b
f ( x)dx Tn
4
a f ( x)dx T2n
计算方法 © 2009, Henan Polytechnic University
5 July 2020
2
第六章 数值积分与数值微分
从而
b a
f
( x)dx
T2n
13（T2n
Tn）
即 ：b a
f
( x)dx
T2n
13（T2n
Tn）
由此可以认为，当T2n Tn 时,
b
a f ( x) T2n
计算方法 © 2009, Henan Polytechnic University
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3
第六章 数值积分与数值微分
5 July 2020
4
第六章 数值积分与数值微分
设h b a ,则 n
x0 x1 x2 x3
xn2 xn1 xn
T2n
h 4
n 1
{ f (a) 2 [
k 1
n 1
f (xk )
k 0
f
(
x k
1
)]
2
f (b)}
h 4
f
(a)
2
n1 k 1
f ( xk )
f (b)
h 2
计算方法 © 2009, Henan Polytechnic University
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1
第六章 数值积分与数值微分
若
用Tn及T2
分
数值微积分第二讲(复化及龙格贝塔积分)
3 3
n2 >
10 0 .5 × = 394520 7.92101 4 n > 629
这说明使用复化梯形公式计算量比复化辛普森公式大得多
例3
使用复化辛普森公式和 复化梯形公式
计算积分 I =
解
∫
1
0
sin x dx x
η ∈ [a , b ]
f ( x) ∈C [a, b]时, 可以证明
2
limTn = ∫ f ( x)dx,
n→∞ a
b
事实上
h n 1 Tn = ∑ [ f ( x k ) + f ( x k +1 )] 2 k =0
1 b a n 1 ba n = ∑ f ( x k ) + n ∑ f ( x k ) . 2 n k =0 k =1
这说明使用复化梯形公式比复化辛普森公式误差大得多
第四章
第三节
龙贝格（Romberg）求积公 （Romberg） 式
龙贝格算法： 龙贝格算法：
在求积公式的推倒中 , 如果采用序列 { hn }
h0 = b a ; h0 h1 = ; 2 h0 h2 h1 h3 = = = ;....... 2 4 8
n 1 n 1 h = [ f (a ) + 4∑ f ( x k +1 2 ) + 2∑ f ( x k ) + f (b )] 6 k =0 k =1
复化辛普森公式
f ( x) ∈C[a, b]时, 可以证明
lim Sn = ∫ f ( x)dx,
n→∞ a
b
迭代公式
题目：利用复化辛普森公式和龙贝格方法计算下列积分：1、dx ex⎰-5.0022、dxx x ⎰202sin)2sin(cos π一、实验目的了解复化辛普森公式和龙贝格方法的原理，并利用两种方法计算积分。
二、实验原理、程序框图 1．实验原理：（1）复化求积公式将求积区间作n 等分，并记,(0),i b a h x a ih i n n-==+≤≤于是11()()k kn x x k I f f x dx+-==∑⎰并记 1()()k kx k x I f f x dx +=⎰1.1复化辛普森公式记1121()2k k k xx x ++=+，对每一个()k I f 应用辛普森公式，得到复化辛普森公式 1101102()()2()()4()6n n n k n k k k h S f f x f x f x f x --+==⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦∑∑其截断误差为 14(4)()()()()1802n n k k h hI f S f fη-=-=-∑设[]4(),f x C a b ∈，则(3)(3)41()()[()()]()1802n h I f S f fa fb -=--（2）龙贝格求积公式由复化柯斯特公式组合得到的计算积分()I f 的近似公式：2641()()()6363n n n R f C f C f =-称为计算积分()I f 的龙贝格公式，可以验证龙贝格公式具有7次代数精度，它的截断误差为8()O h 。
这种加速方法称为龙贝格方法。
2.程序代码MA TLAB 程序如下：1、复化辛普森公式function hanshu1(a,b,eps)n=0;Sd=0;S=(hanshu(a)+hanshu(b))*(b-a)/2; while abs(Sd-S)>=epsSd=S;h=(b-a)/n; n++; for i=1:n+1x(i)=a+(i-1)*h;endS1= hanshu (x(1))+ hanshu (x(n+1)); S2=S3=0;for i=2:nS2+= hanshu (x(i));endS2=2*S2; for i=1:nS3+= hanshu ((x(i)+x(i+1))/2); endS3=4*S3;S=(S1+S2+S3)*h/6; endfprintf('%.15f\n',S);function f= hanshu (x) % f=exp(-x^2); f=sin(cos(2*x)*(sin(x)^2));2、龙贝格方法function hanshu2(a,b,eps)Rd=0;R=(b-a)/2*(f(a)+f(b));N=0;while abs(Rd-R)>=epsRd=R;N=N++;for k=1:2if k==1n=N*2;else;n=N;endh=(b-a)/n;for i=1:n+1x(i)=a+(i-1)*h;endC=0;for i=1:nC1=7*f(x(i))+32*f(x(i)+1/4*h)+12*f(x(i)+2/4*h)+32*f(x(i)+3/4*h)+7*f(x(i+1));C2=C2+C1*h/90;endif k==1R=C*64/63;elseR=R-C/63;endendendfprintf('结果为：%.15f',R);function y=f(x)y=exp(-x^2);% y=sin(cos(2*x)*(sin(x)^2));三、实验过程中需要记录的数据题目一：>> hanshu1(0,0.5,0.0000001)结果： 0.461281071728228>> hanshu2(0,0.5,0.0000001)结果： 0.461281006413932题目二：>> hanshu1(0,pi/2,0.0000001)结果： -0.347478139850496>> hanshu2(0,pi/2,0.0000001)结果： -0.347478139727495四、实验中存在的问题及解决方案问题：编程时，原理及方法运用正确，程序也没有错误，但就是得不到正确的结果。
数值计算方法 龙贝格求积公式 - 龙贝格求积公式
类似地可验证：
3
S2
4
4
1
T4
4
1
1
T2
龙
贝 格 算 法
Sn
4
4
1
T2
n
4
1
1
Tn
即
Sn
4 3 T2n
1 3
Tn
Sn __ 辛 普 森 积 分 值
注 意 复 化 辛 普 森 求 积 公式 的 余 项
3
Rn
I
Sn
ba 180
h 2
4
f
(4) ( )
O(h4
)
龙 贝 格
R2 n
I
S2n
T4
1 2
T2
1 4
[
f
(
1 4
)
f
(
3 4
)]
0.9445135
典型例题
例2
用复化梯形公式计算积分I 1 dx
0 (1 x ) x
精确至三位有效数字
I
1 dx 0 (1 x )
x t x
1 2dt 0 1 t2
1
g(t )dt
0
T1
1 [g(0) 2
g(1)] 1.5
T2
1 2
[T1
1
g(0.5)] 1.55
T4
1 2
[T2
1 ( g(0.25) 2
g(0.75))] 1.5656
典型例题
T8
1 2 [T4
1 ( g(0.125) 4
g(0.375)
g(0.625)
g(0.875))]
1.5695
注意到:
T8 T4
数值计算方法第五章第二节 复化求积公式
h Tk ( f ( xk ) f ( xk 1 )) 2
复化梯形公式为
n 1
k 0,1,
,n 1
n 1 h Tn Tk ( f (a ) f (b)) h f ( xk ) 2 k 0 k 1
数值分析
数值分析
截断误差分析：
h3 '' 在区间 xk , xk 1 上，Rk f (k ), k xk , xk 1 12 n1 n1 h3 '' 整体误差为 Rn Rk ( ) f (k ) 12 k 0 k 0
b a 1 n1 '' 利用 h 和 f (k ) f '' ( ) a, b n n k 0
得到复化梯形公式的截断误差是： b a 2 '' R(Tn ) h f ( ) O( h2 ) 12
数值分析
数值分析
2、复化Simpson公式
在每个小区间 xk , xk 1 上用Simpson公式 h Sk ( f ( xk ) 4 f ( x 1 ) f ( xk 1 )) k 6 2
n 1
复化Simpson公式为
h 2 n1 1 n1 Sn Sk ( f (a ) f (b)) h f ( x 1 ) h f ( xk ) k 6 3 k 0 3 k 1 k 0 2 n 1 1 2 Tn H n , 其中H n h f ( x 1 ) k 3 3 k 0 2
用复化梯形公式n至少取68，节点至少取n 1 69个。
数值分析
数值分析
例：当用复化梯形公式与复化辛卜生公式计算积分 1 1 x -4 0 e dx的近似值时，若要求误差不超过 2 10 ， 问至少各取多少个节点？
95-4-3复化求积公式
ba n
lim
n
Tn
2 lnim
n
k0
f
(xk
)
lim
n
n
f ( xk )
k 1
敛
1b
b
b
2 [a f ( x)dx a f ( x)dx] a f ( x)dx
说 明 复 化 梯 形 公 式 是 收敛 的 。
4
设 计 算f ( xk )时 产 生 的 误 差 为 k , 则 按 上 述 公 式
( 1) n k k!(n0
j )dt
jk
柯
特点： 插值型的、节点等距
特 斯
存在问题： 节点较多时，高次插值的不稳定导致高阶N-
公
K
式
解决办法公：式的复不化稳求定积。
复化求积法：区间分成若干子区间,在每个子区间上用低 阶求积公式。
N=1时的牛-柯公式
1
梯 形 公 式 T b a f a f b
)
f ( xk1)]
复
则 Tn
h 2
[
f
(
x
0
)
n1 k 1
f (xk )
n2 k0
f ( xk1)
f (xn)]
化 梯
注意到:
f ( x0 ) f (a), f ( xn ) f (b)
形 公 式
h[ f (a) 2
n1 k 1
f (xk )
n1 k 1
f (xk )
f (b)]
第 四
数值微积分
章
第四章 数值微积分
1 数值积分方法 2 求积公式的代数精度 3 复化求积方法 4 龙贝格方法 5 高斯求积方法 6 数值微分
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加速 收敛
第四节 龙贝格求积公式
龙贝格积分思想
由上节分析知，用复化梯形公式计算积分值
I
1 T2n 的误差大约为： (T2 n Tn ) 3 4T2 n Tn 1 令 I T2 n (T2 n Tn ) 3 3
由复化梯形公式知
T2 n
1 ba Tn f ( xk 1 ) 2 2n k 0 2
终止法则： 前后两次近似值的误差小于已知精度
I 2n I n
具体过程（以复化梯形公式为例） ba [a , b] n等分： h 1、首先将区间 n n 1 h Tn f (a ) 2 f ( xk ) f (b) 2 k 1
h 2、再将区间 [a , b] 2n等分，即步长减半： h1 2 n 1 n 1 h1 T2 n f (a ) 2 f ( xk ) 2 f ( x 1 ) f (b ) k 2 k 1 k 0 2 1 h n1 h Tn f ( x 1 ) f ( x 1 ) f ( xk ) k k 2 2 2 k 0 2 2
1 1 1 3 T4 T2 [ f ( ) f ( )] 0.9445153 2 4 4 4
如此不断二分并利用递推公式，可得下表中的结果
1 h n1 递推公式 T2 n Tn f ( x 1 ), k 2 2 k 0 2 ba h n
k 表示二分次数，区间数
n 2k
n 1
复化辛蒲生公式
n 1 n 1 h S n ( f ) f ( a ) 4 f ( x 1 ) 2 f ( x k ) f ( b ) k 6 k 0 k 1 2
复化梯形公式(n = 8)，h 1
1 1 3 1 T8 ( f ) f ( 0) 2 f ( ) f ( ) f ( ) 28 4 8 8 1 5 3 7 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f (1) 0.945692 2 8 4 8
3、终止条件： 由复化梯形公式的余项知
f ( x ) 变化不大时
ba ba 2 I Tn ( ) f (1 ) 12 n ba ba I T2 n
1 由此得到近似关系式 I T2 n (T2 n Tn ) 4 1 1 误差控制条件 (T2 n Tn ) 4 1
上述条件满足，程序终止；否则，继续分半计算。
例3：根据如下函数值表，利用复化梯形公式计算积分 1 sin x 0.5 106 。 I dx 的近似值，要求误差不超过 0 x
xi
f ( xi )
1/2
0 1 5/8
1/8
1/4
3/8
0.997398 0.989688 0.976727 6/8 7/8 1
Sn
n 1 ba Tn f (a ) 2 f ( xk ) f (b) 2n k 1
n 1 n 1 h Sn ( f ) f (a ) 4 f ( x 1 ) 2 f ( xk ) f (b) k 6 k 0 k 1 2
小抛物面积之和近似
y f ( x)
复化辛蒲生公式中“半点”的处理
可将整个区间等分成偶数个小区间，每两个小区间
合并起来视为复化辛蒲生公式中的一个小区间。
复化辛蒲生公式的余项 设 f ( x) C
( 4)
[a , b]，则有余项估计式
4
b a h ( 4) Rn ( f ) I S n ( f ) f ( ) 180 2
柯特斯 值序列
4 C2n Cn 1 I C 2 n 3 (C 2 n C n ) 3 4 1 4 1
3
柯特斯加速公式：
4 C2n Cn Rn 43 1
3
龙贝格 值序列
上述用若干个积分近似值算出更精确的积分近 似值的方法，称之为外推法。 4个积分值序列： 梯形值序列
ba 分点 xk a kh, h 将积分区间 [a , b] n等分： n
I ( f ) f ( x )dx a
b
n 1
xk 1
k 0
xk
f ( x )dx
h n 1 f ( xk ) 4 f ( x 1 ) f ( xk 1 ) k 6 k 0 2
复化辛蒲生公式(n = 4)，h 1
8
0.946083070367
1 3 5 7 1 S4 ( f ) f ( 0) 4 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 6 4 8 8 8 8 1 3 1 2 f ( ) f ( ) f ( ) f (1) 0.9460832 2 4 4
其中
h f ( x 1 ) f ( xk ) k 2 2
复化辛蒲生公式
n 1 n 1 h S n ( f ) f ( a ) 4 f ( x 1 ) 2 f ( x k ) f ( b ) k 6 k 0 k 1 2
复化辛蒲生公式的几何意义
3 0.9456909 8 0.9460827 4 0.9459850 9 5 0.9460596
k
1 0.9397933 6 0.9460769
2 0.9445135 7 0.9460815
Tn
k
Tn
0.9460830
由表中可以看出，对分8次和对分7次之间的差
1 6 (T28 T27 ) 0.0000004 0.5 10 3
0.958851 0.936156 0.908858 0.877193 0.841471 先在整个区间上用梯形公式 解：
1 0 T1 ( f (0) f (1)) 0.9207356. 2
然后将区间二等分，利用递推公式求出 1 1 1 T2 T1 f ( ) 0.9397933. 2 2 2 进一步二分积分区间，类似可求出
梯形公式的加速方法：
4T2 n Tn 4 1 Sn T2 n Tn 3 4 1 4 1
上述公式说明： 利用复化梯形公式前后两次的积分近似值 Tn 和 T2n ，
按照上式作出的线性组合是具有更高精度的积分值。
龙贝格积分公式正是由此产生！
类似于梯形加速公式的处理方法，得到：
2 1 4 S2 n Sn I S2 n 2 ( S2 n Sn ) 4 1 42 1 2 4 S2 n Sn 辛蒲生加速公式： C n 2 4 1
k 1 k
一、复化梯形公式：
复化梯形公式
n 1 h Tn ( f ) f (a ) 2 f ( xk ) f (b ) 2 k 1
复化梯形公式的几何意义
小梯形面积之和近似
y f ( x)
复化梯形公式的余项
设 f ( x ) C [a , b] ，则余项估计式为：
n 1
4T2 n Tn 1 2(b a ) n 1 Tn f ( xk 1 ) 3 3 3n k 0 2
n n 1 ba f ( a ) 2 f ( x k ) 4 f ( x k 1 ) f ( b ) 6n k 1 k 0 2
2
ba 2 Rn ( f ) I Tn ( f ) h f ( ) 12
2 由上式可知，误差与 h 同阶，此时称复化梯形公式
的误差是二阶的。 误差的阶数越高，精度越好！
二、复化辛蒲生公式：
在区间 [ xk , xk 1 ] ( k 0,1,, n 1) 上采用辛蒲生公式 xk 1 h Ik f ( x )dx ( f ( xk ) 4 f ( x 1 ) f ( xk 1 )), xk k 6 2
4
注意事项：
（1）使用复化梯形公式、辛蒲生公式，首先要确定步长 h ； （2）而步长要根据余项确定，这就涉及到高阶导数的估计； （3）高阶导数的估计一般比较困难，且估计值往往偏大； （4）计算机上实现起来不方便，通常采用 “事后估计法”。
三、积分步长的自动选取： 基本思想：将积分区间逐次分半，比较前后两次的近似值
不足
收敛速度慢
应用步长逐次减半得到的复化梯形值、复化 辛蒲生值、复化柯特斯值与精确值的比较
1 I T2 n (T2 n Tn ) Sn 4 1
1 I S2 n 2 ( S2 n Sn ) C n 4 1 1 I C 2 n 3 (C 2 n C n ) Rn 4 1
它的余项为
2(b a ) h ( 6 ) Rn ( f ) I C n ( f ) f ( ), ( a , b) 945 4
6
例2：将[0,1]区间八等分，根据如下函数值表，利用复 1 sin x 化梯形公式、复化辛蒲生公式计算积分 I dx 0 x 的近似值。
第三节 复化求积公式
将积分区间 [a , b]分成若干个小区间，然后在每个小区 间上采用低阶的牛顿-柯特斯公式。然后将所有小区间 的计算结果加起来。
ba 将积分区间 [a , b] n等分：分点 xk a kh, h n 在区间 [ xk , xk 1 ] ( k 0,1, , n 1) 上采用梯形公式 xk 1 h Ik f ( x )dx ( f ( xk ) f ( xk 1 )), xk 2 n 1 b x h n1 I ( f ) f ( x )dx f ( x )dx f ( xk ) f ( xk 1 ) a x 2 k 0 k 0
因而 T28 0.9460827 是满足精度要求的解。
误差控制条件
1 (T2 n Tn ) 4 1