直线与圆、圆与圆的位置关系知识点及题型归纳

直线与圆、圆与圆的位置关系知识点及题型归纳

知识点精讲

一、 直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交 二、 直线与圆的位置关系判断

1. 几何法（圆心到直线的距离和半径关系） 圆心(,)a b 到直线0Ax By C ++=的距离，则

d =

则d r <⇔直线与圆相交，交于两点,P Q ，||PQ =

d r =⇔直线与圆相切； d r >⇔直线与圆相离

2. 代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由222

0()()Ax By C x a y b r

++=⎧⎨

-+-=⎩ ，消元得到一元二次方程20px qx t ++=，2

0px qx t ++=判别式为∆，则： 则0∆>⇔直线与圆相交； 0∆=⇔直线与圆相切； 0∆<⇔直线与圆相离.

三、 两圆位置关系的判断

是用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：

设两圆12,O O 的半径分别是,R r ，（不妨设R r >），且两圆的圆心距为d ，则： 则d R r <+⇔两圆相交； d R r =+⇔两圆外切； R r d R r -<<+⇔两圆相离 d R r =-⇔两圆内切；

0d R r ≤<-⇔两圆内含（0d =时两圆为同心圆） 四、 关于圆的切线的几个重要结论

（1） 过圆222

x y r +=上一点00(,)P x y 的圆的切线方程为200x x y y r +=.

（2） 过圆

222

()()x a y b r -+-=上一点

00(,)

P x y 的圆的切线方程为

200()()()()x a x a y b y b r --+--=

（3） 过圆

220

x y Dx Ey F ++++=上一点

00(,)P x y 的圆的切线方程为

00

00022

x x y y x x y y D E F ++++⋅

+⋅+= （4） 求过圆2

2

2

x y r +=外一点00(,)P x y 的圆的切线方程时，应注意理解： ①所求切线一定有两条；

②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论.设切线方程为00()y y k x x -=-，利用圆心

到切线的距离等于半径，列出关于k 的方程，求出k 值.若求出的k 值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的k 值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意.

题型讲解

题型1 直线与圆的相交关系 思路提示

研究直线与圆的相交问题，应牢牢记住三长关系，即半径长2

l

、弦心距d 和半径r 之间形成的数量关系222

()2

l d r +=.

例9.28 已知圆O ：2

2

5x y +=，直线l ：cos sin 1(0)2

x y π

θθθ+=<<，设圆O 上到直线l 的距离等

于1的点的个数为k ，则k =___________. 分析 先求出圆心到直线的距离，在进行判断

解析 因为圆心(0,0)到直线l 的距离为1，又因为圆O 4个点符合条件. 评注 若圆O 上到直线l 的距离等于2的点的个数为k ，则2k =；若3k =，则圆O 上到直线l 的距离等于

1

变式1已知圆O ：2

2

4x y +=，直线l ：1x y

a b

+=，设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数有两个，则

22

11

a b +的取值范围___________. 例9.29 已知圆C ：2

2

8120x y y +-+=，直线l ：20ax y a ++=， （1） 当直线l 与圆C 相交时，求实数a 的取值范围;

（2） 当直线l 与圆C 相交于,A B 两点，且AB =l 的方程.

分析 根据点到直线距离等于半径来度量直线与圆相切问题；根据三长关系解决直线与圆相交问题. 解析 （1）圆C ：2

2

(4)4x y +-=，故圆心为(0,4)C ，因为直线l 与圆C 相交，所以圆心为(0,4)C 到直线l 的距离

2d =

<，解得34a <-，故实数a 的取值范围是3

(,)4-∞-

（2）由题意，直线l 与圆C 相交于,A B 两点，且AB =2

2

4+=，化简可得

2870a a ++=，即1a =-或7a =-，故所求直线的方程为20x y -+=或7140x y -+=.

评注 在处理直线与圆的相交问题时经常用到三长关系，即半弦长，弦心距，半径长构成直角三角形的三

边.

变式1 对任意的实数k ，直线1y kx =+与圆2

2

2x y +=的位置关系一定是（ ） A ．相离 B. 相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心

变式 2 过点(1,2)--的直线l 被圆2

2

2210x y x y +--+=截得的弦长为，则直线l 的斜率为

__________.

变式3 已知直线l 经过点(1,3)P -且与圆22

4x y +=相交，截得弦长为l 的方程.

例9.30 过点(1,1)P 的直线l 与圆2

2

:(2)(3)9C x y -+-=相交于,A B 两点，则||AB 的最小值为（ ）

A.

解析 设圆心(2,3)C 到直线l 的距离d ，由弦长公式||AB ==可知当距离最大d 时，

弦长||AB 最小.又||d CP ≤==，当直线l CP ⊥时取等号，故max d =.所以

max ||4AB ===.故选B

评注 过圆内一定点的所有弦中，过此点的直径为最长弦，过此点且垂直于该直径的弦为最短弦. 变式1 过点(11,2)A 做圆2

2

241640x y x y ++--=的弦，其中弦长为整数的共有（ ） A. 16 条 B. 17条 C. 32条 D. 34条

例9.31 已知圆的方程为2

2680x y x y +--=.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）

A. 解析 2

2

680x y x y +--=可化为2

2

(3)(4)25x y -+-=，故圆心坐标(3,4)，半径为5，点(3,5)在圆内，因为AC 最长，所以AC 为直径，即||10AC =，BD 最短，且BD 过点(3,5)，所以

||BD ==，所以1

||||2

S AC BD =

= B

变式1 如图所示，已知AC ,BD 为圆O ：22

4x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为M ，则四边形

ABCD 的面积的最大值为__________.

例9.32 （2012北京海淀高三期末理13改编）已知圆2

2

:(1)2C x y -+=，过点(1,0)M -的直线l 交圆C 于,A B 两点，若0CA CB ⋅=（C 为圆心），则直线l 的方程为__________. 解析 设直线:(1)l y k x =+，即:l 0kx y k -+= 则圆心到直线l 的距离为

d =

又0CA CB ⋅=，故CA CB ⊥，即△ABC 是等腰三角形，

2

C π∠=.

所以

sin

14

2d r π

====

即k =±

，故直线l ：10x +=或10x ++= 变式 1 已知O 为平面直角坐标系的原点，过点(2,0)M -的直线l 与圆2

2

1x y +=交于,P Q 两点.若