人教版九年级数学上册圆的有关证明和计算 专项练习题(无答案)
人教版九年级数学上册《圆》圆的证明与计算专题训练
人教版九年级数学上册《圆》圆的证明与计算专题训练1、在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆＂带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”.小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆"AP ，BP 的连接点P 在O 上，当点P 在⊙O 上转动时，带动点A ，B 分别在射线OM ，ON 上滑动，OM ON.如图2，当AP 与⊙O 相切时，点B 恰好落在⊙O 上，请仅就图2的情形解答下列问题.(1)求证：∠PAO=2∠PBO ； (2)若⊙O 的半径为5，AP=，求BP 的长.A B PO MN图22、如图，PA 、PB 为⊙O 的切线，A 、B 为切点。
连PO 交⊙O 于D 点，AC 为直径，CD 交AP 于E 点，且CE//PB. (1)求∠APB 的大小； (2)若PE=1，连BE ，求BE 的长.3、如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，且AB=AC ，CD ⊥AB 于D ，交⊙O 于E ，连AE ， (1)求证：∠BAC=2∠BAE ；(2)若AE=3，BE=1，求⊙O 的半径.4、如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 是一点，过点B 作⊙O 的切线，与AC 延长线交于点D ，连接BC ，OE ∥BC 交⊙O 于点E ，连接BE 交AC 于点H ． （1）求证：BE 平分∠ABC ；（2）连接OD ，若BH ＝BD ＝2，求OD 的长．AB POMN图1A B CD E P O ABCD EO5、如图，AB是⊙O的直径，弦BC、DE的延长线交于点F，AB⊥DE于H，连接BE、CE．（1）求证：∠BEC＝∠F．（2）连OE，若OE∥BC，CE＝13，DE＝24，求⊙O的半径．6、如图，BC为⊙O的直径，点A为⊙O上的一点，点I是△ABC的内心，AI的延长线交⊙O于D，且DI = 5. （1）求⊙O的半径长；（2）连接BI，CI，OI，若OI⊥IC，求BI的长AIOD圆的证明与计算（2）1、已知四边形ABCD是平行四边形，且以AB为直径的⊙O经过点D．（1）如图（1），若∠BAD＝45°，求证：CD与⊙O相切；（2）如图（2），若AD＝6，AB＝10，⊙O交CD边于点F，交CB边延长线于点E，求BE，DF的长．2、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）设OE交⊙O于点F，若DF＝2，BC＝，求劣弧BC的长．3、如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且＝，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，连接AD．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，AC＝2，求CD的长．4、如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝9，边AB上有一点E，且AE＝1．连接CE，DE．以CE为直径的⊙O与线段CD交于点F，与线段DE交于点G，连接GF．（1）求证：AD 是⊙O 的切线； （2）求GE 的长．A BCD EF GO5、如图，⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，AC 是⊙O 的直径，BE ⊥DC ，交DC 的延长线于点E ，CB 平分∠ACE ． （1）求证：BE 是⊙O 的切线． （2）若＝2，CE ＝1，求点B 到AD 的距离．6、已知，如图，点A ，C ，D 在⊙O 上，且满足∠C ＝45°．连接OD ，AD ，过点A 作直线AB ∥OD ，交CD 的延长线于点B ．（1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）如果OD ＝CD ＝2，求AC 边的长．。
人教版数学九年级上册 专项突破试卷 与圆有关的计算与证明
专项突破试卷(与圆有关的计算与证明)一、选择题1．已知Rt △ABC 的直角边AC=BC=4 cm ，若以C 为圆心，以3 cm 长为半径作圆，则这个圆与斜边AB 所在的直线的位置关系是 （ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定2．如图，已知经过原点的⊙P 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点C 是劣弧OB 上一点，则∠ACB 等于 （ ）A ．80°B ．90°C ．100°D ．无法确定3．如图所示，在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，CD 是过点P 的直径，则下列结论中不正确的是 （ ）A ．AB ⊥CDB ．∠A OB=4∠A CDC ．D ．PO=PD4．P 为⊙O 外一点，PA 为⊙O 的切线，A 是切点，若⊙O 的半径为3，PA=4，则PO 的长为 （ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．边长为a 的正六边形的面积等于 （ ）A ．243a B ．a²C ．2233aD．33a²6．已知两圆的半径分别为3和5，圆心距为4，则这两圆的位置关系是（）A．内切B．外切C．相交D．相离7．如图所示，边长为1的菱形ABCD绕点A旋转，当B，C两点恰好落在扇形AEF的弧EF 上时，弧BC的长度等于 ( )πA．6πB．4πC．3πD．28．设⊙O中最长弦的长为m，直线l与⊙O相交，点O到l的距离为d,则d与 m的关系是（）A．d=mB．d＜mmC．d＞2mD．d＜29．已知一个圆锥的底面半径为3 cm，母线长为5 cm，则圆锥的侧面积是（）A．20 cm²B．15 cm²C．20π c m²D．15π cm²10.如图所示，王大伯家屋后有一块长12 m、宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊，羊平时拴在A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（）A．3mB．5mC．7mD．9m二、填空题1．若AB=8 cm，则经过A，B两点的最小圆的半径是_________.2．如图，在⊙O中，∠A OB=100°，，则∠C AB=_________.3．已知一个直角三角形的面积为12 cm²，周长为122 cm，那么这个直角三角形的外接圆半径是_________.4．如图所示，⊙M与x轴相交于点A(2，0)，B(8，0)，与y轴相切于点C，则圆心M的坐标是_________.5．如图所示，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，将矩形ABCD在直线l上接顺时针方向不滑动地每秒转动90°，转动3秒后停止，则顶点A经过的路线长为_________.6．如图，在Rt△ABC中，∠A CB=90°，AC=BC=1，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是_________.7．如图，∠A CB=60°，半径为1 cm的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离是_________cm.8．如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=6，点D为BC中点，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转120°得到△A B′D′，则点D在旋转过程中所经过的路径长为_____．(结果保留π)三、解答题1．如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点C，已知∠AOC=70°，求∠B AD 的度数．2．如图，在⊙0中，直径AB与弦CD相交于点P，∠C AB=40°，∠APD=65°.(1)求∠B的大小；(2)已知AD=6，求圆心O到BD的距离．3．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OE⊥AC于点E，过A作⊙O的切线DA，DA与OE的延长线交于点D，连接DC，BC.(1)填空：OE与BC的位置关系是_______，OE与BC的数量关系是_______，(2)求证：DC是⊙O的切线，4.如图所示，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上的一点，一只小虫从A点出发，绕侧面爬行一周，再回到点A的最短路线长是多少？5．如图，已知在⊙O中，AB=43，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30°.(1)求图中阴影部分的面积；(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．6．如图所示，点P是x轴上一点，以P为圆心的圆分别与x轴、y轴交于A，B，C，D四点，已知A(-3，0)，B(1，0)，过点C作⊙P的切线，交x轴于点E．(1)求直线CE的解析式；(2)若点F是线段CE上一动点，点F的横坐标为m，问：m在什么范围时，直线FB与⊙P相交？(3)若直线FB与⊙P的另一个交点为N，当点N是的中点时，求点F的坐标，【专项三】一、1．A 2．B3．D4．C5．C6．C7．C8．D9．D 10．A二、1.4 cm 2.65° 3．225 4．(5，4) 5. 12π 6．6π 7．3 8.2π 三、1．解：∵∠AOC=70°，∴∠ABC=35°,∵AD ∥BC,∴∠B AD=180°-35°=145°.2．解：(1)∵∠APD=∠C+∠C AB ，∴∠C =65°-40°=25°,∴∠B=∠C=25°．(2)作OE ⊥BD 于E ，则DE=BE.又∵AO=BO ，∴OE=21AD=21×6=3，圆心O 到BD 的距离为3． 3．解：(1) OE ∥BC OE=21BC (2)证明：如图，连接OC ，设OD 与⊙O 交于点F∵DA 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AD ，即∠DA0=90°，∵OE ⊥AC, ∴∴∠AOD=∠COD ．在△DAO 和△DCO 中,⎪⎩⎪⎨⎧===ODOD COD AOD OC OA ,∠∠,∴△DAO ≌DCO(SAS).∴∠DCO=∠DA0=90°．又∵OC 为⊙0的半径，∴DC 是⊙O 的切线．4．解：将圆锥沿母线SA 作侧面展开图，得扇形SA A′，如图所示．设∠A SA ′=n °，由扇形弧长等于底面圆周长，得1803⨯πn =2π·1.∴n=120．∴∠ASA ′=120°．连接AA ′，过S 作SM ⊥A A′于M.∴∠A SM=60°．∴在Rt △ASM 中，∠SAM=30°，SA=3.∴SM=23，由勾股定理，得AM=233， ∴A A′=2AM=33．5．解：(1)连接BC.∵AC 为⊙0的直径，∴∠ABC=90°．又∵AB=43，∠A=30°，∴BC=21AC ． 由勾股定理，得AC=8，∴OA=21AC=4． 又∵∠A =30°，AC ⊥BD ，∠B OC=60°．∴∠BOD=120°. ∴πππ阴影31643136012022=⋅⨯=⋅=OA S ． (2)设圆锥的底面圆的半径为r ，则周长为2πr ． ∴21×2πr ×4=316π，∴r=34． 6．解：(1)连接PC ．因为A(-3，0)，B(1，O)，所以⊙P 的直径是4，所以半径R=2，OP=1．OC=31-22222==-OP PC .所以C(0，3)．所以∠PCD=30°，又CE 是⊙P 的切线，所以PC ⊥CE.所以∠PEC=30°．所以PE=2PC=4，EO=PE-OP=3．所以E(3，0).设直线CE 的解析式为y=kx+b ，将C ，E 两点坐标代入解析式，得⎩⎨⎧==+.3,03b b k 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.3,33b k 所以直线CE 的解析式为y=-333+x ．① (2)当O ≤m ≤3且m ≠1时，直线FB 与⊙P 相交．(3)因为点N 是的中点，所以N(-1，-2)．设直线NB 的解析式为y=kx+b ，把N 、B 两点坐标代入解析式，得⎩⎨⎧-=+-=+.2,0b k b k 解得⎩⎨⎧-==.1,1b k 所以直线NB 的解析式为y=x-1．② 由①、②式，得⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=,333,1x y x y ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==.13,3y x 所以F （3，13-）。
人教版九年级数学上册作业课件 第二十四章 圆 专题训练(十三) 与圆的切线有关的计算与证明
第二十四章 圆
专题训练(十三) 与圆的切线有关的计算与证明
类型1 已知圆的切线，求角的度数或线段长 1．(山西中考)如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OC 为半径的⊙O与AB相切于点B，与AO相交于点D，AO的延长线交⊙O于 点E，连接EB交OC于点F.求∠C和∠E的度数．
解：连接 OB，∵⊙O 与 AB 相切于点 B，∴OB⊥AB，∵四边形 ABCO 为平行四边形，∴AB∥OC，OA∥BC，∴OB⊥OC，∴∠BOC＝90°， ∵OB＝OC，∴△OCB 为等腰直角三角形，∴∠C＝∠OBC＝45°，∵
则点 D 为⊙M 与 x 轴的切点，即 PM＝MD，设 P(x，－34 x2＋94 x＋3)， M(x，－34 x＋3)，则 PD＝－34 x2＋49 x＋3，MD＝－34 x＋3，∴(－43 x2 ＋49 x＋3)－(－34 x＋3)＝－34 x＋3，解得 x1＝1，x2＝4(不合题意舍去)， ∴⊙M 的半径为 MD＝－43 ＋3＝94 ；当⊙M 与 y 轴相切时，如图②所示， 延长 PM 交 AB 于点 D，过点 M 作 ME⊥y 轴于点 E，则点 E 为⊙M 与 y 轴的切点，即 PM＝ME，PD－MD＝EM＝x，
6．(天水中考)如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D. 过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC，AB的延长线交于点F.
(1)求证：PC是⊙O的切线； (2)若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．
解：(1)证明：连接OC，∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD＝CD， ∴PA＝PC，∵OP＝OP，∴△OAP≌△OCP(SSS)，∴∠OCP＝∠OAP， ∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°.∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC， ∴PC是⊙O的切线
人教版九年级上册数学圆相关的证明题训练
人教版九年级上册数学圆相关的证明题训练1．如图，已知⊙O的直径AB＝12，弦AC＝10，D是BC的中点，过点D作DE⊙AC，交AC的延长线于点E．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)求AE的长．2．如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且AF FC CB==，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若CD＝⊙O的半径．3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊙AB于点E，点M在⊙O上，MD经过圆心O，连接MB．（1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的半径；（2）若⊙M＝⊙D，求⊙D的度数．4．如图，在四边形ABCD中，AD//BC，⊙O经过点A、C、D，分别交边AB、BC于点E、F，连接DE、DF，且DE＝DF．（1）求证：AB//CD；（2）连接AF，求证：AB＝AF．5．已知：AB为⊙O的直径，⊙A=⊙B=90°，DE与⊙O相切于E，⊙OAD=2．（1）求BC的长；（2）延长AE交BC的延长线于G点，求EG的长．6．如图，AC是⊙O的直径，OD与⊙O相交于点B，⊙DAB＝⊙ACB．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若⊙ADB＝30°，DB＝2，求直径AC的长度．7．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，弦AE 的延长线与过点C 的切线互相垂直，垂足为D ，35CAD ∠=︒，连接BC ．（1）求B 的度数；（2）若2AB =，求EC 的长．8．如图，在菱形ABCD 中，E 是CD 上一点，且CAE B ∠=∠， O 经过点A 、C 、E ．（1）求证AC AE =；（2）求证AB 与O 相切．9．如图，AB 为O 的直径，C 是O 上的一点，连接AC ，BC ．D 是BC 的中点，过D 作DE AB ⊥于点E ，交BC 于点F ．（1）求证：2BC DE =；（2）若6AC =，10AB =，求DF 的长．10．如图，在ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，延长CA交⊙O 于点E．连接ED交AB于点F．（1）求证：CDE是等腰三角形．（2）当CD：AC＝2AEAC的值．11．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊙CD于点E．连接AC、OC、BC （1）求证：⊙ACO＝⊙BCD．（2）若AE＝18，CD＝24，求⊙O的直径．12．如图，AB=AC，CD⊙AB于点D，点O是⊙BAC的平分线上一点，⊙O与AB相切于点M，与CD相切于点N．（1）求证：⊙AOC=135°；（2）若NC=3，BC=DM的长．13．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊙CD于点D，E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC，AC．（1）求证：AC平分⊙DAO；（2）若⊙DAO＝105°，⊙E＝30°，⊙求⊙OCE的度数；⊙若⊙O的半径为，求线段EF的长．14．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CO⊙AB于点E．（1）求证：⊙BCO＝⊙D．（2）若CD＝，AE＝2，求⊙O的半径．=，以AB为直径的O分别交BC，AC于点15．已知：如图，在ABC中，AB ACD，E，连结EB，交OD于点F．⊥．（1）求证：OD BEAB=，求AE的长．（2）若16．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与△ABC的外接圆相交于点D．(1)若△BAC=70°，求△CBD的度数；(2)求证：DE=DB．17．如图，D是△ABC外接圆上的点，且B，D位于AC的两侧，DE⊙AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊙AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB．（1）求证：⊙BAD=⊙PCB；（2）求证：BG⊙CD；，⊙COD=23°，求⊙P的度数．（3）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB18．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊙AB于点E，点P在圆O上且⊙1＝⊙C．（1）求证：CB⊙PD；（2）若BC＝3，BE＝2，求CD的长．19．如图，⊙O是⊙ABC的外接圆，AB为直径，过点O作OD⊙BC，交AC于点D．（1）求⊙ADO的度数；（2）延长DO交⊙O于点E，过E作⊙O的切线，交CB延长线于点F，连接DF交OB 于点G．⊙试判断四边形CDEF的形状，并说明理由；⊙若BG＝2，AD＝3，求四边形CDEF的面积．20．如图，AB、CD是⊙O中两条互相垂直的弦，垂足为点E，且AE＝CE，点F是BC的中点，延长FE交AD于点G，已知AE＝1，BE＝3，OE（1）求证：△AED⊙⊙CEB；（2）求证：FG⊙AD；（3）若一条直线l到圆心O的距离d l是否是圆O的切线，并说明理由．。
人教数学九年级上册-圆及有关概念人教版
专题24.2 圆及有关概念（专项练习）一、单选题1．如图所示，在⊙O 中，点A ，O ，D 以及点B ，O ，C 分别在一条直线上，则图中的弦有( )A ．2条B ．3条C ．4条D ．5条2．⊙O 的半径为5cm ，点A 到圆心O 的距离OA ＝3cm ，则点A 与⊙O 的位置关系为( )A ．点A 在⊙O 上B ．点A 在⊙O 内C ．点A 在⊙O 外D ．无法确定3．如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（ ）A ．27倍B ．14倍C ．9倍D ．3倍4．把地球看成一个表面光滑的球体，假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝，然后把钢丝加长，使钢丝圈沿赤道处处高出球面16cm ，那么钢丝大约需要加长A ．102cmB ．104cmC ．106cmD ．108cm5．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （4，3），以原点O 为圆心，5为半径作⊙O ，则（ ）A ．点A 在⊙O 上B ．点A 在⊙O 内C ．点A 在⊙O 外D ．点A 与⊙O 的位置关系无法确定6．已知，以点C 为圆心r 为半径作圆，如果点A 、点B 只有一,3,4ABC AC CB ==A个点在圆内，那么半径r 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．3r >34r <<34r <≤34r ≤≤7．下列4个说法中：①直径是弦；②弦是直径；③任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；④弧是半圆； 正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．一个圆的周长是，它的面积是（ ）10πA ．B ．C ．D ．25π5π100π10π9．矩形ABCD 中，AB ＝8，P 在边AB 上，且BP ＝3AP ，如果圆P 是BC =以点P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）．A ．点B 、C 均在圆P 外；B ．点B 在圆P 外、点C 在圆P 内；C ．点B 在圆P 内、点C 在圆P 外；D ．点B 、C 均在圆P 内．10．若⊙O 的半径为5cm ，点A 到圆心O 的距离为4cm ，那么点A 与⊙O 的位置关系是A ．点A 在圆外B ．点A 在圆上C ．点A 在圆内D ．不能确定11．如图，四边形为矩形，，．点P 是线段上一动点，点M ABCD 3AB =4BC =BC 为线段上一点．，则的最小值为（ ）AP ADM BAP ∠=∠BMA ．B ．CD 52125322-12．已知：等腰直角三角形ABC 的腰长为4，点M 在斜边AB 上，点P 为该平面内一动点，且满足PC ＝2，则PM 的最小值为（ ）A ．2B ．﹣2C ．D ．二、填空题13．已知的面积为．O A 25π（1）若，则点P 在________；5.5PO =（2）若，则点P 在________；4PO =（3）若_________，则点P 在上．PO =O A 14．如图，⊙M 的半径为4，圆心M 的坐标为（5，12），点P 是⊙M 上的任意一点，PA ⊥PB ，且PA 、PB 与x 轴分别交于A 、B 两点，若点A 、点B 关于原点O 对称，则AB 的最小值为_______．15．连接圆上任意两点的线段（如图中的______）叫做弦，经过圆心的弦（如图中的_____）叫做直径．【注意】凡直径都是弦，是圆中最长的弦，但弦____是直径．16．圆上任意两点间的部分叫做________，简称___．以A 、B 为端点的弧，记作__________，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做_______．17．如图，以△ABC 的顶点B 为圆心，BA 长为半径画弧，交于点，连接BC D AD ．若∠B ＝40°，∠C ＝36°，则∠DAC 的大小为_____度．18．点是非圆上一点，若点到上的点的最小距离是，最大距离是，P P O A 4cm 9cm 则的半径是______．O A 19．如图，、是的半径，点C 在上，，，则OA OB O A O A 30AOB ∠=︒40OBC ∠=︒______．OAC ∠=︒20．我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为_____．(2,1)A21．如图，用等分圆的方法，在半径为OA 的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA ＝2，则四叶幸运草的周长是________．22．如图，在中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC 为直径的半圆交AB 于Rt ABC AD ，P 是上的一个动点，连接AP ，则AP 的最小值是_____．A CD23．如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,P 是AB 边上的动点（不与点B 重合），将△BCP 沿CP 所在的直线翻折,得到△B′CP,连接B′A,则B′A 长度的最小值是________．24．如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，以顶点D 为圆心作半径为r 的圆，若要求另外三个顶点A ，B ，C 中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r 的取值范围是__________．三、解答题25．如图所示，，，试证明：、、、在同一圆上．AC BC ⊥AD BD ⊥A B C D26．在平面直角坐标系中，作以原点O 为圆心，半径为4的，试确定点O A与的位置关系．()2,3(4,2),,(2)A B C ----O A 27．如图，在图中求作⊙P ，使⊙P 满足以线段MN 为弦且圆心P 到∠AOB 两边的距离相等．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）28．如图，点C 是以AB 为直径的半圆O 内任意一点，连接AC ，BC ，点D 在AC 上，且AD ＝CD ，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．(1)在图（1）中，画出的中线AE ；ABC A (2)在图（2）中，画出的角平分线AF ．ABC A 29．已知A 为上的一点，的半径为1，所在的平面上另有一点P ．O A O A O A（1）如果P 与有怎样的位置关系？PA =O A（2）如果，那么点P 与有怎样的位置关系？PA =O A 30．如图，菱形的对角线相交于点O ，四条边的中点分别ABCD ,AC BD ,,,AB BC CD DA为．这四个点共圆吗？圆心在哪里？,,,E F G H参考答案1．B【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案．解：图中的弦有AB ，BC ，CE 共三条，故选B ．【点拨】本题主要考查了弦的定义，熟知定义是解题的关键：连接圆上任意两点的线段叫弦．2．B解：将点到圆心的距离记为d ，圆的半径记为r ,∵d =OA =3,∴d <r ，∴点A 在圆内，故选：B ．3．B【分析】设OB =x ，则OA =3x ，BC =2x ，根据圆的面积公式和正方形的面积公式，求出面积，进而即可求解．解：由圆和正方形的对称性，可知：OA =OD ，OB =OC ，∵圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，∴设OB =x ，则OA =3x ，BC =2x ，∴圆的面积=π(3x )2=9πx 2，正方形的面积==2x 2，()2122x ∴9πx 2÷2x 2=，即：圆的面积约为正方形面积的14倍，9142π≈故选B ．【点拨】本题主要考查圆和正方形的面积以及对称性，根据题意画出图形，用未知数表示各个图形的面积，是解题的关键．4．A解：设地球半径为：rcm ，则地球的周长为：2πrcm ，假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝，然后把钢丝加长，使钢丝圈沿赤道处处高出球面16cm ，故此时钢丝围成的圆形的周长变为：2π（r+16）cm ，∴钢丝大约需要加长：2π（r+16）﹣2πr≈100（cm ）=102（cm ）．故选：A ．5．A【分析】先求出点A 到圆心O 的距离，再根据点与圆的位置依据判断可得．解：∵点A （4，3）到圆心O 的距离，5OA ==∴OA ＝r ＝5，∴点A 在⊙O 上，故选：A ．【点拨】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为，点到圆心r 的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内，d d r >d r =d r <也考查了勾股定理的应用．6．C【分析】由于，，当以点为圆心为半径作圆，如果点、点只有一个点在3AC =4CB =C r A B 圆内时，那么点在圆内，而点不在圆内．当点在圆内时点到点的距离小于圆的A B A A C 半径，点在圆上或圆外时点到圆心的距离应该不小于圆的半径，据此可以得到半径的B B 取值范围．解：当点在圆内时点到点的距离小于圆的半径，即：；A A C 3r >点在圆上或圆外时点到圆心的距离应该不小于圆的半径，即：；B B 4r …即．34r <…故选：．C 【点拨】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是明确半径的大小与位置关系的关系．7．B【分析】根据弧的分类、圆的性质逐一判断即可．解：①直径是最长的弦，故正确；②最长的弦才是直径，故错误；③过圆心的任一直线都是圆的对称轴，故正确；④半圆是弧，但弧不一定是半圆，故错误，正确的有两个，故选B．【点拨】本题考查了对圆的认识，熟知弦的定义、弧的分类是本题的关键．8．A【分析】根据圆的周长公式，由已知的周长求出圆的半径，利用圆的面积公式即可求出所求圆的面积．解：设圆的半径为r，∵圆的周长为10π，∴2πr=10π，即r=5，则圆的面积S=πr2=25π．故选：A．【点拨】此题考查了圆的周长公式，以及圆的面积公式，根据周长求出圆的半径是解本题的关键．同时要求学生熟练掌握圆中的有关计算公式．9．C解：∵AB=8，点P在边AB上，且BP=3AP∴AP=2，∴根据勾股定理得出，，=，∵PB=6＜r，PC=9＞r∴点B在圆P内、点C在圆P外,故选C．【点拨】点与圆的位置关系的判定，难度系数中等，此题应根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系作出判断10．C【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d ＞r 时，点在圆外；当d=r 时，点在圆上；当d ＜r 时，点在圆内判断出即可．解：∵⊙O 的半径为5cm ，点A 到圆心O 的距离为4cm ，∴d ＜r ，∴点A 与⊙O 的位置关系是：点A 在圆内，故选C ．11．D【分析】证明，得出点M 在O 点为圆心，以AO 为半径的园上，从而计算出答案．=90AMD ︒∠解：设AD 的中点为O ，以O 点为圆心，AO 为半径画圆∵四边形为矩形ABCD ∴+=90BAP MAD ︒∠∠∵ADM BAP∠=∠∴+=90MAD ADM ︒∠∠∴=90AMD ︒∠∴点M 在O 点为圆心，以AO 为半径的园上连接OB 交圆O 与点N∵点B 为圆O 外一点∴当直线BM 过圆心O 时，BM 最短∵，222BO AB AO =+1==22AO AD ∴29413BO =+=∴BO =∵2BN BO AO =-=故选：D ．【点拨】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．12．B【分析】根据等腰直角三角形的性质得到斜边AB ＝P 在以C 为圆心，PC 为半径的圆上，当点P 在斜边AB 的中线上时，PM 的值最小，于是得到结论．解：∵等腰直角三角形ABC 的腰长为4，∴斜边AB ＝∵点P 为该平面内一动点，且满足PC ＝2，∴点P 在以C 为圆心，PC 为半径的圆上，当点P 在斜边AB 的中线上时，PM 的值最小，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴CM ＝AB ＝12∵PC ＝2，∴PM ＝CM ﹣CP ＝﹣2，故选：B ．【点拨】本题考查线段最小值问题，涉及等腰三角形的性质和点到圆的距离，解题的关键是能够画出图形找到取最小值的状态然后求解．13． 圆外 圆内 5【分析】（1）先求出的半径，再根据PO 的长度和圆的半径进行比较即可得；O A （2）根据PO 的长度和圆的半径进行比较即可得；（3）根据点在圆上得点到圆心的距离等于半径，即可得．解：设的半径为r ，O A ，225r ππ=，=5r （1）∵PO =5.5>5，∴点P 在圆外；（2）∵PO =4<5，∴点P 在圆内；（3）若要点P 在上，O A 则PO =r =5；故答案为：（1）圆外；（2）圆内；（3）5．【点拨】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是判断点与圆的位置关系的方法．14．18【分析】连接OP ，因为PA ⊥PB ，所以在中AB ＝2PO ，若要使AB 取得最小值，则Rt APB △PO 需取得最小值，连接OM ，交⊙M 于点P ′，当点P 位于P ′位置时，OP ′取得最小值，据此求解即可得．解：如图所示，连接OP ，∵PA ⊥PB ，∴∠APB ＝90°，∵AO ＝BO ，∴AB ＝2PO ，若要使AB 取得最小值，则PO 需取得最小值，连接OM ，交⊙M 于点P ′，当点P 位于P ′位置时，OP ′取得最小值，过点M 作MQ ⊥x 轴于点Q ，则OQ ＝5，MQ ＝12，在中，根据勾股定理，得Rt MQB A，13OM ===又∵MP ′＝4，∴OP ′＝9，∴AB ＝2OP ′＝18，故答案为：18．【点拨】本题考查了点与圆的位置关系，关于圆点对称的点的坐标和勾股定理，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB 取得最小值时点P 的位置．15． AC AB 不一定略16． 圆弧 弧 半圆A AB 略17．34【分析】先根据同圆的半径相等可得，再根据等腰三角形的性质可得AB BD =，然后根据三角形的外角性质即可得．70BAD BDA ∠=∠=︒解：由同圆的半径相等得：，AB BD =，11(180)(18040)7022BAD BDA B ∴∠=∠=︒-∠=⨯︒-︒=︒，36C ∠=︒ ，34DAC BDA C ∴∠=∠-∠=︒故答案为：34．【点拨】本题考查了圆的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握同圆的半径相等是解题关键．18．或6.5cm 2.5cm【分析】分点在外和内两种情况分析；设的半径为，根据圆的性质列一元一P O A O A O A xcm 次方程并求解，即可得到答案．解：设的半径为O A xcm 当点在外时，根据题意得：P O A 429x +=∴2.5x cm =当点在内时，根据题意得：P O A 294x =+∴6.5x cm =故答案为：或．6.5cm 2.5cm 【点拨】本题考查了圆、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握圆的性质，从而完成求解．19．25【分析】连接OC ，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠BOC =100°，求出∠AOC ，根据等腰三角形的性质计算．解：连接OC ，∵OC =OB ，∴∠OCB =∠OBC =40°，∴∠BOC =180°-40°×2=100°，∴∠AOC =100°+30°=130°，∵OC =OA ，∴∠OAC =∠OCA =25°，故答案为：25．【点拨】本题考查的是圆的基本性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．201-【分析】连接OA ，与圆O 交于点B ，根据题干中的概念得到点到圆的距离即为OB ，再求出OA ，结合圆O 半径可得结果.解：根据题意可得：点到圆的距离为：该点与圆上各点的连线中，最短的线段长度，连接OA ，与圆O 交于点B ，可知：点A 和圆O 上点B 之间的连线最短，∵A （2，1），∴∵圆O 的半径为1，∴，1∴点到以原点为圆心，以1，(2,1)A 1.1【点拨】本题考查了圆的新定义问题，坐标系中两点之间的距离，勾股定理，解题的关键是理解题意，利用类比思想解决问题.21．．【分析】由题意得出：四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长=2个圆的周长，求出圆的半径，由圆的周长公式即可得出结果．解：由题意得：四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长＝2个圆的周长，∴四叶幸运草的周长＝＝；故答案为．【点拨】本题考查了正多边形和圆、正方形的性质以及圆周长公式；由题意得出四叶幸运草的周长=2个圆的周长是解题的关键．22.1-【分析】找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P2，在半圆上取P1，连接AP1，EP1，可见，AP1+EP1＞AE，即AP2是AP的最小值，再根据勾股定理求出AE的长，然后减掉半径即可．解：找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P2，在半圆上取P1，连接AP1，EP1，可见，AP1+EP1＞AE，即AP2是AP的最小值，=∵AE P2E=1，∴AP2.1.123．1试题分析：在Rt△ABC中，由勾股定理可知：，由轴对称的性质可知：BC=CB′=3，∵CB′长度固定不变，∴当AB′+CB′有最小值时，AB′的长度有最小值．根据两点之间线段最短可知：A、B′、C三点在一条直线上时，AB′有最小值，∴AB′=AC﹣B′C=4﹣3=1．故答案为1．【点拨】1．翻折变换（折叠问题）；2．动点型；3．最值问题；4．综合题．24．.35r <<试题分析：根据勾股定理可求得BD=5，三个顶点A 、B 、C 中至少有一个点在圆内,点A 与点D 的距离最近，点A 应该在圆内，所以r>3，三个顶点A 、B 、C 中至少有一个点在圆外，点B 与点D 的距离最远，点B 应该在圆外，所以r<5，所以r 的取值范围是.35r <<【点拨】勾股定理；点和圆的位置关系.25．见分析【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出进而得出答AE BE CE DE ===案．解：如图，取的中点，连接，，AB E CE DE∵，，AC BC ⊥AD BD ⊥∴和为直角三角形，ABC A ABD △∴，，12CE AB AE BE ===12DE AB =∴，AE BE CE DE ===∴，，，四点都在以点为圆心，长为半径的圆上．A B C D E AE 【点拨】本题主要考查了四点共圆和直角三角形的性质，得出是AE BE CE DE ===解题的关键．26．点A 在内；点B 在外；点C 在上．O A O A O A 【分析】连接OA 、OB 、OC ，根据点的坐标，分别求出OA 、OB 、OC 的长，和⊙O 的半径4比较即可得出答案．解：连接OA 、OB 、OC ，∵，()2,3A --由勾股定理得 OA 4，=∴点A 与的位置关系是点A 在内；O A O A ∵，(4,2)B -由勾股定理得OB 4，==∴点B 与的位置关系是点B 在外；O A O A∵，(2)C -由勾股定理得OC =4，4=∴点C 与的位置关系是点C 在上．O A O A 【点拨】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理．点与圆的位置关系有三种：①当d =r 时，点在圆上；②当d >r 时，点在圆外；③当d <r 时，点在圆内．27．见分析．试题分析：先做出∠AOB 的角平分线，再求出线段MN 的垂直平分线就得到点P ．试题解析：【点拨】尺规作图角平分线和线段的垂直平分线、圆的性质．28．(1)见分析(2)见分析【分析】（1）连接CO 、BD ，CO 交BD 于点G ，连接AG 并延长交BC 于E ，线段AE 即为所求作；（2）利用（1）的中点E ，过点E 作半径OH ，连接AH 交BC 于点F ，则线段AF 即为所求作．(1)解：如图（1），线段AE 即为△ABC 的中线；；根据三角形三条中线交于一点即可证明；(2)解：如图（2），线段AF 即为△ABC 的角平分线；证明：∵OA =OH ，∴∠HAO =∠H ，∵点O 是AB 的中点，点E 是BC 的中点，∴OE 是△ABC 的中位线，∴OE ∥AC ，∴∠CAH =∠H ，∴∠CAF =∠BAF ，∴AF 为△ABC 的角平分线．【点拨】本题考查了作图-复杂作图，三角形中位线定理，三角形三条中线交于一点，圆的半径相等，等边对等角，平行线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．29．（1）点P 在外；（2）点P 可能在外，也可能在内，还可能在上，O A O A O A O A实际上，点P 位于以A 【分析】（1）点和圆的位置关系有：①在圆外，②在圆上，③在圆内，再逐个判断即可；P （2）点和圆的位置关系有①在圆外，②在圆上，③在圆内，再逐个判断即可．P解：（1），的直径为2PA = O A 点的位置只有一种情况在圆外，∴P 即点与的位置关系是点在圆外．P O A（2）的直径为2PA = O A 点的位置有三种情况：①在圆外，②在圆上，③在圆内．∴P 即点P 可能在外，也可能在内，还可能在上，实际上，点P 位于以A 为O A O A O A【点拨】本题考查了圆的认识的应用，解题的关键是做注意多种情况的考虑，注意：点和圆有三种位置关系：点在圆外，点在圆上，点在圆内．30．共圆，圆心在点O 处【分析】根据三角形中位线的性质，证出四边形EFGH 是平行四边形，根据菱形性质证出四边形EFGH 是矩形，根据矩形性质可得E ，F ，G ，H 到矩形中心的距离相等，从而得出结论．解：点E ，F ，G ，H 四点共圆，圆心在点O 处． 理由如下：连接HE ，EF ，FG ，GH ，OH ，OE ，OF ，OG ．∵E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，∴EF 平行且等于AC , HG 平行且等于AC ，1212∴EF 平行且等于GH∴四边形EFGH 是平行四边形，////,HE GF BD ∴又∵四边形ABCD是菱形⊥∴AC BD∴∠AOB＝90°∴∠HEF＝90°，∴四边形EFGH是矩形，∴E，F，G，H到矩形中心的距离相等∴这个矩形的四个顶点在同一个圆上，圆心即为点O．【点拨】考核知识点：点和圆的位置关系．理解矩形、菱形的判定和性质和点和圆的位置关系是解题关键．。
2022九年级数学上册专题卷二圆中的计算与证明习题课件新版新人教版
先 锋 图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
书 (2)若DE＝BE，求∠C的度数．
解：连接AE.
∵∴D∠ED＝ABEE＝，∠∴EAD B＝E＝
1
， B ∠E CAB＝34°.
∵∴A∠BC是＝直90径°，－∴∠∠DAAE2 EB＝＝9900°°－，3∴4°∠＝A5E6C°＝. 90°，
D．46°
先 锋 图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
书
5．如图，正五边形ABCDE内接于 O，过点A作 O的切线交对角线DB的延长线
于点F，则下列结论错误的是( D )
A．AE∥BD
B．AB＝BF
C．AF∥CD
D．DF＝ 3AF
先 锋 图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
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我们，还在路上……
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月11日星期五2022/3/112022/3/112022/3/11 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/112022/3/112022/3/113/11/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/112022/3/11March 11, 2022
书 6．如图，PA，PB切 O于点A，B，C是优弧 A上B 一点，若∠P＝50°，则
∠C＝ 6.5°
先 锋 图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
人教版九年级数学上册作业课件 第二十四章 圆 专题课堂(九) 与圆的切线有关的计算与证明
3．(2020·威海)如图，△ABC的外角∠BAM的平分线与它的外接圆相交 于点E，连接BE，CE，过点E作EF∥BC，交CM于点D. 求证：(1)BE＝CE； (2)EF为⊙O的切线．
证明：(1)∵四边形ACBE是圆内接四边形，∴∠EAM＝∠EBC，∵AE 平分∠BAM，∴∠BAE＝∠EAM，∵∠BAE＝∠BCE，∴∠BCE＝ ∠EAM，∴∠BCE＝∠EBC，∴BE＝CE (2)如图，连接EO并延长交BC于点H，连接OB，OC，∵OB＝OC，EB ＝EC，∴直线EO垂直平分BC，∴EH⊥BC，∵EF∥BC，∴EH⊥EF， ∵OE是⊙O的半径，∴EF为⊙O的切线
解：(1)连接 OE，∵AM，DE 是⊙O 的切线，OA，OE 是⊙O 的半径，
∴∠ADO＝∠EDO，∠DAO＝∠DEO＝90°，∴∠AOD＝∠EOD＝12
∠AOE.∵∠ABE＝21 ∠AOE，∴∠AOD＝∠ABE，∴OD∥BE (2)OF＝12 CD.理由：连接 OC，∵BC，CE 是⊙O 的切线，∴∠OCB＝ ∠OCE.∵AM∥BN，∴∠ADO＋∠EDO＋∠OCB＋∠OCE＝180°.由(1) 得∠ADO＝∠EDO，∴2∠EDO＋2∠OCE＝180°，∴∠EDO＋∠OCE ＝90°.∴△DOC 为直角三角形．在 Rt△DOC 中，∵F 是 DC 的中点，
解：(1)连接OC，如图，∵CE为切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE＝90°， 即∠1＋∠4＝90°，∵DO⊥AB，∴∠3＋∠B＝90°，而∠2＝∠3， ∴∠2＋∠B＝90°，而OB＝OC，∴∠4＝∠B，∴∠1＝∠2，∴CE＝EF
(2)如图，连接OG，EG，①当∠D＝30°时，∠DAO＝60°，而AB为直径， ∴∠ACB＝90°，∴∠B＝30°，∴∠3＝∠2＝60°，而CE＝FE， ∴△CEF为等边三角形，∴CE＝CF＝EF，同理可得∠GFE＝60°，利用 对称得FG＝FC，∴FG＝EF，∴△FEG为等边三角形，∴EG＝FG，∴EF ＝FG＝GE＝CE，∴四边形ECFG为菱形 ②当∠D＝22.5°时，∠DAO＝67.5°，而OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC ＝67.5°，∴∠AOC＝180°－67.5°－67.5°＝45°，∴∠COE＝45°， 利用对称得∠EOG＝45°，∴∠COG＝90°，易得△OEC≌△OEG， ∴∠OGE＝∠OCE＝90°，∴四边形ECOG为矩形，而OC＝OG，∴四边 形ECOG为正方形．故答案为：①30°；②22.5°
人教版九年级数学上册与圆有关的计算测试题.doc
初中数学试卷桑水出品与圆有关的计算测试题一，填空题：1．小刚制作了一个高12cm ，底面直径为10cm 的圆锥，这个圆锥的侧面积是 cm 2.2，用圆心角为︒120，半径为cm 6的扇形做成一个无底的圆锥侧面，则此圆锥的底面半径为cm ____ 3，已知扇形的半径为3cm,扇形的弧长为πcm,则扇形的圆心角为______° 4，如图，在ABC △中，90A ∠=o，4BC =cm ，分别以B C ，为圆心的两个等圆外切，则图中阴影部分的面积为 2cm ．4题图 5题图 6题图5．如图5，两个同心圆的半径分别为2和1，oAOB 120∠=，则阴影部分的面积为 6．如图，正六边形内接于圆O ，圆O 的半径为10，则圆中阴影部分的面积为 ．7，制作一个圆锥模型，已知圆锥底面圆的半径为3.5cm ，侧面母线长为6cm ，则此圆锥侧面展开图的扇形圆心角为 度．8．如图所示，边长为2的等边三角形木块，沿水平线l 滚动，则A 点从开始至结束所走过的路线长为_______（结果保留准确值）．9．如图，小明想用图中所示的扇形纸片围成一个圆锥，已知扇形的半径为5cm ，弧长是6πcm ，那么围成的圆锥的高度是 cm ．10．如图，圆锥的轴截面（过圆锥顶点和底面圆心的截面）是边长为4cm 的等边三角形ABC ，点D 是母线AC 的中点，一只蚂蚁从点B 出发沿圆锥的表面爬行到点D 处，则这只蚂蚁爬行的最短距离是 cm ．11．如图，在Rt ABC △中，903CAC ∠==o ，．将其绕B 点顺时针旋转一周，则分别以BA BC ，为半径的圆形成一圆环．则该圆环的面积为 ． 12．已知：如图，边长为a 的正ABC △内有一边OBACA BCl8题图ADEF △，则AEF △的内切圆半径为长为b 的内接正二、选择题13题图 14题图 13．如图，等边ABC △的边长为12cm ，内切O e 切BC 边于D 点，则图中阴影部分的面积为（ ） A ．2πcm B ．32πcm C ． 22πcm D ．32πcm 14.如图，小明从半径为5cm 的圆形纸片中剪下40%圆周的一个扇形，然后利用剪下的扇形制作成一个圆锥形玩具纸帽（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为( )A.3cmB.4cmC.21cm D.62cm15．如图，扇形OAB 是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1 cm ，则这个圆锥的底面半径为( )A ．22cm B ．2cm C ．22cm D ．21cm 三、解答题1、一个小孩荡秋千，秋千的链子长为2.5m ，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边摆动角度相同。
人教版数学九年级上册 圆 几何综合专题练习(word版
人教版数学九年级上册 圆 几何综合专题练习（word 版一、初三数学 圆易错题压轴题（难）1．如图，∠ABC=45°，△ADE 是等腰直角三角形，AE=AD ，顶点A 、D 分别在∠ABC 的两边BA 、BC 上滑动（不与点B 重合），△ADE 的外接圆交BC 于点F ，点D 在点F 的右侧，O 为圆心．（1）求证：△ABD ≌△AFE（2）若AB=42，82＜BE ≤413，求⊙O 的面积S 的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）16π＜S ≤40π【解析】试题分析：（1）利用同弧所对的圆周角相等得出两组相等的角，再利用已知AE=AD ，得出三角形全等；（2）利用△ABD ≌△AFE ，和已知条件得出BF 的长，利用勾股定理和2＜BE 13EF,DF 的取值范围，24S DE π=，所以利用二次函数的性质求出最值.试题解析：（1）连接EF ，∵△ADE 是等腰直角三角形，AE=AD ，∴∠EAD=90°，∠AED=∠ADE=45°，∵AE AE = ， ∴∠ADE=∠AFE=45°，∵∠ABD=45°，∴∠ABD=∠AFE ，∵AF AF =，∴∠AEF=∠ADB ，∵AE=AD ，∴△ABD ≌△AFE ；（2）∵△ABD ≌△AFE ，∴BD=EF ，∠EAF=∠BAD ，∴∠BAF=∠EAD=90°，∵42AB =，∴BF=2cos cos45AB ABF =∠=8， 设BD=x ，则EF=x ，DF=x ﹣8，∵BE 2=EF 2+BF 2， 82＜BE ≤413 ， ∴128＜EF 2+82≤208，∴8＜EF ≤12，即8＜x ≤12，则()222844S DE x x ππ⎡⎤==+-⎣⎦=()2482x ππ-+， ∵2π＞0， ∴抛物线的开口向上，又∵对称轴为直线x=4，∴当8＜x ≤12时，S 随x 的增大而增大，∴16π＜S ≤40π．点睛：本题的第一问解题关键是找到同弧所对的圆周角，第二问的解题关键是根据第一问的结论计算得出有关线段的长度，由于出现线段的取值范围，所以在这个问题中要考虑勾股定理的问题，还要考虑圆的面积问题，得出二次函数，利用二次函数的性质求出最值.2．已知：图1 图2 图3（1）初步思考：如图1， 在PCB ∆中，已知2PB =，BC=4，N 为BC 上一点且1BN =，试说明：12PN PC = （2）问题提出：如图2，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +的最小值． （3）推广运用：如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B ﹦60°，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC -的最大值． 【答案】（1）详见解析；（2）5；（3）最大值37DG =【解析】【分析】（1）利用两边成比例，夹角相等，证明BPN ∆∽BCP ∆，得到PN BN PC BP =，即可得到结论成立；（2）在BC 上取一点G ，使得BG=1，由△PBG ∽△CBP ，得到12PG PC =，当D 、P 、G 共线时，12PD PC +的值最小，即可得到答案； （3）在BC 上取一点G ，使得BG=1，作DF ⊥BC 于F ，与（2）同理得到12PG PC =，当点P 在DG 的延长线上时，12PD PC -的值最大，即可得到答案. 【详解】（1）证明：∵2,1,4PB BN BC ===，∴24,4PB BN BC =⋅=，∴2PB BN BC =⋅，∴BN BP BP BC=， ∵B B ∠=∠，∴BPN BCP ∆∆∽，∴12PN BN PC BP ==， ∴12PN PC =； （2）解：如图，在BC 上取一点G ，使得BG=1，∵242,212PB BC BG PB ====， ∴,PB BC PBG PBC BG PB=∠=∠，∴PBG CBP ∆∆∽， ∴12PG BG PC PB ==， ∴12PG PC =， ∴12PD PC DP PG +=+； ∵DP PG DG +≥， ∴当D 、P 、G 共线时，12PD PC +的值最小， ∴最小值为：22435DG =+=；（3）如图，在BC 上取一点G ，使得BG=1，作DF ⊥BC 于F ，与（2）同理，可证12PG PC =， 在Rt △CDF 中，∠DCF=60°，CD=4，∴DF=CD •sin60°=23CF=2，在Rt △GDF 中，22(23)537+=，∴12PD PC PD PG DG -=-≤， 当点P 在DG 的延长线上时，12PD PC -的值最大， ∴最大值为：37DG =【点睛】本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．3．四边形ABCD 的对角线交于点E ，有AE =EC ，BE =ED ，以AB 为直径的O 过点E ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形．（2）若CD 的延长线与圆相切于点F ，已知直径AB =4．求阴影部分的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）513π-【解析】试题分析：（1）先由AE=EC 、BE=ED 可判定四边形为平行四边形，再根据∠AEB=90°可判定该平行四边形为菱形；（2）连接OF ，过点D 作DP ,AB P E EQ AB ⊥⊥于过点作于Q ，分别求出扇形BOE 、△AOE、半圆O 的面积，即可得出答案.试题解析：（1）AE =EC ，BE =ED∴ABCD 四边形为平行四边形∵90AB AEB ∠∴=︒是直径∴ABCD 平行四边形是菱形（2）连接OF ，过点D 作DP ,AB P E EQ AB ⊥⊥于过点作于QCF 切O 于点F∴90OFC ∠=︒∵ABCD 四边形是菱形，∴,90CD AB BOF OFD DPO ∠∠∠∴===︒∴FOPD DP OF ∴=四边形是矩形ABCD 四边形是菱形，AB AD ∴=∵11,3022OF AB DP AD DAB ∠=∴=∴=︒ ∴ABCD 四边形是菱形∴1152CAB DAB ∠=∠=︒ ∴180215150AOE ∠=︒-⨯︒=︒∴3090EOB EQO ∠∠=︒=︒∴112EQ OE==21502360 S阴影π⨯∴=-15211 23π⨯⨯=-点睛：本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性质并结合题意加以灵活运用是解题的关键．4．如图1，四边形ABCD中，、为它的对角线，E为AB边上一动点（点E不与点A、B重合），EF∥AC交BC于点F，FG∥BD交DC于点G，GH∥AC交AD于点H，连接HE．记四边形EFGH的周长为，如果在点的运动过程中，的值不变，则我们称四边形ABCD为“四边形”，此时的值称为它的“值”．经过探究，可得矩形是“四边形”．如图2，矩形ABCD中，若AB=4，BC=3，则它的“值”为．（1）等腰梯形（填“是”或“不是”）“四边形”；（2）如图3，是⊙O的直径，A是⊙O上一点，，点为上的一动点，将△沿的中垂线翻折，得到△．当点运动到某一位置时，以、、、、、中的任意四个点为顶点的“四边形”最多，最多有个．【答案】“值”为10；（1）是；（2）最多有5个．【解析】试题分析：仔细分析题中“四边形”的定义结合矩形的性质求解即可；（1）根据题中“四边形”的定义结合等腰梯形的性质即可作出判断；（2）根据题中“四边形”的定义结合中垂线的性质、圆的基本性质即可作出判断.矩形ABCD中，若AB=4，BC=3，则它的“值”为10；（1）等腰梯形是“四边形”；（2）由题意得当点运动到某一位置时，以、、、、、中的任意四个点为顶点的“四边形”最多，最多有5个.考点：动点问题的综合题点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．5．已知：ABC内接于O，过点B作O的切线，交CA的延长线于点D，连接OB．（1）如图1，求证：DAB DBC ∠=∠；（2）如图2，过点D 作DM AB ⊥于点M ，连接AO ，交BC 于点N ，BM AM AD =+，求证：BN CN =；（3）如图3，在（2）的条件下，点E 为O 上一点，过点E 的切线交DB 的延长线于点P ，连接CE ，交AO 的延长线于点Q ，连接PQ ，PQ OQ ⊥，点F 为AN 上一点，连接CF ，若90DCF CDB ∠+∠=︒，tan 2ECF ∠=，12ON OQ =，10PQ OQ +=求CF 的长．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）10=CF【解析】【分析】（1）延长BO 交O 于G ，连接CG ，根据切线的性质可得可证∠DBC ＋∠CBG=90°，然后根据直径所对的圆周角是直角可证∠CBG ＋∠G=90°，再根据圆的内接四边形的性质可得∠DAB=∠G ，从而证出结论；（2）在MB 上截取一点H ，使AM=MH ，连接DH ，根据垂直平分线性质可得DH=AD ，再根据等边对等角可得∠DHA=∠DAH ，然后根据等边对等角和三角形外角的性质证出∠ABC=∠C ，可得AB=AC ，再根据垂直平分线的判定可得AO 垂直平分BC ，从而证出结论；（3）延长CF 交BD 于M ，延长BO 交CQ 于G ，连接OE ，证出tan ∠BGE=tan ∠ECF=2，然后利用AAS 证出△CFN ≌△BON ，可设CF=BO=r ，ON=FN=a ，则OE=r ，根据锐角三角函数和相似三角形即可证出四边形OBPE 为正方形，利用r 和a 表示出各线段，最后根据10PQ OQ +=a 和CF ．【详解】解：（1）延长BO 交O 于G ，连接CG∵BD 是O 的切线∴∠OBD=90°∴∠DBC ＋∠CBG=90°∵BG 为直径∴∠BCG=90°∴∠CBG ＋∠G=90°∴∠DBC=∠G∵四边形ABGC 为O 的内接四边形∴∠DAB=∠G∴∠DAB=∠DBC（2）在MB 上截取一点H ，使AM=MH ，连接DH∴DM 垂直平分AH∴DH=AD∴∠DHA=∠DAH∵BM AM AD =+，=+BM MH BH∴AD=BH∴DH=BH∴∠HDB=∠HBD∴∠DHA=∠HDB ＋∠HBD=2∠HBD由（1）知∠DAB=∠DBC∴∠DHA=∠DAB=∠DBC∴∠DBC =2∠HBD∵∠DBC =∠HBD ＋∠ABC∴∠HBD=∠ABC ，∠DBC=2∠ABC∴∠DAB=2∠ABC∵∠DAB=∠ABC ＋∠C∴∠ABC=∠C∴AB=AC∴点A 在BC 的垂直平分线上∵点O 也在BC 的垂直平分线上∴AO 垂直平分BC∴BN CN =（3）延长CF 交BD 于M ，延长BO 交CQ 于G ，连接OE ，∵90DCF CDB ∠+∠=︒∴∠DMC=90°∵∠OBD=90°∴∠DMC=∠OBD∴CF ∥OB∴∠BGE=∠ECF ，∠CFN=∠BON ，∴tan ∠BGE=tan ∠ECF=2由（2）知OA 垂直平分BC∴∠CNF=∠BNO=90°，BN=CN∴△CFN ≌△BON∴CF=BO ，ON=FN ，设CF=BO=r ，ON=FN=a ，则OE=r ∵12ON OQ = ∴OQ=2a∵CF ∥OB∴△QGO ∽△QCF∴=OG QO CF QF 即2122==++OG a r a a a ∴OG=12r 过点O 作OE ′⊥BG ，交PE 于E ′ ∴OE ′=OG ·tan ∠BGE=r=OE ∴点E ′与点E 重合∴∠EOG=90°∴∠BOE=90°∵PB 和PE 是圆O 的切线∴∠OBP=∠OEP=∠BOE=90°，OB=OE=r ∴四边形OBPE 为正方形 ∴∠BOE=90°，PE=OB=r ∴∠BCE=12∠BOE==45° ∴△NQC 为等腰直角三角形 ∴NC=NQ=3a ，∴BC=2NC=6a在Rt △CFN 中，= ∵PQ OQ ⊥∴PQ ∥BC∴∠PQE=∠BCG∵PE ∥BG∴∠PEQ=∠BGC∴△PQE ∽△BCG ∴=PQ PE BC BG即126=+PQ r r a r 解得：PQ=4a∵PQ OQ += ∴4a ＋2a=解得：∴=10【点睛】此题考查的是圆的综合大题，难度较大，掌握圆的相关性质、相似三角形的判定及性质、锐角三角函数、勾股定理、全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质、正方形的判定及性质是解决此题的关键．6．如图．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC =，10AB =，DE 是ABC 的中位线，连结BD ，点F 是边BC 上的一个动点，连结AF 交BD 于H ，交DE 于G ． (1)当点F 是BC 的中点时，求DHBH的值及GH 的长 (2) 当四边形DCFH 与四边形BEGH 的面积相等时，求CF 的长： (3)如图2．以CF 为直径作O ．①当O 正好经过点H 时，求证：BD 是O 的切线：②当DHBH的值满足什么条件时，O 与线段DE 有且只有一个交点．【答案】（1）12DH BH =，13GH =；（2）83CF =；（3）①见解析；②当32DH BH =或2514DH BH >时，O 与线段DE 有且只有一个交点． 【解析】 【分析】（1）根据题意得H 为ABC 的重心，即可得DHBH的值，由重心和中位线的性质求得16=GH AF ，由勾股定理求得AF 的长，即可得GH 的长； （2）根据图中面积的关系得S 四边形DCFG =DEBS ，列出关系式求解即可得CF 的长；（3）根据O 与线段DE 有且只有一个交点，可分两类情况讨论：当O 与DE 相切时，求得DHBH的值；当O 过点E ，此时是O 与线段DE 有两个交点的临界点，即可得出O 与线段DE 有且只有一个交点时DHBH满足的条件． 【详解】解：（1）∵DE 是ABC 的中位线， ∴,D E 分别是,AC AB 的中点，//DE BC ， 又∵点F 是BC 的中点，∴BD 与AF 的交点H 是ABC 的重心，:1:2DH BH ∴=，即12DH BH =；:1:2=HF AH ， ∴13=HF AF ， 在ACF 中，D 为AC 中点，//DE BC ，则//DG CF ，∴DG 为ACF 的中位线，G 为AF 的中点，12∴=GF AF ， 111236∴=-=-=GH GF HF AF AF AF ， 在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC =，10AB =，8BC ∴===，则142==CF BC ，AF ∴=163∴=⨯=GH ； （2）∵四边形DCFH 与四边形BEGH 的面积相等， ∴S 四边形DCFH +DGH S =S 四边形BEGH +DGHS，即S 梯形DCFG =DEBS，∵6AC =，8BC =，DE 是ABC 的中位线， ∴3CD =，4DE =，∵1143622=⋅⋅=⨯⨯=DEBSDE CD ， 设2CF a =，∵DG 为ACF 的中位线，∴12==DG CF a ， 则S 梯形DCFG ()3(2)622+⋅==+=DG CF CD a a ，解得：43a =， 823∴==CF a ；（3）①证明：如图2，连结、CH OH ，CF 为O 的直径，O 经过点H ，90∴∠=︒FHC ，∴90∠=∠=︒AHC FHC ，AHC 为直角三角形， D 为AC 的中点，12∴==DH AC CD ，∠∠∴=DCH DHC ． 又OC OH =，∴∠=∠OCH OHC ，∴∠+=∠+OCH DCH OHC DHC ，即90∠=∠=︒DHO ACB ， ∴BH BD ⊥，即BD 是O 的切线；②如图3-1，当O 与DE 相切时，O 与线段DE 有且只有一个交点，设O 的半径为r ，圆心O 到DE 的距离为d ，∴当r=d 时，O 与DE 相切，∵//DE CF ，90ACB ∠=︒，3CD =， ∴两平行线、DE CF 之间的距离为3CD =， ∴3r =，则6CF =，1862,32=-=-===BF BC CF DG CF ， 由//DE CF 得：DGHBFH ，32DH DG BH BF ∴==； 如图3-2，当O 经过点E 时，连接OE 、OG ，设O 的半径为r ，即==OE OC r ，∵G 为AF 的中点，O 为CF 的中点， ∴//OG CD ，∴四边形COGD 为平行四边形， 又∵90ACB ∠=︒， ∴四边形COGD 为矩形，∴90∠=︒DGO ，则90∠=︒OGE ，OGE 为直角三角形， ∴=3=OG CD ，==DG OC r ， 则4=-=-GE DE DG r ，由勾股定理得：222+=OG GE OE ，即2223(4)+-=r r ，解得：258r =，则258==OE OC ，2524==CF r257258,448∴=-=-===BF BC CF DG OC ，由//DE BC 得：DGH BFH ，252514874∴===DH DG BH BF ，则当2514DH BH >时，O 与线段DE 有且只有一个交点；综上所述，当32DH BH =或2514DH BH >时，O 与线段DE 有且只有一个交点． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的性质与判定、中位线的性质等知识，解题的关键是灵活添加常用的辅助线，属于中考压轴题．7．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，30CAB ∠=︒，10AB =，点D 在线段AB 上，2AD =．点P 从D 点出发，沿DB 方向运动，以DP 为直径作O ，当P 运动到点B 时停止运动，设DP m =．（1）AO =___________，BP =___________．（用m 的代数式表示） （2）当m 为何值时，O 与ABC ∆的一边相切？（3）在点P 整个运动过程中，过点P 作O 的切线交折线AC CB -于点E ，将线段EP绕点E 顺时针旋转60︒得到EF ，过F 作FG EP ⊥于G ．①当线段FG 长度达到最大时，求m 的值；②直接写出点F 所经过的路径长是________．（结果保留根号） 【答案】（1）22mAO =+，8BP m =-；（2）4m =或32348m =；（3）①1121153762【解析】 【分析】（1）观察图中AO 和DP 的数量关系可得22DPAO =+，而BP AB AP =-，将DP m =代入即可.（2）O 与ABC ∆的一边相切有两种情况，先与AC 相切，再与BC 相切；两种情况的解答方法都是连接圆心与切点，构造直角三角形，根据条件所给的特殊角的三角函数解答. （3）①根据旋转的性质可得PF PE =，在Rt EFG ∆中根据三角函数可得cos30FG PE ︒=⋅，故当E 点与C 点重合，PE 取得最大值时，FG 有最大值，解之即可.②明显以E点与C点重合前后为节点，点F的运动轨迹分两部分，第一部分为从P开始运动到E点与C点重合，即图中的12F F，根据1212F F AC AF CF=--求解；第二部分，根据tanEF EPEBFEB EB∠==为定值可知其轨迹为图中的2F B，在2Rt F BC中用勾股定理求解即可.【详解】（1）2222DP mAO=+=+，8BP AB AP m=-=-（2）情况1：与AC相切时，Rt AOH∆中，∵30A∠=︒∴2AO OH=∴22mm+=解得4m=情况2：与BC相切时，Rt BON∆中，∵60B∠=︒∴3cosONBOB==即32282mm=-解得32348m=-（3）①在Rt EFG∆中，∵30EFG A∠=∠=︒，90EGF∠=︒，∴3cos30cos302FG EF PE EP ︒︒=⋅=⋅=， ∴当FG 最大时即PE 最大当点E 与点C 重合时，PE 的值最大．易知此时53553AC BC EP AB ⨯⨯===． 在Rt EAP ∆中，∵30A ∠=︒∴1532AP EP == ∴1511222m DP ==-= （3）F 轨迹如图：从1F 到2F 到B1133233AF AE EF AD PE =-=-==, 253CF CP ==， 故1212235311353326F F AC AF CF =--=-=， 2F 到B 轨迹是线段理由如下：∵60FEP ∠=︒，30PEB ∠=︒，∴90FEB ∠=︒． ∴tan EF EPEBF EB EB∠==为定值， ∴点F 的第二段的轨迹是线段2BF ．在2Rt F BC 中，222222535752BF BC F C ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭, 所以点F 1153762【点睛】本题是综合了圆的性质，直线与圆相切的条件，锐角三角函数，勾股定理以及旋转的性质等知识的动点动图问题，熟练掌握各个知识点是基础，充分理解题意并作图，化动为静是解答关键.8．如图①②，在平面直角坐标系中，边长为2的等边CDE ∆恰好与坐标系中的OAB ∆重合，现将CDE ∆绕边AB 的中点(G G 点也是DE 的中点），按顺时针方向旋转180︒到△1C DE 的位置． （1）求1C 点的坐标；（2）求经过三点O 、A 、1C 的抛物线的解析式； （3）如图③，G 是以AB 为直径的圆，过B 点作G 的切线与x 轴相交于点F ，求切线BF 的解析式；（4）抛物线上是否存在一点M ，使得:16:3AMF OAB S S ∆∆=．若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）13)C ；（2）23333y x x =-；（3）32333y x =+；（4）1283834,,2,33M M ⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭． 【解析】 【分析】（1）利用中心对称图形的性质和等边三角形的性质，可以求出． （2）运用待定系数法，代入二次函数解析式，即可求出．（3）借助切线的性质定理，直角三角形的性质，求出F ，B 的坐标即可求出解析式． （4）当M 在x 轴上方或下方，分两种情况讨论． 【详解】解：（1）将等边CDE ∆绕边AB 的中点G 按顺时针方向旋转180︒到△1C DE ， 则有，四边形'OAC B 是菱形，所以1C 的横坐标为3， 根据等边CDE ∆的边长是2， 利用等边三角形的性质可得13)C ；（2）抛物线过原点(0,0)O ，设抛物线解析式为2y ax bx =+，把(2,0)A，C '代入，得42093a b a b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得3a =，b =∴抛物线解析式为233y x x =-；（3）90ABF ∠=︒，60BAF ∠=︒，30AFB ∴∠=︒， 又2AB =， 4AF ∴=， 2OF ∴=，(2,0)F ∴-，设直线BF 的解析式为y kx b =+，把B ，(2,0)F -代入，得20k b k b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得k =b = ∴直线BF的解析式为33y x =+；（4）①当M 在x轴上方时，存在2()M x ，211:[4)]:[216:322AMF OAB S S ∆∆=⨯⨯⨯=，得2280x x --=，解得14x =，22x =-， 当14x =时，244y ， 当12x =-时，2(2)(2)y =--=1M ∴，2(M -； ②当M 在x轴下方时，不存在，设点2()M x x ，211:[4)]:[216:322AMF OAB S S ∆∆=-⨯⨯⨯=，得2280x x -+=，240b ac -<无解， 综上所述，存在点的坐标为183(4,)M ，283(2,)M -． 【点睛】此题主要考查了旋转，等边三角形的性质，菱形的判定和性质，以及待定系数法求解二次函数解析式和切线的性质定理等，能熟练应用相关性质，是解题的关键．9．已知点A 为⊙O 外一点，连接AO ，交⊙O 于点P ，AO=6．点B 为⊙O 上一点，连接BP ，过点A 作CA ⊥AO ，交BP 延长线于点C ，AC=AB ．（1）判断直线AB 与⊙O 的位置关系，并说明理由． （2）若3 PB 的长．（3）若在⊙O 上存在点E ，使△EAC 是以AC 为底的等腰三角形，则⊙O 的半径r 的取值范围是___________．【答案】（1）AB 与⊙O 相切 ，理由见解析；（2）43PB =3656r ≤< 【解析】 【分析】（1）连接OB ，有∠OPB=∠OBP ，又AC=AB ，则∠C=∠ABP ，利用∠CAP=90°，即可得到结论成立；（2）由AB=AC ，利用勾股定理先求出半径，作OH ⊥BP 与H ，利用相似三角形的判定和性质，即可求出PB 的长度； （3）根据题意得出OE=12AC=122216r 2-22162r r -≤，即可求出取值范围． 【详解】解：（1）连接OB ，如图：∵OP=OB ，∴∠OPB=∠OBP=∠APC ，∵AC=AB ，∴∠C=∠ABP ，∵AC ⊥AO ，∴∠CAP=90°，∴∠C+∠APC=90°，∴∠ABP+∠OBP=90°，即OB ⊥AB ，∴AB 为切线；（2）∵AB=AC∴22AB AC =，∴2222CP AP OA OB -=-，设半径为r ，则2222(43)(6)6r r --=-解得：r=2；作OH ⊥BP 与H ，则△ACP ∽△HOP ，∴PH OP AP CP=，即443PH = ∴33PH =,∴4323PB PH ==； （3）如图，作出线段AC 的垂直平分线MN ，作OE ⊥MN ，∴四边形AOEM 是矩形，∴OE=AM=12AC=1222162r - 又∵圆O 与直线MN 有交点，∴22162r r -， 2262r r -≤，∴22364r r -≤， ∴65r ≥ 又∵圆O 与直线AC 相离，∴r ＜6， 656r ≤<． 【点睛】此题主要考查了圆的综合以及切线的判定与性质和勾股定理以及等腰三角形的性质等知识，得出EO 与AB 的关系进而求出r 取值范围是解题关键．10．在O 中，AB 为直径，CD 与AB 相较于点H ，弧AC=弧AD（1）如图1，求证：CD AB ⊥;（2）如图2，弧BC 上有一点E ，若弧CD=弧CE ，求证：3EBA ABD ∠=∠;（3）如图3，在（2）的条件下，点F 在上，连接,//FH FH DE ，延长FO 交DE 于点K ，若1655FK DB BE ==，求AB ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）185AB=．【解析】【分析】（1）连接,OC OD,根据AC AD=得出COA DOA∠=再根据OC OD=得出OCD ODC∠=∠，从而得证；（2）连接,BC BD,根据AC AD=得出,BC BD BA CD=⊥，CBA ABD∠=∠，再根据CE CD=,得出CBE CBD∠=∠,从而得出结论；（3）作,CM DB CN BE⊥⊥，过点P作,PT BE PS BD⊥⊥，,5BE BP a DB a===先证CDM CEN∆≅∆，DM EN=，再证,CMB CNB BM BN∆≅∆=，设DM b=，得出2b a=，再算出,CM CD得出CPD∆为等腰三角形，再根据BP是角平分线利用角平分线定理得出BCPEBPS DP BDS PE BE∆==，从而算出,PE DE,再根据三角函数值算出BG,,,,AB r OG OH，再根据//FH DE得出HO OFGO OK=，从而计算AB．【详解】（1）连接OC，CD因为AC AD=，所以COA DOA∠=∠OC OD=，,OA CD CD AB∴⊥∴⊥;(2)连接BC，,BC BD BA CD=⊥所以AB平分CBD∠，设ABD ABCα∠=∠=2CBDα∴∠=CD CE∴=2CBE CBDα∴∠=∠=，3EBAα∴∠=3EBA ABD∴∠=∠．(3) 2,90EBC BPE PEBαα︒∠=∠=∠=-设,5BE BP a DB a===作,CM DB CN BE⊥⊥，可证：CDM CEN∆≅∆，DM EN=，再证：,CMB CNB BM BN∆≅∆=设,5,2DM EN b a b a b b a==+=-∴=在CBM∆中勾股4CM a=在CDM∆中勾股25CD a=得CPD∆为等腰三角形25DP DC a==因为BP为角平分线，过点P作,PT BE PS BD⊥⊥可证：5BCPEBPS DP BDS PE BE∆===2525,PE DE∴==14tan,tan223αα==2555,BG AB∴==557535,,4124r a OG a OH a===//FH DE97HO OFGO OK∴==99518516OF KF AB===【点睛】本题是一道圆的综合题目，难度较大，考查了圆相关的性质以及与三角形综合，掌握相关的线段与角度转化是解题关键．。
人教版九年级数学上册《圆》练习题——圆有关概念、垂径定理.docx
21O C初中数学试卷 桑水出品《圆》练习题——圆有关概念、垂径定理一、选择题：1、已知圆内一条弦与直径相交成300角，且分直径成1和5两部分，则这条弦的弦心距是：A 、B 、1C 、2D 、25 2、AB 、CD 是⊙O 内两条互相垂直的弦，相交于圆内P 点，圆的半径为5，两条弦的长均为8，则OP 的长为：A 、32B 、3C 、33D 、253、⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，⊙O 的半径为2，则等边三角形ABC 的边长为（ ） A 3 B 5C ．3 D ．54、如图2，⊙O 的弦AB =6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 的半径为（ ）A ．5 B ．4 C ．3 D ．25、高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（ ）A ．5 B ．7 C ．375 D ．3776、如图，圆弧形桥拱的跨度AB ＝12米，拱高CD ＝4米，则拱桥的半径为（ ）A ．6.5米B ．9米C ．13米D ．15米7、如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AB 是直径．若80BOC ∠=°，则A ∠等于（ ） A ．60° B ．50° C ．40° D ．30°8、如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径C P O B AD 为13米，则拱高为( )A ．5米B ．8米C ．7米D ．53米二、填空题：9、若⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，则圆心O 到AB 的距离是_____。
10、若圆的半径为2，圆中一条弦长为23，则此弦中点到此弦所对劣弧的中点的距离为_____。
11、⊙O 的半径为5，AB 、CD 为⊙O 的两条弦，且AB ∥CD ，AB ＝6，CD ＝8，则AB 与CD 之间的距离为_____。
12、若圆的半径是2cm,一条弦长是32,则圆心到该弦的距离是______.13、在⊙O 中,弦AB 为24,圆心到弦的距离为5,则⊙O 的半径是______cm.14、若AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于E,AE=9cm,BE=16cm,则CD=______cm.15、若⊙O 的半径是13cm,弦AB=24cm,弦CD=10cm,AB ∥CD,则弦AB 与CD 之间的距离是______cm.16、⊙O 的半径是6,弦AB 的长是6,则弧AB 的中点到AB 的中点的距离是______.17、某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图（2）所示，已知AB ＝16m ，半径OA ＝10m ，则中间柱CD 的高度为 m ．18、如图，⊙O 的半径OA ＝10cm ，M 为AB 上一动点，则点M 到圆心O 的最短距离为___________cm 。
人教版数学九年级上册 圆 几何综合专题练习(解析版)
人教版数学九年级上册圆几何综合专题练习（解析版）一、初三数学圆易错题压轴题（难）1．如图，抛物线的对称轴为轴，且经过(0，0)，()两点，点P在抛物线上运动，以P为圆心的⊙P经过定点A(0，2)，(1)求的值；(2)求证：点P在运动过程中，⊙P始终与轴相交；(3)设⊙P与轴相交于M，N(＜)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．【答案】（1）a=，b=c=0；（2）证明见解析；（3）P的纵坐标为0或4+2或4﹣2．【解析】试题分析：（1）根据题意得出二次函数一般形式进而将已知点代入求出a，b，c的值即可；（2）设P（x，y），表示出⊙P的半径r，进而与x2比较得出答案即可；（3）分别表示出AM，AN的长，进而分别利用当AM=AN时，当AM=MN时，当AN=MN 时，求出a的值，进而得出圆心P的纵坐标即可．试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，∴抛物线的一般式为：y=ax2，∴=a（）2，解得：a=±，∵图象开口向上，∴a=，∴抛物线解析式为：y=x2，故a=，b=c=0；（2）设P（x，y），⊙P的半径r=，又∵y=x2，则r=，化简得：r=＞x2，∴点P在运动过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设P（a，a2），∵PA=，作PH⊥MN于H，则PM=PN=，又∵PH=a2，则MH=NH==2，故MN=4，∴M（a﹣2，0），N（a+2，0），又∵A（0，2），∴AM=，AN=，当AM=AN时，=，解得：a=0，当AM=MN时，=4，解得：a=2±2（负数舍去），则a2=4+2；当AN=MN时，=4，解得：a=﹣2±2（负数舍去），则a2=4﹣2；综上所述，P的纵坐标为0或4+2或4﹣2．考点：二次函数综合题．2．如图，二次函数y=x 2-2mx+8m 的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边且OA≠OB ),交y 轴于点C ，且经过点（m ，9m ）,⊙E 过A 、B 、C 三点。
人教版九年级上册数学圆的切线相关证明题练习
人教版九年级上册数学圆的切线相关证明题练习1．如图，以△ABC 的边BC 为直径作△O ，点A 在△O 上，点D 在线段BC 的延长线上，AD ＝AB ，△D ＝30°．(1)求证：直线AD 是△O 的切线；(2)若直径BC ＝4，求图中阴影部分的面积．2．如图，O 是ABC 的外接圆，其切线AE 与直径BD 的延长线相交于点E ，且60ACB ∠=︒．(1)求证：AE AB =；(2)若2DE =，求O 的半径．3．图，AB 为△O 的直径，C 为△O 上一点，CD 垂直AB,垂足为D ，在AC 延长线上取点E，使，CBE=，BAC，4．如图，BE为△O的直径，点A和点D是△O上的两点，连接AE，AD，DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使△EAC=△ED A．(1)求证：AC是△O的切线；(2)若AD△BC于点F，DE=4，OF=2，求图中阴影部分的面积．5．如图，AB为△O的切线，B为切点，过点B作BC△OA，垂足为点E，交△O于点C，延长CO与AB的延长线交于点D．(1)求证：AC为△O的切线；(2)若OC＝2，OD＝5，求线段AD和AC的长．6．如图，在Rt△ABC中，△ABC＝90°，△BAC的平分线交BC于点O，D为AB上的一点，OD＝OC，以O为圆心，OB的长为半径作△O．7．如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝1，BC ＝CD ，以点A 为圆心，AB 为半径的△O 交AC 于点E ，12CBE CAB ∠=∠．(1)求证：BC 是△A 的切线；(2)△当CE ＝______时，四边形ABCD 是正方形；△当CE ＝______时，以点A ，B ，E ，D 为顶点的四边形是菱形．8．如图，AB 、CD 为O 的直径，AB CD ⊥，点E 为BC 上一点，点F 为EC 延长线上一点，FAC AEF ∠=∠．连接ED ，交AB 于点G ．(1)证明：AF 为O 的切线；(2)证明：AF AG =；(3)若O 的半径为2，G 为OB 的中点，AE 的长．9．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分BC ，BE 平分△ABC 交AD 于点E ．点O 在AB 边上，以点O 为圆心的△O 经过B 、E 两点，交AB 于点F ．(1)求证：AE 是△O 的切线；(2)若△BAC ＝60°，AC ＝12，求阴影部分的面积．10．如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上一点（与点A ，B 不重合），过点C 作直线MN ，使得∠=∠ACN ABC ．(1)求证：直线MN 是O 的切线．(2)点D 为直线MN 上一点，连接AD ，交O 于点E ，若AC 平分BAD ∠，3,2==DE AC CD ，求图中阴影部分（弓形）的面积．11．如图，ABC 为O 的内接三角形，AB 为O 的直径，点D 为O 上一点，且12ABD BAC ∠=∠，过点D 作DE BC ∥交CA 的延长线于点E ．(1)求证：DE 为O 的切线；(2)若8,12AE DE ==，求O 的半径．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)求BD 的长．13．如图，AB 是O 的直径，点C 是圆上一点，连接AC ，BC ，CBD BAC =∠∠．且CD BD ⊥．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)若2BC =，BD π）．14．如图1，AB 是△O 的直径，C ，D 是△O 上的点，连接CB ，CD ，延长CA ，BD 交于点E ，△BDC =2△ABE ．(1)求证：AE =AB ；(2)如图2，过点D 作△O 的切线交AE 于点F ，若DF =52，CD =132，求EF 长．15．如图1，四边形ABCD 内接于△O ，AD 为直径，过点C 作CE △AB 于点E ，连接AC ．(1)求证：△CAD ＝△ECB ；(2)若CE 是△O 的切线，△CAD ＝30°，连接OC ．如图2，当AB ＝2时，求AD 、AC 与弧CD 围成阴影部分的面积．16．已知AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上一点，点P 为圆O 外一点，且OP BC ∥，P BAC ∠=∠．(1)求证：P A 为圆O 的切线；(2)如果2OP AB ==，求AC 的长．17．如图，已知AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，连接AD ，BD ．(1)如图1，连接OC ．若58ADC ∠=︒，求CDB ∠及COB ∠的大小；(2)如图2，过点C 作O 的切线，交DB 的延长线于点E ，连接OD ．若2ABD CDB ∠=∠，求CED ∠的大18．如图，已知点D在△O的直径AB延长线上，CD为△O的切线，过D作ED AD⊥，与AC的延长线相交于E．(1)求证：CD＝DE；(2)若BD＝1，DE△ADE的面积；(3)在（2）的条件下，作ACB∠的平分线CF与△O交于点F，P为△ABC的内心，求PF的长．19．如图，AB为△O的直径，CD是△O的弦，点E在AB的延长线上，连接OC、AD，CD△AB。
人教版数学九年级上册 圆 几何综合专题练习(word版
人教版数学九年级上册 圆 几何综合专题练习（word 版一、初三数学 圆易错题压轴题（难）1．如图①，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，AB ＝10，点D 是AC 边上一点（不与C 重合），以AD 为直径作⊙O ，过C 作CE 切⊙O 于E ，交AB 于F ． （1）若⊙O 半径为2，求线段CE 的长； （2）若AF ＝BF ，求⊙O 的半径；（3）如图②，若CE ＝CB ，点B 关于AC 的对称点为点G ，试求G 、E 两点之间的距离．【答案】（1）CE ＝42；（2）⊙O 的半径为3；（3）G 、E 两点之间的距离为9.6 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质得出∠OEC=90°，然后根据勾股定理即可求得； （2）由勾股定理求得BC ，然后通过证得△OEC ∽△BCA ，得到OE OC BC BA =，即8610r r-= 解得即可；（3）证得D 和M 重合，E 和F 重合后，通过证得△GBE ∽△ABC ，GB GEAB AC=，即12108GE =，解得即可. 【详解】解：（1）如图①，连接OE ，∵CE 切⊙O 于E ， ∴∠OEC ＝90°，∵AC＝8，⊙O的半径为2，∴OC＝6，OE＝2，∴CE＝2242OC OE-=；（2）设⊙O的半径为r，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝22AB A C-＝6，∵AF＝BF，∴AF＝CF＝BF，∴∠ACF＝∠CAF，∵CE切⊙O于E，∴∠OEC＝90°，∴∠OEC＝∠ACB，∴△OEC∽△BCA，∴OE OCBC BA=，即8610r r-=解得r＝3，∴⊙O的半径为3；（3）如图②，连接BG，OE，设EG交AC于点M，由对称性可知，CB＝CG，∵CE＝CG，∴∠EGC＝∠GEC，∵CE切⊙O于E，∴∠GEC+∠OEG＝90°，∵∠EGC+∠GMC＝90°，∴∠OEG＝∠GMC，∵∠GMC＝∠OME，∴∠OEG＝∠OME，∴OM＝OE，∴点M和点D重合，∴G、D、E三点在同一直线上，连接AE、BE，∵AD是直径，∴∠AED＝90°，即∠AEG＝90°，又CE＝CB＝CG，∴∠BEG＝90°，∴∠AEB＝∠AEG+∠BEG＝180°，∴A、E、B三点在同一条直线上，∴E、F两点重合，∵∠GEB＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，∴△GBE∽△ABC，∴GB GEAB AC=，即12108GE=∴GE＝9.6，故G、E两点之间的距离为9.6．【点睛】本题考查了切线的判定，轴的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，证得G、D、E三点共线以及A、E、B三点在同一条直线上是解题的关2．已知：在△ABC中，AB=6，BC=8，AC=10，O为AB边上的一点，以O为圆心，OA长为半径作圆交AC于D点，过D作⊙O的切线交BC于E.（1）若O为AB的中点(如图1)，则ED与EC的大小关系为：ED EC（填“”“”或“”）（2）若OA<3时（如图2），（1）中的关系是否还成立？为什么？（3）当⊙O过BC中点时（如图3），求CE长.【答案】（1）ED=EC；（2）成立；（3）3【解析】试题分析：（1）连接OD，根据切线的性质可得∠ODE=90°，则∠CDE+∠ADO=90°，由AB=6，BC=8，AC=10根据勾股定理的逆定理可证得∠ABC=90°，则∠A+∠C=90°，根据圆的基本性质可得∠A=∠ADO，即可得到∠CDE=∠C，从而证得结论；（2）证法同（1）；（3）根据直角三角形的性质结合圆的基本性质求解即可.（1）连接OD∵DE为⊙O的切线∴∠ODE=90°∴∠CDE+∠ADO=90°∵AB=6，BC=8，AC=10∴∠ABC=90°∴∠A+∠C=90°∵AO=DO∴∠A=∠ADO∴∠CDE=∠C∴ED=EC；（2）连接OD∵DE为⊙O的切线∴∠ODE=90°∴∠CDE+∠ADO=90°∵AB=6，BC=8，AC=10∴∠ABC=90°∴∠A+∠C=90°∵AO=DO∴∠A=∠ADO∴∠CDE=∠C∴ED=EC；（3）CE=3.考点：圆的综合题点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．3．在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．（1）如图1，把△AMN沿直线MN折叠得到△PMN，设AM=x．i．若点P正好在边BC上，求x的值；ii．在M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并求y的最大值．（2）如图2，以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMQN．试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由．【答案】（1）i．当x=2时，点P恰好落在边BC上；ii． y=，当x=时，重叠部分的面积最大，其值为2；（2）当x=时，⊙O与直线BC相切；当x＜时，⊙O与直线BC相离；x＞时，⊙O与直线BC相交．【解析】试题分析：（1）i．根据轴对称的性质，可求得相等的线段与角，可得点M是AB中点，即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上；ii．分两种情况讨论：①当0＜x≤2时，△MNP与梯形BCNM重合的面积为△MNP的面积，根据轴对称的性质△MNP的面积等于△AMN的面积，易见y=x2②当2＜x＜4时，如图2，设PM，PN分别交BC于E，F，由i．知ME=MB=4-x∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4，由题意知△PEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求得．（2）利用分类讨论的思想，先求的直线BC与⊙O相切时，x的值，然后得到相交，相离时x的取值范围．试题解析：（1）i．如图1，由轴对称性质知：AM=PM，∠AMN=∠PMN，又MN∥BC，∴∠PMN=∠BPM，∠AMN=∠B，∴∠B=∠BPM，∴AM=PM=BM，∴点M是AB中点，即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上．ii．以下分两种情况讨论：①当0＜x≤2时，∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴，∴，∴AN=，△MNP与梯形BCNM重合的面积为△MNP的面积，∴，②当2＜x＜4时，如图2，设PM，PN分别交BC于E，F，由（2）知ME=MB=4-x，∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4，由题意知△PEF∽△ABC，∴，∴S△PEF=（x-2）2，∴y=S△PMN-S△PEF=，∵当0＜x≤2时，y=x2，∴易知y最大=，又∵当2＜x＜4时，y=，∴当x=时（符合2＜x＜4），y最大=2，综上所述，当x=时，重叠部分的面积最大，其值为2．（2））如图3，设直线BC与⊙O相切于点D，连接AO，OD，则AO=OD=MN．在Rt△ABC中，BC==5；由（1）知△AMN∽△ABC，∴，即，∴MN=x∴OD=x，过M点作MQ⊥BC于Q，则MQ=OD=x，在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，∴△BMQ∽△BCA，∴，∴BM=，AB=BM+MA=x+x=4∴x=，∴当x=时，⊙O与直线BC相切；当x＜时，⊙O与直线BC相离；x＞时，⊙O与直线BC相交．考点：圆的综合题．4．如图1，四边形ABCD中，、为它的对角线，E为AB边上一动点（点E不与点A、B重合），EF∥AC交BC于点F，FG∥BD交DC于点G，GH∥AC交AD于点H，连接HE．记四边形EFGH的周长为，如果在点的运动过程中，的值不变，则我们称四边形ABCD为“四边形”，此时的值称为它的“值”．经过探究，可得矩形是“四边形”．如图2，矩形ABCD中，若AB=4，BC=3，则它的“值”为．（1）等腰梯形（填“是”或“不是”）“四边形”；（2）如图3，是⊙O的直径，A是⊙O上一点，，点为上的一动点，将△沿的中垂线翻折，得到△．当点运动到某一位置时，以、、、、、中的任意四个点为顶点的“四边形”最多，最多有个．【答案】“值”为10；（1）是；（2）最多有5个．【解析】试题分析：仔细分析题中“四边形”的定义结合矩形的性质求解即可；（1）根据题中“四边形”的定义结合等腰梯形的性质即可作出判断；（2）根据题中“四边形”的定义结合中垂线的性质、圆的基本性质即可作出判断.矩形ABCD中，若AB=4，BC=3，则它的“值”为10；（1）等腰梯形是“四边形”；（2）由题意得当点运动到某一位置时，以、、、、、中的任意四个点为顶点的“四边形”最多，最多有5个.考点：动点问题的综合题点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．5．我们把“有两条边和其中一边的对角对应相等的两个三角形”叫做“同族三角形”，如图1，在△ABC和△ABD中，AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，则△ABC和△ABD是“同族三角形”．（1）如图2，四边形ABCD内接于圆，点C是弧BD的中点，求证：△ABC和△ACD是同族三角形；（2）如图3，△ABC内接于⊙O，⊙O的半径为32AB=6，∠BAC=30°，求AC的长；（3）如图3，在（2）的条件下，若点D在⊙O上，△ADC与△ABC是非全等的同族三角形，AD＞CD，求ADCD的值．【答案】（1）详见解析；（2）33+3；（3）ADCD=62+或6．【解析】【分析】(1）由点C是弧BD的中点，根据弧与弦的关系，易得BC=CD，∠BAC=∠DAC，又由公共边AC，可证得：△ABC和△ACD是同族三角形；(2）首先连接0A，OB，作点B作BE⊥AC于点E，易得△AOB是等腰直角三角形，继而求得答案；(3)分别从当CD=CB时与当CD=AB时进行分析求解即可求得答案．【详解】（1）证明：∵点C是弧BD的中点，即BC CD=，∴BC=CD，∠BAC=∠DAC，∵AC=AC，∴△ABC和△ACD是同族三角形.（2）解：如图1，连接OA，OB，作点B作BE⊥AC于点E，∵2，AB=6，∴OA2+OB2=AB2，∴△AOB是等腰直角三角形，且∠AOB=90°，∴∠C=∠AOB=45°，∵∠BAC=30°，∴BE=AB=3，∴22AB BE-3，∵CE=BE=3，∴3（3）解：∵∠B=180°﹣∠BAC﹣∠ACB=180°﹣30°﹣45°=105°，∴∠ADC=180°﹣∠B=75°，如图2，当CD=CB时，∠DAC=∠BAC=30°，∴∠ACD=75°，∴AD=AC=33+3，CD=BC=2BE=32， ∴AD 333CD 32+==622+； 如图3，当CD=AB 时，过点D 作DF ⊥AC ，交AC 于点F ，则∠DAC=∠ACB=45°，∴∠ACD=180°﹣∠DAC ﹣∠ADC=60°， ∴DF=CD•sin60°=6×32=33， ∴AD=2DF=36， ∴AD 36CD ==62． 综上所述：AD CD =622+或62. 【点睛】本题考查圆的综合应用问题，综合运用弧与弦的关系，等腰三角形的性质结合图形作辅助线进行分析证明以及求解，难度较大.6．如图①、②、③是两个半径都等于2的⊙O 1和⊙O 2，由重合状态沿水平方向运动到互相外切过程中的三个位置，⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，分别连结O 1A 、O 1B 、O 2A 、O 2B 和AB ．(1)如图②，当∠AO 1B =120°时，求两圆重叠部分图形的周长l ；(2)设∠AO 1B 的度数为x ，两圆重叠部分图形的周长为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (3)在(2)中，当重叠部分图形的周长时，则线段O 2A 所在的直线与⊙O 1有何位置关系？请说明理由.除此之外，它们是否还有其它的位置关系？如果有，请直接写出其它位置关系时的x的取值范围.【答案】（1）83（2）（0≤x≤180）（3）O2A与⊙O1相切；当0≤x≤90和0≤x≤180时，线段O2A所在的直线与⊙O1相交【解析】试题分析：（1）解法一、依对称性得，∠AO2B=∠AO1B=120°,∴解法二、∵O1A=O1B=O2A=O2B∴AO1BO2是菱形∴∠AO2B=∠AO1B=120°∴l=2׈A=(2)∵由（1）知，菱形AO1BO2中∠AO2B=∠AO1B=x度,∴重叠图形的周长, 即（0≤x≤180）(3) 当时，线段O2A所在的直线与⊙O1相切！理由如下：∵，由（2）可知：，解之x=90度∴AO1B=90°,因此菱形AO1BO2是正方形，∴O1AO2=90°,即O2A⊥O1A,而O1A是⊙O1的半径，且A为半径之外端；∴O2A与⊙O1相切．还有如下位置关系：当0≤x≤90和0≤x≤180时，线段O2A所在的直线与⊙O1相交考点：直线与圆的位置关系点评：本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握判定直线与圆的位置关系是解本题的关键，会求函数的解析式，本题难度比较大7．在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r(r＞1)，点P是圆内与圆心C不重合的点，⊙C的“完美点”的定义如下：过圆心C的任意直线CP与⊙C交于点A，B，若满足|PA﹣PB|＝2，则称点P为⊙C的“完美点”，如图点P为⊙C的一个“完美点”．(1)当⊙O的半径为2时①点M(32，0)⊙O的“完美点”，点(312)⊙O的“完美点”；(填“是”或者“不是”)②若⊙O的“完美点”P在直线y＝34x上，求PO的长及点P的坐标；(2)设圆心C的坐标为(s，t)，且在直线y＝﹣2x+1上，⊙C半径为r，若y轴上存在⊙C的“完美点”，求t的取值范围．【答案】(1)①不是，是；②PO的长为1，点P的坐标为(45，35)或(﹣45，﹣35)；(2)t的取值范围为﹣1≤t≤3．【解析】【分析】（1）①利用圆的“完美点”的定义直接判断即可得出结论.②先确定出满足圆的“完美点”的OP的长度，然后分情况讨论计算即可得出结论；（2）先判断出圆的“完美点”的轨迹，然后确定出取极值时OC与y轴的位置关系即可得出结论.【详解】解：(1)①∵点M(32，0)，∴设⊙O与x轴的交点为A，B，∵⊙O的半径为2，∴取A(﹣2，0)，B(2，0)，∴|MA﹣MB|＝|(32+2)﹣(2﹣32)|＝3≠2，∴点M不是⊙O的“完美点”，同理：点(﹣32，﹣12)是⊙O的“完美点”．故答案为不是，是．②如图1，根据题意，|PA﹣PB|＝2，∴|OP+2﹣(2﹣OP)|＝2，∴OP＝1．若点P在第一象限内，作PQ⊥x轴于点Q，∵点P在直线y＝34x上，OP＝1，∴43,55 OQ PQ==．∴P(43,55)．若点P在第三象限内，根据对称性可知其坐标为(﹣45，﹣35)．综上所述，PO的长为1，点P的坐标为(43,55)或（43,55--）)．(2)对于⊙C的任意一个“完美点”P都有|PA﹣PB|＝2，∴|CP+r﹣(r﹣CP)|＝2．∴CP＝1．∴对于任意的点P，满足CP＝1，都有|CP+r﹣(r﹣CP)|＝2，∴|PA﹣PB|＝2，故此时点P为⊙C的“完美点”．因此，⊙C的“完美点”是以点C为圆心，1为半径的圆．设直线y＝﹣2x+1与y轴交于点D，如图2，当⊙C移动到与y轴相切且切点在点D的上方时，t的值最大．设切点为E，连接CE，∵⊙C的圆心在直线y＝﹣2x+1上，∴此直线和y轴，x轴的交点D(0，1)，F(12，0)，∴OF＝12，OD＝1，∵CE∥OF，∴△DOF∽△DEC，∴OD OF DE CE=，∴112 DE=，∴DE＝2，∴OE＝3，t的最大值为3，当⊙C移动到与y轴相切且切点在点D的下方时，t的值最小．同理可得t的最小值为﹣1．综上所述，t的取值范围为﹣1≤t≤3．【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了新定义，相似三角形的性质和判定，直线和圆的位置关系，解本题的关键是理解新定义的基础上，会用新定义，是一道比中等难度的中考常考题.8．四边形ABCD内接于⊙O，AC为对角线，∠ACB＝∠ACD（1）如图1，求证：AB＝AD；（2）如图2，点E在AB弧上，DE交AC于点F，连接BE，BE＝DF，求证：DF＝DC；（3）如图3，在（2）的条件下，点G在BC弧上，连接DG，交CE于点H，连接GE，GF，若DE＝BC，EG＝GH＝5，S△DFG＝9，求BC边的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（370【解析】【分析】（1）如图1，连接OA，OB，OD，由∠ACB＝∠ACD，可得AD AB，可得AB＝AD；（2）连接AE，由“SAS”可证△ABE≌△ADF，可得∠BAE＝∠DAC，可证BE＝CD＝DF；（3）如图3，过点F作FN⊥GD于N，过点C作CM⊥GD于M，连接GC，通过证明△FDN≌△DCM，可得FN＝DM，CM＝DN，由面积公式可求FN＝2，DM＝2，DH＝4，通过证明△EGC∽△DMC，△GEH∽△CHD，可得EC＝52CD，CD2＝403，由勾股定理可求解．【详解】证明：（1）如图1，连接OA，OB，OD，∵∠ACB＝∠ACD，∠AOD＝2∠ACD，∠AOB＝2∠ACB ∴∠AOD＝∠AOB∴AD AB∴AD＝AB；（2）如图2，连接AE，∵AE AE∴∠ABE＝∠ADE在△ABE和△ADF中AB ADABE ADFBE DF∴△ABE≌△ADF（SAS）∴∠BAE＝∠DAC∴BE CD∴BE＝DC∵BE＝DF∴DF＝DC；（3）如图3，过点F作FN⊥GD于N，过点C作CM⊥GD于M，连接GC，∵DE＝BC，BE＝CD，∴四边形BCDE是平行四边形，∴∠EBC＝∠EDC，∵四边形BEDC是圆内接四边形，∴∠EBC+∠EDC＝180°，∴∠EDC＝∠EBC＝90°，∴EC是直径，∴∠FGC＝∠EDC＝90°∴∠FDN+∠MDC＝90°，且∠MDC+∠MCD＝90°，∴∠FDN＝∠MCD，且∠FND＝∠CMD＝90°，DF＝DC，∴△FDN≌△DCM（AAS）∴FN＝DM，CM＝DN，∵EG＝GH＝5，∴∠GEH＝∠GHE，且∠GHE＝∠DHC，∠GEH＝∠GDC，∴∠HDC＝∠CHD，∴CH＝CD，且CM⊥DH，∴DM＝MH＝FN，∵S△DFG＝9，∴12DG×FN＝9，∴12×（5+2FN）×FN＝9，∴FN＝2，∴DM ＝2，DH ＝4，∵∠GEC ＝∠GDC ，∠EGC ＝∠DMC ， ∴△EGC ∽△DMC ， ∴52EC EG CDDM， ∴EC ＝52CD ，且HC ＝CD ， ∴EH ＝32CD ，∵∠EGD ＝∠ECD ，∠GEC ＝∠GDC ， ∴△GEH ∽△CHD ， ∴EG EHCHDH， ∴3524CDCD， ∴2403CD ， ∵EC 2﹣CD 2＝DE 2， ∴222254CD CD DE ，∴2214043DE ，∴DE ＝70 ∴BC ＝70 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是本题的难点．9．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，30CAB ∠=︒，10AB =，点D 在线段AB 上，2AD =．点P 从D 点出发，沿DB 方向运动，以DP 为直径作O ，当P 运动到点B 时停止运动，设DP m =．（1）AO =___________，BP =___________．（用m 的代数式表示） （2）当m 为何值时，O 与ABC ∆的一边相切？（3）在点P 整个运动过程中，过点P 作O 的切线交折线AC CB -于点E ，将线段EP绕点E 顺时针旋转60︒得到EF ，过F 作FG EP ⊥于G ．①当线段FG 长度达到最大时，求m 的值；②直接写出点F 所经过的路径长是________．（结果保留根号） 【答案】（1）22mAO =+，8BP m =-；（2）4m =或32348m =；（3）①1121153762【解析】 【分析】（1）观察图中AO 和DP 的数量关系可得22DPAO =+，而BP AB AP =-，将DP m =代入即可.（2）O 与ABC ∆的一边相切有两种情况，先与AC 相切，再与BC 相切；两种情况的解答方法都是连接圆心与切点，构造直角三角形，根据条件所给的特殊角的三角函数解答. （3）①根据旋转的性质可得PF PE =，在Rt EFG ∆中根据三角函数可得cos30FG PE ︒=⋅，故当E 点与C 点重合，PE 取得最大值时，FG 有最大值，解之即可.②明显以E 点与C 点重合前后为节点，点F 的运动轨迹分两部分，第一部分为从P 开始运动到E 点与C 点重合，即图中的12F F ，根据1212F F AC AF CF =--求解；第二部分，根据tan EF EPEBF EB EB∠==为定值可知其轨迹为图中的2F B ，在2Rt F BC 中用勾股定理求解即可. 【详解】（1）2222DP mAO =+=+，8BP AB AP m =-=- （2）情况1：与AC 相切时， Rt AOH ∆中，∵30A ∠=︒∴2AO OH = ∴22mm +=解得4m =情况2：与BC相切时，Rt BON ∆中，∵60B ∠=︒ ∴3cos 2ON B OB ==即32282mm =- 解得32348m =- （3）①在Rt EFG ∆中，∵30EFG A ∠=∠=︒，90EGF ∠=︒， ∴3cos30cos30FG EF PE EP ︒︒=⋅=⋅=， ∴当FG 最大时即PE 最大当点E 与点C 重合时，PE 的值最大．易知此时53553102AC BC EP AB ⨯===．在Rt EAP ∆中，∵30A ∠=︒∴1532AP EP == ∴1511222m DP ==-= （3）F 轨迹如图：从1F 到2F 到B1133233AF AE EF AD PE =-=-==, 253CF CP ==， 故1212235311353F F AC AF CF =--==2F 到B 轨迹是线段理由如下：∵60FEP ∠=︒，30PEB ∠=︒，∴90FEB ∠=︒． ∴tan EF EPEBF EB EB∠==为定值， ∴点F 的第二段的轨迹是线段2BF ． 在2Rt F BC 中，2222225357522BF BC F C ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭, 所以点F 1153762【点睛】本题是综合了圆的性质，直线与圆相切的条件，锐角三角函数，勾股定理以及旋转的性质等知识的动点动图问题，熟练掌握各个知识点是基础，充分理解题意并作图，化动为静是解答关键.10．如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点（不与A 、B 重合），D 为的AC 中点，过点D 作弦DE ⊥AB 于F ，P 是BA 延长线上一点，且∠PEA ＝∠B ．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）连接CA与DE相交于点G，CA的延长线交PE于H，求证：HE＝HG；（3）若tan∠P＝512，试求AHAG的值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1310 AHAG=．【解析】【分析】（1）连接OE，由圆周角定理证得∠EAB+∠B＝90°，可得出∠OAE＝∠AEO，则∠PEA+∠AEO＝90°，即∠PEO＝90°，则结论得证；（2）连接OD，证得∠AOD＝∠AGF，∠B＝∠AEF，可得出∠PEF＝2∠B，∠AOD＝2∠B，可证得∠PEF＝∠AOD＝∠AGF，则结论得证；（3）可得出tan∠P＝tan∠ODF＝512OFDF=，设OF＝5x，则DF＝12x，求出AE，BE，得出23AEBE=，证明△PEA∽△PBE，得出23PAPE=，过点H作HK⊥PA于点K，证明∠P＝∠PAH，得出PH＝AH，设HK＝5a，PK＝12a，得出PH＝13a，可得出AH＝13a，AG＝10a，则可得出答案．【详解】解：（1）证明：如图1，连接OE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠EAB+∠B＝90°，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠AEO，∴∠B+∠AEO＝90°，∵∠PEA＝∠B，∴∠PEA+∠AEO＝90°，∴∠PEO＝90°，又∵OE为半径，∴PE是⊙O的切线；（2）如图2，连接OD，∵D为AC的中点，∴OD⊥AC，设垂足为M，∴∠AMO＝90°，∵DE⊥AB，∴∠AFD＝90°，∴∠AOD+∠OAM＝∠OAM+∠AGF＝90°，∴∠AOD＝∠AGF，∵∠AEB＝∠EFB＝90°，∴∠B＝∠AEF，∵∠PEA＝∠B，∴∠PEF＝2∠B，∵DE⊥AB，∴AE AD，∴∠AOD＝2∠B，∴∠PEF＝∠AOD＝∠AGF，∴HE＝HG；（3）解：如图3，∵∠PEF＝∠AOD，∠PFE＝∠DFO，∴∠P＝∠ODF，∴tan∠P＝tan∠ODF＝512 OFDF=，设OF＝5x，则DF＝12x，∴OD13x，∴BF＝OF+OB＝5x+13x＝18x，AF＝OA﹣OF＝13x﹣5x＝8x，∵DE⊥OA，∴EF＝DF＝12x，∴AE，BE，∵∠PEA＝∠B，∠EPA＝∠BPE，∴△PEA∽△PBE，∴23 PA AEPE BE===，∵∠P+∠PEF＝∠FAG+∠AGF＝90°，∴∠HEG＝∠HGE，∴∠P＝∠FAG，又∵∠FAG＝∠PAH，∴∠P＝∠PAH，∴PH＝AH，过点H作HK⊥PA于点K，∴PK＝AK，∴13 PKPE=，∵tan∠P＝5 12，设HK＝5a，PK＝12a，∴PH＝13a，∴AH＝13a，PE＝36a，∴HE＝HG＝36a﹣13a＝23a，∴AG＝GH﹣AH＝23a﹣13a＝10a，∴13131010 AH aAG a==．【点睛】本题是圆的综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，掌握相似三角形的判定定和性质定理及方程思想是解题的关键．。
数学九年级上册 圆 几何综合专题练习(word版
数学九年级上册 圆 几何综合专题练习（word 版一、初三数学 圆易错题压轴题（难）1．已知圆O 的半径长为2，点A 、B 、C 为圆O 上三点，弦BC=AO ，点D 为BC 的中点，(1)如图，连接AC 、OD ，设∠OAC=α，请用α表示∠AOD ；(2)如图，当点B 为AC 的中点时，求点A 、D 之间的距离：(3)如果AD 的延长线与圆O 交于点E ，以O 为圆心，AD 为半径的圆与以BC 为直径的圆相切，求弦AE 的长．【答案】（1）1502AOD α∠=︒-；（2）7AD =3）33133122or 【解析】【分析】（1）连接OB 、OC ，可证△OBC 是等边三角形，根据垂径定理可得∠DOC 等于30°，OA=OC 可得∠ACO=∠CAO=α，利用三角形的内角和定理即可表示出∠AOD 的值.（2）连接OB 、OC ，可证△OBC 是等边三角形，根据垂径定理可得∠DOB 等于30°，因为点D 为BC 的中点，则∠AOB=∠BOC=60°，所以∠AOD 等于90°，根据OA=OB=2,在直角三角形中用三角函数及勾股定理即可求得OD 、AD 的长.（3）分两种情况讨论：两圆外切，两圆内切.先根据两圆相切时圆心距与两圆半径的关系，求出AD 的长，再过O 点作AE 的垂线，利用勾股定理列出方程即可求解.【详解】(1)如图1：连接OB 、OC.∵BC=AO∴OB=OC=BC∴△OBC 是等边三角形∴∠BOC=60°∵点D 是BC 的中点∴∠BOD=1302BOC ∠=︒ ∵OA=OC∴OAC OCA ∠=∠=α∴∠AOD=180°-α-α-30︒=150°-2α(2)如图2：连接OB、OC、OD.由（1）可得：△OBC是等边三角形，∠BOD=130 2BOC∠=︒∵OB=2，∴OD=OB∙cos30︒=3∵B为AC的中点，∴∠AOB=∠BOC=60°∴∠AOD=90°根据勾股定理得：AD=227AO OD+=（3）①如图3.圆O与圆D相内切时：连接OB、OC，过O点作OF⊥AE∵BC是直径，D是BC的中点∴以BC为直径的圆的圆心为D点由（2）可得：3D的半径为1∴31设AF=x 在Rt △AFO 和Rt △DOF 中，2222OA AF OD DF -=-即()2222331x x -=-+- 解得：331x 4+= ∴AE=3312AF +=②如图4.圆O 与圆D 相外切时：连接OB 、OC ，过O 点作OF ⊥AE∵BC 是直径，D 是BC 的中点∴以BC 为直径的圆的圆心为D 点由（2）可得：3D 的半径为1∴31在Rt △AFO 和Rt △DOF 中，2222OA AF OD DF -=-即()2222331x x -=-解得：331x 4-= ∴AE=3312AF -=【点睛】本题主要考查圆的相关知识：垂径定理，圆与圆相切的条件，关键是能灵活运用垂径定理和勾股定理相结合思考问题，另外需注意圆相切要分内切与外切两种情况.2．如图，矩形ABCD中，BC＝8，点F是AB边上一点（不与点B重合）△BCF的外接圆交对角线BD于点E，连结CF交BD于点G．（1）求证：∠ECG＝∠BDC．（2）当AB＝6时，在点F的整个运动过程中．①若BF＝22时，求CE的长．②当△CEG为等腰三角形时，求所有满足条件的BE的长．（3）过点E作△BCF外接圆的切线交AD于点P．若PE∥CF且CF＝6PE，记△DEP的面积为S1，△CDE的面积为S2，请直接写出12SS的值．【答案】（1）详见解析；（2）①1825；②当BE为10，395或445时，△CEG为等腰三角形；（3）724.【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得出∠ABD＝∠BDC，根据圆周角定理得出∠ABD＝∠ECG，即可证得结论；（2）根据勾股定理求得BD ＝10，①连接EF ，根据圆周角定理得出∠CEF ＝∠BCD ＝90°，∠EFC ＝∠CBD ．即可得出sin ∠EFC＝sin ∠CBD ，得出35CE CD CF BD ==，根据勾股定理得到CF ＝CE ； ②分三种情况讨论求得： 当EG ＝CG 时，根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可得到∠GEC ＝∠GCE ＝∠ABD ＝∠BDC ，从而证得E 、D 重合，即可得到BE ＝BD ＝10；当GE ＝CE 时，过点C 作CH ⊥BD 于点H ，即可得到∠EGC ＝∠ECG ＝∠ABD ＝∠GDC ，得到CG ＝CD ＝6．根据三角形面积公式求得CH ＝245，即可根据勾股定理求得GH ，进而求得HE ，即可求得BE ＝BH ＋HE ＝395； 当CG ＝CE 时，过点E 作EM ⊥CG 于点M ，由tan ∠ECM ＝43EM CM =．设EM ＝4k ，则CM ＝3k ，CG ＝CE ＝5k ．得出GM ＝2k ，tan ∠GEM ＝2142GM k EM k ==，即可得到tan ∠GCH ＝GH CH =12．求得HE ＝GH ＝125，即可得到BE ＝BH ＋HE ＝445； （3）连接OE 、EF 、AE 、EF ，先根据切线的性质和垂直平分线的性质得出EF ＝CE ，进而证得四边形ABCD 是正方形，进一步证得△ADE ≌△CDE ，通过证得△EHP ∽△FBC ，得出EH ＝16BF ，即可求得BF ＝6，根据勾股定理求得CF ＝10，得出PE ＝106，根据勾股定理求得PH ，进而求得PD ，然后根据三角形面积公式即可求得结果．【详解】（1）∵AB ∥CD ．∴∠ABD ＝∠BDC ，∵∠ABD ＝∠ECG ，∴∠ECG ＝∠BDC ．（2）解：①∵AB ＝CD ＝6，AD ＝BC ＝8，∴BD ＝10，如图1，连结EF ，则∠CEF ＝∠BCD ＝90°，∵∠EFC ＝∠CBD ．∴sin ∠EFC ＝sin ∠CBD ， ∴35CE CD CF BD ==∴CF∴CE②Ⅰ、当EG＝CG时，∠GEC＝∠GCE＝∠ABD＝∠BDC．∴E与D重合，∴BE＝BD＝10．Ⅱ、如图2，当GE＝CE时，过点C作CH⊥BD于点H，∴∠EGC＝∠ECG＝∠ABD＝∠GDC，∴CG＝CD＝6．∵CH＝BC CD24 BD5⋅=，∴GH185 =，在Rt△CEH中，设HE＝x，则x2+（245）2＝（x+185）2解得x＝75，∴BE＝BH+HE＝325+75＝395；Ⅲ、如图2，当CG＝CE时，过点E作EM⊥CG于点M．∵tan∠ECM＝43 EMCM=．设EM＝4k，则CM＝3k，CG＝CE＝5k．∴GM＝2k，tan∠GEM＝2142 GM kEM k==，∴tan∠GCH＝GHCH＝tan∠GEM＝12．∴HE＝GH＝12412 255⨯=，∴BE＝BH+HE＝321244 555+=，综上所述，当BE为10，395或445时，△CEG为等腰三角形；（3）解：∵∠ABC＝90°，∴FC是△BCF的外接圆的直径，设圆心为O，如图3，连接OE、EF、AE、EF，∵PE是切线，∴OE⊥PE，∵PE∥CF，∴OE⊥CF，∵OC＝OF，∴CE＝EF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，EF=2FC，∴∠ABD＝∠ECF＝45°，∴∠ADB＝∠BDC＝45°，∴AB＝AD＝8，∴四边形ABCD是正方形，∵PE∥FC，∴∠EGF＝∠PED，∴∠BGC＝∠PED，∴∠BCF＝∠DPE，作EH⊥AD于H，则EH＝DH，∵∠EHP＝∠FBC＝90°，∴△EHP∽△FBC，∴16 EH PEBF FC==，∴EH＝16 BF，∵AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，∴△ADE≌△CDE，∴AE＝CE，∴AE＝EF，∴AF＝2EH＝13 BF，∴13BF+BF＝8，∴BF＝6，∴EH＝DH＝1，CF10，∴PE＝16FC＝53，∴PH4 3 =，∴PD＝47133 +=，∴1277 3824S PDS AD===．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，圆周角定理、三角形的面积以及相似三角形的判定和性质，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．3．在平面直角坐标系xOy中，已知 A(-2，0)，B(2，0)，AC⊥AB于点A，AC=2，BD⊥AB于点B，BD=6，以AB为直径的半圆O上有一动点P（不与A、B两点重合），连接PD、PC，我们把由五条线段AB、BD、DP、PC、CA所组成的封闭图形ABDPC叫做点P的关联图形，如图1所示.（1）如图2，当P运动到半圆O与y轴的交点位置时，求点P的关联图形的面积.（2）如图3，连接CD、OC、OD,判断△OCD的形状，并加以证明.（3）当点P运动到什么位置时，点P的关联图形的面积最大，简要说明理由，并求面积的最大值.【答案】（1）12；（2）判断△OCD是直角三角形，证明见解析；（3）连接OC，交半圆O于点P，这时点P的关联图形的面积最大，理由风解析，82+【解析】试题分析：（1）判断出四边形AOPC是正方形，得到正方形的面积是4，根据BD⊥AB，BD=6，求出梯形OPDB的面积=()(26)2822OP DB OB+⨯+⨯==，二者相加即为点P的关联图形的面积是12．（2）根据CF=DF=4，∠DCF=45°，求出∠OCD=90°，判断出△OCD是直角三角形．（3）要使点P的关联图形的面积最大，就要使△PCD的面积最小，确定关联图形的最大面积是梯形ACDB的面积﹣△PCD的面积，根据此思路，进行解答．试题解析：（1）∵A（﹣2，0），∴OA=2，∵P 是半圆O 上的点，P 在y 轴上，∴OP=2，∠AOP=90°，∴AC=2，∴四边形AOPC 是正方形，∴正方形的面积是4，又∵BD ⊥AB ，BD=6，∴梯形OPDB 的面积=()(26)2822OP DB OB +⨯+⨯==， ∴点P 的关联图形的面积是12．（2）判断△OCD 是直角三角形．证明：延长CP 交BD 于点F ，则四边形ACFB 为矩形，∴CF=DF=4，∠DCF=45°，∴∠OCD=90°，∴OC ⊥CD ，∴△OCD 是直角三角形．（3）连接OC 交半圆O 于点P ，则点P 即为所确定的点的位置．理由如下：连接CD ，梯形ACDB 的面积=()(26)41622AC DB AB +⨯+⨯==为定值， 要使点P 的关联图形的面积最大，就要使△PCD 的面积最小，∵CD 为定长，∴P 到CD 的距离就要最小，连接OC ，设交半圆O 于点P ， ∵AC ⊥OA ，AC=OA ，∴∠AOC=45°，过C 作CF ⊥BD 于F ，则ACFB 为矩形， ∴CF=DF=4，∠DCF=45°，∴OC ⊥CD ，OC=2∴PC 在半圆外，设在半圆O 上的任意一点P′到CD 的距离为P′H ，则P′H+P′O ＞OH ＞OC ， ∵OC=PC+OP ，∴P′H ＞PC ，∴当点P 运动到半圆O 与OC 的交点位置时，点P 的关联图形的面积最大．∵CD=42CP=222，∴△PCD 的面积=()(26)41622AC DB AB +⨯+⨯==， ∴点P 的关联图形的最大面积是梯形ACDB 的面积﹣△PCD 的面积=16(842)842--=+考点：圆的综合题．4．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的边BC在y轴的正半轴上，点A在x轴的正半轴上，点C的坐标为（0，8），将△ABC沿直线AB折叠，点C落在x轴的负半轴D（−4，0）处．（1）求直线AB的解析式；（2）点P从点A出发以每秒45个单位长度的速度沿射线AB方向运动，过点P作PQ⊥AB，交x轴于点Q，PR∥AC交x轴于点R，设点P运动时间为t（秒），线段QR长为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点N是射线AB上一点，以点N为圆心，同时经过R、Q两点作⊙N，⊙N交y轴于点E，F．是否存在t，使得EF=RQ？若存在，求出t的值，并求出圆心N的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）132y x=-+（2）d=5t （3）故当 t=85，或815，时，QR=EF，N（-6，6）或（2，2）．【解析】试题分析：（1）由C（0，8），D（-4，0），可求得OC，OD的长，然后设OB=a，则BC=8-a，在Rt△BOD中，由勾股定理可得方程：（8-a）2=a2+42,解此方程即可求得B的坐标，然后由三角函数的求得点A的坐标，再利用待定系数法求得直线AB的解析式；（2）在Rt△AOB中，由勾股定理可求得AB的长，继而求得∠BAO的正切与余弦，由PR//AC 与折叠的性质，易证得RQ=AR，则可求得d与t的函数关系式；（3）首先过点分别作NT⊥RQ于T，NS⊥EF于S，易证得四边形NTOS是正方形，然后分别从点N在第二象限与点N在第一象限去分析求解即可求解;（1）∵C （0，8），D （-4，0），∴OC=8，OD=4，设OB=a ，则BC=8-a ， 由折叠的性质可得：BD=BC=8-a ，在Rt △BOD 中，∠BOD=90°，DB 2=OB 2+OD 2，则（8-a ）2=a 2+42，解得：a=3，则OB=3，则B （0，3），tan ∠ODB=34OB OD = ， 在Rt △AOC 中，∠AOC=90°，tan ∠ACB=34OA OC = ， 则OA=6，则A （6，0），设直线AB 的解析式为：y=kx+b ，则60{3k b b +== ，解得：1{23k b =-= ， 故直线AB 的解析式为：y=-12x +3； （2）如图所示：在Rt △AOB 中，∠AOB=90°，OB=3，OA=6，则22135,tan 2OB OB OA BAO OA +=∠== ，255OA cos BAO AB∠==， 在Rt △PQA 中，905APQ AP t ∠=︒=，则AQ=10cos AP t BAO=∠ , ∵PR ∥AC ，∴∠APR=∠CAB ， 由折叠的性质得：∠BAO=∠CAB ，∴∠BAO=∠APR ，∵∠RAP+∠PQA=∠APR+∠QPR=90°，∴∠PQA=∠QPR ，∴RP=RQ ，∴RQ=AR ，∴QR=12AQ=5t, 即d=5t; （3）过点分别作NT ⊥RQ 于T ，NS ⊥EF 于S ，∵EF=QR ，∴NS=NT ，∴四边形NTOS 是正方形，则TQ=TR=1522QR t = ， ∴1115151022224NT AT AQ TQ t t t ==-=-=（）（） ， 分两种情况，若点N 在第二象限，则设N （n ，-n ），点N 在直线132y x =-+ 上， 则132n n -=-+ ， 解得：n=-6，故N （-6，6），NT=6，即1564t = ， 解得：85t = ; 若点N 在第一象限，设N （N ，N ），可得：132n n =-+ , 解得：n=2，故N （2，2），NT=2，即1524t ,解得：t=815∴当 t=85，或815，时，QR=EF，N（-6，6）或（2，2）。
人教版九年级中考数学全册专项复习训练：圆的有关证明与计算
专题六圆的有关证明与计算圆的切线的判定与性质【例1】(2016·临夏州)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD ＝DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点．(1)求证：AB是⊙O的直径；(2)判断DE与⊙O的位置关系，并加以证明；(3)若⊙O的半径为3，∠BAC＝60°，求DE的长．分析：(1)连接AD，证AD⊥BC可得；(2)连接OD，利用中位线定理得到OD 与AC平行，可证∠ODE为直角，由OD为半径，可证DE与圆O相切；(3)连接BF，先证三角形ABC为等边三角形，再求出BF的长，由DE为三角形CBF中位线，即可求出DE的长．解：(1)连接AD，∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴AB为圆O的直径(2)DE与圆O相切，证明：连接OD，∵O，D分别为AB，BC的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∵OD为圆的半径，∴DE 与圆O相切(3)∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝6，连接BF，∵AB为圆O的直径，∴∠AFB＝∠DEC＝90°，∴AF＝CF＝3，DE∥BF，∵D为BC的中点，∴E为CF的中点，即DE为△BCF中位线，在Rt△ABF中，AB＝6，AF ＝3，根据勾股定理得BF ＝62－32＝33，则DE ＝12BF ＝332圆与相似【例2】 (2016·泸州)如图，△ABC 内接于⊙O ，BD 为⊙O 的直径，BD 与AC 相交于点H ，AC 的延长线与过点B 的直线相交于点E ，且∠A ＝∠EBC.(1)求证：BE 是⊙O 的切线；(2)已知CG ∥EB ，且CG 与BD ，BA 分别相交于点F ，G ，若BG ·BA ＝48，FG ＝2，DF ＝2BF ，求AH 的值．分析：(1)证∠EBD ＝90°即可；(2)由△ABC ∽△CBG 得BC BG ＝AB BC，可求出BC ，再由△BFC ∽△BCD 得BC 2＝BF ·BD ，可求出BF ，再求出CF ，CG ，GB ，通过计算发现CG ＝AG ，可证CH ＝CB ，即可求出AC.解：(1)连接CD ，∵BD 是直径，∴∠BCD ＝90°，即∠D ＋∠CBD ＝90°，∵∠A ＝∠D ，∠A ＝∠EBC ，∴∠CBD ＋∠EBC ＝90°，∴BE ⊥BD ，∴BE 是⊙O 切线(2)∵CG ∥EB ，∴∠BCG ＝∠EBC ，∴∠A ＝∠BCG ，又∵∠CBG ＝∠ABC ，∴△ABC ∽△CBG ，∴BC BG ＝AB BC，即BC 2＝BG ·BA ＝48，∴BC ＝43，∵CG ∥EB ，∴CF ⊥BD ，∴△BFC ∽△BCD ，∴BC 2＝BF ·BD ，∵DF ＝2BF ，∴BF ＝4，在Rt △BCF 中，CF ＝BC 2－FB 2＝42，∴CG ＝CF ＋FG ＝52，在Rt △BFG 中，BG ＝BF 2＋FG 2＝32，∵BG ·BA ＝48，∴BA ＝82，∴AG ＝52，∴CG ＝AG ，∴∠A ＝∠ACG ＝∠BCG ，∠CFH ＝∠CFB ＝90°，∴∠CHF ＝∠CBF ，∴CH ＝CB ＝43，∵△ABC ∽△CBG ，∴AC CG ＝BC BG ，∴AC ＝CB ·CG BG ＝2033，∴AH ＝AC －CH ＝8331．(2016·长沙)如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF.(1)求∠CDE的度数；(2)求证：DF是⊙O的切线；(3)若AC＝25DE，求tan∠ABD的值．解：(1)∵对角线AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠EDC＝90°(2)连接DO，∵∠EDC＝90°，F是EC的中点，∴DF＝FC，∴∠FDC＝∠FCD，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∵∠OCF＝90°，∴∠ODF＝∠ODC＋∠FDC＝∠OCD ＋∠DCF＝∠OCF＝90°，∴DF是⊙O的切线(3)∵∠E＋∠DCE＝90°，∠DCA＋∠DCE＝90°，∴∠DCA＝∠E，又∵∠ADC＝∠CDE＝90°，∴△CDE∽△ADC，∴DCAD＝DEDC，∴DC2＝AD·DE.设DE＝x，则AC＝25x，AC2－AD2＝DC2＝AD·DE，即(25x)2－AD2＝AD·x，整理得AD2＋AD·x －20x2＝0，解得AD＝4x或AD＝－5x(舍去)，则DC＝（25x）2－（4x）2＝2x，故tan∠ABD＝tan∠ACD＝ADDC＝4x2x＝22．(2016·安顺)如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB＝∠DCE.(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(2)若tan∠ACB＝22，BC＝2，求⊙O的半径．解：(1)直线CE与⊙O相切. 理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∴∠ACB＝∠DAC，又∵∠ACB＝∠DCE，∴∠DAC＝∠DCE，连接OE，有OA＝OE，则∠DAC＝∠AEO＝∠DCE.∵∠DCE＋∠DEC＝90°，∴∠AEO＋∠DEC＝90°，∴∠OEC＝90°，即OE⊥CE.又OE是⊙O的半径，∴直线CE与⊙O相切(2)∵tan∠ACB＝ABBC＝22，BC＝2，∴AB＝BC·tan∠ACB＝2，∴AC＝ 6.又∵∠ACB＝∠DCE，∴tan∠DCE＝tan∠ACB＝22，∴DE＝DC·tan∠DCE＝1.在Rt△CDE中，CE＝CD2＋DE2＝3，设⊙O的半径为r，则在Rt△COE中，CO2＝OE2＋CE2，即(6－r)2＝r2＋3，解得r＝6 41．(2016·百色)如图，已知AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，OC交⊙O 于点D，BD的延长线交AC于点E.(1)求证：∠1＝∠CAD；(2)若AE＝EC＝2，求⊙O的半径．解：(1)∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO＋∠BDO＝90°，∵AC 为⊙O的切线，∴OA⊥AC，∴∠OAD＋∠CAD＝90°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠1＝∠BDO ，∴∠1＝∠CAD(2)∵∠1＝∠CAD ，∠C ＝∠C ，∴△CAD ∽△CDE ，∴CD ∶CA ＝CE ∶CD ，∴CD 2＝CA ·CE ，∵AE ＝EC ＝2，∴AC ＝AE ＋EC ＝4，∴CD ＝22，设⊙O的半径为x ，则OA ＝OD ＝x ，在Rt △AOC 中，OA 2＋AC 2＝OC 2，∴x 2＋42＝(22＋x)2，解得x ＝2，∴⊙O 的半径为 22．(导学号 59042296)(2016·常德)如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，且BD ＝BC ，延长AD 到E ，且有∠EBD ＝∠CAB.(1)求证：BE 是⊙O 的切线；(2)若BC ＝3，AC ＝5，求圆的直径AD 及切线BE 的长．解：(1)连接OB ，∵BD ＝BC ，∴∠CAB ＝∠BAD ，∵∠EBD ＝∠CAB ，∴∠BAD ＝∠EBD ，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD ＝90°，OA ＝OB ，∴∠BAD ＝∠ABO ，∴∠EBD ＝∠ABO ，∴∠OBE ＝∠EBD ＋∠OBD ＝∠ABO ＋∠OBD ＝∠ABD ＝90°，∵点B 在⊙O 上，∴BE 是⊙O 的切线(2)设圆的半径为R ，连接CD ，∵AD 为⊙O 的直径，∴∠ACD ＝90°，∵BC＝BD ，∴OB ⊥CD ，∴OB ∥AC ，∵OA ＝OD ，∴OF ＝12AC ＝52，∵四边形ACBD 是圆内接四边形，∴∠BDE ＝∠ACB ，∵∠DBE ＝∠CAB ，∴△DBE ∽△CAB ，∴DB CA ＝DE CB，∴35＝DE 3，∴DE ＝35，∵∠OBE ＝∠OFD ＝90°，∴DF ∥BE ，∴OF OB ＝OD OE ，∴52R ＝R R ＋35，∵R ＞0，∴R ＝3，∴AB ＝AD 2－BD 2＝33，∵AC AB ＝BD BE ，∴BE ＝31153．(导学号 59042297)(2016·天门)如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为G ，OG ∶OC ＝3∶5，AB ＝8.(1)求⊙O 的半径；(2)点E 为圆上一点，∠ECD ＝15°，将CE ︵沿弦CE 翻折，交CD 于点F ，求图中阴影部分的面积．解：(1)连接AO ，∵CD 为⊙O 的直径，AB ⊥CD ，AB ＝8，∴AG ＝4，∵OG ∶OC ＝3∶5，∴设⊙O 的半径为5k ，则OG ＝3k ，∴(3k)2＋42＝(5k)2，解得k ＝1或k ＝－1(舍去)，∴5k ＝5，即⊙O 的半径是5(2)将阴影部分沿CE 翻折，点F 的对应点为M ，∵∠ECD ＝15°，由对称性可知，∠DCM ＝30°，S 阴影＝S 弓形CBM ，连接OM ，则∠MOD ＝60°，∴∠MOC ＝120°，过点M 作MN ⊥CD 于点N ，∴MN ＝MO ·sin 60°＝5×32＝532，∴S 阴影＝S 扇形OMC －S △OMC ＝120×π×52360－12×5×532＝25π3－2534，即图中阴影部分的面积是25π3－25344．(导学号 59042298)(2016·包头)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝CB ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，点E 是AB 边上一点(点E 不与点A ，B 重合)，DE 的延长线交⊙O 于点G ，DF ⊥DG ，且交BC 于点F.(1)求证：AE ＝BF ；(2)连接GB ，EF ，求证：GB ∥EF ；(3)若AE ＝1，EB ＝2，求DG 的长．解：(1)连接BD，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠A＝∠C＝45°，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB＝90°，即BD⊥AC，∴AD＝DC＝BD＝12AC，∠CBD＝∠C＝45°，∴∠A＝∠FBD，∵DF⊥DG，∴∠FDG＝90°，∴∠FDB＋∠BDG＝90°，又∵∠EDA＋∠BDG＝90°，∴∠EDA＝∠FDB，可证△AED≌△BFD(ASA)，∴AE＝BF(2)连接EF，BG，∵△AED≌△BFD，∴DE＝DF，∵∠EDF＝90°，∴△EDF是等腰直角三角形，∴∠DEF＝45°，∵∠G＝∠A＝45°，∴∠G＝∠DEF，∴GB ∥EF(3)∵AE＝BF，AE＝1，∴BF＝1，在Rt△EBF中，∠EBF＝90°，∴根据勾股定理得EF2＝EB2＋BF2，∵EB＝2，BF＝1，∴EF＝22＋12＝5，∵△DEF为等腰直角三角形，∠EDF＝90°，∴cos∠DEF＝DEEF＝22，∵EF＝5，∴DE＝5×22＝102，∵∠G＝∠A，∠GEB＝∠AED，∴△GEB∽△AED，∴GEAE＝EBED，即GE·ED＝AE·EB，∴102·GE＝2，∴GE＝2105，则GD＝GE＋ED＝91010。
人教版九年级上册数学圆相关的证明题练习
人教版九年级上册数学圆相关的证明题练习1．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 在AB 的延长线上，且⊙BCD ＝⊙A ．(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为3，CD ＝4，求BD 的长．2．如图，AB 为O 的直径，射线AD 交O 于点F ，点C 为劣弧BF 的中点，过点C 作CE AD ⊥，垂足为E ，连接AC ．（1）求证：CE 是O 的切线；（2）若30,4BAC AB ∠=︒=，求阴影部分的面积．3．如图，在ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的⊙O 与BC 相交于点D ，过点D 作⊙O 的切线交AC 于点E ．（1）求证：DE AC ⊥；（2）若⊙O 的半径为5，16BC =，求DE 的长．4．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，以AC 为直径的O 与AB 边交于点D ，过点D 作O 的切线，交BC于点E.=；（1）求证：EB EC（2）若以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形，试判断ABC的形状，并说明理由．5．在Rt⊙ABC中，⊙ACB＝90°，BE平分⊙ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF＝6，⊙O的半径为5，求CE的长．6．如图，已知在O中，弦AB垂直平分半径ON，NO的延长线交O于P，连接AP，过点A，B的切线相交于点M．（1）求证：ABM∆是等边三角形；（2）若O的半径为2，求AP的长．7．如图，已知AB是O的直径，点C在O上，CD是O的切线，AD CD⊥于点D，E是AB延长线上一点，CE交O于点F，连接OC，AC．∠；（1）求证：AC平分DAO（2）若105E︒∠=．∠=，30DAO︒∠的度数；⊙求OCE⊙若O的半径为EF的长．8．如图，在⊙ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O ，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD，DE．（1）求证：D是BC的中点（2）若DE=3，AD＝1，求⊙O的半径．∠=∠，连接OE延9．如图，ABD∆是O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是O外一点且DBC A长与圆相交于点F，与BC相交于点C．（1）求证：BC是O的切线；（2）若O的半径为6，8BC=，求弦BD的长．10．如图，O的两条弦//AB CD（AB不是直径），点E为AB中点，连接EC，ED．（1）直线EO与AB垂直吗？请说明理由；．（2）求证：EC ED11．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作AC的垂线交AC于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若CD＝BF，AE＝3，求DF的长．12．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC交⊙O于点F．（1）AB与AC的大小有什么关系？请说明理由；（2）若AB=8，⊙BAC=45°，求：图中阴影部分的面积．13．如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，BC的延长线于⊙O的切线AF交于点F．（1）求证：⊙ABC＝2⊙CAF；（2）若AC＝CE：EB＝1：4，求CE的长．14．如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊙CD于点E，连接AC、OC、BC（1）求证：⊙ACO＝⊙BCD；（2）若EB＝8cm，CD＝24cm，求⊙O的面积．（结果保留π）15．如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE，DE，DF．（1）证明：⊙E＝⊙C；（2）若⊙E＝55°，求⊙BDF的度数．16．如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，AD，DE，过点A作射线交BE的∠=∠．延长线于点C，使EAC EDA（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若CE AE===.17．如图所示，已知AD为O的直径，AB，AC是弦，且AB AC（1）求证：直径AD平分BAC；（2）若BC经过半径OA的中点E，F是CD的中点，G是FB的中点，O的半径为1，求GF的长.18．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的⊙O与AD、AC分别交于点E、F，且⊙ACB＝⊙DCE．（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB BC＝2，求⊙O的半径．19．如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为BC的中点，作DE⊙AC，交AB的延长线于点F，连接DA．（1）求证：EF为半圆O的切线；（结果保留根号和π）（2）若DA＝DF＝20．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，⊙ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊙BC于点E．（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为3，BC＝4，求CE的长．。
最新人教版九年级数学上册 与圆有关的计算-专项训练
与圆有关的计算1．一个扇形的弧长是2π ,半径是4,则该扇形所对应的圆心角的度数是（ ）A ．45∘B ．90∘C ．120∘D ．180∘ 2．如图,在扇形AOB 中,∠AOB =90∘ ,点C 为AB ⌢的中点,点D 为OA 上一动点,点E 为OB 上一点,且CE ⊥CD .若OA =2,则阴影部分的面积为（ ）A ．2−π2B ．π−2C ．π−1D ．π−√23．如图，矩形ABCD 内接于⊙O ，分别以AB 、BC 、CD 、AD 为直径向外作半圆，若AB =3,BC =4，则阴影部分的面积为___________.4．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是12cm ，当重物上升4πcm 时，滑轮的一条半径OA 绕轴心O 按逆时针方向旋转的度数为________.5．如图，扇形AOB 的圆心角为直角，边长为2的正方形OCDE 的顶点分别在半径OA 、OB 和弧AB 上.则阴影部分的周长为____________.6．如图,扇形OAB 的圆心角∠AOB =60∘ ,将扇形OAB 沿射线AO 平移得到扇形O′A′B′,A′B′⌢与OB 交于点C .若OA =4√3,O′O =4,则阴影部分的面积为________.7．如图，在矩形ABCD中，以点D为圆心，AD长为半径画弧，以点C为圆心，CD长为半径画弧，两弧恰好交于BC边上的点E处，若AB=1，则阴影部分的面积为________.8．如图，已知△ABC的三个顶点在边长为1的正方形网格的格点上，△ABC的外接圆的一部分和△ABC的边AB、BC组成的两个弓形（阴影部分）的面积和为____________.9．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90∘，OB=2，DE是OA的垂直平分线，交弧AB于点E，点C是OB的中点，连接AC，CE，则图中阴影部分的面积为____________.10．如图,△ABC中,AB=BC=4,且∠ABC=120∘,以点B为圆心,BC长为半径画弧AC,再以点C为圆心,BC长为半径画弧交AC于点E,交弧AC于点D,则图中阴影部分的面积为____________.11．如图所示，一张扇形纸片的圆心角为90∘，半径为2，将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O恰好重合，折痕为CD，则阴影部分的面积为__________.。
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与圆有关的计算专题
1、如图，AB是⊙O的直径，ED切⊙O于点C，AD交⊙O于点F，AC平分∠BAD，连接BF.
(1)求证：AD⊥ED；
(2)若CD=4，AF=2，求⊙O的半径。
2、如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，
∠BCD=∠BAC.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若∠D=30∘，BD=2，求图中阴影部分的面积。
3、如图，AH是O的直径，AE平分∠FAH，交O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为半径OH上一点，点E. F分别在矩形ABCD的边BC和CD上。
(1)求证：直线FG是O的切线；
(2)若CD=10，EB=5，求☉O的直径。
4、如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE ⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若AE=6,∠D=30∘，求图中阴影部分的面积。
5、如图,AB是O的直径,∠BAC=90∘，四边形EBOC是平行四边形，EB交O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点F.
(1)求证：CF是O的切线；
(2)若∠F=30∘,EB=4,求图中阴影部分的面积(结果保留根号和π)
6、正如我们小学学过的圆锥体积公式V=13πr2h(π表示圆周率，r表示圆锥的底面半径，h 表示圆锥的高)一样，许多几何量的计算都要用到π.祖冲之是世界上第一个把π计算到小数点后7位的中国古代科学家，创造了当时世界上的最高水平，差不多过了1000年，才有人把π计算得更精确。
在辉煌成就的背后，我们来看看祖冲之付出了多少。
现在的研究表明，仅仅就计算来讲，他至少要对9位数字反复进行130次以上的各种运算，包括开方在内。
即使今天我们用纸笔来算，也绝不是一件轻松的事情，何况那时候没有现在的纸笔，数学计算不是用现在的阿拉伯数字，而是用算筹(小竹棍或小竹片)进行的，这需要怎样的细心和毅力啊！他这种严谨治学的态度，不怕复杂计算的毅力，值得我们学习．
7、如果圆柱的侧面展开图是相邻两边长分别为6，16π的长方形，那么这个圆柱的体积等
8、一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆,则该圆锥的全面积是( )
A. 48π
B. 45π
C. 36π
D. 32π
9、如图,在Rt△ABC内接于⊙O,∠ACB=90∘，BC=2，将斜边AB绕点A顺时针旋转一定的角度得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，∠DAE=∠ABC，DE=1，连接DO交⊙O于点F.
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)连接FC交AB于点G,连接FB.求证：FG2=GO⋅GB.
10、如图,AB为⊙O的直径,C,D为圆上的两点,OC∥BD，弦AD，BC相交于点E.
(1)求证：ACˆ=CDˆ；
(2)若CE=1，EB=3，求⊙O的半径；
(3)在(2)的条件下,过点C作⊙O的切线,交BA的延长线于点P,过点P作PQ∥CB交⊙O于F,Q 两点(点F在线段PQ上)，求PQ的长。
11、如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O直径，AB=6，AD平分∠BAC，交BC于点E，交⊙O于点D，连接BD.
(1)求证：∠BAD=∠CBD；
(2)若∠AEB=125∘,求BDˆ的长(结果保留π).。