直线与圆、圆与圆的位置关系知识点及题型归纳

直线与圆、圆与圆的位置关系知识点及题型归纳
知识点精讲
一、 直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交 二、 直线与圆的位置关系判断
1. 几何法（圆心到直线的距离和半径关系） 圆心(,)a b 到直线0Ax By C ++=的距离，则
d =
则d r <⇔直线与圆相交，交于两点,P Q ，||PQ =
d r =⇔直线与圆相切； d r >⇔直线与圆相离
2. 代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由222
0()()Ax By C x a y b r
++=⎧⎨
-+-=⎩ ，消元得到一元二次方程20px qx t ++=，2
0px qx t ++=判别式为∆，则： 则0∆>⇔直线与圆相交； 0∆=⇔直线与圆相切； 0∆<⇔直线与圆相离.
三、 两圆位置关系的判断
是用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：
设两圆12,O O 的半径分别是,R r ，（不妨设R r >），且两圆的圆心距为d ，则： 则d R r <+⇔两圆相交； d R r =+⇔两圆外切； R r d R r -<<+⇔两圆相离 d R r =-⇔两圆内切；
0d R r ≤<-⇔两圆内含（0d =时两圆为同心圆） 四、 关于圆的切线的几个重要结论
（1） 过圆222
x y r +=上一点00(,)P x y 的圆的切线方程为200x x y y r +=.
（2） 过圆
222
()()x a y b r -+-=上一点
00(,)
P x y 的圆的切线方程为
200()()()()x a x a y b y b r --+--=
（3） 过圆
220
x y Dx Ey F ++++=上一点
00(,)P x y 的圆的切线方程为
00
00022
x x y y x x y y D E F ++++⋅
+⋅+= （4） 求过圆2
2
2
x y r +=外一点00(,)P x y 的圆的切线方程时，应注意理解： ①所求切线一定有两条；
②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论.设切线方程为00()y y k x x -=-，利用圆心
到切线的距离等于半径，列出关于k 的方程，求出k 值.若求出的k 值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的k 值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意.
题型讲解
题型1 直线与圆的相交关系 思路提示
研究直线与圆的相交问题，应牢牢记住三长关系，即半径长2
l
、弦心距d 和半径r 之间形成的数量关系222
()2
l d r +=.
例9.28 已知圆O ：2
2
5x y +=，直线l ：cos sin 1(0)2
x y π
θθθ+=<<，设圆O 上到直线l 的距离等
于1的点的个数为k ，则k =___________. 分析 先求出圆心到直线的距离，在进行判断
解析 因为圆心(0,0)到直线l 的距离为1，又因为圆O 4个点符合条件. 评注 若圆O 上到直线l 的距离等于2的点的个数为k ，则2k =；若3k =，则圆O 上到直线l 的距离等于
1
变式1已知圆O ：2
2
4x y +=，直线l ：1x y
a b
+=，设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数有两个，则
22
11
a b +的取值范围___________. 例9.29 已知圆C ：2
2
8120x y y +-+=，直线l ：20ax y a ++=， （1） 当直线l 与圆C 相交时，求实数a 的取值范围;
（2） 当直线l 与圆C 相交于,A B 两点，且AB =l 的方程.
分析 根据点到直线距离等于半径来度量直线与圆相切问题；根据三长关系解决直线与圆相交问题. 解析 （1）圆C ：2
2
(4)4x y +-=，故圆心为(0,4)C ，因为直线l 与圆C 相交，所以圆心为(0,4)C 到直线l 的距离
2d =
<，解得34a <-，故实数a 的取值范围是3
(,)4-∞-
（2）由题意，直线l 与圆C 相交于,A B 两点，且AB =2
2
4+=，化简可得
2870a a ++=，即1a =-或7a =-，故所求直线的方程为20x y -+=或7140x y -+=.
评注 在处理直线与圆的相交问题时经常用到三长关系，即半弦长，弦心距，半径长构成直角三角形的三
边.
变式1 对任意的实数k ，直线1y kx =+与圆2
2
2x y +=的位置关系一定是（ ） A ．相离 B. 相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心
变式 2 过点(1,2)--的直线l 被圆2
2
2210x y x y +--+=截得的弦长为，则直线l 的斜率为
__________.
变式3 已知直线l 经过点(1,3)P -且与圆22
4x y +=相交，截得弦长为l 的方程.
例9.30 过点(1,1)P 的直线l 与圆2
2
:(2)(3)9C x y -+-=相交于,A B 两点，则||AB 的最小值为（ ）
A.
解析 设圆心(2,3)C 到直线l 的距离d ，由弦长公式||AB ==可知当距离最大d 时，
弦长||AB 最小.又||d CP ≤==，当直线l CP ⊥时取等号，故max d =.所以
max ||4AB ===.故选B
评注 过圆内一定点的所有弦中，过此点的直径为最长弦，过此点且垂直于该直径的弦为最短弦. 变式1 过点(11,2)A 做圆2
2
241640x y x y ++--=的弦，其中弦长为整数的共有（ ） A. 16 条 B. 17条 C. 32条 D. 34条
例9.31 已知圆的方程为2
2680x y x y +--=.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）
A. 解析 2
2
680x y x y +--=可化为2
2
(3)(4)25x y -+-=，故圆心坐标(3,4)，半径为5，点(3,5)在圆内，因为AC 最长，所以AC 为直径，即||10AC =，BD 最短，且BD 过点(3,5)，所以
||BD ==，所以1
||||2
S AC BD =
= B
变式1 如图所示，已知AC ,BD 为圆O ：22
4x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为M ，则四边形
ABCD 的面积的最大值为__________.
例9.32 （2012北京海淀高三期末理13改编）已知圆2
2
:(1)2C x y -+=，过点(1,0)M -的直线l 交圆C 于,A B 两点，若0CA CB ⋅=（C 为圆心），则直线l 的方程为__________. 解析 设直线:(1)l y k x =+，即:l 0kx y k -+= 则圆心到直线l 的距离为
d =
又0CA CB ⋅=，故CA CB ⊥，即△ABC 是等腰三角形，
2
C π∠=.
所以
sin
14
2d r π
====
即k =±
，故直线l ：10x +=或10x ++= 变式 1 已知O 为平面直角坐标系的原点，过点(2,0)M -的直线l 与圆2
2
1x y +=交于,P Q 两点.若
1
2
OP OQ ⋅=-，求直线l 的方程.
变式2 已知圆C ：2
2
(1)(6)25x y ++-=上的两点,P Q 关于直线l :8y kx =+对称，且0OP OQ ⋅=（O 为坐标原点），求直线PQ 的方程
题型2 直线与圆的相切关系 思路提示
若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，切线的几何性质为：圆心和切点的连线垂直于切线. 例9.33 求经过点(1,7)-与圆2
2
25x y +=相切的直线方程.
分析 将点(1,7)-代入圆方程得2
2
1(7)5025+-=>，知点(1,7)-是圆外一点，故只需求切线的斜率或再求切线上另一点坐标.
解析 解法一：依题意，直线的斜率存在，设所求切线斜率为k ，则所求直线方程为7(1)y k x +=-，整理成一般式为70kx y k ---=.由圆的切线的性质，
5=，化简得3
127120k k --=，
解得43k =
或3
4
k =-. 故所求切线方程为：43250x y --=或34250x y ++=.
解法二：依题意，直线的斜率存在，设所求切线方程为0025x x y y +=（00(,)x y 是切点），将坐标(1,7)
-代入后得00725x y -=，由0
00022
725
25x y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得0043x y =⎧⎨=-⎩或0034x y =-⎧⎨=-⎩. 故所求切线方程为：43250x y --=或34250x y ++=.
评注 已知圆外一点，求圆的切线方程一般有三种方法：①设切点，用切线公式法；②设切线斜率，用判
别式法：③设切线斜率，用圆心到切线距离等于圆半径.一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况.
变式1 已知圆2
2
:(1)(2)4C x y -+-=，求过点(1,5)P -的圆的切线方程.
变式2 直线l (2)2y k x =-+与圆2
2
:220C x y x y +--=相切，则的一个方向向量为（ ） A. (2,2)- B. (1,1) C. (3,2)- D. 1(1,)2
例9.34 自点(3,3)A -发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆
224470x y x y +--+=相切，求入射光线l 所在直线的方程.
分析 利用对称性解决此类反射问题.根据光学特征，对称性的使用既可以使用点的对称，也可以使用圆的对称.
解析 已知圆2
2
(2)(2)1x y -+-=关于x 轴的对称圆'
C 的方程为2
2
(2)(2)1x y -++=，可设光线所
在直线方程为3(3)y k x -=+，所以直线l 与圆'
C 相切，圆心'
(2,2)C -到直线l 的距离
1d =
=，
解得43k =-
或34
k =-. 所以光线所在的直线l 方程为4330x y ++=或3430x y +-=.
变式 1 自点(3,3)A -发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线'
l 所在直线与圆
224470x y x y +--+=相切，求反射光线'l 所在直线的方程.
题型3 直线与圆的相离关系 思路提示
关于直线与圆的相离问题的题目大多是最值问题，即直线上的点与圆上的点的最近或最远距离问题，这样的题目往往要转化为直线上的点与圆心距离的最近和最远距离再加减半径长的问题.
例9.35 （1）直线:1l y x =-的点到圆2
2
:4240C x y x y ++-+=上的点的距离最小值是____________. （2）由直线1y x =+上的点向圆2
2
(3)(2)1x y -++=引切线，则切线长的最小值为（ ）
分析 过直线1y x =+上任意一点向圆2
2
(3)(2)1x y -++=引切线PQ ，即可得到
1||PQ O Q PQ ⊥==，那么，当切线长PQ 取最小值时，即1O P 取最小值.
解析 （1）圆C 可化为2
2
(2)(1)1x y ++-=，故圆心(2,1)C -到直线1y x =-的距离
d =
=1d r -=
（3） 过1O 作1O H 垂直于直线1y x =+于点H ，过H 作HR 相切圆1O 与R ，连接1O R ，则切线长的最
小值为||HR ，圆心(3,2)-到直线10x y -+=的距离
d ==，||HR =，故选
A.
变式1 已知点P 是直线40(0)kx y k ++=>上一动点，,PA PB 是圆2
2
:20C x y y +-=的两切线，,A B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为（ ）
A. 3
B.
2
C. 变式 2 已知圆2
2
:1O x y +=和定点(2,1)A ，由圆O 外一点(,)P a b 向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足||||PQ PA =.
（1）求实数,a b 间满足的等量关系； （2）求线段PQ 长的最小值.
题型4 圆与圆的位置关系 思路提示
已知两圆半径分别为12,r r ，两圆的圆心距为d ，则： （1） 两圆外离12r r d ⇔+<； （2）两圆外切12r r d ⇔+=； （3）两圆相交1212||r r d r r ⇔-<<+； （4）两圆内切12||r r d ⇔-=； （5）两圆内含12||r r d ⇔->；
两圆外切和内切较为重要，这两种位置关系常与椭圆和双曲线的定义综合考查.
例9.36 圆221:20O x y +-=和圆22
2:40O x y y +-=的位置关系是（ ）
A. 外离
B. 相交
C. 外切
D. 内切 分析 判断圆心距与两圆半径的关系
解析 由圆22
1:20O x y +-=得1(0,0)O ，1r
圆22
2:40O x y y +-=得2(0,2)O ，22r =，121212||||2r r O O r r -<=<+，两圆相交，故选B.
变式1 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22
8150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是_________.
变式2 在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)A ，直线l ：24y x =-，设圆C 的半径为1，圆心在l 上， （1） 若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程；
（2） 使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是_________.
例9.37 已知两圆2
2
2610x y x y +---=和2
2
10120x y x y m ++-+= （1）m 取何值时两圆外切.
（2）m 取何值时两圆外切，此时公切线方程是什么？
（3）求45m =时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长度.
分析 把两圆的一般方程化为标准方程，求两圆的圆心距d ，判断d 与R r +，R r -的关系，再用圆的几何性质分别解决（2）（3）问. 解析 两圆的标准方程分别为2
2
(1)(3)11x y -+-=，
22(5)(6)61,(61)x y m m -+-=-<，
圆心分别为(1,3),(5,6)M N
（1） =25m =+
（2） 小于两圆圆心距55=， 解得，两圆方程
222610x y x y +---=与2210120x y x y m ++-+=，相减得
861250x y +--+=代入，得43130x y +-+=.
（3） 两圆的公共弦所在直线方程为
2222(261)(101245)0x y x y x y x y +----+--+=，即43230x y +-=，所以公共弦长为
=评注 应注意两圆位置关系由圆心距和两圆半径的和与差的大小关系来确定.
变式1 若圆22
4x y +=与圆22260(0)x y ay a ++-=>，公共弦的长为a =___________.
变式2 设两圆12,C C 都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆的圆心距离12||C C =（ ）
A. 4
B. 有效训练题
1. 已知点(,)P a b 在圆C ：2
2
4x y +=内（异于圆心），则直线10ax by ++=与圆C 的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定 2.已知a b ≠，且2
sin cos 04
a a π
θθ+-
=，2sin cos 04
b b π
θθ+-
=，则连接2(,)a a ，2(,)b b 两点的
直线与单位圆的位置关系是（ ）
A. 相交
B. 相切
C. 相离
D. 不能确定
3.设,m n R ∈，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆2
2
(1)(1)1x y -+-=相切，则m n +的取值范围是（ ）
A. 1⎡-⎣
B. (
)
,11⎡-∞⋃+∞⎣
C. 2⎡-+⎣
D. (
)
,22⎡-∞-⋃++∞⎣
4.若直线
1x y
a b
+=经过点(cos ,sin )M αα，则（ ）
A. 221a b +≤
B. 22
1a b +≥ C.
22111a b +≤ D. 22
11
1a b +≥
5.过点(1,1)P 的直线，将圆形区域2
2
{(,)|4}x y x y +≤分两部分，使得这两部分的面积之差最大，该直线的方程为（ ）
A. 20x y +-=
B. 10y -=
C. 0x y -=
D. 340x y +-=
6.若直线10x y -+=与圆2
2
()2x a y -+=有公共点，则实数a 取值范围是（ ） A. []3,1-- B. []1,3- C. []3,1- D. (][),31,-∞-⋃+∞
7. 设,m n R ∈，若直线10mx ny +-=与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于B ，且l 与圆2
2
4x y +=相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△ABC 面积的最小值为___________
8.过点(4,0)-作直线l 与圆2
2
24200x y x y ++--=交于,A B 两点，如果||8AB =，则l 的方程为__________.
9.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2
2
8150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则的最大值是_______. 10.已知点(3,1)M ，直线40ax y -+=及圆2
2
(1)(2)4x y -+-=. （1）求过点M 的圆的切线方程；
（2）若直线40ax y -+=与圆相切，求a 的值
（3）若直线40ax y -+=与圆相交于,A B 两点，且AB 弦的长为a 的值
11.已知圆M 的方程为2
2
(2)1x y +-=（M 为圆心），直线的方程为20x y -=，点P 在直线l 上，，过点P 作圆M 的切线,PA PB ，切点为,A B . （1）若0
60APB ∠=，试求点的坐标；
（2）若点P 的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于,C D 两点，当CD =CD 的方程；
（3）求证：经过,,A P M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.
12. 已知圆C 过点(1,1)P ，且与圆222
:(2)(2)(0)M x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称. （1）求圆C 的方程；
（2）设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ MQ ⋅的最小值.（M 为圆M 的圆心）；
（3）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于,A B ，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由.。