反证法与放缩法 课件

►变式训练 3．求证：12＜n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n＜1(n＞1，n∈N＋)．
证明：∵n＞1，n∈N＋， ∴n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n＜n1＋n1＋…＋n1＝1， n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n＞21n＋21n＋…＋21n＝12， ∴原不等式成立．
所以三式相乘得 0＜xyz(2－x)(2－y)(2－z)≤1，② ②与①矛盾，故假设不成立． 所以 x(2－y)，y(2－z)，z(2－x)不都大于 1. 证法二 假设 x(2－y)＞1，y(2－z)＞1，z(2－x)＞1 均成立， 则 x（2－y）＋ y（2－z）＋ z（2－x）＞3，③
而
x（2－y） ＋
反证法与放缩法
反证法证明不等式 已知 a，b，c∈(0，1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不能
同时大于41. 分析：“不能同时”包含情况较多，而其否定“同时大于”仅有
一种情况，因此用反证法．
证明：证法一 假设三式同时大于14， 即有(1－a)b＞41，(1－b)c＞41，(1－c)a＞14. 三式同向相乘，得(1－a)a(1－b)b(1－c)c＞614. 又(1－a)a≤1－2a＋a2＝14， 同理，(1－b)b≤41，(1－c)c≤14， ∴(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤614，与假设矛盾． ∴(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不能同时大于14.
同理，c＋b a＋a＋c b≥a＋b b＋c＋c a，② a＋c b＋b＋a c≥b＋c c＋a＋a b.③ ∵①＋②＋③得 2b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥ac＋＋ac＋bb＋＋cc＋ba＋＋ab＝3， ∴b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥32.
(2)应用 xy≤x＋2 y(x，y∈R＋)及(1)的结论得：
分别令 k＝2，3，…，n 得： 21－13<212<1－21， 31－14<312<12－31， … n1－n＋1 1<n12<n－1 1－n1. 将它们相加得：12－31＋13－41＋…＋n1－n＋1 1<212＋312＋…＋n12<1－ 12＋21－13＋…＋n－1 1－n1. 即21－n＋1 1<212＋312＋…＋n12<1－n1. ∴23－n＋1 1<1＋212＋312＋…＋n12<2－n1(n∈N*，且 n≥2)．
y（2－z） ＋
z（2－x）
≤
x＋（2－y） 2
＋
y＋（22－z）＋z＋（22－x）＝3，④
④与③矛盾，故假设不成立，
所以原结论成立．
已知实数 a，b，c，d 满足 a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，求证：a， b，c，d 中至少有一个是负数．
分析：适合运用反证法来证明． 证明：假设 a，b，c，d 都是非负数， 即 a≥0，b≥0，c≥0，d≥0， 则 1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd， 这与已知的 ac＋bd＞1 矛盾， 所以假设不成立， 所以 a，b，c，d 中至少有一个是负数．
证法二 假设三式同时大于14. ∵0＜a＜1，∴1－a＞0， （1－2a）＋b≥ （1－a）·b＞ 41＝12. 同理（1－2b）＋c，（1－2c）＋a都大于12. 三式相加，得32＞23，此式矛盾， ∴原命题成立． 点评：当证明的结论中含有“不是”“不都”“不存在”等词语 时，适合应用反证法，因为此类问题的反面比较具体．
a b＋c＋
bc＋c＋a＋b
ca＋a＋b＋c
ab≥b＋c＋a b＋2 c＋c＋a＋b c＋2 a
＋a＋b＋c a＋2 b＝23b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥23×23＝1.
点评：在要证明的不等式中含有分式时，把分母放大，相应的分
式的值就会缩小，反之就会扩大，但放缩要适度。
求证：32－n＋1 1<1＋212＋…＋n12<2－n1(n∈N*，且 n≥2)． 分析：欲证的式子中间是一个和的形式，但我们还不能利用求和 公式或其他办法求，可以将分母适当放大或缩小成可以求和的形式， 进而求和，最后证得该不等式成立． 证明：∵k(k＋1)>k2>k(k－1)． ∴k（k＋1 1）<k12<k（k－1 1）. 即k1－k＋1 1<k12<k－1 1－k1(k∈N*，且 k≥2)，
►变式训练 1．已知 0＜x＜2，0＜y＜2，0＜z＜2， 求证：x(2－y)，y(2－z)，z(2－x)不都大于 1.
证明：证法一 假设 x(2－y)＞1，y(2－z)＞1，z(2－x)＞1 均成 立，
则三式相乘得 xyz(2－x)(2－y)(2－z)＞1.① 因为 0＜x＜2， 所以 0＜x(2－x)＝ － x2＋2x＝ － (x－1)2＋1≤1， 同理，0＜y(2－y)≤1，0＜z(2－z)≤1，
点评：在证明中含有“至少”“至多”“最多” 等字眼或证明否定性命题．唯一性命题时，可 使用反证法．在证明中出现的矛盾可以与假设 矛盾，也可以与已知矛盾，与显然的事实矛盾， 还可以自相矛盾．
►变式训练 2．已知 f(x)＝x2＋px＋q， 求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于12.
证明：假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于21， 则|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|＜2， 而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥ |f(1)＋f(3)－2f(2)|＝ |(1＋p＋q)|＋|(9＋3p＋q)－(8＋4p＋2q)|＝2，这与假设相矛盾， 从而假设不成立， 所以原命题成立， 即|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于21.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
放缩法证明不等式 已知 a，b，c∈R＋.
(1)求证：b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥23； (2)求证：b＋c＋a bc＋c＋a＋b ca＋a＋b＋c ab≥1. 分析：(1)应用 x2＋y2≥2xy 来进行证明．(2)用(1)的结论进行证明．
证明：(1)b＋a c＋c＋b a＝（ab2＋＋bc）2＋（cac＋＋bac）≥（b2＋abc＋）c（a＋c＋bca）＝ a（（b＋b＋c）c）＋（b（c＋c＋a）a）＝c＋a a＋b＋b c，①