广义相对论课堂21Schwarzschild时空轨道36页PPT
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匀加速正交坐标系 完美类比
平面几何及坐标系
第四点:测地线方程(组)
径向方程
测试粒子和光线的测地运动
三个初积分/运动常数/守恒量
• 单位质量粒子能量e(因为在远处), 无量纲, 物理意义! • 单位质量粒子角动量L(因为L=rv) • 所有的轨道都是在某一个过球心平面上运动:1。直观地
看,任何偏离平面的运动都受到非向心力,破坏了球对称 • 2。教材9.22,L=0,初始dφ/dτ=0,则以后沿测地线处处
• 所以,任意力学中势能曲线可以看成地面上起伏山坡 (无磨擦无空气阻力)上粒子运动,地面支承力+重 力=有效力,即所谓势能曲线分析
反省3问题
• 1、这部分你是否学到了什么?或者你认为最有用 的是什么?
为dφ/dτ=0, φ=Const.在一个平面上 • 3. 解测地线方程,附录B,LightmanP404 • 可以证明平面运动是稳定的,小扰动后回 • 坐标轴重新取向,约定在赤道面上讨论θ=π/2 • 第三个初积分,四速度归一/0化,即线元 • 四速度只有三个非零分量,利用三个初积分方程,可用
e,L表达
• 2.0=V,R01,02=;L≥4;随L分别为减函2<R01<4、增函数 >4
• 3.0=dV/dR,Rmin,max=;Vmin,max=下标指的是V最小最大 Rmin>Rmax;L≥3.46;Vmax给出给定e粒子的俘获截面
• 4. d^2V/dR^2><=0 • 按单位质量角动量分类L=l/M • 1.L<3.46,两种轨道:向外ε>0逃逸,其余投入或回落 • 2.L=3.46,同上+拐点R=L^2/2处ε=V不稳定圆周轨道 • 3.3.46<L≤4,最高点不稳定+最低点稳定圆周+束缚
• L≠0不可到达r=0, • 1。E≥0散射,双曲线(E>0)或抛物线(E=0) • 2。E<0椭圆束缚轨道 • 3。特别地,势能曲线最低点E=V_min=-
1/2L^2(与熟知结果一致)圆周,且稳定
微分应用:分析曲线形状
• 1.R->0,V->-L^2/R^3->-∞;R->∞,V->-1/R->0;中间V>L^2/2R^2
• 和钟的世界线重合吗? • 类时、切矢量 • 类空=尺子延展方向、分量表达
– 与坐标网格的关系 – 线元和度规
线元存在时空交叉项 基准钟尺相对运动? g0i 0
• i方向的基准尺子相对基准钟运动
– 不是j方向
• 另选尺子相对不动的总能做到吗? • Cook没讲到:钟尺相对运动
应用 g0i 0
第五点:有效势
机械能=径向动能+有效势能(势能+ 角向动能=离心势能)牛顿情况
E T r V eff V eff V T T VC
e
mc
2
E Newton mc 2
1 e,
牛顿低速 e《1
e2 1 2
e
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
E Newton mc 2
给定M,首先按照角动量分类
• 牛顿L=0径向可到达r=0,实际情况星体表面 阻挡--外力,不再有机械能守恒分析; 径向远离,E≥0可逃逸到无穷远(势能为0), E<0会回落
• 数学的威力——Einstein求助 • 重要的是数学表达了什么物理
第一个活动 惯性斜交坐标系
写在纸上
• 不要太潦草——上交我查看 • 多留空白、隔行写——方便批改 • 尽量文字说明你的推理要点、步骤
测量钟与尺相对运动 平直时空坐标网格
• 三位一体 • 惯性系skew坐标
– 钟的世界线 – 尺子原点刻度的世界线
测验目的
• 了解大家的学习困难、不足、效果 • 确保掌握重点和难点
改进
‘动钟变慢’误导吗?
• ‘动’=速度不为零=钟尺测量速度=相对于 坐标钟
• 加速钟dτ2=γ-2dt2 • 双生子佯谬=为什么反过来不可以?
– 钟尺网格 – Marzke-Wheeler坐标
• 实验不需理论引入钟尺网格
试图在球面上构造全局性 惯性系skew坐标
(Vmin<ε<0) • 4.L>4,+散射轨道0<ε<Vmax
第六点:有效势曲线分析原理
势能曲线的分析原理
• d/dτ径向方程后,得到dr/dτ=0或d^2r/dτ^2=-V’= 有效力,所以碰到势垒会反弹;散射和束缚由 d^2r/dτ^2连续性仍然有d^2r/dτ^2=-V’=有效力 ;问题:在ε=V, dr/dτ=0是否可以保持圆周运 动?答:不会--
广义相对论课堂 21Schwarzschild时空轨道
人的差异在于业余时间
广义相对论课堂21 Schwarzschild时空轨道
2011.11.25
课程安排
• 复习内容: • 讨论内容:惯性系斜交坐标测量意义 • 新内容:Schwarzschild时空应用 • 下次课:经典检验 • 测验 • 发草稿纸——助教 • 课后发调查表
• 转盘系 • Schwarzschild时空Eddington-Finkelstein坐
标 • Kerr时空Boyer-Lindquist坐标
– 未解之谜:Kerr环奇点
• 转动宇宙Godel度规
进一步可探讨
• 对比习题7.21 • Cook雷达回波、t',x坐标下
第二个活动 匀加速正交坐标系
• 1。仍然有效力不为0,V’≠0;牛顿情况,某个高 度上,速度大(小)于圆周速度,离心力大( 小)于引力,双曲(抛物)(椭圆);测地线 方程d^2r/dτ^2=-Γ^r_tt(u^t)^2-Γ^r_φφ(u^φ)^2Γ^r_rr(u^r)^2
势能曲线的分析原理:续
• 2.Cauchy定解,运动方程总是二阶微分方程(例如从 变分原理看L(v,x),所有力学都是从牛顿力学比拟而来 ),初始位置确定(静态时空)则时空点确定,初始 三个速度确定,则定解。即L, ε决定了一条且仅仅一条 测地线(当然,不一定遍历,如一开始就在V最高点则 只有从R<R_min或R>R_max过来的圆周运动部分)
• Φ——测地线 • θ——非测地线,除赤道圈
– θ换成Φ' – 也用测地线,赤道圈上某一点P=第二极点O' – 相对于北极点O – OO'大圆上坐标失效,无能区分不同点——非
全局! – 对比极点(θ,Φ)坐标简并
• θ、Φ类似匀加速系直线+曲线网格
三种理论4种钟尺网格
无非是将平直时空(事件集合) 用网格划分 网格点标记