集合论与图论 期末考试试题 A 卷,2008年1月

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x
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x6
y2
y3
y4 y5 x5 , y2 , x3 , y1 , x1 , y3 , x4 , y6
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y1 •
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−1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 A A A
IdA = IdA ◦ IdA ⊆ R ◦ S
从 而R ◦ S也 是 自 反 关 系（3分） 。其 次，由于R, S是 等 价 关 系，从 而R, S是 对 称 关 系，从 而R = R 及S = S ， 从而
−1 −1
这表明R ◦ S也是对称关系（3分） 。最后，由于R, S是等价关系，从而R, S也是传递关系，从而R ◦ R ⊆ R及S ◦ S ⊆ S ， 从而
2
五、 （10分） 设简单平面图G的面数r < 12，图G的最小度数δ(G) ≥ 3，证明G至少有一个面的度 小于5. 证明 假如每个面的度数均大于等于5，则有2m ≥ 5r, 又2m ≥ 3n，由欧拉公式n − m + r = 2推 出m ≥ 30. 又r = m − n + 2 ≥ m − 2m/3 + 2 = 12. 矛盾！ 六、 （10分） 设 有 城 市v , v , v , v , v , v ，各 城 市 之 间 的 距 离 如 下 表。使 用Dijkstra算 法 求 城 市v 至其他各城市的最短路径以及最短距离。要求说明求解过程（提示：应将城市之间的道路图看 作是无向图） 。 道路 v v v v v v v v v v v v v v v v v v 距离 1 4 2 7 5 1 3 2 6 解答：下面的表格给出了求解v 到其他各顶点之间的最短距离的Dijkstra算法执行过程： 步骤 v v v v v v
m,n
D n C. m+n D. mn
A. 12.
m
B.
彼德森(Petersen)图是： D A. 哈密尔顿图 B. 欧拉图 13. 表达式(a − b) ∗ (c + d)的后缀形式是：
A. ab − cd + ∗ B. abcd − +∗
C. A C.
平面图
abc + ∗cd+
D.
非平面图
abc − d + ∗
2
•
• y3
•y4
• y5
y6
•
4
h
e
f
3
注意，此参考答案省略了构造最优二叉树的过程，但学生作答中要求给出该过程。 八、 （10分）对于下面的二部图， 图中虚线给出了初始匹配M = {(x , y ), (x , y ), (x , y ), (x , y ), (x , y )}， 从该初始匹配开始，利用匈牙利算法求其最大匹配。要求写出求解过程。 （提示：虚线和实 线都是该二部图的边）
(R ◦ S ) ◦ (R ◦ S ) = R ◦ S ◦ R ◦ S = R ◦ R ◦ S ◦ S ⊆ R ◦ S
(R ◦ S )−1 = S −1 ◦ R−1 = S ◦ R = R ◦ S
则R ◦ S也是传递关系（3分） 。综上证明了R ◦ S是等价关系。 三、 （8分） 设(A, ≤)是 非 空 偏 序 集，定 义 函 数f : A→P (A)，这 里P (A)是A的 幂 集，∀x ∈ A， f (x) = {y ∈ A | y ≤ x}， 证明：(1) f 是单函数；(2) 对任意a, b ∈ A，若a ≤ b，则f (a) ⊆ f (b)。 证明 (1) 对任意的a, b ∈ A，若f (a) = f (b)。由于(A, ≤)是偏序，则≤是自反的，从而a ≤ a，从 而a ∈ f (a)，从而当f (a) = f (b)时有a ∈ f (b)，从而根据f (b)的定义，a ≤ b。同理我们可得到b ≤ a， 再由≤是反对称的，我们得到a = b，这就证明了f 是单函数。 （4分） (2) 若a ≤ b，则 对 任 意 的x ∈ f (a)，根 据f 的定 义，x ≤ a，由≤是 传 递的，得到x ≤ b，从 而 再 由f 的定义，x ∈ f (b)，这就证明了f (a) ⊆ f (b)。 （4分） 四、 （10分） 证明一个图的色数大于等于3当且仅当图中包含奇数长度的圈。 证明 假设G的色数大于等于3，如果G不含奇数长度圈，则G是二分图或者零图，故其色数小于 等于2。矛盾！假设G包含奇数长度的圈C ，因为C 的色数是3，所以，G的色数大于等于3。
解 答：由 不饱 和 点x 出 发 构 造增 广 路 径P ：
u eu x1 •
y1
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年级：2007级 班级：A, B, C, E班 专业：计算机科学与技术 任课教师：乔海燕、周晓聪 一、选择题（每小题2分，共30分） 1. 设A − B = ∅， 则有： C
A. 2. B=∅ B. B=∅ C. A⊆B D. B r(R − S ) B⊆A
请将所有答案写在答题纸上，不用抄题，但注意写清题号) 《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：”考试作弊不授予学士学位。”
D C. t! D. t(t − 1) · · · (t − n + 1)
A. 9.
tn
B.
t(t − 1)n − 1 C
具有m条边的树有几个顶点？
A m B. A. 2n B. n
m−1
C. B C. 1
m+1
D.
m/2
10. n
阶图的初级回路（圈）的长度不会超过：
n+1
D.
n−1
11.
完全二分图K 的边数是：
D.
是：
14.
库 拉 图 斯 基(Kuratowski)认 为 可 作 为 判 定 图 的 可 平 面 性 依 据 的 基 本不 可 平 面 图 之 一
C A. K3 B. K4 B K4 C. K5 D. K6
15.
下列图中哪Байду номын сангаас是自对偶图？
A. K3 B.
C.
K5
D.
K6
二、 （12分）设R和S是非空集合A上的等价关系，证明R ◦ S是等价关系当且仅当R ◦ S = S ◦ R。 证明 (1) 设R◦S是等价关系，则R◦S也是对称关系，从而(R◦S) = R◦S，即S ◦R = R◦S， 而R, S也是等价关系，从而也是对称关系，即有R = R 及S = S ，从而S ◦ R = S ◦ R = R ◦ S。 （3分） (2) 设R ◦ S = S ◦ R。 首先，由于R, S是等价关系，从而R, S是自反关系，从而Id ⊆ R及Id ⊆ S， 这里Id 是A上恒等关系，从而由关系复合保持子集关系有
A. C. 3 5 B. D. 4 6
yyy oo yyy ooo o G o y •Gyyy • ooo GG yyy o oo yyc o GG o o • c GG c c c G c • •
8.
完全图K 的色数多项式f (K , t)是：
n n
最后得到v 到各城市之间的最短路径及距离为： v 到 v 的最短路径是： v v 长度为： 1 v 到 v 的最短路径是： v v v 长度为： 3 v 到 v 的最短路径是： v v v v v 长度为： 7 v 到 v 的最短路径是： v v v v 长度为： 4 v 到 v 的最短路径是： v v v v v v 长度为： 9 七、 （10分）假定通信中出现的字母为a, b, c, · · · , h，其出现的频率如下表。试画出这组字母（权） 的最优二叉树及其权。要求给出求解最优二叉树的过程。 字母 a b c d e f g h 频率 25% 20% 15% 15% 10% 5% 5% 5% 解答：最优二叉树如下图，权为2.8（或乘100后得到280）
3. A. 7. (2, 2, 2, 2, 2) B.
6
(3, 3, 3, 3)
C.
(1, 2, 3, 4, 5)
D.
(2, 2, 3, 4, 5)
下面右边的图称为轮图W ，它是在一个正五边形的中心放一个顶点并与该正五边形的五个 顶点相连（由于技术原因，下图画得不是很好） ，其色数是： B yyy • oo
(
《 集合论与图论》期末考试试题（A 卷，2008年1月）
设R和S是非空集A上的等价关系，则下面的关系中是等价关系的是：
A. (A × A) − R B. R◦R C. R−S D.
设R和S是非空集A上的等价关系，则下面命题中正确的是： A A. 若R和S 是自反的， 则R ◦ S也是自反的 B. 若R和S 是对称的， 则R ◦ S也是对称的 C. 若R和S 是反对称的， 则R ◦ S也是反对称的 D. 若R和S 是传递的， 则R ◦ S也是传递的 4. 设f ◦ g 是满函数， 则： A A. f 必定是满函数 B. f 必定是单函数 C. g 必定是满函数 D. g 必定是单函数 5. 记Z是整数集合， 函数f : Z→Z定义为，∀x ∈ Z, f (x) = |x| − 2x，则f 是： A A. 单函数 B. 满函数 C. 双函数 D. 既不是单函数也不是满函数 6. 下列哪个序列不可能构成一个图的结点度数序列？ C