同济大学高等数学(第七版)上册第一章函数

如果自变量在定义域内任取一个数值时， 对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单 值函数，否则叫与多值函数．
例如，x 2 y 2 a 2．
分段函数
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的
式子来表示的函数,称为分段函数.
例如,
2 x 1, f ( x) 2 x 1,
函数的值域可由其定义域和对应规则确定，即
R f ={ y y = f( x )，x D f }= f( D f ). 结论：函数的两个要素实际也给出了判别两函数是 否相同的方法，即若两函数的定义域相同，对应法
则也相同，这两函数就是相同的，否则就是不同的。
例如：y = f( x )= sin x，x R =( - ,+ )；
解： 从方程 y＝log3(2x－3) 中解出x为
1 y x (3 3) 2
当 s > 3 时，C = 10 + 2( 10 – 3 )+ 3( s – 10 )= 3s – 6 .
上述车费 C 与行驶里程 s 间的函数关系可写为：
0 s 3, 10 , C C s 2s 4 , 3 s 10 , 3s 6 , s 10 .
函数的几种基本特性
1．函数的有界性:
若X D, M 0, x X , 有 f ( x ) M 成立,
则称函数f ( x )在X上有界.否则称无界.
y
M y=f(x) o -M
y
M
x
有界 X
o -M
x0
X 无界
x
注： （1）一个函数在某个区间上有界，正数M 的取法不是唯一的； （2）有界性是函数的局部性质，与选定 的区间有关。
高等数学 —
研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学.
数学中的转折点是笛卡儿的变数. 有了变数 , 运动进入了数学, 有了变数， 辩证法进入了数学 , 有了变数 , 微分和积分也就立刻 成为必要的了,而它们也就立刻产 生.
高等数学的主要内容
1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分 (上册) 多元微积分 (下册) 3. 向量代数与空间解析几何 4. 无穷级数 5. 常微分方程
y = f( x )= sin x，x D =( - , ) 表示不同的函数，因为它们的定义域不同。
y = f( x )= lg x 2，x D =( - , 0 )∪( 0 ,+ ) ；
y = g( x )= 2lg x，x E =( 0 ,+ ) ；
表示不同的函数，因为它们的定义域不同。
注: 周期函数不一定存在最小正周期 . 例如, 常量函数 f ( x) C 思考：
f ( x) sin 2 x, f ( x) cos x 的周期分别是多少？
三、 反函数
y f ( D), ! x D, 使得 x f ( y )
这是一个由 f ( D) 到 D 新的对应关系 , 称为函数 y f ( x )的反函数.记作 x f 1 ( y) y f ( D)
称为半开区间, 记作 [a , b) 称为半开区间, 记作 (a , b] 有限区间
[a ,) { x a x }
( , b) { x x b}
无限区间
o
a o
b
x x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
2.邻域: 设a与是两个实数, 且 0.
o
I
x
设函数 f ( x )的定义域为 D, 区间I D,
如果对于区间I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时,
恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ),
则称函数 f ( x )在区间I上是单调减少的 ;
y
y f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
o
I
x
4．函数的周期性:
数集{ x x a }称为点a的邻域 ,
点a叫做这邻域的中心 , 叫做这邻域的半径.
U (a ) { x a x a }.
a a a o 点a的去心的邻域, 记作U (a).
x
U (a) {x 0 x a }.
3．函数的单调性:
设函数 f ( x )的定义域为 D, 区间I D,
如果对于区间I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (1) f ( x1 ) f ( x2 ),
则称函数 f ( x )在区间I上是单调增加的 ;
y
y f ( x)
f ( x2 )
f ( x1 )
x
(4) 狄利克雷函数
1 当x是有理数时 y D( x ) 0 当x是无理数时
y
1
• o 无理数点 有理数点
x
1 x Q , 例 设 D( x ) 0 x Q 7 求D( ), D(1 2 ).并讨论D( D( x ))的性质. 5 7 解： D( ) 1, 5
a a ; b b
绝对值不等式:
( a 0)
a b a b a b.
x a ( a 0) x a ( a 0)
a x a;
x a 或 x a;
二、函数
D 是一个给定的数集， 定义 设x 和y 是两个变量,
如果对于每个数 x D , 变量 y 按照一定法则总有 确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数，记作
o
3.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量,
而数值变化的量称为变量.
注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法： 通常用字母a, b, c等表示常量, 用字母x, y, t等表示变量.
4.绝对值:
a a0 a a a 0 运算性质: ab a b ;
解: f (x) 的定义域 D [0 , ) 值域
f ( D ) [0 , )
1 2
y
y2 x

y 1 x
f (1 )2 2
f( )
1 t

2
1 1 , 0 t 1 t 2 , t 1 t
O
1
x
例：某市的出租车按如下规定收费：当行驶里程不 超过3km 时，一律收起步费 10 元；当行驶里程超
1.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a, b R, 且a b.
{ x a x b} 称为开区间, 记作 (a, b)
o a x b { x a x b} 称为闭区间, 记作 [a, b] o a
b
x
{ x a x b} { x a x b}
反函数的定义域和值域恰为原函数的值域 和定义域
1
y
反函数y ( x )
Q ( b, a )
o
直接函数y f ( x ) P (a , b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y x对称.
例如： y＝ex 的反函数为x=lny;
y=3x2的反函数?
练习：求 y＝log3(2x－3) 的反函数。
例：sinx，cosx函数在整个定义域内都有界。 y=1/x在（0，1）内无界， 而在（1，2）上有界。
2．函数的奇偶性:
设D关于原点对称, 对于x D, 有 f ( x ) f ( x ) 称 f ( x )为偶函数;
y
y f ( x)
f ( x )
-x o x
f ( x)
x
过 3km 时,除起步费外，对超过 3km 但不超过 10
km 的部分，按每千米 2 元计费，对超过 10 km 的部 分按每千米 3 元计费,试写出车费 C 与行驶里程 s 之间的函数关系。
解：
以 C = C( s )表示这个函数，其中 s 的单位是 km，C 的单位是元。按问题的规定： 当 0 < s 3 时，C = 10； 当 3 < s 10 时，C = 10 + 2( s – 3 )= 2s + 4；
教材:
《高等数学》(第七版)
同济大学应用数学系 主编
高等教育出版社, 2014.7.
数学 不仅是一种工具,
而且是一种思维模式;
数学 不仅是一种知识,
而且是一种素养;
数学 不仅是一种科学,
而且是一种文化;
何谓数学素养（数学素质）？
通俗说法——把所学的数学知识都排除或忘掉后，
剩下的东西。
微积分的创立背景
1、 计算曲面面积，如：由曲线 y 2 x
2
和直线 y x 4所围成的图形的面积.
2、求空间立体的体积
y
y f ( x)
o
x x dx
x
z f ( x, y)
D
3、变速运动物体的瞬时速度
4、炮弹的最大射程
5、光滑曲线的切线和法线
什么是高等数学 ?
初等数学 — 研究对象为常量, 以静止观点研究问题.
如何学好微积分 ?
1、深刻理解基本概念
2、勤于思考，敢于提问，独立完 成作业
华罗庚
3、快乐学习，在学习中提升自己、 认识自己
第一章
函数与极限
分析基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
第一节
函数
一、基本概念 二、函数及其几种基本特性 三、反函数 四、复合函数 初等函数
一、基本概念
D(1 2) 0,
D( D( x )) 1,
(5) 取最值函数
y max{ f ( x ), g( x )}