介绍微积分基本公式教学教材

x2, 2 x 0
f
(x)
max,xx2{}
x,
0 x1
x2, 1 x 2
2maxx,x{2}dx 11 .
2
2
例13 计算由曲线 ysin x在 x0, x 之间及
x轴所围成的图形的面积 A.
解 如图, 根据定积分的几何意义,
所求面积 A为
A0 sinxdx
2.
例14 汽车以每小时 36km 速度行驶, 到某处需要
积分上限函数
定义 设函数 f (x)在区间[a,b]上连续, x为[a,b]
上的变量, 则
(x) a xf(t)dt 变上限定积分
是为定义在区间[a,b]上的函数, 称其为积分上限
函数.
几何意义 :
注:
a xf(x)d xa xf(t)dt
注意等式左边作为积分变量的 x与作为积分上限
x的区别.
故F(x)在 (0,)内为单调增加函数.
原函数存在定理
定理 如果 f (x)在[a,b]上连续, 则积分上限的函数
(x)
x
f(t)dt
a
就是 f (x)在[a,b]上的一个原函数.
重要意义:
(1) 肯定了连续函数的原函数是存在的;
(2) 初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的
联系.
牛顿－莱布尼茨公式
第五章 定积分
第二节 微积分基本公式
引言 积分学要解决两个问题:第一个问题是原函数的求 法问题,我们在第4章已经对它做了讨论; 第二个问 题就是定积分的计算问题.如果我们要按定积分的 定义来计算定积分, 那将是十分困难的.因此,寻求 一种计算定积分的有效方法便成为积分学发展的关 键.我们知道,不定积分作为原函数的概念与定积分 作为积分和的极限的概念是完全不相干的两个概念. 但是,牛顿和莱布尼茨不仅发现而且找到了这两个 概念之间存在着的深刻的内在联系, 即所谓的”微
引言 但是,牛顿和莱布尼茨不仅发现而且找到了这两个 概念之间存在着的深刻的内在联系, 即所谓的”微 积分基本定理”,并由此巧妙地开辟了求定积分的 新途径 ----- 牛顿-莱布尼茨公式. 从而使积分学与 微分学一起构成变量数学的基础学科 -----微积分 学. 牛顿和莱布尼茨也因此作为微积分学的奠基 人而载入史册.
基本公式,它表明:一个连续函数在区间 [a,b]
上的定积分等于它的任意一个原函数在区间
[a,b]上的增量,求定积分的问题就转化为求原
函数的问题.
例7 求 1 x2dx. 0
解1
x2dx 0
x3 1 30
1 3
.
例8 求 1 1 dx. 2 x
解
1 2
1 x
dx
ln|
x|1 2
ln 2.
定理 若 F(x)是连续函数 f (x)在区间[a,b]
上的一个原函数, 则
b
af(x)d xF (b)F (a).
牛顿－莱布尼茨公式
牛顿－莱布尼茨公式
b af(x)d xF (x)|b a F (b ) F (a )
注:根据上节的补充规定可知,当 ab时, 该公
式仍成立. 牛顿－莱布尼茨公式又称为微积分
db ( x )f ( t) d f t [ b ( x ) b ' ( ] x ) f [ a ( x ) a ' ( ] x ).
da ( x x )
例1
求
d dx
0xco2stdt.
解
d dx
0xco2stdt
co2sx.
例2
求
d dx
x3 1
et2dt.
解
ex32 3x2
3x2ex6
2x, 0x1 2
例9 设 f(x)5,
, 求 f(x)dx. 1x2 0
解 如图, 在[1,2]上规定: 当 x 1时, f ( x) 5,
y
y5
1
2
y 2x
f(x)d x f(x)dx
0
1
O 12
x
6.
1
例10 计算 |2x1|dx. 0
解
因为
|2x1|
1
2
x,
2x 1,
x
1 2
x
1 2
1
1 /2
1
|2x1|dx (1 2 x )d x(2 x 1 )dx
0
1
1 /2
1 2
.
例11 求定积分 /3 1co2xsdx . /2
解
/3
|sinx|dx /2
0
/3
sixnd xsixn dx
/2
0
3 2
.
例12 求
2
maxx,x{2}dx.
2
解 由图形可知
积分上限函数的导数
设函数 f (x)在区间[a,b]上连续, 定义积分上限
函数
(x)
x
f(t)d,t
x[a,b]
求 '(x).
a
(1)
'(x)d
x
f(t)dt f(x)(axb).
dxa
补充 d(x )f(t)d tf[(x )] '(x ). da x
讨论
d
b(x)
f(t)dt?
dxa(x)
x2
lim sin xeco2xs x 0 2x
1 2e
.
例6 设 f (x)在( , )内连续, 且 f(x)0.证明
x
tf (t)dt
函数F(x)
0 x
在 (0,)内为单调增加函数.
0 f (t)dt
证
x
f (x) (xt) f (t)dt
F(x)
0
wk.baidu.com
x
f
2
(t)dt
,
0
F'(x)0(x0).
例4 设函数 yf(x)由方程
y2et2dt
0
sitn dt0
0
x
所确定.
求 dy dx
.
解 在方程两边同时对 x求导:
dy dx
sin x 2 ye y4
.
1 et2 dt
例5
求 lim x0
cosx
x2
.
分析: 这是 0 型未定式, 应用洛必达法则. 0
解
1 et2 dt
lim
x0
cos x
例3 设 f (x)是连续函数, 试求以下各函数的导数.
(1) F(x) sin xef(t)d;t
x
(2) F(x) x(ft)d;t
coxs
0
解 (1) F(x) e f(s x ) c inx o e fs (c x ) s os x i.n
x
(2) F(x) xf(x) f(t)d.t 0
b
af(x )d x f()b ( a )a ( b ).
证
b
f(x)d xF (b)F (a).
a
F ( b ) F ( a ) F '()b ( a ),(a,b),
a bf(x)d xf()b (a),(a,b).
减速停车. 设汽车以等加速度 5m/s2 刹车.
问从开始刹车到停车, 汽车驶过了多少距离?
解 v0 36km/h 10m/s.
设
v(t)v0at 1 0 5 t.
2
2
s0v(t)d t0(1 05t)dt
10(m),
例15 设函数 f (x)在闭区间 [a,b]上连续, 证明在
开区间 (a,b)内至少存在一点 , 使