111正弦定理

1．1.1 正弦定理

学习目标

1.了解正弦定理的推导过程．

2．掌握正弦定理并能解决一些简单的三角形度量问题．

课前自主学案

1．任意三角形三边满足：两边之和____第三边，三个角满足：内角和为_____ 2．在Rt △ABC 中，a 、b 分别为A 与B 所对的直角边的长，c 为斜边的长，则sin A ＝___，cos A ＝___.

3．对于两个向量a 和b ，有a·b ＝|a|·|b|cos θ(其中θ为a 与b 的夹角)．

4．正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的_____的比值相等，即 ______ ＝______＝_______

5．解三角形

(1)把三角形的_____和它们的____叫做三角形的元素．

(2)已知三角形的几个元素求_________的过程叫做解三角形．

课堂互动讲练

例1（已知两角及一边解三角形）：在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求A 、b 、c.

互动探究1 若本题条件变为：c ＝10，A ＝105°，C ＝30°，试求b.

例2（已知两边及一边的对角解三角形）：在△ABC 中，c ＝6，C ＝π3

，a ＝2，求A 、B 、b.

互动探究2 把本例中C ＝π3改为A ＝π4，其他条件不变，求C 、B 、b.

例3（判断三角形的形状）：在△ABC 中，若sin A ＝2sin Bcos C ，且sin2A ＝sin2B ＋sin2C ，试判断△ABC 的形状．

互动探究3 若本例中的条件“sin A ＝2sin B cos C”改为“sin2A ＝2sin B sin C”，试判断△ABC 的形状．

方法感悟

1．在△ABC 中，a 、b 分别为A 、B 的对边．由正弦定理：a sin A ＝b sin B

，再由大角对大边知A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B ，即三角形中大角的正弦值大．

2．判断三角形的形状，实质是判断三角形的三边或三角具备怎样的关系．由于正弦定理非常好地描述了三边与三角的数量关系，所以可利用正弦定理实现边角的统一，便于寻找三边或三角具备的关系式．利用正弦定理判定三角形的形状，常运用正弦定理的变形形式，将边化为角，有时结合三角函数的有关公式(如诱导公式、和差公式)，得出角的大小或等量关系．

3．由于正弦定理及其变形形式都是等式，在求解三角形中的某个元素时，可运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形．只要涉及三角形的两角及对边的4个元素知3即可解三角形，即求出另3个元素．正弦定理的运用非常广泛，包括一些抽象性很强的平面几何结论，都可用正弦定理进行分析与证明．

知能优化训练

1、在△ABC 中，060,A a b ===则B= ．

2、△ABC 的内角,,A B C 所对边分别是,,a b c ，若0120c b B =

==，则a = 3、在△ABC 中，若1tan 3

A =，0150,1,C BC ==则A

B = 4、在△AB

C 中，A

D 是BAC <的平分线，交对边BC 于D ，求证：BD AB DC AC

=