第三章 第二节 第4课时 难点自选——函数与导数压轴大题的3大难点及破解策略

第4课时难点自选——函数与导数压轴大题的3大难点及破解策略

隐零点问题

但所述情形都难以求出其准确值，导致解题过程将无法继续进行．但可这样尝试求解：先证明函数f(x)在区间I上存在唯一的零点(例如，函数f(x)在区间I上是单调函数且在区间I的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出其零点是x0.因为x0不易求出(当然，有时是可以求出但无需求出)，所以把零点x0叫做隐零点；若x0容易求出，就叫做显零点，而后解答就可继续进行．实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法．[典例]设函数f(x)＝e x－ax－2.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．

[解题观摩](1)当a≤0时，f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞)，无单调递减区间；

当a>0时，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，ln a)，单调递增区间是(ln a，＋∞)．(解答过程略)

(2)由题设可得(x－k)(e x－1)＋x＋1>0，

即k

e x－1

(x>0)恒成立．

令g(x)＝x＋1

e x－1＋x(x>0)，得g′(x)＝

e x－1－(x＋1)e x

(e x－1)2

＋1＝

e x(e x－x－2)

(e x－1)2

(x>0)．

由(1)的结论可知，函数h(x)＝e x－x－2(x>0)是增函数．

又因为h(1)<0，h(2)>0，所以函数h(x)的唯一零点α∈(1,2)(该零点就是h(x)的隐零点)．当x∈(0，α)时，g′(x)<0；当x∈(α，＋∞)时，g′(x)>0，

所以g(x)min＝g(α)＝α＋1

eα－1

＋α.

又eα＝α＋2且α∈(1,2)，

则g(x)min＝g(α)＝1＋α∈(2,3)，

所以k的最大值为2.

[题后悟通]

本题的关键就是利用h(x)＝e x－x－2及h(1)<0，h(2)>0确定h(x)的隐零点，从而作出判断．

[针对训练]

1．已知函数f(x)＝1－ln x

x2.

(1)求函数f(x)的零点及单调区间；

(2)求证：曲线y ＝

ln x

x

存在斜率为6的切线，且切点的纵坐标y 0<－1. 解：(1)函数f (x )的零点为e.函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫e 32，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫

0，e 3

2.(解答过程略)

(2)证明：要证明曲线y ＝ln x

x 存在斜率为6的切线，即证明y ′＝1－ln x x 2

＝6有解，等

价于1－ln x －6x 2＝0在x >0上有解．

构造辅助函数g (x )＝1－ln x －6x 2(x >0)，g ′(x )＝－1

x －12x <0，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递减，且g (1)＝－5<0，g ⎝⎛⎭⎫12＝1＋ln 2－32>0，所以∃x 0∈⎝⎛⎭⎫12，1，使得g (x 0)＝0.即证明曲线y ＝ln x

x 存在斜率为6的切线．

设切点坐标为(x 0，f (x 0))，则f (x 0)＝ln x 0x 0＝1－6x 20

x 0＝1x 0－6x 0，x 0∈⎝⎛⎭⎫12，1. 令h (x )＝1

x －6x ，x ∈⎝⎛⎭⎫12，1.

由h (x )在区间⎝⎛⎭⎫12，1上单调递减，则h (x )

⎫1

2＝－1，所以y 0＝f (x 0)<－1.

极值点偏移问题

在近几年的高考中，极值点偏移问题常作为压轴题出现，题型复杂多变，面对此类问题时常会感到束手无策．事实上，只要掌握这类问题的实质，巧妙消元、消参、构造函数，问题便能迎刃而解．

1．极值点偏移的含义

若单峰函数f (x )的极值点为x 0，则极值点的偏移问题的图示及函数值的大小关系如下表所示.

极值点x 0 函数值的大小关系

图示

极值点不偏

移

x 0＝x 1＋x 2

2

f (x 1)＝f (2x 0－x 2)

极值点偏移

左移

x 0

峰口向上：

f (x 1)< f (2x 0－x 2)

峰口向下：f(x1)> f(2x0

－x2)

右

移x0>

x1＋x2

2

峰口向上：f(x1)> f(2x0

－x2)

峰口向下：f(x1)< f(2x0

－x2)

极值点偏移问题的题设一般有以下四种形式：

(1)若函数f(x)在定义域上存在两个零点x1，x2(x1≠x2)，求证：x1＋x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)；

(2)若在函数f(x)的定义域上存在x1，x2(x1≠x2)满足f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)；

(3)若函数f(x)存在两个零点x1，x2(x1≠x2)，令x0＝x1＋x2

2，求证：f′(x0)>0；

(4)若在函数f(x)的定义域上存在x1，x2(x1≠x2)满足f(x1)＝f(x2)，令x0＝x1＋x2

2，求证：

f′(x0)>0.

[典例]已知函数f(x)＝ln x－ax(x>0)，a为常数，若函数f(x)有两个零点x1，x2(x1≠x2)．证明：x1x2>e2.

[解题观摩]法一：(抓极值点构造函数)

由题意，函数f(x)有两个零点x1，x2(x1≠x2)，即f(x1)＝f(x2)＝0，易知ln x1，ln x2是方程x＝a e x的两根．

设t1＝ln x1，t2＝ln x2，g(x)＝x e－x，则g(t1)＝g(t2)，

从而x1x2>e2⇔ln x1＋ln x2>2⇔t1＋t2>2.

下证：t1＋t2>2.

g′(x)＝(1－x)e－x，易得g(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，

所以函数g(x)在x＝1处取得极大值g(1)＝1 e.

当x→－∞时，g(x)→－∞；当x→＋∞时，g(x)→0且g(x)>0.

由g(t1)＝g(t2)，t1≠t2，不妨设t1