1_2矩阵的初等变换

§1.2 矩阵的初等变换

从消元法解线性方程组的过程中可看到，在对方程组作初等变换时，只是对方程组的系数和常数项进行运算，而未知量并没有参加运算，也就是说，线性方程组的解仅仅依赖于方程组中未知量的系数与常数项．因此，在用消元法解线性方程组时，为了书写简便起见，可以只写出方程组的系数和常数项．通常把方程组(I)的系数和常数项写成下列表格的形式

⎪

⎪⎪

⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅m mn m m n n b a a a b a a a b a a a 2

1222221111211 表中的第i 行代表方程组(I)的第i 个方程，第j 列表示x j 的系数，最后一列表示常数项．这个表称为线性方程组(I)的增广矩阵．去掉最后一列，得到另一个表

⎪

⎪⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅mn m m n n a a a a a a a a a 2

12222111211 它称为线性方程组的系数矩阵．

定义1 由数域P 中m ×n 个数a ij (i =1，2，…，m ； j =1，2，…，n )排成m 行n 列的长方形表

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅mn m m n n a

a a a a a a a a 212222111211 称为数域P 上的一个m ×n 矩阵．a ij 称为矩阵的元素，m ×n 矩阵记为A mn 或A m ×n ，有时还记作A =(a ij ) m ×n ． 1、矩阵的初等变换

已知用消元法解线性方程组就是对方程组反复地施行初等变换，反映在矩阵上，就是 1) 交换矩阵的某两行的位置； 2) 用一个非零的数去乘矩阵的某一行； 3) 用一个数乘某一行后加到另一行上．

这三种变换称为矩阵的初等行变换．类似地，有 1’) 交换矩阵的某两列的位置； 2’) 用一个非零的数去乘矩阵的某一列； 3’) 用一个数乘某一列后加到另一列上．

1’) ，2’) ，3’)称为矩阵的初等列变换．矩阵的初等行变换和矩阵的初等列变换统称为矩阵的初等变换．

利用方程组的初等变换把线性方程组化为阶梯形方程组，相当于用矩阵的初等行变换至多利用第一种列变换，把方程组的增广矩阵化为阶梯形矩阵．

例2 求解线性方程组

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧-=+++=++-=+++=+++1

3345523323143214324

3214321x x x x x x x x x x x x x x x 对它的增广矩阵作初等行变换

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--13 34 552 3 1 03 1 1 2 31 1 1 1 1 →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------6 221 05 2 3 1 06 221 01 1 1 1 1 →⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-----0 0 0 0 010 1 0 0622 1 01 1 1 1 1 最后一个矩阵就是一个阶梯形矩阵．对这个阶梯形矩阵，还可进一步化简．把第二行乘1加到第一行上，第三行乘1加到第一行上，第三行乘2加到第二行上，得

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛------0 0 0 0 010 1 0 08 20 1 06 1 0 0 1 它所表示的方程组为

⎪⎩

⎪

⎨⎧-=-=---=-182634241 x x x x x 这样，就得到方程组的一般解：

⎪⎩⎪

⎨⎧-=--=+-=12863

4241x x x x x 其中x 4为自由未知量． 2、矩阵的等价

定义2 若对矩阵A 实行有限次初等变换变成矩阵B ，则称矩阵A 与B 等价，记作

~A B .

类似于无穷小的等价概念，我们称A 与B 为等价是因为它确实是一种等价关系，它具有：

① 自反性 ——— A ~A ； （取k = 1，作乘数初等变换即可） ② 对称性 ——— A ~B ⇒ B ~A ； （初等变换都是可逆的）

③ 传递性 ——— A ~B ，B ~C ⇒ A ~C . （将两次的初等变换合并到一起对A 作即可） 3、行阶梯形矩阵,行最简形矩阵和矩阵的标准形

定义3 满足下列两个条件的矩阵称为行阶梯形矩阵： （1）若矩阵有零行，则零行在下方；

（2）各非零行的首非零元的列标随着行标的增大而增大.

定义4 满足下列三个条件的矩阵称为行简化形阶梯矩阵： （1）是行阶梯形矩阵； （2）各非零行的首非零元为1；

（3）所有首非零元所在的列的其余元素为零.

定义5 形如r

E o o o ⎛⎫

⎪⎝⎭

的矩阵称为标准形矩阵. 注 ① 任一m n ⨯矩阵A 都可以经初等变换化为行阶梯形，行最简形或标准形.

② 任一个矩阵都有标准形，且标准形是唯一的，它由行阶梯形的非零行的行数r 确定. ③ 矩阵~A B ⇔A 与B 具有相同的标准形.

④ 所有与A 等价的矩阵组成的集合{}

等价与A B B 称为是一个等价类，A 的标准形F 就是这个集合里最简单的那个矩阵，可视为是这个等价类的代表元.

例3 求解线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=-+-=+-+=+--9

7963422644

2224321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .

解：⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛------=979634226441

21121112B → ⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛------97

963211322111241211

→⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛-------343

30635500222041211

→⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝

⎛----310

006200001110

41211

→⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛---000

00310000111041211→500

000310003011040101

B =⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝

⎛---. 注① 5B 是一个行最简形阵。用方程组的语言来说这个特征：只有一个元素是1，其余元素均为0的列恰为非自由未知量421,,x x x 所对应的列。它对应的同解方程组是

⎪⎩

⎪⎨⎧-==-=-33443231

x x x x x ⇔ ⎪⎩⎪

⎨⎧-=

+=+=334

43231x x x x x )(5B ——这个结果正是将34-=x 回代入4B 对应的方程组时所求得的解，即5B 对应的方程组就是回代结果)(5B ，即取3x 为自由变量，并令c x =3，即得

x =⎪⎪⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛-++=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛303401113344321c c c c x x x x ，其中c 为任意常数。 这表明得到行最简形阵5B 就等于得到了方程组的解。也就是说：解一个线性方程组，只需将它对应的增广矩阵B 经初等行变换变成其行最简形即可得到方程组的解。

② 有无自由未知量决定于非零行的阶宽，对一个阶宽就多一个自由未知量。不看最后的常数列时，阶加宽一列，其阶数就少一层，故：自由未知量的个数 =

未知量个数 -

非零行行数 ＝n r -！！！

③ 由于方程组与其增广矩阵是一一对应的，故自然地：任何一个矩阵的行最简形式是唯一的，从而行阶梯形中非零行的行数也必唯一，从而自由未知量的个数也必唯一。

例3 把下列矩阵化为行最简形矩阵

(1) 102120313043-⎛⎫

⎪

⎪ ⎪⎝⎭； (2)

023*********-⎛⎫

⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭

； 解：(1) 102120313043-⎛⎫ ⎪ ⎪

⎪⎝⎭

21

31(2)(3)r r r r +-+-→102100130026-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭

23(1)

(2)r r ÷-÷-→102100130013-⎛⎫

⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭