第二章光学谐振腔理论

临界腔： g1g21 或 g1g20
对称共焦腔R1=R2=L
平行平面腔R1=R2=∞
2.2 开放光学球面谐振腔的稳定性
临界腔：g1g21 或 g1g20
实共心腔
R1+R2=L ，R1、R2均为正值
虚共心腔
R1+R2=L ，R1、R2异号
对称共心腔R1=R2=L/2
2.2 开放光学球面谐振腔的稳定性
傍轴光线能在腔内往返任意多次而不横向逸出腔外，要求 n次往返变换矩阵Tn的各个元素An、Bn、Cn、Dn对任意n值 均保持有限——谐振腔的稳定条件
cos1(
A 2
D)
1
1 2
(
A
D)
1
简单共轴球面腔A
1
2L，D R2
2L R1
1
2L R1
1
2L R2
0 (1 L )(1 L ) 1
EE(n)
Er r t t e
nn
(2n1)((G0)l/2ikl)
02 2 12
n0
n0
e(G0)l/2ikl E0t1t2 1r1r2e(G0)l2ikl
2.1 光学谐振腔概论
FP腔输出光场：E
E 0 t1 t 2
e (G 0 )l / 2 ikl 1 r1 r2 e (G 0 )l 2 ikl
第二章 光学谐振腔理论
本章大纲
§2.1 激光振荡条件 了解光波模式的基本概念，掌握激光振荡的增益条件和光学正反馈条件。
§2.2 开放光学球面谐振腔的稳定性 掌握稳定性判别原理和方法。
§2.3 光学谐振腔的损耗 掌握光学谐振腔几种损耗术语与概念。
§2.4 开放谐振腔模式衍射理论 了解衍射积分理论，掌握基模参数的计算公式，熟悉高阶模的特点。
2.1 光学谐振腔概论
麦克斯韦方程的本征解的电场分量
Ex
(
x,
y,
z,
t)
E0
sin
m
a
x
sin
n
b
y
cos
p
l
z
e
i
m
,n
,
p
t
Ey(x,
y,
z,t)
E0
cos
m
a
x
sin
n
b
y
sin
p
l
z
e
i
m
,n
,
p
t
Ez(x,
y,
z,t)
E0
sin
m
a
x
cos
n
b
y
sin
非稳腔：g1g21 或 g1g20
双凹非稳腔
平凹非稳腔
2.2 开放光学球面谐振腔的稳定性
非稳腔：g1g21 或 g1g20
凹凸非稳腔
双凸非稳腔
2.2 开放光学球面谐振腔的稳定性
n为横模指数。模的纵向电磁场分布由纵模指数表征，横向 电磁场分布与横模指数有关。
m与n为零的模称作基模，m>=1或n>=1的模称作高阶模。
一个完整的模式不但有确定的横向分布，而且沿纵向形成 驻波（驻波型谐振腔）。横模与纵模体现了电磁场模式的 两个方面。
2.1 光学谐振腔概论
谐振腔内只能存在满足以下条件的光场：经腔内往返一周再 回到原来位置时，与初始出发波同相（即相差是2的整数 倍——相长干涉
R1
R2
引入g参数：g1
1
L R1
,g2
1
L R2
0
g1g2
1
2.2 开放光学球面谐振腔的稳定性
如果光线在腔内的初始出发位置及往返一次的行进次序的 不同，矩阵T各元素的具体表达式也将各不相同。
可以证明，(A+D)/2对于一定几何结构的球面腔是一个不 变量，与光线的初始坐标、出发位置及往返一次的顺序都 无关。
2 1 2 ； 2 2
1 a r c s i n ( r1 / R ) r1 / R
2
2 r1 R
1
r2 r1
1
2
r2
2
1
2
R
0
1
r1
1
r1 r2
2.2 开放光学球面谐振腔的稳定性
近轴光线通过焦距为f的薄透镜的变换矩阵
腔内光强沿z轴的分布不是均匀的，而是强弱相间地分布着。 光强最强的明亮区，称为波腹；最弱的黑暗区，称为波节。
将由整数q所表征的腔内纵向光场的分布称为腔的纵模，不 同的q相应于不同的纵模，或相应于驻波场波腹的个数。
纵模间隔与q无关，腔的纵模在频率尺度上是等间隔排列的
2.1 光学谐振腔概论
2）增益系数与激光振荡的条件
§2.5 一般球面稳定腔模式
§2.6 非稳腔 掌握共轭像点的计算方法，了解损耗的计算方法。
激光产生的三个前提条件（激光器的基本结构）
激光工作物质：其激活粒子(原子、分子或离子)有适合于 产生受激辐射的能级结构，能够实现粒子数反转，产生受 激光放大
激励源：能将低能级的粒子不断抽运到高能级，补充受激 辐射减少的高能级上粒子数，使激光上下能级之间产生集 居数反转
0
G0
ln(r1r2 ) l
q
cq 2l c :介质中的波速 l :腔长
FP腔能形成自激振荡的条件
q
G
0
c 2l
q（ 光 学 正 反 馈 条 件 ） ln(r1r2 （) 稳 定 振 荡 条 件 ）
l
2.1 光学谐振腔概论
光强反射率：R(1) r12； R(2) r22； ri振幅反射率
2.2 开放光学球面谐振腔的稳定性
M
传
1
输
到
M
2
:
r2
2
1
0
L 1
r1
1
TL
r1
1
M
反
2
射
:
r
3 3
1
2
/
R
2
0
1
r2
2
T R2
r2
2
M
传
2
输
到
M
1 :
r4
4
1
0
L 1
r3
3
T
L
r3
3
M
反
1
射
:
r5
5
r2
2
A
C
B D
r1
1
T
r1
1
变 换 矩 阵 T
A
C
B
D
2.2 开放光学球面谐振腔的稳定性
近轴光线在自由空间的传播
r22
r1
1
L
tan(1
)
r1 L1
r2
2
1 0
L r1
1
1
P1
1 r1
P2
2
r2
2.2 开放光学球面谐振腔的稳定性
近轴光线在球面镜上反射的变换矩阵
激活介质的增益系数G ：光波在介质中经过单位长度路程 光强的相对增长率，也代表介质对光波放大能力的大小
II0 eG z d d I z G I0 eG z G I G 1 Id d I z
考虑损耗： II0e(G 0 )l为 损 耗 系 数
2.1 光学谐振腔概论
I I0e(G0)lI E2 E(l) E0e(G0)l /2ikl
1
r r e (G0 )l 2ikl
12
0
自 激 振 荡 ： E / E0
1
r1r2e (G0 )l [cos(2kl )
i sin(2kl)]
0
sin(2kl ) 0
1
r1 r2 e (G 0
)l
cos(2kl )
0
2
kl
2
q(q
0,1, 2, 3,L
L
)
k
q l
1
r1 r2 e (G 0 )l
G0 ln(R(1)R(2))
2l 全反镜R(1) 1； 部分透射R(2) 1T
G0 ln(1T)
2l
不需要初始从腔外输入微弱场以触发自激振荡。 腔内初始一个光子的微弱自发辐射即可以使激光器振荡。
2.2 开放光学球面谐振腔的稳定性
2.2 开放光学球面谐振腔的稳定性
1） 光线变换矩阵
r
p
l
z e im ,n, pt
v k
k xevx
k yevy
kzevz ,k x
m
/ a,k y
n
/ b,kz
p
/l
m,n,p c / k
c
m / a 2 n / b2 p / l 2
2.1 光学谐振腔概论
相邻两个模式波矢之间的间距
kxa,kyb,kz l
一个模式在波矢空间中占有体积
r2 2
r1
1 f
r1 1
r2
2
1
1
f
0
1
r1
1
1
2
r1
r2
P1 P2
2.2 开放光学球面谐振腔的稳定性
2.2 开放光学球面谐振腔的稳定性
2.2 开放光学球面谐振腔的稳定性
2）光线在谐振腔中往返一周变换矩阵
由曲率半径为R1和R2的两个球面镜M1和M2组成的共轴球面 腔向M，2腔方长向为行L进，。开始时光线从M1面上出发（以M1为参考 ）
腔内任一傍轴光线在某一给定的横截面内都可以由矩阵 来表征： r为光线离轴线的距离、 为光线与轴线的夹角。
规定：光线出射方向在腔轴线的上方时， 为正；反之，为负。
当凹面镜向着腔内时，R取正值；
当凸面镜向着腔内时，R取负值。
2.2 开放光学球面谐振腔的稳定性
用一个二阶方阵描述入射光线和出射光线的坐标变换。该 矩阵称为光学系统对光线的变换矩阵T。
B n r1
D
n
1
An
A
sin ( n
)
sin ( n
1 )
/
sin
Bn
C
n
B sin( ) / sin C sin(n ) / sin
Dn
D
sin ( n
)
sin ( n
1 )
/
sin
其 中 ： co s 1 ( A D ) 2
2.2 开放光学球面谐振腔的稳定性
3）共轴球面腔的稳定性条件
1
2
/
R
1
0
1
r4
4
T R1
r4
4
2.2 开放光学球面谐振腔的稳定性
傍轴光线在腔内完成一次往返，总的坐标变换为 1 0 1 0
r5 5 R 2 1 1 1 0L 1 R 2 2 1 1 0L 1 r1 1 C AD B r1 1 T r1 1
E (n ) E 0 r 1 n r 2 n t1 t2 e ((G 0 )l/2 ik l)(2 n 1 )
r 振幅反射率，t振幅透射率
2.1 光学谐振腔概论
E (n ) E 0 r 1 n r 2 n t1 t2 e ((G 0 )l/2 ik l)(2 n 1 )
出射的光场E1~En振幅叠加：
3 3
kxkykz
abl
V
模式密度 n 82 /c3
z方向开放两维矩形谐振腔
n 4 /c2
y方向或x方向限制去掉，一维谐振 腔，F-P结构，模式密度将变为一个 常数——光学谐振腔
2.1 光学谐振腔概论
开零腔的中横的电振磁荡波模，式m、以nT、EMq为mn正q表整征数。，T其E中M表q为示纵纵模向指电数场，为m、
傍轴光线在腔内完成一次往返总的变换矩阵为 1 0 1 0
T C AD B R 2 1 1 1 0L 1 R 2 2 1 1 0L 1 T R 1 T L T R 2 T L
2.2 开放光学球面谐振腔的稳定性
1 0
1 0
A
T
C
B D
2 R1
q
q 2cLq
c 2L
2 2L q2L q q
q
2
L'一定的谐振腔只对一定频率的光波才能提供正反馈，使之谐 振； F-P腔的谐振频率是分立的
2.1 光学谐振腔概论
腔光学长度为半波长的整数倍 L l q q （驻波条件）
2
2.1 光学谐振腔概论
L l q q
2
达到谐振时，腔的光学长度应为半波长的整数倍。满足此 条件的平面驻波场称为平行平面腔的本征模式
1
1
0
L
1
2 R2
1
1
0
L
1
A
1
2L R2
LBaidu Nhomakorabea
B
2 L(1
) R2
C
2
R
1
2 R2
1
2L R1
2L 2L 2L
D
R1
1
R1
1
R2
2.2 开放光学球面谐振腔的稳定性
光线在腔内往返传输n次时
r
n n
1 1
T
n
r1
1
An Cn
非稳腔 g1g21或 g1g20
临界腔 g1g21 或 g1g20
2.2 开放光学球面谐振腔的稳定性
常见的几种稳定腔、非稳腔、临界腔： 稳定腔：0g1g2 1
双凹稳定腔
2.2 开放光学球面谐振腔的稳定性
稳定腔：0g1g2 1
凹-凸稳定腔
平-凹稳定腔
半共焦腔（ L=R/2）
2.2 开放光学球面谐振腔的稳定性
2.1 光学谐振腔概论
1）光波模式
光学谐振腔内可能存在的电磁波的本征态称为腔的模式
腔的模式也就是腔内可区分的光子的状态。同一模式内 的光子，具有完全相同的状态（如频率、偏振等）。
腔内电磁场的本征态（模式）由麦克斯韦方程组及腔的 边界条件决定。一旦给定了腔的具体结构，则其中振荡 模的特征也就随之确定下来——腔与模的一般联系。
光学谐振腔：使受激辐射的光能够在谐振腔内维持振荡， 提高光能密度
光学谐振腔的结构：
在增益介质的两端各加 一块反射镜M1、M2。 其中一块为全反射镜；另 一块为部分反射镜（反射 率接近于1）。
M1
M2
受激光在谐振腔中的放大
放大的条件：光在腔内往返一次时放大的量大于损耗的量
光学谐振腔的作用：延长增益介质作用长度; 控制光束传 播方向; 选频（激光技术部分会讲）
共轴球面腔的往返矩阵以及n次往返矩阵均与光线的初始 坐标无关，可以描述任意傍轴光线在腔内往返传播的行为。
2.2 开放光学球面谐振腔的稳定性
共轴球面腔的分类：
稳定腔 0g1g2 1
在腔内往返n次后，仍然会回到原来的状态，谐振腔具有 能够自再现的光线状态 ，旁轴光线在腔内往返无限多次 而不会横向逸处腔外